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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE PANUCO, EXTENSIÓN EL HIGO VER. Ingeniería Industrial Materia SIMULACION COMPETENCIA Simulación de Variables Aleatorias Competencia 3, 4, 5, 6

INVESTIGACION Teoría: métodos congruenciales *Simulación de otras variables aleatoria. *Teoría: transformación inversa, composición, convolución y otros procedimientos.

Docente: : ARANELY GONZALEZ RODRIGUEZ Alumnos: MARIA GUADALUPE MANDUJANO DE LA CRUZ ROMARIO HERNANDEZ HERNANDEZ KARLA YANETH RUBIO ALARCÓN NELSON ERNESTO SALAS MANDUJANO LEONARDO SALVADOR DEL ANGEL OSBALDO BAUTISTA GONZALEZ LUIS FERNANDO SÁNCHEZ GARCÍA Grupo: 612

INDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 3 DESARROLLO DEL TEMA ............................................................................... 4 Simulación de otras variables aleatoria. ....................................................... 8 Teoría: transformación inversa, composición, convolución y otros procedimientos ......................................................................................... 13 CONCLUSIONES ......................................................................................... 18 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 19

INTRODUCCIÓN En esta investigación se hablara sobre La generación de variables aleatorias que es un proceso que enfrenta la simulación debido a que cuenta con variables con un comportamiento probabilístico. En donde dicha variabilidad se pudiera clasificar dentro de alguna distribución de probabilidad conocida. Se abordaran los temas de variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Para la generación de las variables aleatorias discretas o continuas, es necesario contar con la información especifica de la distribución deseada, la aplicación de un método para la generación de la variable aleatoria, y la implementación computacional para usarse en la simulación de estas se explicara detalladamente en el tema correspondiente. Las distribuciones más utilizadas son: Bernoulli, uniforme, binomial, Poisson, y geométrica. En cambio las distribuciones continuas modelan la aleatoriedad en eventos en los cuales los valores de las variables pueden estar dentro de un rango de valores reales. También se explicara los métodos de convolucion, método de composición, método de transformada inversa y procedimientos especiales. Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones. La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen. Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso . Algunos de estos factores son los siguientes: Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A veces se tiene suficiente con obtener una aproximación y otras no. Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado un tiempo de ejecución y un gasto de memoria. Elegiremos un método que sea eficiente en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria requeridos. Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima, siempre y cuando se garantice cierta exactitud.

DESARROLLO DEL TEMA Teoría: métodos congruenciales Metodos Congruenciales Método del Cuadrado Medio Consiste en los siguientes pasos: 1- Definir el numero de dígitos que tendrán los valores aleatorios de la serie que se van a generar. A este número de dígitos se le denotara como n. 2- Elegir al azar el valor de la semilla o número aleatorio inicial, el cual deberá ser de n dígitos. 3- Se eleva al cuadrado la semilla, este resultado por lo general serán 2n dígitos. En caso de que el número de dígitos no contenga 2n valores, se le agregaran ceros a la izquierda hasta completar la cantidad antes mencionada. 4- Del número obtenido en el paso anterior, se tomaran los n dígitos centrales, siendo este el nuevo número aleatorio. 5- Con este número aleatorio se regresa al paso tercero para generar el siguiente valor de la serie. Los pasos se repetirás cuantas veces sea necesario para generar la cantidad suficiente de valores según lo requiera el caso

Método Congruencial Lineal Este método fue ideado por D.H. Lehmer en 1949. La secuencia de números aleatorios se obtiene aplicando la siguiente relación de recurrencias: Xn+1= (aXn + c ) mod M M modulo

n>0, donde

M>0

a multiplicador 0 ≤ a <M c incremento

0≤c<M

X0 valor inicial

0 ≤ X0 < M

Según el valor del parámetro c, este método se clasifica en : 1. si c>0 se denomina Congruencial mixto 2. si c=0 Congruencial multiplicativo

Congruencial Mixto Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de numero pseudoaleatorios en la cual el próximo numero pseudoaleatorios es determinado a partir del numero generado, es decir el numero pseudoaleatorios Xn+1 es derivado a partir del numero pseudoaleatorios Xn Para el caso particular del generador Congruencial mixto, la relación de de ocurrencia es la siguiente: Xn+1 =( aXn + C) mod m Donde: X0 = la semilla (X0 > 0) a= el multiplicador (a>0) c= constante aditiva (c>0) m= el modulo (m>X0 , m>a y m>c) Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir aXn + c entre el modulo. Veamos el siguiente ejemplo: Generar 2 números aleatorios de modulo 8 con constantes a= 5 y c=7 y una semilla x0 = 4. XN+1= (5XN + 7)(MODULO 8) X1= 27 MODULO 8= 3 X2=22 MODULO 8= 6

Congruencial Multiplicativo Al igual que el generador Congruencial mixto, el generador Congruencial multiplicativo determina el próximo número pseudoaleatorio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente recurrencia: Xn+1 = aXn mod m

Simulación de otras variables aleatoria . La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una distribución uniforme (0,1). Y las transformaciones de dichos números generados en valores de otras distribuciones. La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en: Ø Método de la transformada inversa Ø Método de aceptación-rechazo Ø Método de composición Ø Método de convolución

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA Es el método más directo para generar una variable aleatoria. Sea

una función de distribución cuya función de distribución inversa es:

Sea U una variable aleatoria de

se verifica que

tiene la función de distribución F. La prueba se sigue de la observación de que

Esto sugiere inmediatamente el siguiente esquema de generación:

Algoritmo del método de la transformada inversa Propósito: Generar Z aleatoriamente de

Entrada: Capacidad para evaluar

Salida: Z Método: Generar aleatoriamente U de

Devolver Z. Ejemplo. La distribución exponencial Supongamos que tiene una distribución exponencial de media beta. La función densidad de probabilidad es:

La función de distribución (acumulativa) es:

MÉTODO DE ACEPTACIÓN RECHAZO Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación. Se va aplicar este método en el caso de que la variable aleatoria sea continua, el caso discreto es análogo y está tratado en Prob. 8.9 En este caso tenemos la función de densidad f(x) de la variable y necesitamos una función t(x) que la acote, es decir t(x)³f(x) "x. Hay que notar que t(x) no es, en general, una función de densidad

pero la función r(x)=t(x)/c, si es claramente una función de densidad. (Suponemos que t es tal que c<¥). Debemos de poder generar (esperamos que de forma fácil y rápida) un valor de la variable aleatoria que sigue la función r(x). El algoritmo general queda como sigue: Generar x que siga la distribución r(x) Generar u~U(0,1), independiente de x

entonces devolver x si no volver a repetir el algoritmo El algoritmo continúa repitiéndose hasta que se genera un valor que es aceptado. Para hacer que se rechacen el menor número de puntos posibles la función t(x) debe ser la mínima función que acote a f(x).

MÉTODO DE COMPOSICIÓN Este método va a poder ser aplicado cuando la función de densidad es fácil de

siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función. Cada uno de los fragmentos se puede expresara como producto de un función de distribución y un peso

y la función de distribución global la podemos obtener como

El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado. El algoritmo general queda como sigue: Generar u1,u2~U(0,1) Si u1=w1 entonces generar x~f1(x) Si no Si u1=w1+w2 entonces generar x~f2(x)

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc, se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

En este método se necesita generar k números aleatorios (u1,u2,...,uk) para generar (x1,x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

Teoría: transformación inversa, composición, convolución y otros procedimientos Método de la transformada inversa El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1). El método consiste en: Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a modelar. Calcular la función acumulada f(x). Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa 𝑓(𝑥)−1 . Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pdeudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa. El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1).

Método de convolución La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variables originales. El método de convolución es entonces la suma de dos o más variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binominales Metodología Se generan números aleatorios (Y1, Y2, Y3…….Yn) Con uno (o más dependiendo del método a utilizar) de los números aleatorios, se generan las variables aleatorias componentes (X1,X2,X3,…..Xn) Se obtiene un valor de la variable por suma lineal de las variables aleatorias componente Distribución Uniforme A partir de la función de la densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.

Se obtiene la función acumulada

Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorio ri ~U (0,1), y despejando x se obtiene: Xi=a + (b - a) F(x)i Xi=a + (b - a) r

Distribución de Bernoulli A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media p(x) = px (1 – p)1 – x

para

x=0,1

Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener

Acumulando los valores de p(x) se obtiene:

Generando números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) se aplica la regla:

La tabla siguiente muestra la demanda diaria de cepillos dentales en un supermercado.

Simular el comportamiento de la demanda mediante el método de la transformada inversa.

A partir de la información histórica se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas para x=0, 1, 2, 3

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por:

Con la lista de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1) y la regla anterior es posibles simular la demanda diaria de cepillos dentales, tal como se muestra

CONCLUSIONES En la presente trabajo de investigación se analizo que las variables aleatorias son presentadas por medio de distribuciones de probabilidad, el procedimiento es para la generación de los números con variables aleatorias a partir de las distribuciones de la probabilidad que se conoce como la generación de variables aleatorias. El principio del muestreo es basado en la interpretación de frecuencia de la probabilidad y requiere un flujo permanente de los números aleatorios. Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones. La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen. Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

BIBLIOGRAFIA http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema5.pdf http://www.mat.uda.cl/jolivares/probabilidades/gva.pdf http://metabase.uaem.mx/bitstream/handle/123456789/555/2._Metodo_de_la_transformada_in versa.pdf?sequence=1 2003). Simulación Un enfoque práctico. México, DF: Limusa S.A.de C.V.  Ing. Sergio David Castillón Dominguez. (2014). SIMULACION. 17 de Septiembre 2016, de Academia https://www.academia.edu/7207310/Librodesimulacion