Derivadas
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- Words: 654
- Pages: 35
Observação importante
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1
Exemplo
xy lim ( x , y ) (0,0) x 2 y 2
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2
Exemplo
xy 2 lim ( x , y ) (0,0) x 2 y 4
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3
Exemplo 3x 2 y lim 0 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2
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4
Continuidade
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5
Observações
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6
Exemplo
x y 2 2 x y 2
2
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7
Exemplo
x y 2 2 x y 2
2
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8
Exemplo
2
f ( x, y )
3x y , se ( x, y ) (0, 0) 2 2 x y 0 se ( x, y ) (0, 0)
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9
Funções com três ou mais variáveis
Se f é definida em um subconjunto D do ¡ n , então lim f (x) L significa que > 0, >0, x a
sempre que x D e 0< x a
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10
f ( x) L
Exercícios
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11
Derivadas parciais
f ( x h, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) lim h 0 h x f ( x, y h) f ( x, y ) f ( x, y ) f y ( x, y ) lim h 0 h y Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
12
Observação
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13
Interpretação
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14
Derivadas de ordem superior
f f f yy 2 y y y
f f f xx 2 x x x 2
2
f f f yx x y xy
f f f xy y x yx
2
2
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15
Teorema de Clairaut
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16
Quem é a função e quem são as derivadas?
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17
Exercício: encontre as derivadas parciais
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18
Exercício: encontre as derivadas nos pontos indicados
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19
Encontre as derivadas de z em relação a x e a y
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20
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem
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21
Máximos e mínimos
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22
Definição
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23
Teorema
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24
Exemplo
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25
Exemplo
z y x 2
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26
2
Teste da segunda derivada
D
f xx f xy f yx f yy
f xx f yy f xy
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27
2
Teste da segunda derivada
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28
Exemplo
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29
Exercício
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30
Exercício
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31
Exercício
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32
Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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33
Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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34
Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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35
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1
Exemplo
xy lim ( x , y ) (0,0) x 2 y 2
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2
Exemplo
xy 2 lim ( x , y ) (0,0) x 2 y 4
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3
Exemplo 3x 2 y lim 0 ( x , y ) (0,0) x 2 y 2
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4
Continuidade
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5
Observações
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6
Exemplo
x y 2 2 x y 2
2
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7
Exemplo
x y 2 2 x y 2
2
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8
Exemplo
2
f ( x, y )
3x y , se ( x, y ) (0, 0) 2 2 x y 0 se ( x, y ) (0, 0)
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9
Funções com três ou mais variáveis
Se f é definida em um subconjunto D do ¡ n , então lim f (x) L significa que > 0, >0, x a
sempre que x D e 0< x a
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10
f ( x) L
Exercícios
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11
Derivadas parciais
f ( x h, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) lim h 0 h x f ( x, y h) f ( x, y ) f ( x, y ) f y ( x, y ) lim h 0 h y Prof. Valter de Senna, PhD [email protected]
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13
Interpretação
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14
Derivadas de ordem superior
f f f yy 2 y y y
f f f xx 2 x x x 2
2
f f f yx x y xy
f f f xy y x yx
2
2
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15
Teorema de Clairaut
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16
Quem é a função e quem são as derivadas?
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17
Exercício: encontre as derivadas parciais
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18
Exercício: encontre as derivadas nos pontos indicados
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19
Encontre as derivadas de z em relação a x e a y
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20
Encontre as derivadas parciais de segunda ordem
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21
Máximos e mínimos
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22
Definição
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23
Teorema
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24
Exemplo
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25
Exemplo
z y x 2
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26
2
Teste da segunda derivada
D
f xx f xy f yx f yy
f xx f yy f xy
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27
2
Teste da segunda derivada
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28
Exemplo
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29
Exercício
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30
Exercício
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31
Exercício
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32
Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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33
Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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Encontre máximos, mínimos e pontos de sela
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35
