I Fase Control_ii_ecuaciones En Diferencias (3).pptx

DISCRETIZACION DE SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES

1.- DISCRETIZACION DE SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES DIFERENCIALES

• REPRESENTACION GENERAL

2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Sea la Ecuación Diferencial de primer orden 𝑑𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑦 𝑡 , 𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡 Sustituyendo t por kT, donde k toma valores enteros y T es fijo 𝑑𝑦(𝑘𝑇) = 𝑓(𝑦 𝑘𝑇 , 𝑥(𝑘𝑇)) 𝑑𝑡 Recordando la definición de la derivada: 𝑑𝑦(𝑘𝑇) 𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇) 𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇) = lim ≈ 𝑇→0 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇) ≈ 𝑓 𝑦 𝑘𝑇 , 𝑥 𝑘𝑇 𝑇 De aquí se obtiene la ecuación diferencial iterativa de Euler Forward. 𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ 𝒇(𝒚 𝒌𝑻 , 𝒙(𝒌𝑻))

3.- Ejemplo Sea la Ecuación Diferencial de primer orden 𝑑𝑦(𝑡) = −0.1𝑦 𝑡 − 0.05𝑦 2 𝑡 + 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Discretizando 𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ 𝒇(𝒚 𝒌𝑻 , 𝒙(𝒌𝑻))

𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝒚 𝒌𝑻 + 𝑻 ∗ (−0.1𝑦[𝑘𝑇] − 0.05 𝑦 𝑘𝑇

2

+ 𝑥[𝑘𝑇]

Acomodando, la ecuación recursiva resultante será: 𝟐

𝒚[ 𝒌 + 𝟏)𝑻] = 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝑻 𝒚 𝒌𝑻 − 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝒌𝑻

+ 𝑻𝒙[𝒌𝑻]

Podemos escribir también de la forma: 𝒚 𝒌 + 𝟏 = 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝑻 𝒚(𝒌) − 𝟎. 𝟎𝟓 𝒚 𝒌

𝟐

+ 𝑻𝒙(𝒌)

3.1- Ejemplo: Implementación en MATLAB Simulación con MATLAB ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)

N=20; T=1; for i=2:N x(i)=1; y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1)-0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1); end

3.2- Ejemplo: Implementación en MATLAB Simulación con MATLAB ENTRADA PUERTA UNITARIO (T=1 seg)

N=41; T=1; x=[ones(1,(N-1)/2) zeros(1,(N-1)/2+1)]; for i=2:N y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1) - 0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1); end

3.3- Ejemplo: Implementación en LABVIEW Simulación con LABVIEW ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)

N=41; T=1; x=[ones(1,(N-1)/2) zeros(1,(N-1)/2+1)]; for i=2:N y(i)=(1-0.1*T)*y(i-1) - 0.05*T*y(i-1)^2+T*x(i-1); end

3.3- Ejemplo: Implementación en LABVIEW Simulación con LABVIEW ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)

3.3- Ejemplo: Implementación en LABVIEW Simulación con LABVIEW ENTRADA ESCALON UNITARIO (T=1 seg)

3.3- Ejemplo: Implementación en LABVIEW Simulación con LABVIEW ENTRADA PUERTA UNITARIO (T=1 seg)

4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Sea la Ecuación Diferencial de primer orden 𝑑2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑥 𝑡 + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏1 + 𝑏0 𝑥(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sustituyendo t por kT, donde k toma valores enteros y T es fijo Recordando la definición de la derivada: Recordando la definición de la derivada: 𝑑𝑦(𝑘𝑇) 𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇) 𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 − 𝑦(𝑘𝑇) = lim ≈ 𝑇→0 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 𝑑𝑦(𝑘𝑇 + 𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇 + 𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇) 2 − ) − ) 𝑑 𝑦(𝑘𝑇) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = lim ≈ 2 𝑇→0 𝑑𝑡 𝑇 𝑇

4.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 𝑑2 𝑦(𝑘𝑇) 𝑑𝑡 2

𝑑𝑦(𝑘𝑇 + 𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇 + 𝑇) 𝑑𝑦(𝑘𝑇) − ) − ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = lim ≈ 𝑇→0 𝑇 𝑇

𝑑2 𝑦(𝑘𝑇) 𝑦 𝑘𝑇 + 2𝑇 − 2𝑦 𝑘𝑇 + 𝑇 + 𝑦(𝑘𝑇) = 2 𝑑𝑡 𝑇2

3.- Ejemplo

4.- Calculando respuestas dinámicas La respuesta dinámica, es una ecuación de diferencias que en realidad, por si misma es un algoritmo o formula para calcular las respuestas en la forma de funciones de tiempo. Ejemplo: Calcular la respuesta dinámica para la ecuación de diferencias. ℎ 𝐾ℎ 𝑦 𝑘 = 1− 𝑦 𝑘−1 + 𝑢(𝑘 − 1) 𝑇 𝑇 Asumir los parámetros: ℎ = 0.1 , 𝑇 = 1, 𝐾 = 2. La ecuación de diferencia se vuelve: 0.1 2 ∗ 0.1 𝑦 𝑘 = 1− 𝑦 𝑘−1 + 𝑢(𝑘 − 1) 1 1 Asumiremos que la entrada es un impulso de amplitud U en un tiempo discreto k=0, y el valor inicial de y es y0. Podemos calcular las dos primeras respuestas en y de a siguiente forma: 𝑦 1 = 0.9𝑦 0 + 0.2𝑢(0) = 0.9𝑦0 + 0.2𝑈 𝑦 2 = 0.9 0.9𝑦0 + 0.2𝑈 + 0.2 ∗ 0 = 0.81𝑦0 + 0.18𝑈 𝑦 3 = 0.9 0.81𝑦0 + 0.18𝑈 + 0.2 ∗ 0 = 0.729𝑦0 + 0.162𝑈

5.- Calculando respuestas estáticas Para una respuesta estática significa el valor de la constante en estado estacionario de la variable de salida del modelo cuando las variables de entrada tienen valores constantes. La respuesta estática puede ser calculada desde la versión estática de la ecuación en diferencias. La versión estática es obtenida cuando se deja todas las dependencias del tiempo en la ecuación diferencial. Por ejemplo el termino y(k-1) es reemplazado por ys, donde el subindice s es estático. Ejemplo: Calcular la respuesta estática para la ecuación de diferencias. Del ejemplo anterior 𝑦 𝑘 = 0.9𝑦 𝑘 − 1 + 0.2 ∗ 𝑢(𝑘 − 1) La versión estática de la ecuación en diferencias es: 𝑦𝑠 = 0.9𝑦𝑠 + 0.2 ∗ 𝑢𝑠 𝑦𝑠 = 0.9𝑦𝑠 + 0.2 ∗ 𝑈 0.1𝑦𝑠 = 0.2 ∗ 𝑈 𝑦𝑠 = 2 ∗ 𝑈 La salida es el doble de la entrada. Comprobar con un codigo d ematlab ambas respuestas

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Un diagrama de bloques es una representación grafica de un modelo matemático. El diagrama de bloques muestra la estructura del modelo, es decir, como los subsistemas estaban conectados. Además, el diagrama de bloques puede ser representado directamente en una simulación grafica de herramientas como simulink y LabVIEW. La figura muestra los bloques que se usan mas frecuentemente en modelos de ecuaciones en diferencias.

Diagrama de bloques elementales para dibujar modelos de ecuaciones de diferencias.

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Ejemplo 1: Diagrama de bloques de una ecuación de diferencias. El diagrama de bloques para la ecuación para un algoritmo de un filtro pasa bajo mostrado en la figura: 𝑦 𝑘 = 𝑎𝑦 𝑘 − 1 + 1 − 𝑎 𝑢(𝑘)

Diagrama de bloques del algoritmo de un filtro pasa bajo.

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Ejemplo 2: Un sistema LTI(Linear–Invariant-Time) definido por el diagrama d bloques de la figura:

Diagrama de bloques

Es excitado con la señal: 𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4

∗ 𝛿(𝑛 − 2)

a) Obtener la secuencia de muestras x(n) y representela gráficamente. b) Plotear la respuesta impulsional del sistema c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistema.

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: Aquí debemos tener cuidado con este símbolo (*) que significa convolucion y se define de la siguiente manera: ∞

𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 = ෍ 𝑥1 (𝑘)𝑥2 (𝑛 − 𝑘) 𝑘=−∞

a) Obtener la secuencia de muestras x(n) y representela gráficamente. 𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ∗ 𝛿(𝑛 − 2) Entonces primero separamos las dos señales

𝑥1 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ; Usando la formula anterior:

𝑥2 𝑛 = 𝛿(𝑛 − 2)

∞

∞

𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 = ෍ 𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑛 − 𝑘 = ෍ 𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑛 − 𝑘 ∞

𝑘=−∞

= ෍ 2−𝑘 𝑢 𝑘 − 𝑢 𝑘 − 4 . 𝛿(𝑛 − 2 − 𝑘) 𝑘=−∞

𝑘=−∞

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: a) Obtener la secuencia de muestras x(n) y representela gráficamente. 𝑥 𝑛 = 2−𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 4 ∗ 𝛿(𝑛 − 2) ∞

𝑥 𝑛 = ෍ 2−𝑘 𝑢 𝑘 − 𝑢 𝑘 − 4 . 𝛿(𝑛 − 2 − 𝑘) 𝑘=−∞

A simple vista parece complicado, pero es mas simple ya que el impulso solo tiene un valor no nulo en k=n-2, en consecuencia la sumatoria se reduce a: 𝑥 𝑛 = 2−(𝑛−2) 𝑢 𝑛 − 2 − 𝑢 𝑛 − 6 Y ahora esta parte también es sencilla ya que solo tiene cuatro valores que son: 1 1 1 ധ 𝑥 𝑛 = {0, 0,1, , , , 0,0 … } 2 4 8

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: b) Plotear la respuesta impulsional del sistema Si trabajamos con la variable intermedia w(n), obtemnos las ecuaciones de diferencias: 1 𝑤 𝑛 =𝑥 𝑛 − 𝑤 𝑛−1 2 𝑦 𝑛 =𝑤 𝑛 −𝑤 𝑛−1 +𝑤 𝑛−2 Para calcular la salida de este sistema hemos de conocer la respuesta impulsional del mismo ya que, y(n)=h(n)*x(n). Podemos considerar que tenemos dos sistemas en cascada de manera que la salida y(n) viene proporcionada por la convolución de h2(n) con w(n) que es la salida, a su vez la salida del sistema h1(n) entre la entrada x(n), tal como se indica en la figura. Por ello la respuesta impulsional total viene dado por, h(n)=h1(n)*h2(n).

Representación en cascada del diagrama de bloques

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: b) Plotear la respuesta impulsional del sistema La ecuacion diferencial del sistema 1 es: 1 𝑤 𝑛 =𝑥 𝑛 − 𝑤 𝑛−1 2 La respuesta impulsional ocurre cuando 𝑥 𝑛 = 𝛿(𝑛), y si consideramos condiciones iniciales nulas, entonces: 1 ℎ1 𝑛 = 𝛿 𝑛 − ℎ1 𝑛 − 1 2 Realizando iteraciones:

Observando que la expresión general es: 1 ℎ1 𝑛 = − 2

𝑛

𝑢 𝑛

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: b) Plotear la respuesta impulsional del sistema Analizando el segundo sistema, tiene por ecuaciones en diferencias: 𝑦 𝑛 =𝑤 𝑛 −𝑤 𝑛−1 +𝑤 𝑛−2 Si hacemos w 𝑛 = 𝛿 𝑛 ℎ2 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿 𝑛 − 2 Al igual que el caso anterior, dando valores a n, obtenemos:

De este modo la respuesta impulsional será:

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias Solución Ejemplo 2: c) Proponga un procedimiento para calcular la salida del sistema. La salida se puede calcular

𝑦 𝑛 =ℎ 𝑛 ∗𝑥 𝑛 Donde podemos aplicar las propiedades distributivas y de desplazamiento temporal al convolucionar con una 𝛿 𝑛 , si expresamos la entrada como una suma de impulsos retardados. 1 1 1 𝑥 𝑛 =𝛿 𝑛−2 + 𝛿 𝑛−3 + 𝛿 𝑛−4 + 𝛿 𝑛−5 2 4 8 El código matlab se lista a continuación

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias

6.- Diagrama de bloques de modelos de Ecuaciones de Diferencias

CONVOLUCION

Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La función resultante termina siendo un Pulso Triangular).

Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la respuesta al impulso de un condensador para obtener la señal de salida (respuesta del condensador a dicha señal).