Il Formalismo Per La Descrizione Dello Spin

Il Formalismo per la descrizione dello Spin

Vi sono moltissime indicazione di tipo fenomenologico che hanno portato all’ ipotesi dell’ esistenza dello spin dell’ elettrone. A titolo di esempio alcune sono le seguenti: •

Doppietti dello spettro dei metalli alcalini

•

Effetto Zeeman anomalo

•

Esperimento di Stern e Gerlach

Ciò indusse Goudsmit ed Uhlembeck a proporre nel lontano 1925 che si dovesse attribuire all’  elettrone un Momento Angolare Intrinseco o Spin S e corrispondentemente un Momento  Magnetico Intrinseco µs dato dalla relazione:

DS-1)

 e  µs = −2 0 S 2mec

Goudsmit ed Uhlembeck ragionavano nel contesto della vecchia teoria quantistica dell’ atomo, la quale era in sostanza fondata sulle Regole di Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld. Come detto in  precedenza, tale teoria forniva delle regole di quantizzazione per il momento angolare orbitale M .  Il modulo del vettore M poteva assumere i valori l con l = 0,1,2,… (lo si confronti con la quantità

l (l + 1) fornito dalla teoria attuale) e corrispondentemente la sua componente Mz uno

dei 2l+1 valori l . Goudsmit ed Uhlembeck ammisero che simili regole di quantizzazione valessero  anche per lo Spin S dell’ elettrone e che quindi all’ elettrone fosse associato un numero “s”  svolgente, nella determinazione del modulo e dell’ orientazione di S , lo stesso ruolo svolto da “l”  per M . Come conseguenza ogni livello energetico per un elettrone in un atomo, veniva potenzialmente scisso in 2s+1 livelli distinti. Osservato che la coerenza delle regole era salvaguardata anche per “s” semidispari, le caratteristiche dell’ effetto Zeeman anomalo indussero a porre 2s+1 = 2, ovvero: DS-2)

L’ attribuzione all’ elettrone di uno spin con s =

s=

1 2

1 , portò alla formulazione del cosiddetto Modello 2

Vettoriale dell’ atomo. Secondo tale modello il momento angolare orbitale dell’ elettrone che

  spesso viene indicato con L , si compone secondo appropriate regole con lo spin S a dare un

 e0    Momento Angolare Totale J = L + S ed il momento magnetico µL = −

2me c



moto orbitale, si compone con il momento magnetico intrinseco µs = −2

 L , associato al

e0  S dando luogo ad 2mec



un Momento Magnetico Totale µ . E’ importante osservare che l’ idea dello spin si è rivelata particolarmente utile nell’ interpretazione di tutte le proprietà dell’ atomo e della molecola, in particolare ha permesso una formulazione precisa del Principio di Esclusione di Pauli e quindi una  completa comprensione del sistema periodico degli elementi. Si osservi che l’ operatore Sˆ soddisfa ai requisiti generali di un Operatore Momento Angolare, in altre parole: a) Sˆ x , Sˆ y , Sˆ z sono operatori Hermitiani b) Essi soddisfano alle relazioni di commutazione seguenti:

[Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ [Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ [Sˆ , Sˆ ] = i Sˆ

DS-3)

x

y

z

y

z

x

z

x

y

 1 1 c) | Sˆ |2 = Sˆ x 2 + Sˆ y 2 + Sˆz 2 ha il solo autovalore ( + 1) 2 2

2

=

3 4

2

  1  d) Gli autovalori di S • n (dove n è un versore qualsiasi), che sono solo ± , non sono 2 degeneri.  Dalle proprietà c) e d) segue che le componenti di S sono operatori in uno spazio a due  dimensioni. Il fatto che S si debba riferire ad un moto interno dell’ elettrone, indipendentemente dal suo moto traslazionale, porta a postulare la compatibilità delle sue componenti con la posizione ed il momento lineare, ovvero: DS-4)

[ xˆ , Sˆ ] = [ pˆ , Sˆ ] = 0 j

k

j

k

 La componente dello spin su un arbitrario versore n è, quindi, una nuova osservabile non avente

analogo classico e compatibile con ogni osservabile avente analogo classico. Pertanto essa va aggiunta ad un insieme di osservabili compatibili per avere una osservabile massima. Per specificare uno stato |ψ> occorre, in generale, dare le sue ampiezze su tutti i vettori base. Ogni vettore base della teoria che ignora lo spin diviene, ora, due vettori base, poiché per specificare   1  uno stato occorre anche dare l’ autovalore di S • n ( ± ; n è un versore arbitrario che fissa la 2 rappresentazione degli stati di spin). Ciò si esprime dicendo che lo spazio dei vettori di stato è il prodotto diretto (prodotto tensoriale) dello spazio di Hilbert dei vettori di stato senza la variabile si spin e dello spazio a due dimensioni degli stati di spin. Pertanto al posto di ogni componente di |ψ> che si aveva nel formalismo che ignorasse lo spin, si hanno ora due componenti + ed -, una per ognuno dei due assi nello spazio degli spin (ossia per il valore ±

1 2

  di S • n

). Si ha perciò:

DS-5)

 < a |ψ > +   < a |ψ >→   < a |ψ > − 

In particolare nella rappresentazione posizione:

DS-6)

 ψ + ( r )   ψ ( r ) >→    ψ ( r  − )

  le funzioni ψ + ( r )eψ − ( r ) sono le ampiezze sugli stati con spin parallelo o antiparallelo alla  direzione n . La matrice ad 1 colonna e 2 righe data dalla DS-6) si chiama Spinore.