Interpretacion De Derivadas

DEFINICIÓN DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

MARCELO HUARACHI MONTENEGRO

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer: • Dominio • Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y •Continuidad •Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: •

Intervalos de crecimiento / decrecimiento

•

Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

m=0 m>0

m<0

m=0

m<0

En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”

y=3 y=1,2x+1,5

f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f’(-2)= 0 f’(2)=1,2 y=-1,3x+13

y=-3/2x-24 y=-4

f’(4)=0 f’(6)=-1,3

(3,2) (1,-1)

Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. Pasa por (1,-1) y=mx+n -1=m+n Pasa por (3,2) 2=m·3+n Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2

(3,2)=(x1,y1) (1,-1) )=(x0,y0)

Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil:

y1 - y 0 2 - (- 1) 3 m= = = x1 - x0 3- 1 2

De esta manera f’(3)=3/2

y1 - y 0 m= x1 - x0 O LO QUE ES LO MISMO:

f ( x1 ) - f ( x0 ) m= x1 - x0

Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. Recta t

A(a,f(a))

Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a))

Recta t a

a+h

Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P.

P(a+h,f(a+h))

f(a+h)-f(a) A(a,f(a)) Recta t

h a

a+h

f (a + h ) - f (a ) f (a + h ) - f (a ) m= = a +h - a h

Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:

P

A h a

0 a+h

P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.

P

A h a

0 a+h

P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t

lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente h® 0

f ( x + h) - f ( x ) lim = f '(a ) h®0 h

P A a

Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

a+h

Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2

f (2 + h ) - f (2) f '(2) = lim h ®0 h 2 ìï 2 + h ( ) 4 + 4h + h 2 ïï = = 1 + h + 0,25h 2 ïí f (2 + h ) = 4 4 ïï ïïî f (2) = 1

f (2 + h ) - f (2) h + 0,25h 2 f '(2) = lim = lim = lim(1 + 0,25h ) = 1 h®0 h ® 0 h®0 h h

f(x)=x2/4

f '(2) = 1

* La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es:

y = f (a ) + f '(a )( x - a ) y = 1 + 1( x - 2) y =x- 1

* Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente.

(x0,y0)

y=y0+m(x-x0)