Informe De Sistemas De Control I

Sistemas de Control I Regulador de altura de parrilla Figueroa, Sergio 9605825-0

Contenido Introducción Objetivos Sección 1.1: Mediciones  Constantes  Momentos de inercia  Magnitudes eléctricas  Constante del lazo de realimentación Sección 2.1: Sistema no compensado  Función de transferencia  Error en estado estacionario  Lugar de raíces  Estabilidad  Respuesta en frecuencia Sección 3.1: Compensación  Diseño del compensador  Error en estado estacionario  Respuesta en frecuencia Conclusión Anexo 1: Imágenes del proyecto de parrilla Anexo 2: Hojas de datos

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Introducción En este trabajo utilizaran los conceptos de control automático, por lo cual se espera que los resultados sean satisfactorios y acordes a lo estipulado desde un punto de vista puramente teórico. Básicamente se desea construir una parrilla, cuya altura se regulara en forma automática en función de un valor previamente fijado (set point), y en función de los cambios de temperatura medidos por el sensor.La meta fundamental es obtener la menor brecha posible entre los resultados teóricos y prácticosLa proyección del sistema terminado se observará en la seccion de datos tecnicos.

Objetivos En cada etapa del trabajo se espera cumplir con los siguientes objetivos:  Determinar los aspectos generales del sistema.  Elaborar un proyecto preliminar.  Deducir el modelo matemático de cada etapa de la parrilla.  Construir el diagrama en bloques.  Realizar una aproximación por un sistema de segundo orden.  Calcular los errores de régimen permanente sin compensación.  Determinar la estabilidad absoluta y relativa. Especificar los límites de estabilidad.  Diagramar el lugar de raíces.  Realizar el análisis en frecuencia.  Establecer los requisitos de funcionamiento.  Diseñar un compensador acorde a los requerimientos propuestos.  Proyectar un modelo físico del sistema y construirlo.  Sacar conclusiones en base a los resultados obtenidos.

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Sección 1.1: Mediciones Relación de transformación n=0,1 que es la relación de transformación entrada-salida según hoja de datos Constantes Antes que nada calculemos la constante de par del motor (Bonfiglioli BS 56A). En base a las hojas de datos del motor obtenemos los siguientes valores: Ktnom < KT< Ktsl → 0,41 (Nm/A) < 0672 (Nm/A) < 0,82 (Nm/A) KT=Mn/In= 0,41 Nm/0,61 Amp= 0,672 Nm/A Donde: Ktnom: constante de par nominal Kt: constante de par Ktsl: constante de par sin carga Como se ve, queda fijado un intervalo de valores que puede tomar K T en función de las condiciones de funcionamiento, por lo que nos pareció una buena aproximación interpolar y tomar un valor más cercano al KTnom.

Por otro lado, se puede deducir que en el sistema de unidades MKS la constante de par es igual a la constante de fuerza contraelectromotríz del motor, por lo tanto: K T =K FEM

Por el lado de los parámetros eléctricos del motor, midiéndolos encontramos que: Ra = 6,25Ω

y que La ≈ 0 Hy

Momentos de inercia y coeficientes de viscosidad El momento de inercia para un cuerpo rígido cilíndrico es: 1 J i = mR 2 2 El momento de inercia del motor se obtiene de la hoja de dato del mismo J m =1.6 ⋅10 −4 Kg ⋅m 2

Por el lado del momento de inercia de la carga, se toma en cuenta que la carga es la parrilla, entonces se toma la ecuación del momento de inercia de una palca rectangular para el cálculo

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Sistemas de Control I Regulador de altura de parrilla Figueroa, Sergio 9605825-0 Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

entonces: Ic =J L =26,6 ⋅10 −6 Kg ⋅m 2

En el diagrama en bloques utilizamos el momento de inercia equivalente, cuya ecuación es: J eq = J L .n 2 + J m + P ⇒ J =1,16 Kg ⋅ m 2

eq

También se tiene en cuenta el momento de inercia térmico del sistema, el cual me introducirá otro término en la función de transferencia. Donde la ecuación del momento de inercia térmico es: P=

ρ= densidad del material.= 0,36 gr/l c= calor especifico del carbón=3,1401 W/gr k= conductividad térmica del carbón=1,29 W/mºK entonces: ρ =1,16(w/ mºK) Por el lado de los coeficientes de viscosidad, hemos despreciado aquél que pertenece al motor por ser demasiado pequeño. N ⋅m Bm ≈ 0 RPM

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Aunque no podíamos hacer lo mismo con el que se presenta en la carga. Para calcularlo, consideramos que en régimen permanente la energía eléctrica se disipa en los rozamientos. Así se pudo plantear (por el principio de conservación de la energía) que:

τ = e(t ).i (t ) = T (t ).ω m = Beq .ω m2 ⇒ Beq = Beq = 95,85 ⋅10 −3

e(t ).i (t ) 0,61Ax.220V = ⇒ ω m2 (1400 RPM ) 2

N ⋅m RPM

Magnitudes eléctricas Según hoja de datos del motor tenemos: In = 0,61A ea = 220V Pn = 0,06kW = 60W

ω RPM = n = 1400rpm Constante del lazo de realimentación Con la relación entre la tensión nominal de operación del motor y su velocidad de giro nominal podemos deducir la constante del lazo de retorno se obtiene por el cociente entre estos dos valores: KR =

220V ⇒ 1400 RPM

K R = 0,155

mV RPM

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Sección 2.1: Sistema no compensado Función de transferencia El diagrama en bloques del sistema modelado es:

Donde el modelo del motor es:

Figura 5

La función de transferencia a lazo abierto es: K T .K fem .n.K r G ( s ).H ( s ) = K s.( sLa + Ra ).( s.J eq + Beq ) donde: J eq = J L .n 2 + J m + J ter Beq = BL .n 2 + Bm Jter=ρ= inercia térmica Reemplazando cada una de las constantes obtenemos la FT. particular de nuestro sistema: G ( s ).H ( s ) = K .

0,005 s 6,2.( s1,16 + 95,85 x10 −3 )

G ( s ).H ( s ) = K .

Operando obtenemos: G ( s ).H ( s ) = K .

0,005 ( s 2 7,22 + s 0,11)

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0,005 s ( s 7,22 + 0,11)

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Hemos prefijado que la ganancia estática sea: K =150

Con el objeto de obtener un factor de amortiguamiento igual a ζ ≈ 0,7

Luego, la función de transferencia a lazo cerrado será: M ( s) = K .

K M K r .rc  B .R + K T .K fem   + K r .K .K M s 2 + s. eq a   R . J a eq  

K T .n como la constante resultante del motor. Ra .J eq Sustituyendo las constantes:

donde se ha definido a K M =

M (s) = K .

0,005 s 2 + 0,134 s + 0,197

Lugar de raíces El lugar de raíces del sistema sin compensar es el siguiente, donde los puntos indican la región de funcionamiento del sistema cuando la ganancia estática se dispone en el valor indicado anteriormente.

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A partir de este gráfico se puede obtener el valor de los diferentes parámetros característicos del sistema como ser de la frecuencia natural no amortiguada, cuyo valor es: ωn = 0,62

rad seg

Analíticamente también se demuestra que, haciendo la relacion entre las raices de la ecuación característica del sistema de segundo orden , podemos obtener el valores ω y calcular el respectivo de ωn . Como la ecuación característica es: s2+2ξωns+ωn Entonces S1,S2=-ξ+jωn√1-ξ2 = -α+jω Como ω= 0,43 rad/seg→ ωn =0,62 rad/seg La respuesta al escalón unitario de este sistema será:

Luego los diferentes parámetros que se pueden obtener a partir de la respuesta al escalón unitario son: π t rebase maximo = ⇒ t rebase maximo = 1seg ωn . 1 − ζ 2 −

πζ 1−ζ 2

Rebase máx =20%

Rebase máx = e ⇒ 1 + 0,7ζ t demora = ⇒ t ωn 0,8 + 2,5ζ t subida = ⇒ t ωn 3 t s ± 4% = ⇒ t ω n .ζ

=2, 42 seg

demora

subida

s ±4%

Estabilidad del sistema -8-

=4,11seg

= 6,8seg

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Para conocer los límites de estabilidad del sistema, recurrimos a las tabulaciones de Routh-Hurwitz que nos permiten obtener el margen de valores de K para los cuales el sistema es estable. La ecuación característica del sistema es: 0,005 1 + G ( s).H ( s ) = 1 + K . = 0 ⇒ s 7,22 +0,11s +0,005.K =0 s.( s 7,22 + 0,11) La tabulación será. 2

S2 S1 S0

7,22 0,11 0,005

0,005 0 0

Como se trabaja para valores de K > 0, nunca se produce un cambio de signo y por lo tanto las raíces son siempre a parte real negativa, con lo cual el sistema nunca se inestabiliza. Respuesta en frecuencia El diagrama de Bode de magnitud y fase correspondiente a nuestro sistema es el que se observa en la siguiente figura:

Figura 8

Estabilidad relativa a partir de Bode. Se puede apreciar a partir del diagrama de fase que el margen de ganancia es infinito, con lo cual, el sistema nunca se hará inestable coincidiendo con lo predicho a partir de Routh-Hurwitz. Así: G.M . =∞

Por otro lado, del diagrama de amplitud se observa que el margen de fase es: -9-

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P.M . = 87°

el cual implica que el sistema tendrá un pequeño rebase, consecuencia de un alto valor del factor de amortiguamiento (recordemos que el margen de fase y el factor de amortiguamiento son directamente proporcionales). Error en régimen permanente Como este es un sistema tipo 1, el único error cuantificable es aquel que se da cuando la entrada es una rampa cuya magnitud se calcula como: R ess = Kv Donde K v = lim sG ( s) H ( s ) s →0

Reemplazando por las ecuaciones obtenidas del sistema físico: 0,005 K v = lim s.150 ⇒ K =6,2seg s →0 s.( s7,22 + 0,11) Luego el error a la rampa unitaria (R = 1) es: 1 e ss = ⇒ e =0,16seg 6,2 seg −1 v

ss

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Sección 3.1: Compensación Diseño del compensador Analizando los datos obtenidos hasta este punto, nos interesaría mejorar la respuesta transitoria del sistema para lograr un menor tiempo de establecimiento y respuesta del sistema a las distintas variaciones. (actualmente es t s = 6 seg ). Esto es posible utilizando un compensador en adelanto. El camino elegido para su diseño será a través del lugar de raíces. Para el diseño del compensador utilizaremos el método de cancelación de polos. Luego se deberá calcular la posición del polo del compensador para que el ángulo neto obtenido desplace el lugar de raíces hacia el punto deseado. a. Las condiciones de diseño son: ζ ≈ 0,8 ; t s = 3seg A partir de estos valores podemos despejar la magnitud de la frecuencia de resonancia: 3 3 3 ts = ⇒ ωn = = ⇒ ωn = 1,25 rad seg ζ .ω n t s .ζ 3seg.0,8 b. La posición de los polos dominantes del sistema compensado será: rad Re{ p c } = −ζω n = −0,8.1,25 ⇒ Re{ p d } = −1 seg Im{ p c } = ω n . 1 − ζ 2 = 1,25. 1 − 0,8 2 ⇒ Im{ p d } = 0,75 Siendo

p d = (−1 ± 0,75)

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Figura 9

c. Observando la figura 6, se deduce que la posición del cero del compensador será: z c = −0,11

el cual coincide con la posición del polo del sistema. Aplicando la condición de ángulo en el punto establecido obtenemos que (observando la figura 9): Θ P1 = Θ Zc = 118,59° ; Θ P2 = 143,13° ; Θ PC = ? (2.i + 1)π = Θ Z c − Θ P1 − Θ P2 − Θ Pc = −Θ P2 − Θ Pc = −143,13° − Θ Pc = −180° ⇒

ΘPc =36,87°

d. La posición del polo del compensador sobre el eje real será: 1   Pc = − + 0,75  ⇒ P = −2,08  tan 36,87°  c

Por lo tanto la función de transferencia del compensador1 será: 1  s+  1 T Gc = −  αs+ 1  αT 

  ⇒   

Gc = −

1 ( s + 0,11) 0,052 ( s + 2,08)

0,11 = 0,052 y T = 3,5 2,08 Utilizando los valores de α y T se ha confeccionado el circuito compensador con los siguientes valores: Con α =

C1 =C2 =10 µ F

T = R1.C1 ⇒ R1 =

3,5 ⇒ 10.10 −6 F

Luego como: zc = pc .α ⇒

R1 =350 KΩ

1 α = R1.C1 R2C2

entonces: R2 = α .R1 = 350 KΩ.0,052 ⇒

R 2 =18,26 KΩ

El circuito que sirve para implementar la función de transferencia del compensador2 es:

1

El modelo del compensador utilizado se ha extraído del libro B. Kuo 7ma edición (Pág. 194-195) Como se observa en la función de transferencia del compensador, ésta está precedida por un signo menos. Esto nos obliga a implementar un amplificador inversor de ganancia unitaria, cuyo propósito sea entregar la tensión del compensador con signo positivo. 2

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Por último, la función transferencia total del sistema compensado será:  s + 0,11  0,005  1   G ( s ).Gc ( s ).H ( s ) = K '. .     0,052   s.( s 7,22 + 0,11)  s + 2,08 

La ganancia estática que requiere el sistema para trabajar en el punto deseado es: K ' =400

El diagrama en bloques de este sistema es:

Error en régimen permanente del sistema compensado

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Como dijimos anteriormente, al modificar la ganancia se modifica el error en régimen permanente. Considerando nuevamente que es un sistema tipo 1 calculamos el error a la rampa unitaria:  s + 0,11  0,005  1   K ' v = lim sG ( s).Gc ( s ).H ( s ) = lim s.400. .  s →0 s →0  0,052   s.( s 7,22 + 0,11)  s + 2,08  K ' v = 18,49 seg −1

Luego, el error será: e ss =0,054 seg

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ANEXO 1

Croquis del Regulador de Altura de Parrilla

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Proyecto nº 1

Proyecto nº2

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ANEXO2

MOTOR: BONFIGLIOLI BS 56 A

TERMOPAR:

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HOJAS DE DATOS DEL MOTOR:

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MODELO: BS 56A

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