Geometrie Formelsammlung A4 Deutsch

Geometrie Formelsammlung

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Lloyd Beeler

Geometrie Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................................. 1 Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Winkel ..................................................................................................................................................... 4 Allgemein ............................................................................................................................................. 4 Einheiten .............................................................................................................................................. 4 Altgrad ............................................................................................................................................................. 4 Neugrad........................................................................................................................................................... 4 Bogenmass...................................................................................................................................................... 4

Dreieck.................................................................................................................................................... 5 Allgemeines Dreieck ............................................................................................................................ 5 Winkel.............................................................................................................................................................. 5 Seitenhalbierende............................................................................................................................................ 5 Mittelsenkrechte .............................................................................................................................................. 5 Winkelhalbierende ........................................................................................................................................... 5 Umkreis/Inkreis................................................................................................................................................ 5 Ähnlichkeit ....................................................................................................................................................... 6 Strecken- Umfang- Flächenverhältnisse.......................................................................................................... 6

Rechtwinkliges Dreieck........................................................................................................................ 6 Pythagoras ...................................................................................................................................................... 6 Euklid Kathetensatz......................................................................................................................................... 6 Euklid Höhensatz............................................................................................................................................. 6 Thaleskreis ...................................................................................................................................................... 6 Ähnlichkeit ....................................................................................................................................................... 6

Gleichschenkliges Dreieck................................................................................................................... 7 Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck............................................................................................... 7 Gleichseitiges Dreieck ......................................................................................................................... 7 Umkreis/Innkreis.............................................................................................................................................. 7

Viereck .................................................................................................................................................... 8 Quadrat ................................................................................................................................................ 8 Rechteck .............................................................................................................................................. 8 Rhombus.............................................................................................................................................. 8 Rhomboid............................................................................................................................................. 8 Trapez .................................................................................................................................................. 9 Sehnenviereck ..................................................................................................................................... 9 Tangentenviereck ................................................................................................................................ 9 Kreis...................................................................................................................................................... 10 Berechnung am Kreis ........................................................................................................................ 10 Winkel am Kreis ................................................................................................................................. 10 Ähnlichkeit am Kreis .......................................................................................................................... 10 Der Sehnensatz............................................................................................................................................. 10 Der Sekantensatz .......................................................................................................................................... 10 Der Sekanten-Tangentensatz........................................................................................................................ 11

Ähnlichkeit ........................................................................................................................................... 12 Streckenteilung .................................................................................................................................. 12 Innere Teilung................................................................................................................................................ 12 Äussere Teilung............................................................................................................................................. 12 Harmonische Teilung..................................................................................................................................... 12

Winkelhalbierende ............................................................................................................................. 12 Innenwinkelhalbierende................................................................................................................................. 12 Aussenwinkelhalbierende.............................................................................................................................. 12

Strahlensätze ..................................................................................................................................... 13 Erster Strahlensatz ........................................................................................................................................ 13 Zweiter Strahlensatz...................................................................................................................................... 13 Dritter Strahlensatz........................................................................................................................................ 13

Mittelwerte.......................................................................................................................................... 13 Arithmetisches Mittel ..................................................................................................................................... 13 Geometrisches Mittel..................................................................................................................................... 13 Harmonisches Mittel ...................................................................................................................................... 13

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Geometrie Stereometrie......................................................................................................................................... 14 Prisma ................................................................................................................................................ 14 Zylinder .............................................................................................................................................. 14 Pyramide ............................................................................................................................................ 14 Kegel .................................................................................................................................................. 14 Kugel .................................................................................................................................................. 14 Rotationskörper.................................................................................................................................. 15 Grundsätzlich:................................................................................................................................................ 15 Kreisquerschnitt:............................................................................................................................................ 15 Dreieckquerschnitt:........................................................................................................................................ 15

Trigonometrie ...................................................................................................................................... 16 Sinus .................................................................................................................................................. 16 Cosinus .............................................................................................................................................. 16 Tangens ............................................................................................................................................. 16 Zusammenhänge ............................................................................................................................... 16 Sinussatz............................................................................................................................................ 16 Cosinussatz ....................................................................................................................................... 16 Vektoren ............................................................................................................................................... 17 Komponentendarstellung ................................................................................................................... 17 Zwei Dimensional: ......................................................................................................................................... 17 Drei Dimensional: .......................................................................................................................................... 17

Komponenten Addition:...................................................................................................................... 17 Komponenten Subtraktion: ................................................................................................................ 17 Komponenten Multiplikation:.............................................................................................................. 18 Komponenten Zerlegung ................................................................................................................... 18 Skalarprodukt..................................................................................................................................... 18

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Geometrie Vorwort

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Geometrie Winkel Allgemein β Nebenwinkel Scheitelwinkel

α + β = 180° α=α

α

α β

β’ l

Stufenwinkel Wechselwinkel

l

l

γ’

l

α = α; β = β; γ = γ; δ = δ l l l l α = γ; β = δ; γ = α; δ = β

β γ

Supplementwinkel Komplementwinkel

α’

δ’

α δ

2 Winkel ergänzen sich auf 180° 2 Winkel ergänzen sich auf 90°

Einheiten Altgrad Taschenrechner “DEG“ Vollwinkel: l

360° ll

1° = 60 = 3600 Neugrad

Taschenrechner “GRAD“ Vollwinkel:

400°

Bogenmass Taschenrechner “RAD“ Vollwinkel:

b=

2π

r ⋅ 2π ⋅ α 360 ° b

b 2π ⋅ α Bogenmass = = r 360 °

α r

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Geometrie Dreieck Allgemeines Dreieck a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc = = 2 2 2 a ⋅ c ⋅ Sin(β) a ⋅ b ⋅ Sin( γ ) b ⋅ c ⋅ Sin(α) A= = = 2 2 2

2

A=

A

Fläche

[m ]

A =ρ⋅s

ρ

Inkreisradius

[m]

s

halber Umfang

[m]

A = s(s − a)(s − b)(s − c ) s=

a+b+c 2

Winkel Innenwinkelsumme

α + β + γ = 180° γ’

Aussenwinkelsumme

α’ + β’ + γ’ = 360°

Beziehungen Innen – und Aussenwinkel

α + β = γ’ α + γ = β’

γ

α’ α

β + γ = α’

α

β

β’

α’

Seitenhalbierende Seitenhalbierende = Schwerlinie sa verläuft vom Punkt A zur Mitte der Seite a Der Schnittpunkt aller Schwerlinien teilt sie im Verhältnis 1:2 Die Schwerlinie halbiert die Fläche des Dreiecks

Mittelsenkrechte Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten ist das Zentrum des Umkreises ρ

Winkelhalbierende wa verläuft vom Punkt A aus und halbiert den Winkel α Der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden ist das Zentrum des Inkreises ρ

Umkreis/Inkreis

a⋅b⋅c 4A a b c 2r = = = Sinα Sin β Sinγ A ρ= s r=

r

Umkreisradius

[m]

ρ

Inkreisradius

[m]

s

halber Umfang

[m]

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Geometrie Ähnlichkeit Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der drei Seiten übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkel übereinstimmen. Strecken- Umfang- Flächenverhältnisse

k=

k=

al bl cl = = a b c

bl

Ul U

Al b

a

cl

A

A A

l

k=

al

c

Rechtwinkliges Dreieck Pythagoras c 2 = a2 + b2

a b c

Kathete Kathete Hypotenuse

[m] [m] [m]

a2 = p ⋅ c

p

Hypotenusenabschnitt

[m]

b = q⋅c

q h

Hypotenusenabschnitt Höhe

[m] [m]

Euklid Kathetensatz

2

Euklid Höhensatz

A

2

hc = p ⋅ q

b

C hc

q

a

c p

Thaleskreis

sC = r =

B

c 2

s

Seitenhalbierende

[m]

r

Umkreisradius

[m]

Ähnlichkeit Die Hypotenusenhöhe des rechtwinkligen Dreiecks teilt dieses in zwei Dreiecke, die untereinander und zum Ausgangsdreieck ähnlich sind.

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Geometrie Gleichschenkliges Dreieck c ⋅ 4 ⋅ a2 − c 2 4

A=

a hc

1 ⋅ 4 ⋅ a2 − c 2 2

hc =

a

c

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

A=

a2 c2 = 2 4

c = a⋅ 2 a=

c

a

c

2 a

c hC = 2

Gleichseitiges Dreieck

A=

a ⋅ h a2 ⋅ 3 = 2 4

h=

a ⋅ 3 2

a

h

a

60°

a = 2⋅

h

60°

a

3

Schwerlinien = Mittelsenkrechten = Höhen = Winkelhalbierenden

Umkreis/Innkreis

r=

a ⋅ 3 3

r

Umkreisradius

[m]

ρ=

a ⋅ 3 6

ρ

Inkreisradius

[m]

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Geometrie Viereck Quadrat 2

A =a e⋅f A = 2

2

A

Fläche

[m ]

U

Umfang

[m]

U =4·a

r ρ

Umkreisradius Inkreisradius

[m] [m]

e = f = a⋅ 2

D

e 2 a ρ = 2

r

=

C

e

a

f

A

a

B

Rechteck A =a·b

D

C

U = 2 · (a + b) e =f= r

2

a +b

e

2

A

e = 2

b

f a

B

Rhombus A =a·h e⋅f A = 2

D

C h

e

ρ =

a

f

U =4·a

h 2

A

a

B

Rhomboid A = a · ha A = b · hb

D

C e

U = 2 · (a + b)

ha

A

a

f a

B

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Geometrie Trapez A =m·h

A U

2

Fläche Umfang

[m ] [m]

U =a+b+c+d D

a+c m = 2

c

C

h

e

m d

b

f A

a

B

Sehnenviereck ε =2·β ζ =2·δ γ

α + γ = 180° β + δ = 180°

δ ε

A=

ζ

(s − a)(s − b)(s − c )(s − d)

β

α

Tangentenviereck a+c=b+d

Inkreisradius

ρ

A = ρ · (a + c) A = ρ · (b + d) U A =ρ· 2

[m]

D c d ρ C

ρ A ρ ρ

b a

B

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Geometrie Kreis Berechnung am Kreis U = 2r ⋅ π A = r2 ⋅ π b = 2r ⋅ π ⋅

α 360°

AS = r2 ⋅ π ⋅ AS =

U r A b

Umfang Radius Fläche Kreisbogen

[m] [m] 2 [m ] [m]

α

Sektorwinkel

[°]

AS

Kreissektor

[m ]

2

α 360°

b⋅r 2

r AS b

Winkel am Kreis β1 = β 2

Peripheriewinkel [°] Sehnentangentenwinkel [°] Zentriwinkel [°]

β γ α

γ = β1 = β2 α = 2 ⋅ β1 = 2 ⋅ β 2

β

M

r

α A

B

γ

Ähnlichkeit am Kreis Der Sehnensatz

D δ

α=δ β=γ PA PC

=

A

P

α

B

β M r γ

PD PB

C

Dreieck ACP ~ Dreieck DBP

Der Sekantensatz

D

C

P

α=δ β=γ

ε

γ B

δ M

β

r

α

PA PC

=

PD PB

A

Dreieck ACP ~ Dreieck DBP

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Geometrie Der Sekanten-Tangentensatz

α=γ PA PC

=

PC C

PB A

Dreieck ACP ~ Dreieck BCP

M α

γ

r β B

ε P

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Geometrie Ähnlichkeit Streckenteilung Innere Teilung m

m : n = ( AB − x ) : x

n

C

A

B

Äussere Teilung m n

m : n = ( AB + x ) : x

B

A

D

Harmonische Teilung m

Innere- und Äussereteilung Im gleichen Verhältnis

n n

C

A

B

D

Winkelhalbierende Innenwinkelhalbierende a:b=u:v

C b

A

γ

/2

γ

a

/2

v

u

B

Aussenwinkelhalbierende a : b = (u + v) : v

γ

C

/2 γ

/2 b

A

v

a

u

B

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Geometrie Strahlensätze Erster Strahlensatz

s2

a:b=c:d

d

c S

a:c=b:d

a b s1

Zweiter Strahlensatz

s2

a : p = (a + b) : q

d

c S

c : p = (c + d) : q

a

p

q b s1

Dritter Strahlensatz

s3

a:d=b:e=c:f d

a:b=d:e

s3

a S

b

e s2

c f s1

Mittelwerte Arithmetisches Mittel

ma =

a+b 2

Geometrisches Mittel

mg = a ⋅ b

Harmonisches Mittel

mh =

2ab a+b

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Geometrie Stereometrie Prisma G = je nach Fläche UG = je nach Fläche M = UG · h O =2·G+M V =G·h

G UG M O V h D

G =D

Grundfläche Umfang der Grundfläche Mantelfläche Oberfläche Volumen Höhe Deckfläche

2

[m ] [m] 2 [m ] 2 [m ] 3 [m ] [m] 2 [m ]

D h G UG

Zylinder 2

G =r ·π UG = 2r · π M = 2r · π · h 2 O = 2r · π + 2r · π · h 2 V =r ·π·h

r

Radius

[m]

D h

G =D

r

G UG

Pyramide S

G = je nach Fläche UG = je nach Fläche M = ∑ aller Seitenflächen O = G + alle Seitenflächen 1 V = ·G·h 3

k h G

s

UG

Kegel

S

2

G =r ·π UG = 2r · π M =r·π·s 2 O =r ·π+r·π·s 1 2 V = ·r ·π·h 3

s h G

r

UG

Kugel 2

O = 4r · π V =

M r

4 3 ·r ·π 3

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Geometrie Rotationskörper Grundsätzlich: M = ML · S L

M ML V SL QA

V = QA · SL

Mantelfläche Mantellinie Volumen Schwerpunktlinie Querschnittfläche

SL

R

2

[m ] [m] 3 [m ] [m] 2 [m ]

ML QA

Kreisquerschnitt: M = 2r · π · 2(R + r) · π 2

V = r · π · 2(R + r) · π

SL

R

r QA

ML

Dreieckquerschnitt: M = a · 2(

V =

a a + r) · π + b · 2r · π + c · 2( + r) · π 2 2

a ⋅b · 2(r + d) · π 2

b

d

c

R a

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Geometrie Trigonometrie Sinus Sin (α) =

Gegenkathe te Hypotenuse

Cosinus Cos (α) =

Ankathete Hypotenuse

Hypotenuse Gegenkathete

Tangens Tan (α) =

90°

Gegenkathe te Ankathete

α Ankathete

Zusammenhänge 2

2

Sin (α) + Cos (α) = 1 Tan (α) =

Sin(α) Cos(α)

Sinussatz a b c = = = 2r Sin(α) Sin(β) Sin( γ )

A =

a 2 ⋅ Sin(β) ⋅ Sin( γ ) 2 ⋅ Sin(α)

r

Umkreisradius

[m]

A

Dreiecksfläche

[m ]

b

α

c

2

β

γ a

Cosinussatz b +c −a 2bc 2

Cos (α) =

2

b

α

c

2

β

γ a

a =

b

α

c

b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos(α)

β

γ a

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Geometrie Vektoren Komponentendarstellung Zwei Dimensional: B

 x − x A   ∆x   =   AB =  B  y B − y A   ∆y 

∆y

A ∆x

Drei Dimensional:

 x B x A   ∆x      AB =  yB − y A  =  ∆y  z     B Z A   ∆z 

Komponenten Addition: Summe zweier Vektoren ist der Vektor vom Anfang des ersten bis zum Ende des zweiten.

s2

s1

 x + x S2   s 3 = s 1 + s 2 =  S1  y S1 + y S 2 

s3 s1 s2

l

l

Alle Vektoren in gleicher Richtung wie der gesuchte Vektor sind positiv.

+ s3

+ s2

x = s1 + s 2 + s 3 + s1

x

Komponenten Subtraktion: Die Differenz zweier Vektoren ist der Vektor vom Ende des ersten bis zum Ende des zweiten.

 x − x S2   s 3 = s 1 − s 2 =  S1  y S1 − y S 2 

s2

s1 s3 s1 s2

l

l

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Geometrie Alle Vektoren in entgegengesetzter Richtung wie der gesuchte Vektor sind negativ.

− s3

− s2 x = − s1 − s 2 − s 3 − s1

x

Komponenten Multiplikation: s1 und s 2 sind kollineare (parallele) Vektoren x ⋅k s 2 = s 1 ⋅ k =  1   y1 ⋅ k   x2  s2  x1 k= =  s1  y 2  y1

k

     

Faktor

s1

s1

k-

k+

[]

s2

Komponenten Zerlegung s1 und s 2 sind nicht kollineare (parallele) Vektoren s 3 = x ⋅ s1 + y ⋅ s 2

s3

Linearkombination

s2

x ⋅ s1

y ⋅ s2

s1 s3

Skalarprodukt a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ Cos(α )

a ⋅ b = ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz

a α

a ⋅ b ⋅ Cos(α) = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z

α = aCos

b

ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz 2

2

2

2

2

ax + ay + az ⋅ bx + by + bz

2

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