Integrales

∫

b

a

f ( x) dx

SUMAS INFERIORES

Sinf ( f ,1) = h ⋅ m1

;

h =b−a

SUMAS INFERIORES

Sinf ( f ,2) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2

; h=

b−a 2

SUMAS INFERIORES

4

S inf ( f ,4) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m4 = ∑ h ⋅ mk k =1

; h=

b−a 4

SUMAS INFERIORES

8

Sinf ( f ,8) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m8 = ∑ h ⋅ mk k =1

; h=

b−a 8

SUMAS INFERIORES

16

Sinf ( f ,16) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ m16 = ∑ h ⋅ mk k =1

; h=

b−a 16

SUMAS INFERIORES

n

S inf ( f , n) = h ⋅ m1 + h ⋅ m2 + .... + h ⋅ mn = ∑ h ⋅ mk k =1

; h=

Sinf ( f , n) n → Área bajo f entre x = a y x = b →∞

b−a n

SUMAS SUPERIORES

Ssup ( f ,1) = h ⋅ M 1

;

h =b−a

SUMAS SUPERIORES

Ssup ( f ,2) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2

; h=

b−a 2

SUMAS SUPERIORES

4

Ssup ( f ,4) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 4 = ∑ h ⋅ mk k =1

; h=

b−a 4

SUMAS SUPERIORES

8

Ssup ( f ,8) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 8 = ∑ h ⋅ M k k =1

; h=

b−a 8

SUMAS SUPERIORES

16

S sup ( f ,16) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M 16 = ∑ h ⋅ M k ; h = b − a 16 k =1

SUMAS SUPERIORES

n

Ssup ( f , n) = h ⋅ M 1 + h ⋅ M 2 + .... + h ⋅ M n = ∑ h ⋅ M k k =1

; h=

Ssup ( f , n) n → Área bajo f entre x = a y x = b →∞

b−a n

INTEGRAL DEFINIDA

b

Área = ∫ f ( x) dx = lim Sinf ( f , n) = lim Ssup ( f , n) a

n →∞

n →∞

Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a ) para algún punto c entre a y b

TEOREMA DE LA MEDIA (INTEGRAL)

Área bajo f entre a y b = f (c) ⋅ (b − a ) para algún punto c entre a y b

TEOREMA DE LA MEDIA (INTEGRAL)

Área bajo f entre a y b = f (c ) ⋅ (b − a ) El punto c está donde el área que sobra y la que falta coinciden

Si f es continua en [a,b], entonces la función:

A( x ) = Área bajo f entre a y x es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Si f es continua en [a,b], entonces la función:

A( x ) = Área bajo f entre a y x es una primitiva de f, es decir A´(x)=f(x) ya que …

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

A´(x) = lim h →0

A( x + h) − A( x) h ⋅ f (c ) = lim = lim f (c) = f ( x) h → 0 h →0 h h donde c es algún punto entre x y x+h

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

Como A(x) es una primitiva de f se escribe:

x

A( x) = ∫ f (t ) dt a

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:

∫

b

a

f ( x) dx = F (b) − F (a )

REGLA DE BARROW x

A( x) = ∫ f (t ) dt a

Esta función cumple: por tanto si F es una primitiva de f : y como A(a)=0 :

A( x) = F ( x) + C A(a) = F (a) + C = 0 ⇒ C = − F (a)

Es decir: x

A( x) = ∫ f (t ) dt = F ( x) − F (a ) a

A´(x)=f(x)

REGLA DE BARROW

Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:

∫

b

a

f ( x) dx = F (b) − F (a )

INTEGRAL DEFINIDA

∫

b

a

f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) n→∞

n →∞

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b

INTEGRAL DEFINIDA

∫

b

a

f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) n→∞

n →∞

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b FUNCIÓN INTEGRAL x

F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) a

n →∞

n →∞

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x.

INTEGRAL DEFINIDA

∫

b

a

f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) n→∞

n →∞

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b FUNCIÓN INTEGRAL x

F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) a

n →∞

n →∞

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:

F ´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [ a, b]

INTEGRAL DEFINIDA

∫

b

a

f ( x) dx = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) n→∞

n →∞

Si f es positiva en [a,b], representa el área bajo f entre a y b FUNCIÓN INTEGRAL x

F ( x) = ∫ f (t ) dt = lim S sup ( f , n) = lim S inf ( f , n) n →∞

a

n →∞

Si f es positiva y continua en [a,b], F representa el área bajo f entre a y x. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Si f es continua en [a,b], entonces la función integral es derivable y:

F ´(x) = f ( x) ∀ x ∈ [ a, b]

REGLA DE BARROW Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f; entonces:

∫

b

a

f ( x) dx = F (b) − F (a )