Geometrie

Bisectoarea unui unghi. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi. Definitie: Bisectoarea unui unghi este o semidreapta interioara unghiului care determina cu laturile unghiului doua unghiuri congruente.

Teorema: Un punct interior unui unghi apartine bisectoarei unghiului daca si numai daca este egal departat de laturile unghiului.

Teorema: Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente intr-un punct egal departat de laturile triunghiului. Punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi se noteaza cu I si este numit centrul cercului inscris in triunghi.

1

Mediatoarea unui segment. Mediatoarele laturilor unui triunghi. Definitie: Mediatoarea unui segment este dreapta prependiculara pe segment in mijlocul acestuia.

Teorema: Un punct apartine mediatoarei unui segment daca si numai daca este egal departat de capetele segmentului.

Teorema: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente intr-un punct egal departat de varfurile triunghiului. Punctul de intersectie al mediatoarelor laturilor unui triunghi se noteaza cu O si este numit centrul cercului circumscris triunghiului.

2

Unghiuri determinate de doua drepte cu o secanta. Definitie: O dreapta se numeste secanta a doua drepte daca intersecteaza cele doua drepte in puncte diferite.

Doua drepte determina cu o secanta opt unghiuri care imperecheate intr-un anumit mod poarta diferite denumiri dupa pozitiile pe care le ocupa fata de dreptele date.

    

Unghiurile 3 si 5 sau 4 si 6 se numesc alterne interne; Unghiurile 1 si 7 sau 2 si 8 se numesc alterne externe; Unghiurile 3 si 6 sau 4 si 5 se numesc interne de aceeasi parte a secantei; Unghiurile 1 si 8 sau 2 si 7 se numesc externe de aceeasi parte a secantei; Unghiurile 1 si 5, 4 si 8, 2 si 6 sau 3 si 7 se numesc corespondente;

3

Drepte paralele. Criterii de paralelism. Constructia unei drepte paralele cu o dreapta data. Definitie: Doua drepte se numesc drepte paralele daca sunt coplanare si nu au nici un punct comun. Teorema (teorema unghiurilor alterne interne): Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unfghiuri alterne interne congruente, atunci dreptele sunt paralele. Consecinte: 1. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri alterne externe congruente, atunci dreptele sunt paralele. 2. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri corespondente congruente, atunci dreptele sunt paralele. 3. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri interne de aceeasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele. 4. Daca doua drepte determina cu o secanta o pereche de unghiuri externe de aceeasi parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele. 5. Daca doua drepte sunt perpendiculare pe aceeasi dreapta, atunci dreptele sunt paralele.

Axioma paralelelor. Tranzitivitatea relatiei de paralelism. Axioma paralelelor: Fiind data o dreapta si un punct exterior dreptei, exista cel mult o dreapta careia ii apartine punctul si care este paralela cu dreapta data. Teorema 1: Fiind date o dreapta si un punct exterior dreptei, exista o singura dreapta careia ii apartine punctul si care este paralela cu dreapta data. Teorema (tranzitivitatea relatiei de paralelism): Daca doua drepte sunt paralele cu a treia, atunci ele sunt paralele intre ele.

Unghiuri determinate de doua drepte paralele cu o secanta. Criterii de paralelism. Teorema: Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri alterne interne congruente (reciproca teoremei unghiurilor alterne interne). Consecinte: 1. Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri alterne externe congruente. 2. Doua drepte paralele determina cu orice secanta unghiuri corespondente congruente. 3. Doua drepte paralele determina cu o secanta unghiuri interne de aceeasi parte a secantei suplementare. 4. Doua drepte paralele determina cu o secanta unghiuri externe de aceeasi parte a secantei suplementare. Teorema: Doua unghiuri cu laturile paralele sunt congruente sau suplementare. 4

Paralele intersectate de paralele. Linia mijlocie a unui triunghi Teorema: Doua drepte paralele care intersecteaza alte doua drepte paralele determina pe acestea segmente congruente.

Definitie: Se numeste linie mijlocie a unui triunghi segmentul determinat de mijloacele a doua laturi ale triunghiului.

Teorema liniei mijlocii: Linia mijlocie a unui triunghi determinata de mijloacele a doua laturi ale triunghiului este paralela cu cea de-a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.

5

Suma masurilor unghiurilor unui triunghi. Teorema unghiului exterior. Teorema: Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 180º.

Definitie: Un unghi se numeste unghi exterior unui triunghi daca este adiacent cu unul din unghiurile unui triunghi si este suplementar cu el.

Teorema unghiului exterior: Masura unui unghi exterior unui triunghi este egala cu suma masurilor unghiurilor neadiacente cu el.

6

Mediana in triunghi. Concurenta medianelor unui triunghi. Definitie: O mediana a unui triunghi este un segment determinat de un varf al triunghiului si mijlocul laturii opuse.

Teorema (teorema de concurenta a medianelor unui triunghi): Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de concurenta se noteaza cu G, el se numeste centrul de greutate al triunghiului si se afla pe fiecare mediana la doua treimi de varf si o treime de baza.

7

Inaltimea in triunghi. Concurenta inaltimilor unui triunghi. Definitie: O inaltime a unui triunghi este un segment determinat de un varf al triunghiului si piciorul perpendicularei din acel varf pe dreapta ce contine latura opusa varfului.

Notatii:  A’ – piciorul inaltimii din A;  [BC] – baza triunghiului;  [AA’] – inaltimea corespunzatoare bazei [BC]. Teorema (teorema de concurenta a inaltimilor unui triunghi): Dreptele determinate de inaltimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de concurenta se noteaza cu H, el se numeste ortocentrul triunghiului.

8

Proprietatile triunghiului isoscel Definitie: Un triunghi cu doua laturi congruente se numeste triunghi isoscel.

Teorema 1: Daca un triunghi este isoscel, atunci unghiurile alaturate bazei sunt congruente. Teorema 2: Daca doua unghiuri ale unui triunghi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel. Teorema 3: Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este inaltime. Teorema 4: Daca bisectoarea unui unghi al unui triunghi este si inaltime a triunghiului, atunci triunghiul este isoscel. Teorema 5: Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este inaltime, mediana si mediatoare. Teorema 6: Daca mediana bazei este si bisectoarea unghiului opus bazei, atunci triunghiul este isoscel. Teorema 7: Daca unul din varfurile unui triunghi apartine mediatoarei laturii opuse, atunci triunghiul este isoscel, iar mediatoarea este bisectoare, mediana si inaltime.

Simetria fata de o dreapta. Definitie: Doua puncte sunt simetrice fata de o dreapta daca dreapta este mediatoarea segmentului determinat de cele doua puncte. Definitie: O dreapta este axa de simetrie a unei figuri geometrice daca simetricul fiecarui punct al figurii apartine de asemenea acesteia.

Teorema: Oricare ar fi un triunghi isoscel, mediatoarea bazei triunghiului este axa de simetrie a triunghiului. 9

Proprietatile triunghiului echilateral. Definitie: Un triunghi cu toate laturile congruente se numeste triunghi echilateral.

Teorema: Unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente. Consecinta: Orice unghi al unui triunghi echilateral are masura de 6000. Teorema: Daca unghiurile unui triunghi sunt congruente, atunci triunghiul este echilateral.

Proprietatile triunghiului dreptunghic. Definitie: Un triunghi care are un unghi drept se numeste triunghi dreptunghic. Latura care se opune unghiului drept se numeste ipotenuza. Celelalte doua laturi se numesc catete.

Definitie: Un triunghi dreptunghic cu catetele congruente se numeste triunghi dreptunghic isoscel. Teorema: Unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic isoscel au masura de o 45 fiecare. Teorema: Oricare ar fi un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzatoare ipotenuzei este egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei. Teorema reciproca: Daca mediana unui triunghi are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii corespunzatoare, atunci triunghiul este dreptunghic si are ca ipotenuza latura corespunzatoare medianei. Teorema (30-60-90): Oricare ar fi un triunghi dreptunghic cu masura unui unghi de o 30 , cateta ce se opune acestui unghi are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei. Teorema (reciproca teoremei 30-60-90): Daca o cateta a unui triunghi dreptunghic are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul ce se opune catetei are masura de 30o. 10

Relatii intre laturile si unghiurile unui triunghi. Definitie: Un segment [AB] este mai mare decat un segment [CD] si notam [AB] > [CD] daca AB > CD. Un unghi A este mai mare decat un unghi B si notam A > B, daca m(A) > m(B). Teorema: Oricare ar fi un triunghi cu doua laturi necongruente, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.

Teorema (teorema reciproca): Oricare ar fi un triunghi cu doua unghiuri necongruente, unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Consecinte: 1. Lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este mai mare decat lungimea oricarei catete. 2. Dintre doua oblice, cea care are piciorul mai departat de piciorul perpendicularei are lungimea mai mare. Teorema: Suma lungimilor a doua laturi ale unui triunghi este mai mare decat lungimea celei de-a treia laturi. Consecinta: Lungimea oricarei laturi a unui triunghi este mai mica decat suma lungimilor celoralte doua si mai mare decat modulul diferentei lor: |AC-BC| < AB < AC+BC

11