Mathe Formelsammlung A4 Deutsch

Mathematik Formelsammlung

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Lloyd Beeler

Mathematik Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................................. 1 Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Zahlenmengen ....................................................................................................................................... 4 Natürliche Zahlen (N)........................................................................................................................... 4 Natürliche Zahlen inkl. Null (N0)........................................................................................................... 4 Ganze Zahlen (Z)................................................................................................................................. 4 Rationale Zahlen (Q)............................................................................................................................ 4 Reelle Zahlen (R) ................................................................................................................................. 4 Faktorzerlegung..................................................................................................................................... 5 Ausklammern ....................................................................................................................................... 5 1. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 2. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 3. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 Binom hoch n Pascalsches Dreieck .................................................................................................... 5 n

bei: (a + b) ...................................................................................................................................................... 5 n bei: (a - b) ....................................................................................................................................................... 5

Pröbeln................................................................................................................................................. 5 Trinome ................................................................................................................................................ 5 Potenzen................................................................................................................................................. 6 Bezeichnungen .................................................................................................................................... 6 Grundlagen .......................................................................................................................................... 6 Achtung: .......................................................................................................................................................... 6

Addition und Subtraktion...................................................................................................................... 6 Achtung: .......................................................................................................................................................... 6 Ausklammern................................................................................................................................................... 6 Gemeinsamer Nenner ..................................................................................................................................... 6

Multiplikation ........................................................................................................................................ 6 Achtung: .......................................................................................................................................................... 6

Division................................................................................................................................................. 7 Achtung: .......................................................................................................................................................... 7

Potenzieren .......................................................................................................................................... 7 Achtung: .......................................................................................................................................................... 7

Wurzeln................................................................................................................................................... 8 Bezeichnungen .................................................................................................................................... 8 Achtung: .......................................................................................................................................................... 8

Grundlagen .......................................................................................................................................... 8 Addition und Subtraktion...................................................................................................................... 8 Multiplikation ........................................................................................................................................ 8 Division................................................................................................................................................. 8 Radizieren ............................................................................................................................................ 8 Achtung: .......................................................................................................................................................... 8

Logarithmus ........................................................................................................................................... 9 Bezeichnungen .................................................................................................................................... 9 Achtung: .......................................................................................................................................................... 9 Systeme........................................................................................................................................................... 9

Addition ................................................................................................................................................ 9 Subtraktion ........................................................................................................................................... 9 Achtung: .......................................................................................................................................................... 9

Multiplikation und Division.................................................................................................................... 9 Potenzieren und Radizieren................................................................................................................. 9 Zahl in einen Logarithmus verwandeln ................................................................................................ 9 Spezialfälle........................................................................................................................................... 9 Bruch Gleichungen ............................................................................................................................. 10 Allgemein ........................................................................................................................................... 10 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 10 Achtung: ........................................................................................................................................................ 10

Quadratische Gleichungen................................................................................................................. 11 Allgemein ........................................................................................................................................... 11

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Mathematik Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 11 Rein Quadratische Gleichung........................................................................................................................ 11 Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied.............................................................................................. 11 Lösungsformel ............................................................................................................................................... 11

Satz von Vièta .................................................................................................................................... 11 Wurzel Gleichung ................................................................................................................................ 12 Allgemein ........................................................................................................................................... 12 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 12 Achtung: ........................................................................................................................................................ 12

Exponential Gleichungen ................................................................................................................... 13 Allgemein ........................................................................................................................................... 13 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 13 Achtung: ........................................................................................................................................................ 13

Logarithmus Gleichungen .................................................................................................................. 14 Allgemein ........................................................................................................................................... 14 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 14 Gleichungen mit mehreren Unbekannten ......................................................................................... 15 Zwei Unbekannte ............................................................................................................................... 15 Additionsmethode.......................................................................................................................................... 15

Drei Unbekannte ................................................................................................................................ 15 Additionsmethode.......................................................................................................................................... 15

Lineare Funktion.................................................................................................................................. 16 Bezeichnungen .................................................................................................................................. 16 Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse ............................................................................................. 16 Schnittpunkt auf der y-Achse ............................................................................................................. 16 Minima / Maxima................................................................................................................................ 16 Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten ............................................................................ 16 Spezialfall........................................................................................................................................... 17 Graph ................................................................................................................................................. 17 Quadratische Funktion ....................................................................................................................... 18 Bezeichnungen .................................................................................................................................. 18 Nullstelle(n) Schnittpunkt auf der x-Achse......................................................................................... 18 Schnittpunkt auf der y-Achse ............................................................................................................. 18 Minima / Maxima................................................................................................................................ 18 Funktionsgleichung berechnen aus drei Punkten.............................................................................. 19 Funktionsgleichung berechnen aus einem Punkt und dem Minima/Maxima .................................... 19 Transformation................................................................................................................................... 19 Spiegelung an der x-Achse............................................................................................................................ 19 Spiegelung an der y-Achse............................................................................................................................ 19 Verschieben in x-Richtung............................................................................................................................. 19 Verschieben in y-Richtung............................................................................................................................. 19

Graph ................................................................................................................................................. 20 Exponentiale Funktion ........................................................................................................................ 21 Bezeichnungen .................................................................................................................................. 21 Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse ............................................................................................. 21 Minima / Maxima................................................................................................................................ 21 Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten ............................................................................ 21 Funktionsgleichung berechnen aus Prozentangaben ....................................................................... 22 Achtung: ........................................................................................................................................................ 22

Graph ................................................................................................................................................. 22 Transformation von Funktionen ........................................................................................................ 23 Verschiebung auf der x-Achse........................................................................................................... 23 Achtung: ........................................................................................................................................................ 23

Verschiebung auf der y-Achse........................................................................................................... 23 Spiegelung an der x-Achse................................................................................................................ 23 Spiegelung an der y-Achse................................................................................................................ 23 Achtung: ........................................................................................................................................................ 23

Streckung/Stauchung in x-Richtung .................................................................................................. 23 Achtung: ........................................................................................................................................................ 23

Streckung/Stauchung in y-Richtung .................................................................................................. 23

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Mathematik Vorwort

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Mathematik Zahlenmengen Natürliche Zahlen (N)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Natürliche Zahlen inkl. Null (N0)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

√5

π

2

3

Ganze Zahlen (Z)

-4

-3

-2

Rationale Zahlen (Q) -1⁄2 -4

-3

-2

-1

0.5 0

Reelle Zahlen (R)

-1⁄2 -4

-3

-2

-1

0.5 0

1

4

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Mathematik Faktorzerlegung Ausklammern a(b + c) = ab + ac

1. Binomische Formel 2

2

2

(a + b) = a + 2ab + b

(a + b) = (b + a)

2. Binomische Formel 2

2

2

2

(a - b) = a – 2ab + b

(a - b) = (b - a)

2

3. Binomische Formel 2

2

(a + b)(a - b) = a – b

Binom hoch n Pascalsches Dreieck bei: (a + b)

n

n=1

1a + 1b

n=2

1a + 2ab + 1b

n=3

1a + 3a b + 3ab + 1b

2

3

4

n=4

bei: (a - b)

2

2

2

3

3

2 2

3

4

1a + 4a b + 6a b + 4ab + 1b n

n=1

1a - 1b

n=2

1a - 2ab + 1b

n=3

1a - 3a b + 3ab - 1b

2

3

4

n=4

2

2

2

3

2 2

3

3

4

1a - 4a b + 6a b - 4ab + 1b

Pröbeln (a + b)(a + c) (a + b)(a - c) (a - b)(a + c) (a - b)(a - c)

2

= a + a(b + c) + bc 2 = a + a(b - c) - bc 2 = a + a(c - b) - bc 2 = a + a(-b - c) + bc

Trinome 2

(a + b + c) 2 (a + b - c) 2 (a - b - c)

2

2

2

= a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc 2 2 2 = a + b + c + 2ab - 2ac - 2bc 2 2 2 = a + b + c - 2ab - 2ac + 2bc

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Mathematik Potenzen Bezeichnungen an = c

a n c

Basis Exponent Potenzwert

Grundlagen a0 = 1

a −m =

1 am

m

a n = n am Achtung:

(− a)

n

≠ −a n

− a n ist immer negativ

k ⋅ a n ≠ (k ⋅ a )

(ka)

n

n

= k n ⋅ an

Addition und Subtraktion Nur möglich mit gleicher Basis und Exponent

Achtung: a2 − b2

ist ein Binom

Ausklammern Immer den kleinsten Exponenten ausklammern x 2 + x 5 − x 7 = x 2 (1 + x 3 − x 5 )

Gemeinsamer Nenner Immer den grössten Exponenten als gemeinsamer Nenner 1 1 1 x3 + x2 − 1 + 3 − 5 = 2 x x x x5

Multiplikation a m ⋅ a n = a ( m+n)

a m ⋅ b m ⋅ c m = (abc )

m

Achtung:

(a + b )

2

ist ein Binom

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Mathematik Division am = a ( m −n ) an an  a  =  bn  b 

n

Achtung: n

an an  a  = n n   = n (b ⋅ c ) b ⋅ c b⋅c 

Potenzieren

(a )

m n

= a ( m⋅n )

Achtung:

(a + b ) (a − b)

2

2

( a) n

m

sind Binome

= n am

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Mathematik Wurzeln Bezeichnungen n

a =c

a n c

Basis (Radikand) Wurzelexponent Wurzelwert

Achtung: a≥0

Die Basis darf nicht negativ sein

Grundlagen m n

am = a n

Wurzeln zum rechnen immer in Potenzen umwandeln

Addition und Subtraktion Nur möglich mit gleichem Radikand und Wurzelexponent

Multiplikation ( m+n )

m

a ⋅n a =

m

a ⋅ m b ⋅ m c = m abc

a

Division m

a

n

a

n

a

n

= ( m −n ) a

=n

b

a b

Radizieren n m

a = m n a = ( n⋅m ) a

Achtung:

( a) n

m

= n am

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Mathematik Logarithmus Bezeichnungen Log a (b ) = c

a b c

Basis Numerus Logarithmus

Achtung: b>0

Der Numerus darf nicht null oder negativ sein

Systeme

Log 2 (b)

= lb(b)

Binär Logarithmus

Log e (b)

= ln(b)

Natürlicher Logarithmus

Log10 (b) = lg(b)

Zehner Logarithmus

Addition Log a (u) + Log a ( v ) = Log a (u ⋅ v )

Subtraktion u Log a (u) − Log a ( v ) = Log a ( ) v Achtung:

 u  Log a (u) − n ⋅ Log a ( v ) = Log a  n  v 

Das Minus steht nur für den Bruch und deshalb ist n positiv

Multiplikation und Division Kann nichts gemacht werden

Potenzieren und Radizieren r ⋅ Log a (u) = Log a (u r )  1 1 ⋅ Log a (u) = Log a  u r  = Log a r  

( u) r

Zahl in einen Logarithmus verwandeln z ⇒ Log a

= Log a (a z )

Spezialfälle Log a (1) = 0

Jeder Logarithmus mit Numerus 1, ist gleich 0

a Loga ( b ) = b

Ist die Basis des Logarithmus gleich der Basis der Potenz, heben sie sich auf

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Mathematik Bruch Gleichungen Allgemein Bei einer Bruchgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Therms vor.

Lösungsverfahren b c = x−a x bx = c (x − a )

HN: x(x − a )

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann mit dem Hauptnenner multiplizieren (Gleichung bruchfrei machen) Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

Achtung: Die Unbekannte darf im Nenner niemals null ergeben!

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Mathematik Quadratische Gleichungen Allgemein Bei einer Quadratischen Gleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal als Basis einer Potenz vor.

Lösungsverfahren Rein Quadratische Gleichung Die Wurzel kann direkt gezogen werden

x2 = c

x=± c Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied ax 2 + bx = 0

Die Gleichung auf einer Seite gleich null setzen

x(ax + b )

x Ausklammern

Lösungsformel ax 2 + bx + c = 0

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

Die Gleichung auf einer Seite gleich null setzen

Lösungsformel einsetzen

D = b 2 − 4ac

D

Diskriminante

→ zwei Lösungen → eine Lösung → keine Lösungen

D>0 D=0 D<0

Satz von Vièta Mit Hilfe des Satzes von Vièta kann die Quadratische Gleichung so bestimmt werden, dass die Lösungen in einem bestimmten Abstand oder Verhältnis zueinander stehen.

x1 + x 2 = −

x1 ⋅ x 2 =

b a

c a

x1

Lösung der 1. Gleichung

x2

Lösung der 2. Gleichung

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Mathematik Wurzel Gleichung Allgemein Bei einer Wurzelgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal als Basis in einer Wurzel vor.

Lösungsverfahren x+a =b

...2

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann die Gleichung quadrieren

x + a = b2 Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen 2

x =b −a

Achtung: Eine Wurzel ist niemals negativ!

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Mathematik Exponential Gleichungen Allgemein Bei einer Exponentialgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Exponenten vor.

Lösungsverfahren ax = b

Log

x ⋅ Log(a ) = Log(b )

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann logarithmieren Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

x=

Log(b ) Log(a )

Achtung: Ein Logarithmus ist niemals negativ!

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Mathematik Logarithmus Gleichungen Allgemein Bei einer Logarithmusgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Numerus vor.

Lösungsverfahren Log(x + a ) = b x + a = 10 b

Exp

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann exponieren Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

x = 10 b − a

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Mathematik Gleichungen mit mehreren Unbekannten Zwei Unbekannte Additionsmethode

15 x + 2 y = 126 3 x − 4 y = 12 ⋅ ( −5)

Eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, so dass bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte weg fällt

15 x + 2y = 126 − 15 x + 20 y = −60

Gleichungen zusammenzählen

22 y = 66 Gleichung nach Unbekannter auflösen

y=3 3 x − 4 ⋅ 3 = 12 x=8

Das erhaltene Resultat in eine anfängliche Gleichung einsetzen und nach der zweiten Unbekannten auflösen

Drei Unbekannte Additionsmethode

7 x − 3 y − 11z = 38 9 x + 2y − 60 z = 4 1x − 1y − 1z = 2 ⋅ 2 ⋅ ( −3)

Eine Gleichung mit einer Zahl oder zwei Zahlen multiplizieren, so dass beim addieren von jeweils zwei Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Als Resultat sollten noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten übrig bleiben

11x − 62z = 8 ⋅ 4 4 x − 8z = 32 ⋅ ( −11)

Eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, so dass bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte weg fällt

−160 z = −320 z=2

Gleichung nach Unbekannter auflösen

4 x − 8 ⋅ 2 = 32 x = 12

Das erhaltene Resultat in eine Gleichung mit zwei Unbekannten einsetzen und nach der zweiten Unbekannten auflösen

1 ⋅ 12 − y − 1 ⋅ 2 = 2 1 y=− 5

Die beiden erhaltenen Resultate in eine Gleichung mit drei Unbekannten einfügen und nach der dritten Unbekannten auflösen

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Mathematik Lineare Funktion Bezeichnungen y = m⋅x +b

m b

Steigung Anfangswert

m bestimmt die Steigung der Kurve b bestimmt wo die Kurve durch die y-Achse verläuft

Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse wird bestimmen bei y = 0

→ x=−

b m

  b Koordinaten:  x = − / y = 0  m  

Schnittpunkt auf der y-Achse wird bestimmt bei x = 0

→ y=b

  Koordinaten:  x = 0 / y = b   

Minima / Maxima Gibt es nicht.

Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen und die zwei Unbekanten m, b ermitteln

y p1 = m ⋅ x p1 + b y p2 = m ⋅ x p2 + b m=

∆y ∆x

b = y p1 −

∆y ⋅ x p1 ∆x

Funktionsgleichung:

y = m⋅x +b

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Mathematik Spezialfall Zwei Lineare Funktionen stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung (m) der ersten dem negativen Kehrwert der zweiten entspricht.

m1 = −

1 m2

Graph y

y2

x 0

y1

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Mathematik Quadratische Funktion Bezeichnungen y = ax 2 + bx + c

ax bx c

a bestimmt den Bogenverlauf der Kurven b bestimmt die Verschiebung der Kurve in x-Richtung c bestimmt wo die Kurve durch die x-Achse verläuft

-a

2

quadratisches Glied lineares Glied konstantes Glied

+a

Nullstelle(n) Schnittpunkt auf der x-Achse wird bestimmen bei y = 0

→ x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

  − b ± b 2 − 4ac Koordinaten:  x = / y = 0   2a  

Schnittpunkt auf der y-Achse wird bestimmt bei x = 0

→ y=c

  Koordinaten:  x = 0 / y = c   

Minima / Maxima xm = −

ym =

b 2a

4ac − b 2 4a

 b 4ac − b 2 Koordinaten:  x m = − / ym = 2a 4a 

  

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Mathematik Funktionsgleichung berechnen aus drei Punkten Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen und die drei Unbekanten a, b, c ermitteln 2

y p1 = ax p1 + bx p1 + c 2

y p 2 = ax p 2 + bx p 2 + c 2

y p 3 = ax p 3 + bx p 3 + c y = ax 2 + bx + c

Funktionsgleichung:

Funktionsgleichung berechnen aus einem Punkt und dem Minima/Maxima a=

y p1

(x

− xm ) + ym 2

p1

b = −2a ⋅ x m 2

c = y p1 − ax p1 − bx p1

y = ax 2 + bx + c

Funktionsgleichung:

Transformation Die Funktionsgleichung auf die Scheitelpunkt Form bringen. 2

b  4ac − b 2  y = a x +  + 2a  4a  y = a(x − x m ) + y m 2

Spiegelung an der x-Achse

(

y = (− 1) ⋅ a(x − x m ) + y m 2

)

Spiegelung an der y-Achse

y = a(x − (− 1) ⋅ x m ) + y m 2

→

y = a((− 1) ⋅ x − x m ) + y m 2

→

y = a(x + x m ) + y m 2

Verschieben in x-Richtung

y = a(x − (x m ± n)) + y m 2

Verschieben in y-Richtung

y = a(x − x m ) + (y m ± n) 2

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Mathematik Graph y y1

0

x

y2

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Mathematik Exponentiale Funktion Bezeichnungen y = a ⋅ bx

a b

Anfangswert Wachstumsfaktor

a bestimmt die Streckung der Kurve b bestimmt ob die Kurve fällt oder steigt

Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse Gibt es nicht. Schnittpunkt auf der y-Achse wird bestimmt bei x = 0

→ y=a

  Koordinaten:  x = 0 / y = a   

Minima / Maxima Gibt es nicht.

Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen, jede nach a auflösen und anschliessend einander gleichsetzen.

y p1 = a ⋅ b

xp1

y p2 = a ⋅ b

→

xp 2

→

a= a=

y p1 x

b p1 y p2 b

xp 2

1

 y  xp1− xp 2 b =  p1  y   p2  a=

y p1 b

x p1

Funktionsgleichung:

y = a ⋅ bx

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Mathematik Funktionsgleichung berechnen aus Prozentangaben a = Anfangswert b=

100% ± p 100%

p

Wachstum

[%]

Achtung: bei Zunahme +p; bei Abnahme -p

Graph y y2

y1

0

x

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Mathematik Transformation von Funktionen Verschiebung auf der x-Achse Alle x in der Funktionsgleichung ± n Verschiebung nach links Verschiebung nach rechts

n

Verschiebefaktor [ ]

+n -n

Achtung: Der Verschiebefaktor n wird direkt an das x gebunden. 2 2 z.B. x → (n + x) Ist x mit einem Faktor multipliziert, muss dieser erst ausgeklammert werden. b b  z.B. ax + b = a x +  → n = a a 

Verschiebung auf der y-Achse Die ganze Funktionsgleichung ± n Verschiebung nach oben Verschiebung nach unten

n

Verschiebefaktor [ ]

+n -n

Spiegelung an der x-Achse Die ganze Funktionsgleichung · (-1)

Spiegelung an der y-Achse Alle x in der Funktionsgleichung · (-1)

Achtung: Das (-1) wird direkt an das x gebunden (auch wenn es dadurch Aufgehoben wird). 2 2 z.B. x → ((-1) · x)

Streckung/Stauchung in x-Richtung Alle x in der Funktionsgleichung · n

n

Streckungsfaktor [ ] y

Streckung Stauchung

n<1 n>1

Stauchung Streckung x

Achtung: Der Streckungsfaktor n wird direkt an das x gebunden. 2 2 z.B. x → (n · x)

Streckung/Stauchung in y-Richtung Die ganze Funktionsgleichung · n

n

Streckungsfaktor [ ] y

Streckung Stauchung

Streckung Stauchung

n>1 n<1

x

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