Elektrotechnik Formelsammlung A4 Deutsch

Elektrotechnik Elektrotechnik Formelsammlung

__________________________________________________________________________ 24.05.2007 Lloyd Beeler

Elektrotechnik Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Grundlagen ............................................................................................................................................ 4 Strom.................................................................................................................................................... 4 Strom Dichte ........................................................................................................................................ 4 Spannung............................................................................................................................................. 4 Widerstand ........................................................................................................................................... 4 Drahtwiderstand................................................................................................................................... 4 Temperaturwiderstand ......................................................................................................................... 5 Widerstandsschaltungen...................................................................................................................... 6 Serielle Widerstandsschaltung ............................................................................................................ 6 Parallel Widerstandsschaltung ............................................................................................................ 6 Brückenschaltung ................................................................................................................................ 7 abgeglichen: .................................................................................................................................................... 7 unabgeglichen: ................................................................................................................................................ 7

Spannungs- Strom Quellen .................................................................................................................. 8 Spannungsquelle ................................................................................................................................. 8 Ersatzspannungsquelle........................................................................................................................ 8 Vorgehen: ........................................................................................................................................................ 8

Überlagerungsmethode ....................................................................................................................... 9 Vorgehen: ........................................................................................................................................................ 9

Energie/Leistung ................................................................................................................................. 10 Energie............................................................................................................................................... 10 Leistung.............................................................................................................................................. 10 Anpassung ......................................................................................................................................... 10 Wirkungsgrad..................................................................................................................................... 10 Wärmewiderstand .............................................................................................................................. 10 Ohne Kühlkörper ........................................................................................................................................... 10 Mit Kühlkörper ............................................................................................................................................... 11

Messtechnik ......................................................................................................................................... 12 Spannungserweiterung: ..................................................................................................................... 12 Stromerweiterung............................................................................................................................... 12 Anzeigefehler Analoges Messinstrument .......................................................................................... 12 Kennwiderstand:............................................................................................................................................ 12 Anzeigefehler:................................................................................................................................................ 12

Anzeigefehler Digitales Messinstrument............................................................................................ 12 Spannungsfunktion............................................................................................................................. 13 Frequenz ............................................................................................................................................ 13 Kreisfrequenz..................................................................................................................................... 13 Momentanwert ................................................................................................................................... 13 Effektivwert ........................................................................................................................................ 13 Sinus:............................................................................................................................................................. 13 Rechteck:....................................................................................................................................................... 13 Rechteckimpuls: ............................................................................................................................................ 13 Sägezahn: ..................................................................................................................................................... 13

Gleichrichter ........................................................................................................................................ 14 Glättung:............................................................................................................................................. 14 Siebung: ............................................................................................................................................. 14 Kondensator ........................................................................................................................................ 15 Feldstärke .......................................................................................................................................... 15 Kondensator (Kapazität) .................................................................................................................... 15 Kondensator an konstantem Strom ................................................................................................... 15 Kondensator an Gleichspannung ...................................................................................................... 16 Laden:............................................................................................................................................................ 16 Entladen: ....................................................................................................................................................... 16

Kondensator an Wechselspannung (Sinus) ...................................................................................... 17 Verluste: ........................................................................................................................................................ 17

Kondensatorschaltungen ................................................................................................................... 17 Serie: ............................................................................................................................................................. 17 Parallel:.......................................................................................................................................................... 17

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Spule ..................................................................................................................................................... 18 Durchflutung....................................................................................................................................... 18 Magnetische Feldstärke..................................................................................................................... 18 Magnetischer Fluss............................................................................................................................ 18 Hysteresisschleife .............................................................................................................................. 18 Spule (Induktivität) ............................................................................................................................. 18 Spule an konstanter Spannung ......................................................................................................... 19 Spule an Gleichstrom......................................................................................................................... 20 Einschalten: ................................................................................................................................................... 20 Ausschalten: .................................................................................................................................................. 20

Spule an Wechselstrom (Sinus) ........................................................................................................ 21 Verluste: ........................................................................................................................................................ 21

Spulenschaltungen ............................................................................................................................ 21 Serie: ............................................................................................................................................................. 21 Parallel:.......................................................................................................................................................... 21

Zwei Spulen auf einem Kern:............................................................................................................. 21 Transformator .................................................................................................................................... 22 RLC Schaltungen................................................................................................................................. 23 RC Serieschaltung ............................................................................................................................. 23 RL Serieschaltung.............................................................................................................................. 24 RLC Serieschaltung ........................................................................................................................... 25 Induktiv .......................................................................................................................................................... 25 Kapazitiv ........................................................................................................................................................ 25

RC Parallelschaltung ......................................................................................................................... 26 RL Parallelschaltung .......................................................................................................................... 27 RLC Parallelschaltung ....................................................................................................................... 28 Induktiv .......................................................................................................................................................... 28 Kapazitiv ........................................................................................................................................................ 28

Kompensationsschaltung................................................................................................................... 29 Induktiv............................................................................................................................................... 29 RLC Reihenschwingkreis (Saugkreis)............................................................................................... 30 Bei Resonanzfrequenz (fo) ................................................................................................................ 30 RLC Parallelschwingkreis (Sperrkreis) ............................................................................................. 31 Schaltungsumwandlung..................................................................................................................... 31 Bei Resonanzfrequenz (fo) ................................................................................................................ 31 Passive Filter ....................................................................................................................................... 33 Tiefpass.............................................................................................................................................. 33 Hochpass ........................................................................................................................................... 34 Bandpass ........................................................................................................................................... 35 RC ................................................................................................................................................................. 35

Bandsperre ........................................................................................................................................ 36 RC ................................................................................................................................................................. 36

Verstärkung und Dämpfung ............................................................................................................... 37 Verstärkungsfaktor............................................................................................................................. 37 Verstärkungsmass ............................................................................................................................. 37 Dämpfungsfaktor................................................................................................................................ 37 Dämpfungsmass ................................................................................................................................ 37 Pegel .................................................................................................................................................. 38 Relativer Pegel................................................................................................................................... 38 Absolute Pegel................................................................................................................................... 38 Gewöhnlich.................................................................................................................................................... 38 Antennentechnik............................................................................................................................................ 38

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Vorwort

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Grundlagen Strom ∆Q I= ∆t

I

Strom

[A]

∆Q

Ladungsänderung

[C]

∆t

Vergangene Zeit

[s]

I

Strom

[A]

J

Stromdichte

[

A

Fläche

[mm ]

U

Spannung

[V]

Strom Dichte I J= A 2

(5 – 10A/1mm )

A ] mm 2 2

Spannung +

-

höheres Potential

tieferes Potential

Widerstand R

Widerstand

[Ω]

U R= I

U

Spannung

[V]

I

Strom

[A]

1 G= R

G

Leitwert

[S]

R

Drahtwiderstand

ρ

Spez. Widerstand

l

Drahtlänge

χ

Leitfähigkeit

[Ω] Ω ⋅ mm 2 [ ] m [m] m [ ] Ω ⋅ mm 2

A

Drahtquerschnitt

Drahtwiderstand R=

ρ⋅l A

1 X= ρ

ρKupfer = 0.0179

Ω ⋅ 1mm 1m

2

[mm ]

2

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Temperaturwiderstand ∆R = α · ∆φ · RK

RW = RK + ∆R RW = RK (1 + α · ∆φ) RK = R20 = R1 RW = Rφ = R2 = RX

αKupfer = 0.0039

1 K

∆R

Widerstandsänderung

α

Temp. Koeffizient

∆φ RK RW

Temp. Änderung Kaltwiderstand (20°C) Warmwiderstand

[Ω] 1 [ ] K [K] [Ω] [Ω]

R +α

-α

PTC

NTC φ

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Widerstandsschaltungen Serielle Widerstandsschaltung RGes = R1 + R2 + R3 RGes = UGes · I

RGes Gesamt Widerstand UGes Gesamt Spannung I Strom

[Ω] [V] [A]

U1 R1 = U2 R2 I U1

R1

UGes

U2

R2

U3

R3

Parallel Widerstandsschaltung RGes =

RGes

1 1 1 1 + + R1 R 2 R3

R1 ⋅ R 2 = R1 + R 2

RGes Gesamt Widerstand

[Ω]

IGes

Gesamt Strom

[A]

U

Spannung

[V]

RGes = U · IGes IGes

I1 R 2 = I2 R1 U

I1 R1

I2 R2

I3 R3

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Brückenschaltung abgeglichen:

U1 U3 = U2 U4

U1

R3

U3

R4

U4

0A

UGes

R1 R3 = R2 R 4

R1

U2

R2

unabgeglichen: ► Berechnen mit Ersatzspannungsquelle

RI U1

R3

R1

U3

Uges

UGes

RL

U2

R2

R4

RL

U4

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Spannungs- Strom Quellen Spannungsquelle Ri =

U0 IK

Ri

Innenwiderstand

[Ω]

Ri =

∆URL ∆I

U0

Lehrlaufspannung

[V]

IK

Kurzschlusssrom

[A]

U0 = URL + URi URi I [I] RI

IK

IK

G

RL

URL

U0

Kennlinie

Ri

[U]

U0

Leistungsanpassung bei Ri = RL

Ersatzspannungsquelle zum Schaltungen verreinfachen Vorgehen: 1. Ri berechnen Die Schaltung wird von RL aus angeschaut. Die nun entstandene Widerstandsschaltung bildet Ri. R1

R2

R1

A RL

A

B

R2 B

2. U0 berechnen -Kann mit Überlagerungsmethode berechnet werden (RL kurzschliessen IK berechnen) U0 = Ri · IK (IK = IRL) -Kann mit Spannungspotential berechnet werden (RL unterbrechen Potential über dem Unterbruch A-B bestimmen) U0 = UA-B (bei mehreren Spannungsquellen, Spannungsquellen voneinander abziehen ► ergibt eine) URi I IK RL

URL

U0

RI G

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Überlagerungsmethode Für zwei Spannungsquellen R1

I1

I2

R2

IRL RL

U1

U2

Vorgehen: 1. eine Spannungsquelle wird kurzgeschlossen 2. der gesuchte Strom berechnen I1 U1

l

R1

IRL

l

I2

RL

l

R2

3. die ander Spannungsquelle kurzschliessen 4. der gesuchte Strom erneut berechnen I2 U2

ll

R2

IRL

ll

RL

I1

ll

R1

5. Beide Ströme addieren l

ll

I1 = I1 + I1 l ll I2 = I2 + I2 l ll IRL = IRL + IRL

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Energie/Leistung Energie W =U·I·t

W U I t

Energie Spannung Strom Zeit

[Ws][Nm][J] [V] [A] [s]

P

Leistung

[W]

R

Widerstand

[Ω]

Leistung P =

W t

P =U·I U2 P = R 2 P =I ·R

Anpassung URi

Leistungsanpassung (Pmax) bei RL = Ri

I RI

Spannungsanpassung bei RL > Ri U0

G

RL

URL

Stromanpassung bei RL < Ri

IK

Wirkungsgrad η =

Pab W ab = Pzu W zu

η

Wirkungsgrad

[]

Wärmewiderstand Ohne Kühlkörper RthJU Wärmewiderstand zwischen RthJU =

υ j − υu

Sperrschicht-Umgebug

PV

[

K ] W

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Mit Kühlkörper RthU =

υ j − υu PV

RthU = RthJG + RthG/K + RthK RthU =

1 s⋅A

RthU < RthJU

Sperrschicht

υj

Sperrschichttemp.

[K]

υu

Umgebungstemp.

[K]

PV

Verlustleistung

[W]

RthU

ges. Wärmewiderstand

[

s

Wärmeaustauschkonst.

A

Fläche

K ] W mW [ ] cm 2 ⋅ K 2

[m ]

Sperrschicht

RthJG

RthU

RthG/K

RthK

Umgebung

Umgebung

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Elektrotechnik Messtechnik Spannungserweiterung: IInst.

U RV = U Bereich − U RI

URV G

RV

R

UBereich

U − URI R V = Bereich IInst.

RI

URI

U RI R = I URV R V

Stromerweiterung

RN =

RI

IInst.

IN = IBereich − IInst.

IBereich IN

UInst. IBereich − IInst .

RN

G

R

UInst.

IInst. R N = IN RI

Anzeigefehler Analoges Messinstrument Kennwiderstand:

R KR = I B

RI

Innenwiderstand

[Ω] Ω [ ] V [V]

KR

Kennwiderstand

B

Messbereich

F

Fehler Anzeige

[V] oder [A]

G

Genauigkeitsklasse

[%]

B

Messbereich

[V] oder [A]

P

Messfehler

[%]

A

angezeigter Wert

[V] oder [A]

A

Auflösung

B

Messbereich

(max angezeigter Wert z.B. 19,99)

[]

BA

Anzeigebereich

(max angezeigter Wert überhaupt z.B. 1999)

[]

FA P XA n

absoluter Fehler Fehler angezeigter Messwert Zähler Fehler

Anzeigefehler:

G⋅B F=± 100 F ⋅ 100 P=± A

Anzeigefehler Digitales Messinstrument A=

B BA

 P ⋅ XA  FA = ± + n ⋅ A  100 

[]

[] [%] [V] oder [A] [Digit]

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Elektrotechnik Spannungsfunktion Frequenz f=

1 T

f

Frequenz

[Hz]

T

Periodendauer

[s]

ω

Kreisfrequenz

[Hz]

Ueff u û upp

Effektivwert Momentanwert Spitzenwert Spitzen-Spitzen Wert

[V] [V] [V] [V]

T t

Periodendauer Zeit beim Momentanwert

[s] [s]

i = î ⋅ sin(ω ⋅ t )

Ieff

Effektivwert

[A]

i = î ⋅ sin(360° ⋅ f ⋅ t )

i Î

Momentanwert Spitzenwert

[A] [A]

ti

Impulsdauer

[s]

tp

Pausendauer

[s]

Kreisfrequenz ω = 2π ⋅ f

Momentanwert

û

u

t

Ueff

upp

T

u = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t ) u = uˆ ⋅ sin(360 ° ⋅ f ⋅ t )

Effektivwert Sinus:

U eff =

û 2

Rechteck:

U eff = û Rechteckimpuls:

U eff = û ⋅

ti tp

Sägezahn:

U eff =

û 3

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Elektrotechnik Gleichrichter Glättung

Siebung

Ieff Ueff

Igl Gleichrichter

Filter

Ugl

Glättung:

Einweg

Ueff

Mittelpunkt

Brücken

Ueff

Ugl

Ugl

Ugl =

1.2 ⋅ Ueff

1.3 ⋅ Ueff

1.3 ⋅ Ueff

Igl =

0.5 ⋅ Ieff

0.9 ⋅ Ieff

0.6 ⋅ Ieff

4.8 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

1.8 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

1.8 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

CG

CG

CG

14 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

7 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

7 ⋅ 10 −3 ⋅ Igl

CG

CG

CG

fNetz = 50Hz

2 ⋅ fNetz

2 ⋅ fNetz

UBr =

UBrss =

fBr =

Siebung: RC Siebung

LC Siebung

RS CS

U1

G=

G~

U2

U1

UBr1 UBrss1 = UBr 2 UBrss 2 2

G=

LS

R S + X CS

CS

U2

UBr1 UBrss1 = UBr 2 UBrss 2 X LS + X CS X CS

2

X CS RS = 2π ⋅ fBr ⋅ R S ⋅ C S X CS

X LS 2 = (2π ⋅ fBr ) ⋅ C S ⋅ L S X CS

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Elektrotechnik Kondensator Feldstärke U E= l

U

Spannung

E

Feldstärke

ℓ

Plattenabstand

[V] V [ ] m [m]

ℓ

U

Kondensator (Kapazität) ε ⋅ε ⋅A C= 0 R l -12

As ε0 = 8.859 · 10 Vm εrLuft = 1.0059

C

Kapazität

ε0

Dielektrizitätskonstante

εr

Dielektrizitätstzahl

[F] As [ ] Vm []

A

Plattenfläche

[m ]

∆Q

Ladungsänderung

[As]

∆U

Spannungsänderung

[V]

∆t

vergangene Zeit

[s]

I

Strom

[A]

2

Kondensator an konstantem Strom ∆Q ∆U = C I ⋅ ∆t ∆U = C

I=

∆Q ∆t

U t I t ∆U = Uend - Uanfang

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Kondensator an Gleichspannung t 5

τ = R⋅C =

τ

Zeitkonstante

[s]

uc

Augenblickswert der C Spannung [V]

ic

Augenblickswert des C Stromes

[A]

UE

Eingangsspannung

[V]

I0 t

Strom am Anfang Zeit

[A] [s]

Laden: −t  u c = UE ⋅ 1 − e τ 

  

−t

i c = I0 ⋅ e τ I0 =

UE R

 u  t = − ln1 − c  τ UE  

R

I0 / ic C

UE

uc

ic

uc 1

1 63%

37%

0

0 5τ

t

t

5τ

Entladen: −t

u c = U0 ⋅ e τ i c = I0 ⋅ e I0 =

−t τ

U0 R

uc

Augenblickswert der C Spannung [V]

ic

Augenblickswert des C Stromes

[A]

U0

Kondensatorspannung

[V]

I0 t

Strom am Anfang Zeit

[A] [s]

u  t = − ln c  τ  U0 

R

I0 / ic C

uc

U0 / uc

0

1

37%

5τ

t

37% -1 0 5τ

ic

t

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Kondensator an Wechselspannung (Sinus) 1 C= 2π ⋅ f ⋅ X C

XC

Blindwiderstand

[Ω]

f

Frequenz

[Hz]

iC

uC

φ = 90°

Verluste: Der Verlust eines Kondensators wird mit einem parallelen Widerstand (RP) dargestellt. Für die Berechnung siehe RC Parallelschaltung.

d=

XC RP

d

Verlustfaktor

[]

Q=

RP XC

Q

Gütefaktor

[]

I

IC

IRP

C

RP

U

Kondensatorschaltungen Serie:

C Ges =

1 1 1 1 + + C1 C 2 C 3

Parallel:

C Ges = C 1 + C 2 + C 3

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Elektrotechnik Spule Durchflutung Θ = I⋅N

Θ I N

Durchflutung Spulenstrom Anzahl Windungen

[A] [A] []

l

Mittlere Feldlinienlänge

H

Feldstärke

[m] A [ ] m

Φ B A

Magnetischer Fluss Magnetische Flussdichte Kernquerschnittsfläche

µ0

Feldkonstante

µr

Permeabilitätszahl

Br

Remanenz

Hk

Koerzitivfeldstärke

L

Induktivität

[H] [

AL

Spulenkonstante

[]

Magnetische Feldstärke Θ H= l

Magnetischer Fluss Φ = B⋅A

B = µ0

µr

µ0 = 1.256

[Wb] [Vs] [T] 2 [m ]

H

10

6 Vs Am

µrLuft = 1

Vs ] Am [] [

Hysteresisschleife

B Br Hk

[T] A [ ] m

H

Spule (Induktivität) µ0 ⋅ µr ⋅ A ⋅ N 2 l 2 L = AL ⋅ N

L=

L=

Vs ] A

Φ⋅N I

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Elektrotechnik Spule an konstanter Spannung ∆Φ UI = −N ⋅ ∆t

UI

Induzierte Spannung

[V]

N

Anzahl Windungen

[]

∆t

vergangene Zeit

[s]

∆I UI = −L ⋅ ∆t

L

Induktivität

[H]

UI = U 0

∆Φ

Magnetische Flussänderung

[Wb]

I t U t ∆I = Iend - Ianfang

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Elektrotechnik Spule an Gleichstrom τ=

L t = R 5

τ

Zeitkonstante

[s]

uL

Augenblickswert der L Spannung [V]

iL

Augenblickswert des L Stromes

[A]

UE

Eingangsspannung

[V]

I0 t

Strom am Anfang Zeit

[A] [s]

Einschalten: −t

u L = UE ⋅ e τ

 iL = I0 ⋅ 1 − e  UE I0 = R

−t τ

 i t = − ln1 − L τ I 0 

  

  

R

I0 / i L L

UE

iL

uL

uL

1 1 63% 37% 0 5τ

t

0

t

5τ

Ausschalten: −t   u L = U0 ⋅ 1 − e τ   

uL

Augenblickswert der L Spannung [V]

iL

Augenblickswert des L Stromes

[A]

U0

Kondensatorspannung

[V]

I0 t

Strom am Anfang Zeit

[A] [s]

−t

i L = I0 ⋅ e τ I0 =

U0 R

i t = − ln L τ  I0

  

R

I0 / i L L U0 / uL

iL

0

1

37%

5τ

t

37% -1 0 5τ

uL

t

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Spule an Wechselstrom (Sinus) XL L= 2π ⋅ f

XL

Blindwiderstand

[Ω]

f

Frequenz

[Hz]

uL

iL

φ = 90°

Verluste: Der Verlust einer Spule wird mit einem seriellen Widerstand (RS) dargestellt. Für die Berechnung siehe RL Serieschaltung (9001).

d=

RS XL

d

Verlustfaktor

[]

Q=

XL RS

Q

Gütefaktor

[]

I

RS

L

URS

UL U

Spulenschaltungen Serie:

L Ges = L 1 + L 2 + L 3 Parallel:

L Ges =

1 1 1 1 + + L1 L2 L3

Zwei Spulen auf einem Kern: Miteinander gewickelt:

2

L Ges = L 1 + L 2

2

L1 Miteinander gewickelt Gegeneinader gewickelt

Gegeneinander gewickelt:

2

L Ges = L 1 − L 2

2

L2

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Elektrotechnik Transformator f

Frequenz

[Hz]

P1 P2

Leistung Primärseite Leistung Sekundärseite

[W] [W]

ü

Übersetzungsverhältnis

[]

N

Windungszahl

[]

U

Spannung

[V]

I

Strom

[A]

f1 = f 2 P1 = P2

N U I ü= 1 = 1 = 2 N2 U2 I1 R ü = 1 R2 2

P1

P2

I1

I2

U1

U2 N1

N2

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Elektrotechnik RLC Schaltungen RC Serieschaltung U Ges = Z ⋅ I 2

U Ges = UR + U C

2

UR = R ⋅ I UC = X c ⋅ I R=

UR I

U XC = C I XC =

Z=

1 2π ⋅ f ⋅ C

U Ges I

Z = R2 + XC

2

P = UR ⋅ I

UGes Gesamtspannung UR Spannung über R

[V] [V]

UC

Spannung über C

[V]

Z

Scheinwiderstand

[Ω]

R XC

Widerstand [Ω] kapazitiver Blindwiderstand[Ω]

I

Strom

[A]

φ

Winkel

[°]

Cos φ Leistungsfaktor

[]

f

Frequenz

[Hz]

C S

Kapazität Scheinleistung

[F] [VA]

P

Wirkleistung

[W]

QC

kapazitive Blindleistung

[var]

R

C

UR

UC

I

Q C = UC ⋅ I

UGes

2

S = U Ges ⋅ I =

U Ges = I2 ⋅ Z Z

S = P2 + QC

2

UR (R)

φ

UGes

Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Strom I ist 90° voreilend.

I

UC

(XC)

(Z) P

φ

S QC

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Elektrotechnik RL Serieschaltung U Ges = Z ⋅ I 2

U Ges = UR + U L

2

UR = R ⋅ I UL = X L ⋅ I R=

UR I

U XL = L I X L = 2π ⋅ f ⋅ L

Z=

U Ges I

Z = R 2 + XL

2

UGes Gesamtspannung UR Spannung über R

[V] [V]

UL

Spannung über L

[V]

Z

Scheinwiderstand

[Ω]

R XL

Widerstand [Ω] induktiver Blindwiderstand [Ω]

I

Strom

[A]

φ

Winkel

[°]

Cos φ Leistungsfaktor

[]

f L S

Frequenz Induktivität Scheinleistung

[Hz] [H] [VA]

P

Wirkleistung

[W]

QL

induktive Blindleistung

[var]

R

P = UR ⋅ I

L

I

Q C = UC ⋅ I UR

2

S = U Ges

U ⋅ I = Ges = I 2 ⋅ Z Z

S = P + QL 2

UL UGes

2

Zur Berechnung Trigonometrie verwenden:

UL

(XL)

UGes

- Spannung UL ist 90° voreilend. (Z)

φ

UR

I

(R) QL

S

φ

P

__________________________________________________________________________ 24.05.2007

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik RLC Serieschaltung UGes Gesamtspannung UR Spannung über R

[V] [V]

UX

Spannung Blindelement

[V]

UR = R ⋅ I

Z R X

Scheinwiderstand Widerstand Blindwiderstand

[Ω] [Ω] [Ω]

Z = R2 + X2

I S P

Strom Scheinleistung Wirkleistung

[A] [VA] [W]

Q

Blindleistung

[var]

U Ges = Z ⋅ I 2

U Ges = UR + U X

2

2

S = U Ges ⋅ I =

U Ges = I2 ⋅ Z Z

S = P2 + Q2

R

L

C

UL

UC

I

UR

UGes

Induktiv UL > U C

XL > XC

UL = X L ⋅ I U X = UL − U C X L = 2π ⋅ f ⋅ L X = XL − XC

UL Spannung über L XL induktiver Blindwiderstand φ Winkel Cos φ Leistungsfaktor

[V] [Ω] [°] []

f L QL

[Hz] [H] [var]

Frequenz Induktivität induktive Blindleistung

UL (XL)

Q = QL − QC

UC (XC)

UGes (Z)

UX (X) I

φ UC (XC)

UR (R)

Kapazitiv UC > U L

UC XC C QC

XC > XL

UC = X c ⋅ I U X = U C − UL

Spannung über C [V] kapazitiver Blindwiderstand[Ω] Kapazität [F] kapazitive Blindleistung [var]

UL (XL)

1 2π ⋅ f ⋅ C X = XC − XL

XC =

UR (R)

I

φ

Q = Q c − QL

UC (XC)

UGes (Z)

UX (X) UL (XL)

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik RC Parallelschaltung I Ges

U = = Y ⋅U Z 2

I Ges = IR + I C

2

U = G⋅U R U IC = = Bc ⋅ U XC

IR =

1 G= R 1 BC = XC XC =

Y=

1 2π ⋅ f ⋅ C

1 Z

Y = G2 + BC

2

Gesamtstrom

[A]

IR

Strom durch R

[A]

IC

Strom durch C

[A]

Y

Scheinleitwert

[S]

G

Leitwert

[S]

BC

kapazitiver Blindleitwert

[S]

U

Spannung

[V]

φ

Winkel

[°]

Cos φ Leistungsfaktor

[]

f

Frequenz

[Hz]

C S

Kapazität Scheinleistung

[F] [VA]

P

Wirkleistung

[W]

QC

kapazitive Blindleistung

[var]

IGes

P = U ⋅ IR

IR

Q C = U ⋅ IC S = U ⋅ I Ges =

IGes

IC R

U

C

U2 2 = I Ges ⋅ Z Z

S = P2 + QC

2

IC

(BC)

(Y) IGes

Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: IR

φ

- Strom IC ist 90° voreilend.

U

(G) QC S

φ

P

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik RL Parallelschaltung I Ges

U = = Y ⋅U Z 2

I Ges = IR + IL

2

U = G⋅U R U IL = = BL ⋅ U XL

IR =

1 G= R 1 BL = XL X L = 2π ⋅ f ⋅ L

Y=

1 Z

Y = G2 + BL

2

P = U ⋅ IR

IGes

Gesamtstrom

[A]

IR

Strom durch R

[A]

IL

Strom durch L

[A]

Y

Scheinleitwert

[S]

G

Leitwert

[S]

BL

induktiver Blindleitwert

[S]

U

Spannung

[V]

φ

Winkel

[°]

Cos φ Leistungsfaktor

[]

f C S

Frequenz Kapazität Scheinleistung

[Hz] [F] [VA]

P

Wirkleistung

[W]

QL

induktive Blindleistung

[var]

IGes IR

Q L = U ⋅ IL

IL R

U

L

U 2 = I Ges ⋅ Z Z 2

S = U ⋅ I Ges =

S = P2 + QC

2

IR (G)

φ

IGes

Zur Berechnung Trigonometrie verwenden: - Spannung U ist 90° voreilend.

U

IL

(BL)

(Y) P φ

S QL

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Seite 27

Lloyd Beeler

Elektrotechnik RLC Parallelschaltung I Ges

U = = U⋅ Y Z 2

I Ges = IR + IB IR =

2

U = U⋅G R

Y = G2 + B2

S = U ⋅ I Ges =

U2 2 = I Ges ⋅ Z Z

IGes

Gesamtstrom

[A]

IR

Strom durch R

[A]

IX

Strom Blindelement

[A]

Y

Scheinleitwert

[S]

G B

Leitwert Blindleitwert

[S] [S]

U S P

Spannung Scheinleistung Wirkleistung

[U] [VA] [W]

Q

Blindleistung

[var]

S = P2 + Q2

IGes IR U

IL R

IC L

C

Induktiv IL > I C

IL =

BL > BC

IL BL φ

XL < XC

U = U ⋅ BL XL

Strom durch L induktiver Blindleitwert Winkel

[A] [S] [°]

Cos φ Leistungsfaktor

[]

X L = 2π ⋅ f ⋅ L

f L QL

[Hz] [H] [var]

1 XL

IC

IB = IL − I C

BL =

B = BL − B C

Frequenz Induktivität induktive Blindleistung (BC)

IR

U

(G)

φ

Q = QL − QC IL

(BL)

IGes

(Y)

IB

(B)

IC

(BC)

Kapazitiv IC > I L

IC =

BC > BL

XC < XL

U = U ⋅ BC XC

IC BC C

Strom durch C kapazitiver Blindleitwert Kapazität

[A] [S] [F]

QC

kapazitive Blindleistung

[var]

IB = I C − IL IC

1 XC = 2π ⋅ f ⋅ C 1 BC = XC

(BC) IGes

(Y)

IL

(BL)

(BL)

IB

(B) I

φ

B = BC − BL

IL

IR

(G)

Q = Q c − QL

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Lloyd Beeler

Elektrotechnik Kompensationsschaltung Induktiv Q C = Q1 − Q 2

QC

kapazitive Blindleistung

U2 QC

XC

kapazitiver Blindwiderstand[Ω]

C

Kapazität

XC =

C=

1 2π ⋅ X C

[var]

[F]

P

Leistungsfaktor = Cos(φ2) φ2

Leistungsfaktor: 0.8 bis 0.95

φ1

S2

Q2 QC

Q1

S1

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Seite 29

Lloyd Beeler

Elektrotechnik RLC Reihenschwingkreis (Saugkreis) Bei Resonanzfrequenz (fo) XL = XC

φ = 0°

R = Zo

UR = UGes

fo = fm U Ges I

Zo = R =

fo =

1 2π ⋅ L ⋅ C

1 L= 2 4π ⋅ C ⋅ fo 2

fo Zo

Resonanzfrequenz Scheinwiderstand

[Hz] [Ω]

R

Widerstand

[Ω]

L

Induktivität

[H]

C

Kapazität

[F]

QGes Gesamt Güte

[]

QL

Spulen Güte

[]

b

Bandbreite

[Hz]

1 C= 2 4π ⋅ L ⋅ fo 2 R

L

C

UL

UC

I

Q Ges ≈ Q L QL =

QL =

UR

UL U X X 2π ⋅ fo ⋅ L = C = L = C = U Ges U Ges R V RV RV

UGes

1 L ⋅ RV C UL (XL)

RV fo b= = QL 2π ⋅ L

I

UR = UGes (R = Zo) Amplitudengang siehe Bandsperre.

UC (XC)

Z

fo

Bei Resonanzfrequenz (fo) kleinster Widerstand f

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Seite 30

Lloyd Beeler

Elektrotechnik RLC Parallelschwingkreis (Sperrkreis) Schaltungsumwandlung 2

RP =

XL RS

RS

Serieller Widerstand

[Ω]

GP =

1 RP

RP

Paralleler Widerstand

[Ω]

GP XL

Paralleler Leitwert [S] induktiver Blindwiderstand [Ω]

XL = XL

IGes

RS

IRP C

R

U

L

IL

IC L

C

Bei Resonanzfrequenz (fo) XL = XC

φ = 0°

GP = Yo

IRP = IGes

fo = fm I Ges U U Zo = R P = I Ges Yo = G P =

Yo =

fo =

1 Zo

fo Zo

Resonanzfrequenz Scheinwiderstand

[Hz] [Ω]

Yo

Scheinleitwert

[S]

L

Induktivität

[H]

C

Kapazität

[F]

1 2π ⋅ L ⋅ C

L=

1 4π 2 ⋅ C ⋅ fo 2

C=

1 4π ⋅ L ⋅ fo 2

IC

(BC)

U

IR = IGes

2

(GP = Yo)

Amplitudengang siehe Bandpass.

IL

(BL)

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Seite 31

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Q Ges ≈ Q L QL =

QL =

b=

IL I Ges

=

IC I Ges

=

B Zo Zo B L 2π ⋅ fo ⋅ L = = = C = XL XC Yo Yo RV

QGes Gesamt Güte QL Güte

[] []

b

[Hz]

Bandbreite

1 L ⋅ RV C

RV fo = QL 2π ⋅ L

Z

fo

Bei Resonanzfrequenz (fo) grösster Widerstand f

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Seite 32

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Passive Filter Tiefpass RC

RL

XC =

1 2π ⋅ f ⋅ C 2

Z = R2 + XC  R φ = A tan  XC

V=

X L = 2π ⋅ f ⋅ L Z = R 2 + XL

   

fg =

X φ = A tan L  R

U2 X = C U1 Z

V=

U VDB = 20 ⋅ Log 2  U1

2

  

  

U2 R = U1 Z

U VDB = 20 ⋅ Log 2  U1

1 2π ⋅ R ⋅ C

fg =

Bei fg: R = XC

  

R 2π ⋅ L

bei fg: R = XL

Symbol: R

L C

U1

UR

φ UC = U2

XC

R U2

U1

I

UL

U2

XL

Z

R

UGes = U1

UGes = U1

φ

Z

R

I

UR = U2

fg

f

0dB -3dB -20dB/D -40dB

f

0° 6° -45°

6°

-90°

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Seite 33

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Hochpass RC

RL

XC =

1 2π ⋅ f ⋅ C

Z = R2 + XC X φ = A tan C  R

V=

X L = 2π ⋅ f ⋅ L

2

Z = R 2 + XL  R φ = A tan  XL

  

U2 R = U1 Z

V=

U VDB = 20 ⋅ Log 2  U1

fg =

2

  

  

U2 X = L U1 Z

U VDB = 20 ⋅ Log 2  U1

1 2π ⋅ R ⋅ C

fg =

Bei fg: R = XC

  

R 2π ⋅ L

bei fg: R = XL

Symbol:

C

R R

L

U1

U2

UR = U2

U2

I

R

φ UC

U1

UL = U2

XL

Z

UGes = U1

XC

UGes = U1

Z

R

φ

I

UR

fg

f

0dB -3dB -20dB/D -40dB 90° 6° 45°

6° f

0°

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Seite 34

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Bandpass fo = fm

R1

C1

fgHp < fgTp C2

Ue

R2

Ua

RC

f gHp =

1 2π ⋅ R 2 ⋅ C 1

f gTp =

1 2π ⋅ R 1 ⋅ C 2

fm =

1 2π ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ C 1 ⋅ C 2

(bei R1 = XC2 und R2 = XC1)

fm = f gHp ⋅ f gTp Vmax = 1 +

R1 C1 + R2 C2

Vmax dB = 20 ⋅ Log(Vmax ) b = f gTp − f gHp

U a max =

Ue R C 1+ 1 + 1 R2 C2

fgHp

fm

fgTp

f

0dB

-3dB VmaxdB -20dB/D

-20dB/D

-40dB

90° 45° f

0° -45° -90°

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Seite 35

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Bandsperre R1

fo = fm fgTp < fgHp

C1

R2

Ue

Ua C2

RC

f gHp =

1 2π ⋅ R 2 ⋅ C 1

f gTp =

1 2π ⋅ R 1 ⋅ C 2

fm =

1 2π ⋅ R 1 ⋅ R 2 ⋅ C 1 ⋅ C 2

(bei R1 = XC2 und R2 = XC1)

fm = f gHp ⋅ f gTp

Vmin

R 2 C1 + R1 C2 = R C 1+ 2 + 1 R1 C 2

Vmin dB = 20 ⋅ Log(Vmin ) b = f gHp − f gTp

Ua min

R 2 C1 + R1 C 2 = Ue ⋅ R C 1+ 2 + 1 R1 C 2

fm

fgTp

fgHp

f

0dB

-3dB -20dB/D

-20dB/D

VmindB

-40dB

90° 45° f

0° -45° -90°

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Seite 36

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Verstärkung und Dämpfung Verstärkungsfaktor VU =

U2 UA = U1 UE

VGes = V1 ⋅ V2 ⋅....

V

Verstärkungsfaktor

[]

VU

Spannungsverstärkungsfaktor [ ]

VdB

Verstärkungsmass

Verstärkungsmass VUdB = 10 ⋅ Log(VU ) VUdBGes = VUDB1 + VUDB 2 + ....

[dB]

VUdB Spannungsverstärkungsmass [dB]

Dämpfungsfaktor AU =

U1 U = E U2 UA

A Ges = A 1 ⋅ A 2 ⋅....

A

Dämpfungsfaktor

[]

AU

Spannungsdämpfungsfaktor

[]

AdB

Dämpfungsmass

[dB]

Dämpfungsmass A UdB = 10 ⋅ Log(A U ) A dBGes = A dB1 + A dB 2 + ....

AUdB Spannungsdämpfungsmass

U A dB = 20 ⋅ Log 1  U2 U VdB = 20 ⋅ Log 2  U1

V=

A= Spannung Strom Leistung

V=

U1 A V=

  

A dB = 20 ⋅ Log(A )

1 A

A=

VdB = 20 ⋅ Log(V ) Verstärkungsfaktor

Dämpfungsfaktor

U2 =

  

U2 U1

U1 U2

[dB]

1 V

V = 10

U2 U1

A dB = − VdB

Verstärkungsmass VdB 20

Dämpfungsmass

VdB = − A dB

A = 10

VdB 20

VdB U2 = 10 20 U1 VdB U1 = 10 20 U2

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Seite 37

Lloyd Beeler

Elektrotechnik Pegel  U p u = 20 ⋅ Log  U0

   

pU

Spannungspegel

[dB]

U

Messspannung

[V]

U0

Bezugsspannung

[V]

pr

rel. Spannungspegel

[dBr]

U

Messspannung

[V]

Ue

Eingangsspannung [V] (immer gleiche Spannung)

pa

abs. Spannungspegel

[dBm]

U

Messspannung

[V]

pa

abs. Spannungspegel

[dBµV]

U

Messspannung

[V]

Relativer Pegel  U p r = 20 ⋅ Log  UE

  

Absolute Pegel Gewöhnlich

 U  p a = 20 ⋅ Log   0.775 V 

Antennentechnik

 U   p u = 20 ⋅ Log  1µV 

UE

U1

U2

U3

pr0

pr1

pr2

pr3

pa0

pa1

pa2

pa3

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Seite 38

Lloyd Beeler