Derivadas

Notas del Libro del Profesor Lomeí FALTA EDITAR 7. Derivadas. 7.1 Introducción El concepto de derivada es central en el cálculo diferencial e integral. Como ya se mencionó el origen del cálculo integral puede remontarse a la poca de Arquímedes (287?212 a.c.) cuando intentaba determinar el rea de algunas figuras especiales por el método de exhaución. Sin embargo, el cálculo diferencial lo podemos ubicar en la poca de Pierre de Fermat (1601?1665) cuando se enfrentaba al problema de “maximizar” o “minimizar” ciertas funciones. Fermat requería encontrar la recta tangente a un punto cualquiera de la curva bajo estudio y, en particular, observó que en aquellos puntos donde la curva tenía un máximo o mínimo la recta tangente deba ser horizontal. Por supuesto, inmediatamente surge el problema más general de determinar la recta tangente en cualquier punto arbitrario de la curva. Fermata resolvió este problema que permitió establecer la idea de derivada. La figura ilustra la situación:

Por otra parte, nos preguntamos qué relación tiene el problema de determinar el área de una región plana bajo la curva y limitada por el eje?x; y el problema de obtener la recta tangente a un punto de dicha curva, que como indicamos conduce al concepto de derivada. Estos dos problemas sin conexión aparente se ubican en el cálculo integral y el cálculo diferencial respectivamente; de manera que podemos replantear la pregunta como sigue: Cuál es la relación entre los dos tipos de cálculo? La respuesta y posterior desarrollo de lo que ahora conjuntamos como cálculo diferencial e integral provino de manera independiente de dos grandes matemáticos, Isaac Newton (1642?1727) y Gotfried Leibnitz (1646? 1716). Newton enfocó la aplicación del cálculo a la solución de una gran variedad de problemas en la Física. En este punto podemos considerar dos alternativas para lograr la comprensión de la fusión de los dos cálculos. Podemos proceder históricamente desde el cálculo integral hacia el cálculo diferencial o a la inversa. Por cuestiones de secuencia con los capítulos anteriores y de carácter práctico, seguiremos la segunda alternativa; pero, sin olvidar que los conceptos y propiedades que se estudien son fundamentales para el cabal entendimiento de la conexión de dichos cálculos. Procedemos a estudiar el concepto de derivada en base al ejemplo geométrico de la línea tangente. Ejemplo 7.1 Tangente a una curva Solución.

Sea f una funcin continua con regla de correspondencia y = f(x), y sea (x1,y1) cualquier punto arbitrario de la grafica, como se ilustra en la siguiente figura:

Cualquier línea no vertical que pase por el punto (x1,y1) tiene una ecuación de la forma y = mx + b Donde b es la ordenada al origen y m es la pendiente de la recta. Nuestro problema consiste precisamente en evaluar m. Sea L la línea secante que pasa por los puntos P y Q con coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente. La pendiente mL de dicha línea está dada por y2 ? y1 mL = ??????? ; x2 ? x1

x2 x1

e introducimos la notación para la diferencia de las abscisas h = x2 ? x1 de manera que podemos rescribir f(x1+h) ? f(x1) mL = ??????????????? ; h

h /= 0

Ahora consideremos fijo el punto P y movamos Q sobre la curva hacia P, es decir, hagamos h ??> 0 y si la línea secante tiene una posición límite, a ésta la postulamos como la línea tangente y, en consecuencia, la pendiente de la recta tangente queda definida como f(x1 + h) ? f(x1) mT = lim mL = lim = ????????????????? ; h /= 0 h?>0 h?>0 h Si el límite existe. Ejemplo 7.2 Encuentre la pendiente de la línea tangente a la curva y = 2×2 ? 3x + 1 en el punto (1,0). Determine la ecuación de la línea tangente. Solución. La curva corresponde a la gráfica de la funcin y = f(x). La pendiente en x1 = 1 está definida por f(1+h) ? f(1) mT = lim ????????????? h?>0 h

h 0

2(1+h)2 ? 3(1+h) + 1 ? 0 = lim ???????????????????????? h?>0 h 2 + 4h + 2h2 ? 3 ?3h + 1 = lim ???????????????????????? h?>0 h h(1 + 2h) = lim ????????? = lim (1 + 2h) = 1 h?>0 h?>0 Una vez determinada la pendiente de la recta tangente podemos usar la ecuación punto?pendiente de la recta: y ? y1= m (x ? x1) O sea y = x ? 1. Como ya lo habamos indicado, el concepto de derivada lo podemos motivar estudiando la solución de problemas de Mecánica. Los aspectos esenciales para la posterior definición del concepto se verán a continuación. Ejemplo 7.3 Velocidad en movimiento rectilíneo. Solución. Un cuerpo que se mueve en línea recta se dice que tiene movimiento rectilíneo. Nos referimos al cuerpo como una partícula y su posición x, en cualquier tiempo t, la representamos por un punto sobre la recta numérica. Es decir, introducimos el desplazamiento de la partícula como una funcin del tiempo x = f(t). La funcin f es la posición de la partícula y el desplazamiento x puede ser negativo, cero o positivo dependiendo de la posición respecto al origen. En Mecánica se denomina a x = f(t) como ecuación de movimiento. En el tiempo t1 la partícula tiene la posición x1 = f(t1) y en el tiempo t2 la posición x2 = f(t2). La distancia dirigida definida por x2 ? x1 es el desplazamiento de la partícula en el intervalo [t1,t2]; durante este intervalo la velocidad media de la partícula se define como x2 ? x1 = ??????? t2 ? t1 y si introducimos la notación h = t2 ? t1, tenemos f(t1+h) ? f(t1) = ??????????????? h Ahora queremos definir la velocidad instantánea de la partícula en to, es decir cuando la partícula pasa por la posición xo = f(to). Encontramos las velocidades medias sobre intervalos de tiempo [t,to] tales que t?to ??> 0, estas velocidades pueden aproximarse a un valor dado por x ? xo f(t) ? f(to) f`(to) = lim ???????? = lim ?????????????? t??>to t ? to t??>to t ? to

Si el límite existe. Definimos entonces la velocidad instantánea, v(to) en el tiempo to como f`(to), (se lee “f prima en to”). Aquí también podemos denotar el intervalo de tiempo como h = t ? to y rescribir la expresión anterior como f(to+h) ? f(to) f`(to) = lim ????????????????? h?>0 h Es conveniente representar la gráfica de la funcin desplazamiento:

Observemos que en esta figura la velocidad media en el intervalo de tiempo [t1,t2] corresponde geométricamente a la pendiente de la línea secante L y la velocidad instantánea v(to) corresponde a la pendiente de la línea tangente a la gráfica en el punto (to,xo). La velocidad instantánea v(t) puede ser negativa, cero o positiva. Si la velocidad es cero la partícula está en reposo en ese tiempo particular; si la velocidad cambia de signo, entonces la dirección del movimiento se invierte. Esto es, la velocidad es una cantidad física que expresa magnitud y dirección. A la magnitud de la velocidad le denominamos rapidez y se define como el valor absoluto de la velocidad, esto es |v(t)|. Ejemplo 7.4 Una partícula se mueve sobre una línea recta de acuerdo con la ecuación de movimiento x(t) = \/t + 5 m. Encuentre la velocidad en to = 4 s. Solución. Usemos la expresión para la velocidad instantánea x ? xo v(to) = lim ?????? t?>to t ? to \/t + 5 ? \/to + 5 = lim ????????????????????? t?>to t ? to En este caso racionalizamos el numerador multiplicando numerador y denominador por (\/t + 5 + \/to + 5) t ? to v(to) = lim ???????????????????????? t?>to (t ? to)(\/t+5 + \/to+5) 1 1 = lim ???????????????? = ?????????

t?>to (\/t+5 + \/to+5) 2\/to + 5 En particular para el instante to = 4 s, tenemos que la velocidad es v(4) = 1/9 m/s. Se deja como ejercicio que se realice el problema utilizando la definición equivalente f(t + h) ? f(t) v(t) = x`(t) = lim ??????????????? h?>0 h Podemos resumir los resultados obtenidos en los ejemplos anteriores en un procedimiento que denominamos: Regla de los cuatro pasos: Dada la funcin f con regla de correspondencia y = f(x): 1. Hallar f(x + h). 2. Calcular f(x + h) ? f(h). 3. Formar el cociente f(x + h) ? f(x) ??????????????? h 4. Obtener el límite f(x + h) ? f(x) lim ??????????????? h?>0 h El procedimiento anterior nos permite en su caso calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto arbitrario o bien calcular la velocidad de una partícula en movimiento rectilíneo. También es conveniente en ocasiones, dependiendo del tipo de problema, introducir la siguiente notación: Sea f la funcin con regla de correspondencia y = f(x) y siguiendo la regla anterior denotamos \y = f(x + h) ? f(x) \x = h y formamos el cociente de incrementos de y respecto de x, \y/\x para luego obtener el límite dy \y f(x + h) ? f(x) ?? = lim ??? = lim ??????????????? dx \x?>0 \x h?>0 h Si el límite existe; denominamos a dy/dx la razón de cambio instantánea de y en x. Es claro que no estamos haciendo nada nuevo, sino solo dando una interpretación al límite que nos permitió calcular la pendiente de la gráfica de f en x y la velocidad instantánea en el movimiento rectilíneo. En este último caso podemos decir que la velocidad es la razón de cambio instantánea de la posición x con respecto al tiempo t.

Como a la magnitud de la velocidad le llamamos rapidez y aquélla es una razón de cambio; en un abuso del lenguaje en diversas reas de aplicación de los conceptos que estamos analizando, se denomina “rapidez” a la razón de cambio instantánea; pero, en tales casos se dice que puede tomar valores negativo, cero o positivo. Así por ejemplo, hablamos de la rapidez con que crece una inversión a plazo fijo, o la rapidez con que se enfría un cuerpo, o la rapidez con que se carga un condensador en un circuito, etc. Estos son ejemplos de razones de cambio instantáneas de una variable dependiente con respecto al tiempo t. Sin embargo, nuestro idea es mucho más general ya que en la definición no hemos puesto ninguna restricción con respecto al significado de las variables x,y en el concepto dy/dx. En el próximo capítulo veremos algunas aplicaciones. Ejercicios. En cada uno de los ejercicios siguientes utilice la Regla de los cuatro pasos para encontrar la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto indicado. Además determine la ecuación de la recta tangente. 1. f(x) = 3×2 ? 1; (?1,2) 2. f(x) = (x ? 2)2; (2,0) 3. f(x) = 1/\/x; (9,1/3) 4. f(x) = (4 ? x)/(5 + x); (1,1/2) 5. f(x) = x3 ? 8; (?2,16) Una partícula en movimiento rectilíneo tiene por ecuación de movimiento x = f(t), donde x [m] es la distancia dirigida con respecto al origen al tiempo t [s]. Encuentre la velocidad instantánea v(t) = f`(t) en el instante to. 6. f(t) = 100 ? 5t2; to = 2 7. f(t) = t3 ? 5t2 + 7; to = 1 8. Resuelva el ejemplo 7.4 utilizando la definición equivalente de la velocidad instantánea. 9. Un objeto sobre la superficie de la tierra se lanza hacia arriba con velocidad inicial vo. El desplazamiento medido desde el suelo es y(t) = vo ? 5t2 metros. Encuentre la altura máxima sobre la superficie en términos de la constante vo. 10. Hallar la ecuación de una recta tangente a la curva y=x3 ? 8 y paralela a la recta 3x ? y = 8. a 7.2 Definición de derivada En los ejemplos de la sección anterior pudimos observar que en ambos casos se requiere tener una funcin definida sobre un intervalo (a,b) del eje?x y después escogimos un punto fijo x de este intervalo y formamos el cociente f(x + h) ? f(x) ??????????????? ; h

h0

Donde el número h puede ser negativo o positivo, pero tal que x+h pertenece al intervalo (a,b). Enseguida obtuvimos f(h + h) ? f(x) lim ????????????????? h?>0 h Y en un caso lo interpretamos como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la funcin f en el punto x; y en el otro caso como una razón de cambio instantánea de la funcin desplazamiento a la que denominamos velocidad. El punto clave es que en ambos casos tenemos el mismo tipo de límite y que por su importancia en matemáticas y sus aplicaciones constituye un concepto central en el cálculo. Definición 7.1 La derivada de una funcin. Si f es una funcin, entonces la derivada f es una funcin con regla de correspondencia f(x + h) ? f(x) f`(x) = lim ??????????????? h?>0 h y su Dom f es el conjunto de números reales en el Dom f para los cuales el límite anterior existe. Una funcin decimos que es diferenciable en cada valor de x para el cual existe dicho límite, es decir, si existe su derivada. Denominamos diferenciación al procedimiento para obtener la derivada, que como ya indicamos puede calcularse por la Regla de los cuatro pasos. Por lo anterior podemos decir que la derivada de una funcin denota tanto la pendiente de la gráfica de f en x como la razón instantánea de y respecto a x; o sea que estas son dos interpretaciones del concepto abstracto. Es claro que si h denota el incremento de la variable independiente x con respecto a un punto fijo xo, podemos rescribir la derivada de f en el punto xo de una manera equivalente. Sea h = x ? xo entonces f(x) ? f(xo) f`(xo) = lim ?????????????? x?>xo x ? xo que es la forma que encontramos al estudiar la velocidad instantánea. Definición 7.2 La funcin f es diferenciable sobre un intervalo I, si la funcin restringida f|I es diferenciable en cada punto del intervalo I. En el caso de que I sea un intervalo abierto (a,b) tenemos que f es diferenciable en (a,b) si es diferenciable en todo punto de este intervalo. En el caso de que tengamos un intervalo cerrado [a,b] tenemos que f es diferenciable en [a,b] si es diferenciable en cada punto de (a,b) y además existan los límites laterales

f(a + h) ? f(a) lim ??????????????? h?>0+ h

f(b + h) ? f(b) lim ??????????????? h?>0? h

Hay diversas notaciones para la derivada de la funcin f; por lo tanto, es conveniente introducir algunas de las más comunes: f`(x)

Dxf(x)

df/dx

o si usamos y = f(x), tenemos y`(x)

Dxy

dy/dx.

Por ejemplo ya habamos señalado que f`(x) se lee “f prima de x”; y cuando usamos dy/dx se lee “la derivada de y con respecto a x” En los siguientes ejemplos vamos a obtener las derivadas de algunas funciones particulares y deberemos observar que se sigue la Regla de los cuatro pasos, tal como en los ejemplos de la sección anterior. Ejemplo 7.5 Si f(x) = 3x + 9, encuentre i) f`(x) y ii) f`(1). Solución. Usamos la definición 7.2 f(x + h) ? f(x) [3(x + h) + 9] ? (3x + 9) f`(x) = lim ??????????????? = lim ????????????????????????? h?>0 h h?>0 h 3h = lim ???? = 3 h?>0 h O sea que f`(x) = 3 para todos los valores de x y además f`(1) = 3. Ejemplo 7.6 Obtenga la regla de correspondencia f`(x) para la funcin dada por f(x) = x3 ? 17. Solución. Utilicemos ahora la definición equivalente a 7.2 f(x) ? f(a) (x3 ? 17) ? (a3 ? 17) f`(x) = lim ??????????? = lim ????????????????????? x?>a x ? a x?>a x?a (x3 ? a3) = lim ????????? x?>a x ? a (x ? a)(x2 + ax + a2) = lim ????????????????????? x?>a x?a

= lim (x2 + ax + a2) = x2 + x2 + x2 = 3×2. x?>a Ejemplo 7.7 Si y = (3x ? 4)/x2; x0 encuentre dy/dx. Solución. Aquí utilizamos la definición 7.2; pero para mayor claridad es conveniente detallar la Regla de los cuatro pasos: 1. Hallar f(x + h): [3(x + h) ? 4] 3x + 3h ? 4 f(x + h) = ?????????????? = ????????????? (x + h)2 x2 + 2hx + h2 2. Calcular f(x + h) ? f(x): 3x + 3h ? 4 3x ? 4 f(x + h) ? f(x) = ????????????? ? ???????? x2 + 2hx + h2 x2 ?3hx2 ? 3h2x + 8hx + 8h2 = ?????????????????????????? x2(x2 + 2hx + h2) 3. Dividimos por h para obtener f(x + h) ? f(x) ? 3×2 ? 3hx + 8x + 8h ??????????????? = ??????????????????????? h x2(x2 + 2hx + h2) 4. Hacemos h??>0 para obtener f(x + h) ? f(x) ?3×2 + 8x f`(x) = lim ??????????????? = ????????? h?>0 h x4 Primeramente observamos que se hace amplio uso de las propiedades de límites estudiadas en el capítulo 4; sin embargo a medida que avanzamos en el estudio de la diferenciación podemos constatar que, aunque simple, la Regla que se desprende de la definición de derivada se hace tediosa. Por esto es que en las siguientes secciones estudiaremos más en detalle propiedades que nos permitan profundizar en la conceptualización y posibles aplicaciones de la derivada, así como en los métodos de diferenciación. Como se recordar, para definir el concepto de continuidad de una funcin también se utilizó el concepto de límite, lo cual nos sugiere que puede haber una relación entre ambos conceptos. Teorema 7.1 Si la funcin f es diferenciable en el punto x = xo, entonces f también es continua en xo. Demostración: Si f es diferenciable en xo, existe el límite

f(x) ? f(xo) f`(xo) = lim ???????????? . x?>xo x ? xo La funcin es continua en xo si lim f(x) = f(xo) x?>xo o de manera equivalente lim [f(x) ? f(xo] = 0. x?>xo Ahora bien, observemos que f(x) ? f(xo) f(x) ? f(xo) = ????????????.(x ? xo) x ? xo es cierto para toda x xo, entonces f(x) ? f(xo) lim [f(x) ? f(xo)] = lim [????????????.(x ? xo)] x?>xo x?>xo x ? xo f(x) ? f(xo) = lim ???????????? .lim (x ? xo) = f`(xo).0 = 0 x?>xo x ? xo x?>xo de donde se sigue inmediatamente que f es continua en xo. @ El teorema nos proporciona una manera diferente de demostrar qué funciones son continuas. Cada vez que establezcamos la existencia de la derivada en un punto xo, a la vez establecemos la continuidad de la funcin en ese punto. El reciproco de este teorema no se cumple como lo ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.8 Demuestre que la funcin valor absoluto | | no es diferenciable en xo = 0. Solución. La funcin valor absoluto es continua en xo = 0 lim |0 + h| = lim |h| = 0 = |0|; h?>0 h?>0 pero, no tiene derivada en xo = 0 porque f(0 + h) ? f(0) |0 + h| ? |0| |h| lim ??????????????? = lim ????????????? = lim ??? h?>0 h h?>0 h h?>0 h

el límite anterior no existe ( por qué?). Si analiza la gráfica verá que esta no se rompe en xo = 0; sin embargo no puede definirse una tangente en ese punto. Ejercicios. Utilice la definición 7.2 para encontrar f`(x). 1. f(x) = c; c en R 2. f(x) = ax + b; a,b en R 3. f(x) = 1/x 4. f(x) = \/x 5. f(x) = ax2 + bx + c; a,b,c en R 3 6. y = ?????? x2 + 1 7. y = \/2x + 6 t3 ? 3t 8. F(t) = ??????? t 9. Encuentre DxH(x) si H(x) = |x2 ? 5|. 10. Determine si la funcin x|x| es diferenciable en x = 0. Si lo es, encuentre f`(0). 7.3 Álgebra de derivada En esta sección buscaremos sistematizar el estudio de las derivadas, para ello pondremos especial atención en el procedimiento para encontrar la derivada de una funcin que denominamos diferenciación. Como vimos en la sección anterior, cuando recurrimos a la definición 7.2 para encontrar la derivada, fácilmente caemos en detalles algebraicos laboriosos. Mucho podemos avanzar en el cálculo diferencial si establecemos algunas de las propiedades fundamentales, que podemos llamar reglas, si tomamos como punto de partida algunas fórmulas que obtengamos por el calculo directo del límite: f(x + h) ? f(x) lim ?????????????????. h?>0 h 7.3.1 Fórmulas básicas Teorema 7.2 Si f es la funcin constante entonces Df = 0.

Demostración: Sea f(x) = c para toda x en R, entonces f(x + h) ? f(x) c?c lim ??????????????? = lim ????? = lim 0 = 0. h?>0 h h?>0 h h?>0 @ Regla de las constantes: La derivada de cualquier constante es cero Dxc = 0. Teorema 7.3 Sea f la funcin con regla de correspondencia f(x) = xn, donde n es un entero positivo. entonces f`(x) = nxn?1. Demostración: (x + h)n ? xn f`(x) = lim ??????????????? h?>0 h xn + nxn?1h + [n(n?1)/2]xn?2h2 + … + nxhn?1 + hn ? xn = lim ???????????????????????????????????????????????????????? h?>0

h

= lim {nxn?1 + [n(n?1)/2]xn?2h + . . . + nxhn?2 + hn?1} h?>0 = nxn?1. Donde aplicamos el teorema del binomio de Newton para (x+h)n. @ Regla de las potencias: Dxxn = nxn?1. Hacemos la observación de que esta regla es valida en general para cualquier número real n; y, es este capítulo la probaremos para cualquier número racional. Teorema 7.4 Sea f una funcin y c una constante, entonces si f`(x) existe tenemos [cf(x)] = cf`(x). Demostración: Se deja como ejercicio. Regla del producto por un escalar: Dx[cf(x)] = cDxf(x). Decimos que la derivada de una constante por una funcin es la constante por la derivada de la funcin. 7.3.2 Suma, producto y cociente Teorema 7.5

Si f y g son funciones diferenciables en un intervalo I, entonces f+g es diferenciable en ese intervalo y [f(x) + g(x)] = f`(x) + g`(x),

en I.

Demostración: Sea x un punto cualquiera del intervalo I, entonces [f + g ](x + h) ? [f + g](x) lim ????????????????????????????? h?>0 h f(x + h) + g(x + h) ? f(x) ? g(x) = lim ??????????????????????????????????? h?>0 h f(x + h) ? f(x) g(x + h) ? g(x) = lim {??????????????? + ???????????????} h?>0 h h f(x + h) ? f(x) g(x + h) ? g(x) = lim ??????????????? + lim ??????????????? h?>0 h h?>0 h = f`(x) + g`(x). @ Regla de la suma: Dx[f(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x). La regla establece que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas. El teorema 7.4 puede generalizarse para cualquier número finito de funciones. De esta manera obtenemos otra regla: La derivada de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Con los reglas anteriores podemos fácilmente derivar cualquier funcin polinomial. Ejemplo 7.9 Encuentre la derivada del polinomio con regla de correspondencia f(x) = x7 + 3×5 ? 4×2 + 10x ? 2 Solución. f`(x) = Dx[x7 + 3×5 ? 4×2 + 10x ? 2] = Dx(x7) + Dx(3×5) + Dx(?4×2) + Dx(10x) + Dx(?2) = 7×6 + 15×4 ? 8x + 10. Teorema 7.6 Si f y g son funciones diferenciables en un intervalo I, entonces fg es diferenciable en ese intervalo y [f(x)g(x)] = f(x)g`(x) + g(x)f`(x),

en I.

Demostración: Sea x un punto cualquiera del intervalo I, entonces [fg](x + h) ? [fg](x) f(x + h)g(x + h) ? f(x)g(x) lim ?????????????????????? = lim ??????????????????????????? h?>0 h h?>0 h Sumamos y restamos el término f(x + h)g(x) en el numerador y la expresión anterior, después de reagrupar términos, toma la forma siguiente g(x + h) ? g(x)

f(x + h) ? f(x)

= lim {f(x + h) ??????????????? + g(x) ???????????????} h?>0

h

h

g(x + h) ? g(x)

f(x + h) ? f(x)

= lim f(x + h)lim ??????????????? + lim g(x)lim ??????????????? h?>0

h?>0

h

h?>0

h?>0

h

= f(x)g`(x) + g(x)f`(x); donde usamos que la funcin f es diferenciable y en consecuencia continua en x o sea lim f(x + h) = f(x). h?>0 @ Regla del producto: Dx[f(x)g(x)] = f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x). La regla establece que la derivada del producto de dos funciones diferenciables es la primer funcin por la derivada de la segunda más la segunda funcin por la derivada de la primer funcin. De la regla anterior podemos obtener como caso particular la regla del teorema 7.4 tomando por ejemplo f(x) = c y usando la regla del teorema 7.2. Teorema 7.7 Si f y g son funciones diferenciables en un intervalo I y para toda x en I g(x) 0, entonces f/g es diferenciable en ese intervalo y g(x)f`(x) ? f(x)g`(x) [f(x)/g(x)] = ????????????????????? [g(x)]2 Demostración: f(x + h) f(x) ???????? ? ???? g(x + h) g(x) f(x + h)g(x) ? f(x)g(x + h) lim ??????????????????? = lim ??????????????????????????? h?>0 h h?>0 hg(x + h)g(x)

en este caso sumamos y restamos el término f(x)g(x) en el numerador y reagrupamos los términos para obtener la expresión f(x + h) ? f(x) g(x + h) ? g(x) g(x)[???????????????] ? f(x)[???????????????] h h = lim ??????????????????????????????????????????????????? h?>0 g(x + h)g(x)

f(x + h) ? f(x) g(x + h) ? g(x) g(x)lim[???????????????] ? f(x)lim [???????????????] h?>0 h h?>0 h = ??????????????????????????????????????????????????? limg(x + h)g(x) h?>0 g(x)f`(x) ? f(x)g`(x) = ?????????????????????. [g(x)]2 @ g(x)Dxf(x) ? f(x)Dxg(x) Regla del cociente: Dx[f(x)/g(x)] = ????????????????????????. [g(x)]2 Tenemos que la derivada del cociente de dos funciones diferenciables, es la fracción cuyo denominador es el cuadrado del denominador original y cuyo numerador es el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador. Usando este teorema podemos establecer de inmediato que si f es la funcin con regla de correspondencia f(x) = x?n donde n es un entero positivo y x0, entonces f`(x) = ?nx?n?1. La demostración se deja como ejercicio. De esta manera extendemos la regla de potencias del teorema 7.3 para cualquier entero. Ejemplo 7.10 Encuentre las derivadas de las siguientes funciones: i) F(x) = (3×2 ? 2x)(x5 + 5×2 ? 10) 4×2 ? 7 ii) F(x) = ??????? x?2 Solución. i) Usamos la regla del producto F`(x) = (3×2 ? 2x)`(x5 + 5×2 ? 10) + (x5+ 5×2 ? 10)`(3×2 ? 2x) = (6x ? 2)(x5+ 5×2 ? 10) ? (5×4 + 10x)(3×2 ? 2x) y después de simplificar obtenemos F`(x) = ?9×6 ? 12×5 + 10×2 ? 60x + 20.

ii) Usamos la regla del cociente (x ? 2)(4×2 ? 7) ? (4×2 ? 7)(x ? 2)` F`(x) = ????????????????????????????????????? (x ? 2)2 (x ? 2)8x ? (4×2 ? 7)1 F`(x) = ?????????????????????? (x ? 2)2 y luego de simplificar se obtiene la derivada 4×2 ? 16x + 7 F`(x) = ????????????? . x2 ? 4x + 4 7.3.3 Regla de la cadena. Potencias Las fórmulas anteriores son muy tiles como hemos visto; pero, por mucha la regla más importante para calcular derivadas en cálculo y sus aplicaciones es la Regla de la cadena que se desprende del teorema para la derivada de la composición de dos funciones. Teorema 7.8 Si la funcin g es diferenciable en un intervalo I y f es diferenciable en un intervalo que contiene a la imagen g(I), entonces la composición fog es diferenciables en I y su derivada está dada por [f(g(x))] = f`(g(x)).g`(x) Para la demostración del teorema vamos a considerar el argumento siguiente: Una funcin es diferenciable en un punto x si existe la derivada en dicho punto, es decir f(x + h) ? f(x) f`(x) = lim ??????????????? ; h?>0 h ahora bien definamos la funcin ?O por la regla de correspondencia f(x + h) ? f(x) (h) = ????????????????? ? f`(x) ; h

h0

y donde (0) = 0 por definición. Es fácil ver que ?O es una funcin continua en x = 0. Consideremos f(x + h) ? f(x) lim (h) = lim [????????????????? ? f`(x)] = f`(x)?f`(x) = 0 Y, por lo tanto ?O es continua en x = 0 ya que definimos (0)=0.

h?>0

h?>0

h

Demostración: En el teorema 5.8 demostramos que la imagen de un intervalo bajo una funcin continua es un intervalo. Supongamos ahora que la funcin g tiene como dominio el intervalo I y la funcin f tiene como dominio el intervalo g(I), que es la imagen de g. Nuestra meta es demostrar que el límite (f(g(x +h)) ? f(g(x)) lim ????????????????????? = f`(g(x))g`(x) k?>0 k existe para cualquier numero real x en el intervalo I. Denotamos h(k)= g(x + h) ? g(x); y, como g es diferenciable en el punto x, entonces g es continua en x. Lo anterior implica que la funcin h es continua en 0 y h(0) = 0. Aquí usamos el argumento previo a esta demostración para f(g(x), de esta manera obtenemos f(g(x + h)) = f(g(x)) + h(k) = f(g(x)) + h(k)[f`(g(x)) + (h(k))] y recordemos que (0) = 0 y además es continua en x = 0. Por lo tanto podemos escribir f(g(x +h)) ? f(g(x) g(x + h) ? g(x) ??????????????????? = ???????????????[f`(g(x) + (h(k))], k k y tomamos el límite k?>0 en la expresión anterior observando que lim (h(k)) = (h(0)) = 0 cuando k?>0; y tenemos que (f(g(x +h)) ? f(g(x)) lim ????????????????????? = f`(g(x))g`(x) k?>0 k @ Como consecuencia de la regla de la cadena y de la regla de potencias tenemos el siguiente corolario: Corolario. Si f es diferenciable en un intervalo I, entonces la funcin con regla de correspondencia fn(x) es diferenciable en I y su derivada está dada por [fn(x)] = nfn?1(x).f`(x) para cualquier n en Z. Demostración: (Se deja como ejercicio) Es claro que para n < 0 se debe cumplir que f(x)0 para toda x en el intervalo I. Es conveniente rescribir la regla de la cadena en otras notaciones, por ejemplo sea f la funcin representada por la regla de correspondencia y = f(u); y sea g la funcin representada por u = g(x), entonces Dxf(u) = Duf.Dxu o bien

Dxy = Duy.Dxu; y también dy dy du ?? = ?? ?? dx du dx Ejemplo 7.11 Encuentre la derivada de la funcin con regla de correspondencia h(x) = (2×3 ? 8×2 + 4)?3 Solución. Observemos que h puede representarse como la composición de funciones fog donde f(x) = x?3 g(x) = 2×3 ? 8×2 + 4 Ya que al aplicar la regla [fog](x) = f(g(x)) se obtiene h(x). Para aplicar la regla de la cadena calculamos las derivadas f`(x) = ?3x?4 g`(x) = 6×2 ? 16x y sustituimos en la fórmula h`(x) = [f(g(x))] = f`(g(x)).g`(x) = ?3(2×3 ? 8×2 + 4)?4.(6×2 ? 16x). Podemos resolver este tipo de ejercicios si usamos directamente el corolario a la regla de la cadena, en este caso h(x) = f(g(x)) = g?3(x); y el resultado lo obtenemos sustituyendo directamente en la fórmula [gn(x)] = ngn?1(x).g`(x) h(x) = ?3(2×3 ? 8×2 + 4)?4.(6×2 ? 16x). Podemos combinar las regla anteriores para funciones más complicadas como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.12 Encuentre Dxy: x2 ? 7 4 y = ?????? x+4 Solución. Sea y = f(g(x)) donde f(x) = x4 y u = g(x), esto es y = f(u) = u4 x2 ? 7

g(x) = ?????? x+4 y obtenemos las derivada aplicando la regla de potencias y del cociente Duy = Duf(u) = 4u3 y x2 + 8x ? 7 Dxu = Dxg(x) = ???????????? x2 + 8x + 16 podemos aplicar la fórmula para la regla de la cadena como Dxy = Duy.Dxu = Duf(u).Dxg(x) =

x2 + 8x ? 7 = 4u3 ?????????????? x2 + 8x + 16 x2 ? 7 3 x2 + 8x ? 7 = 4 ?????? ?????????????? . x ? 4 x2 + 8x + 16 Con un poco de práctica en el manejo de las reglas se pueden eliminar algunos de los pasos; pero, siempre debe mantenerse alerta sobre las propiedades que se utilizan. 7.3.4 Inversa. Potencias racionales En el corolario al teorema 7.8 se dejó establecido que la regla de potencias puede generalizarse a cualquier funcin f para cualquier número entero n, es decir [gn(x)] = ngn?1(x).g`(x). Ahora bien, esta fórmula es valida para las potencias racionales r, y vamos a utilizar nuevamente la regla de la cadena para establecer el resultado. Tenemos que si f es una funcin real de variable real, su inversa con respecto a composición f* satisface que [f*of](x) = f(f*(x)) = x [fof*](x) = f*(f(x)) = x y si denotamos las reglas de correspondencia como y=f(x), y x=f*(y) y derivamos con respecto a x en la expresión anterior utilizando la regla de la cadena, obtenemos en ambos casos: dy dx ?? ?? = 1 dx dy

o bien dy 1 ?? = ??????? . dx dx/dy Ejemplo 7.13 Establezca la fórmula para la derivada de f(x) = x1/n, donde n está en Z. Solución: Sea y = f(x) = x1/n, entonces x = yn dx ?? = nyn?1 = n(x1/n)n?1 = nx1 ? 1/n dy luego dy 1 ?? = ? x1 ? 1/n. dx n Observamos que se recupera la regla de potencias y podemos generalizar para cualquier funcin con regla de correspondencia [g(x)]m/n = [g1/n(x)]m ya que g1/n(x) es la composición de funciones f(g(x)) donde f(x) = x1/n. Por lo tanto como extensión del corolario del teorema 7.8 tenemos que [gr(x)] = rgr?1(x).g`(x). es valido para cualquier r en Q. En calculo integral se demostrará la misma fórmula para cualquier número real. 7.3.5 La derivada como operador lineal De los teoremas 7.4 y 7.5 obtenemos la propiedad de linealidad de la derivada: Dx[af(x) + bg(x)] = aDxf(x) + bDxg(x) donde a, b son constantes arbitrarias. También decimos que Dx es un operador lineal. En el capítulo 3 en nuestro estudio del concepto de funcin vimos las propiedades que satisfacen con respecto a las operaciones de suma y producto de funciones. Dicha estructura se denomina espacio vectorial y los operadores lineales son funciones definidas sobre dichos espacios vectoriales; en general, la imagen del operador es otro espacio vectorial no necesariamente el mismo. En este contexto los operadores lineales son de gran importancia por las aplicaciones a la solución de sistemas de ecuaciones lineales y en la solución de ecuaciones diferenciales lineales. A su vez este tipo de problemas surgen en diferentes reas de Ingeniera como circuitos eléctricos, mecánica, teoría de control, etc., por mencionar solo unos ejemplos. Ejercicios. Encuentre f`(x) utilizando las reglas de diferenciación.

1. f(x) = 5×5 ? x4 + 14x ? 25 2. f(x) = 4x?3 + x?1 3. f(x) = (x4 + 1)(x3 ? 3x + 2) 4. f(x) = (x2 + 5x)(15×3 ? 4×2 + 2x) x?1 5. f(x) = ??????? x3 + 3 5×2 + 3x ? 9 6. f(x) = ????????????? x2 ? 12x + 5 Encuentre dy/dx utilizando la regla de la cadena 7. y = (3x ? 8)32 8. y = (2×3 + 1)4 9. y = (3x ? 5)2(x2 + 7x)6 (5x ? 9)3 10. y = ??????????? (7×3 + 1)2 11. y = u2 y u = x2 + 3 12. y = u?3 y u = 2/x 13. y = 2t + 5 y t = x2 ? 1/x 14. y = (4×3 + 5)1/3 15. y = x1/2 ? x?5/7 Encuentre la ecuación de la tangente en el punto indicado: 16. y = x3 + 4×2 ? 3x ? 9; (2,9) 17. y = (x + 2)5(x2 + 1)2; (0,32) 18. y = x(x3 + 1)1/2; (2,6) 19. Demuestre que si f es la funcin con regla de correspondencia f(x) = x?n donde n es un entero positivo y x0, entonces

f`(x) = ?nx?n?1. 20. Demuestre que si f es diferenciable en un intervalo I, entonces la funcin con regla de correspondencia fn(x) es diferenciable en I y su derivada está dada por [fn(x)] = nfn?1(x).f`(x) para cualquier n en Z. 7.4 Derivadas de orden superior De la definición 7.2, donde definimos que la derivada de la funcin f es otra funcin que denotamos como f`, se desprende inmediatamente que esta nueva funcin podrá ser diferenciable. Si este es el caso, a la funcin f” le denominamos la derivada segunda de f. Este proceso puede continuarse en tanto las nuevas funciones así obtenidas sean diferenciables. Es conveniente introducir las diversas notaciones que se utilizan para denotar las derivadas de orden superior dy Derivada primera f`(x) Dxf(x) Dxy ?? dx d2y Derivada segunda f”(x) D2xf(x) D2xy ?? dx2 . . . dny Derivada n?sima f(n)(x) D(n)xf(x) Dnxy ?? dxn Debemos observar que la notación con “primas” no se usa más allá de la derivada tercera y que se requiere de la notación f(n). Con frecuencia decimos que n es el orden de la derivada. En Mecánica es muy común sustituir la notación con “primas” por la notación de “puntos”. En esta, un punto sobre la letra denota la derivada primera y dos puntos sobre la letra denota la derivada segunda. Se recordará que en la sección 7.1 motivamos el concepto de la derivada primera mediante dos de sus interpretaciones. A saber, decimos que f`(x) representa la pendiente de la gráfica de f. De la misma manera diremos que f”(x) representa la pendiente de la grafica de f y así sucesivamente para las derivadas de orden superior. También sabemos que f`(x) representa la razón de cambio instantánea. Por lo tanto, podemos decir que f”(x) representa la razón de cambio instantánea de f y así sucesivamente. Sin embargo, en algunas aplicaciones especificas es preferible definir el termino en particular de que se trate. Por ejemplo, en Mecánica al describir el movimiento de una partícula en movimiento rectilíneo tenemos que la funcin desplazamiento dada por la ecuación x = f(t) nos

permite obtener la velocidad instantánea como la razón de cambio v = x = f`(t). Definimos la aceleración instantánea como la razón de cambio a = v = x” = f”(t). Como un ejemplo adicional podemos considerar la deflexión de vigas. Si denotamos como x la distancia desde uno de los extremos de la viga y la deflexión de una viga por y(x), entonces la pendiente de la curva de deflexión es y`(x), el momento flexionante es EIy”(x), el esfuerzo cortante es EIy”`(x) y la carga vertical w(x) sobre la viga es igual a EIy(4)(x), en donde E representa el modulo de elasticidad e I el momento de inercia de la viga. En cualquier caso la interpretación de las derivadas de orden superior se dan en el contexto del rea particular de aplicación del concepto. Ejemplo 7.14 Encuentre las derivadas de todos los órdenes de la función f(x) = 3×5 ? 4×4 + x3 ? 8x + 2. Solución. Aplicando las fórmulas básicas de la sección anterior tenemos que f`(x) = 15×4 ? 16×3 + 3×2 ? 8 f”(x) = 60×3 ? 48×2 + 6x f”`(x) = 180 x2 ? 96x + 6 f(4)(x) = 360x ? 96 f(5)(x) = 360 f(6)(x) = f(7)(x) = . . . = f(n)(x) = 0. Observemos que f(x) es un polinomio de grado 5 y que tiene derivadas de todos los ordenes y que el dominio del polinomio y de todas sus derivadas es R. Más en, las derivadas de orden mayor que el grado del polinomio son idénticamente cero. (Como establecerá este resultado en general para cualquier polinomio de grado m ?) Teorema 7.9 Polinomio de Taylor. Sea f un polinomio de grado m en (x?a), esto es f(x) = ao + a1(x?a) + a2(x?a)2 + . . . + am(x?a)m; entonces los coeficientes aj; (j = 0,1,2,. . .,m) están dados por la fórmula f(j) aj = ?????? j!

(j = 0,1,2,. . .,m)

Podemos darnos cuenta de que la fórmula para encontrar los coeficientes del desarrollo del polinomio en (x?a) es correcta, de la siguiente, manera: Para obtener ao sustituimos x = a directamente en el polinomio, as f(a) = ao. Derivamos para obtener f`(x) y sustituimos x = a. El resultado es

f`(x) = a1 + 2a2(x?a) + 3a3(x?a)2 + . . . + mam(x?a)m?1 f`(a) = a1. Procedemos de la misma manera para obtener a2. Es decir, f”(x) = 2.a2 + 3.2a3(x?a) + . . . + m(m?1)am(x?a)m?2 f”(a) = 2a2 = 2!a2. Continuamos de esta manera para los demás coeficientes. Se deja como ejercicio establecer la fórmula general por inducción matemática sobre j. Decimos que el desarrollo de f(x) en potencias de (x?a) es el polinomio de Taylor. Pero, nos preguntamos ahora si es posible tener un procedimiento general para desarrollar en potencias de (x?a) cualquier funcin algebraica elemental diferenciable. Supongamos que la funcin algebraica elemental f puede representarse como una serie de potencias de (x?a), es decir f(x) =

am(x?a)m

entonces los coeficientes vienen dados por f(j) aj = ?????? j!

(j = 0,1,2,. . .,m, . . .)

y la serie de potencias f(x) =

f(m) ?????(x?a)m m!

(j = 0,1,2,. . .,m, . . . )

se denomina serie de Taylor para f(x) en x = a y como serie de Maclaurin cuando x = 0. Observemos también que como la serie se forma de la sucesión de sumas parciales, cada una de estas es un polinomio de Taylor. Una cuestión básica es encontrar un intervalo (a?r,a+r) sobre el eje?x denominado intervalo de convergencia, donde la serie de potencias represente a la funcin f. Al número r le denominamos radio de convergencia. Para la mayoría de las series de potencia que aparecen en la práctica el radio de convergencia puede determinarse usando la prueba del cociente. Ejemplo 7.15 Obtenga la serie de Maclaurin para la funcin con regla de correspondencia f(x) = (x + 1)?1. Encuentre el radio de convergencia. Solución. Obtenemos las derivadas sucesivas de la funcin y las evaluamos en x = 0. f(x) = (x + 1)?1 f`(x) = ?(x + 1)?2 f”(x) = 2(x + 1)?3 f”`(x) = ?2.3(x + 1)?4

f(0) = 1 = 0! f`(0) = ?1 = 1! f”(0) = +2 = +2! f”`(0) = ?2.3 = ?3!

. . . f(n)(x) = (?1)n2.3.4…n(x + 1)?1?n

fn(0) = (?1)nn1

Donde introdujimos la fase (?1)n para la derivada n?sima ya que observamos que los signos se van alternando. De esta manera, al sustituir en la fórmula obtenemos f(x) =

(?1)nxn.

Aplicamos la prueba del cociente. Tomamos el valor absoluto de la razón de dos términos consecutivos (?1)nxn n|x| ??????????? = ?????? (?1)n+1xn+1 n+1 luego tomamos el límite de este cociente cuando n??>oo; que en este caso es |x|. La prueba del cociente establece que la serie de potencias converge absolutamente si |x| ‹ 1 y diverge absolutamente si |x| › 1. Por lo tanto el intervalo de convergencia en este caso es (?1,1) o el radio de convergencia es r = 1. Aunque aquí solo hemos bosquejado el tema para ilustrar la utilidad de las derivadas de orden superior, queremos dejar asentado que en las aplicaciones en análisis numérico tienen un papel muy importante, en los temas respectivos de diferenciación, integración, interpolación y otros. Ejercicios. Hallar la derivada que se indica para cada una de las siguientes funciones: 1. f(x) = \/x; f”` 2. f(x) = x(3x?1)1/3; f” 3. y = t + 5t?1; D2ty 4. s(t) = 3t5 ? t3 ? 10; s(4)(t) 5. y = 1/x; dny/dxn 6. Demostrar el teorema 7. por inducción matemática. 7. Utilice el resultado del ejemplo 7. para encontrar la serie de Maclaurin de las siguientes funciones: 7.1 f(x) = 3(4 ? x)?1 3x + 2 7.2 f(x) = ???????????? x2 + x ? 2

8. Utilice el desarrollo del binomio de Newton para obtener el desarrollo en serie de la funcin f(x) = \/1 + x. Obtenga los primeros seis términos de la serie de Maclaurin para la misma funcin y compárese sus resultados. 9. Hallar el polinomio de Taylor de grado 5 para la funcin f(x) = \/x en x = 1. 10. En el problema anterior haga una tabla para comparar los valores de la funcin f en x = 1,2,3,4,5 y los valores obtenidos con el polinomio de Taylor. 7.6 Diferenciales 7.6.1 Interpretación geométrica Una funcin es diferenciable en un punto x si existe la derivada en dicho punto, es decir f(x + h) ? f(x) f`(x) = lim ??????????????? ; h?>0 h ahora bien, definamos la funcin ?O por la regla de correspondencia f(x + h) ? f(x) (h) = ????????????????? ? f`(x) ; h

h0

Y donde (0) = 0 por definición. Es fácil ver que ?O es una funcin continua en x = 0. Por lo anterior podemos escribir el valor de f para cualquier punto x+h en Dom f de la siguiente manera: f(x + h) = f(x) + hf`(x) + h(h) Donde por simplicidad en la notación escribimos (h); pero, debemos observar que los valores de la funcin dependen también del punto x. Si introducimos la notación \f(x) = f(x + h) ? f(x) para denotar el incremento de la funcin f que corresponde al incremento de h en x, la expresión de arriba se escribe simplemente como \f(x) = hf`(x) + h(h). Cuando los valores de la función ?O son suficientemente pequeños o de manera equivalente si h??>0 podemos aproximar el incremento de la funcin por hf`(x), o bien f(x + h) ~_ f(x) + hf`(x). En la siguiente figura ilustramos gráficamente dicha aproximación:

Denominamos a hf`(x) la diferencial de la funcin f y dada su importancia, por ejemplo en ecuaciones diferenciales, introducimos el símbolo df(x) o simplemente df para denotarla. Observemos que h es un número real arbitrario y representa el cambio en x, esto es h = \x. En este caso también introducimos un nuevo símbolo para h y lo representamos por dx y le denominamos diferencial de x. Con estos dos nuevos símbolos podemos representar nuestro resultado como df(x) = f`(x)dx En el caso de que f la denotemos por la ecuación y = f(x) podemos rescribir la expresión de la siguientes formas dy dy = f`(x)dx dy = ?? dx. dx El símbolo dy/dx para la derivada f se introdujo en una de las secciones anteriores como una notación particular para el concepto de derivada como un límite. Este símbolo se debe a Leibnitz; pero, no lo hemos usado en gemaza porque hay una tendencia muy marcada a identificarlo prematuramente como un cociente antes de introducir el significado de los símbolos dy, dx. Ahora bien, la derivada dy/dx es dy \y ?? = lim ??? dx \?>0 \x y solo porque hemos definido dy por la fórmula dy=f`(x)dx a partir de este punto, después de haber madurado un poco el concepto de límite, podemos utilizar en la practica la derivada f`(x) como el cociente de las diferenciales dy/dx siempre que dx0. A pesar de esta disgresión nuestra recomendación es que se mantenga la definición original dy = f`(x)dx para el concepto de diferencial y se mantenga claramente el concepto de derivada sin interpretar las diferentes notaciones introducidas después de la definición. Otro punto que conviene destacar es el hecho de que h=\x=dx es un número real arbitrario. No hay nada en la definición de la diferencial que implique que dx sea un número “peque”. Esta confusión proviene de que en la mayoría de las aplicaciones estamos interesados en el caso en que h?>0 o equivalentemente en dx?>0; sin embargo esto no siempre es necesario. Después de la discusión anterior suponemos que no hay ningún problema para visualizar que podemos traducir directamente las reglas obtenidas en el proceso de diferenciación de funciones para el caso del cálculo de las diferenciales de una funcin. Las reglas son: d© = 0 d(cf) = cdf d(xn) = nxn?1dx d(f + g) = df + dg d(fg) = fdg + gdf gdf ? fdg d(f/g) = ???????????

(c constante) (c constante) (n racional)

g2 d(gn) = ngn?1dg

(n racional)

Y sus demostraciones se dejan como ejercicios. Ejemplo 7.19 Dada la ecuación x2 + 2xy ? 3y3 = 3; encuentre dy/dx utilizando diferenciales. Solución. Tomamos la diferencial en ambos miembros de la ecuación d(x2 + 2xy ? 3y3) = d(3) y aplicamos las fórmulas básicas d(x2) + d(2xy) ? d(3y3) = 0 2xdx + 2xdy + 2ydx ? 9y2dy = 0 dy 2x + 2y ?? = ? ???????? . dx 2x ? 9y2 7.6.2 Error absoluto y relativo La manera como introdujimos la idea de la diferencial de una funcin en esta sección nos hace ver una de sus aplicaciones; o sea su utilidad en las aproximaciones. Con frecuencia nos interesa calcular el incremento de una funcin \f y como una primera aproximación calculamos df. Resulta natural definir |\f ? df| Como el error absoluto. Si comparamos este error con el incremento en la variable independiente \x = dx, definimos la cantidad |\f ? df| ????????????? |\x| como el error relativo. Observe que el error relativo se aproxima a cero cuando \x?>0. Una aplicación concreta la obtenemos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 7.20 Calcule un valor aproximado para \/65 usando la diferencial como una aproximación. Solución. Primero identificamos la funcin f(x) = x1/3 y enseguida podemos tomar x = 64 y \x = dx = 1 de manera que \f = f(64 + 1) ? f(64) df(64;1) de manera que

1 df = f`(x)dx = ? x?2/3dx 3 1 1 df(64;1) = ? (64)?2/3(1) = ??? 3 48 entonces \/65 = f(64 + 1) ~_ f(64) + df(64:1) \/65 ~_ 4 + 0.0208 = 4.0208 Con el mismo número de cifras significativas se obtiene en una calculadora 4.0207. Calcule el error relativo. Ejercicios. 1. Demuestre que la funcin ?O definida en la sección 7.6.1 es continua en h = 0. Encuentre df para cada una de las siguientes funciones: 2. f(x) = \/x (x + 1) 3. f(x) = (3x + 7)5 x?1 4. f(x) = ???????? x3 ? 2 5. f(x) = \/x3 + 3 Use diferenciales para calcular el valor aproximado en cada uno de los siguiente ejercicios y determine el error absoluto y el error relativo. 6. \/85 7. (84)1/4 8. La funcin f está determinada por la regla de correspondencia f(x) = x3 ? 2x + 5. Determine \f para los siguientes valores h = ?0.1, ?0.01, 0, 0.1, 1, 10. En cada caso calcule el error relativo. 9. Demuestre cada una de las fórmulas básicas para diferenciales. 10. Utilice diferenciales para obtener dy/dx en cada una de las siguientes relaciones. Obtenga en cada caso la ecuación de la pendiente y la normal en el punto indicado. 10.1 x3 + y3 = 1 (1,1) 10.2 3×2 + 9y2 = 27 (2,\/15/3)