G. Mm411_dazu_laplace.pdf

Introducción En el modelo matemático de un sistema físico, como el de una masa

sujeta a

un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial

es una función que representa una fuerza externa

o un voltaje

. Hasta

ahora hemos resuelto problemas para los cuales estas funciones eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos; por ejemplo, en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso, pero la transformada de Laplace1.1 es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo. Usaremos la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones integrales, de sistemas de ecuaciones diferenciales y también la aplicaremos al cálculo de integrales. En el capítulo anterior trabajamos con el operador derivación

, el cual es un

caso particular de funciones más generales llamadas transformaciones lineales. Ahora estudiaremos una nueva transformación lineal que es un caso especial de una clase de transformaciones lineales de especial interés, llamadas transformaciones integrales. Para comprender en qué consisten, consideremos funciones tomemos una función fija

definidas en un intervalo finito o infinito de variable y parámetro . Entonces, en

general una transformación integral tiene la forma

y

La función

se llama núcleo de la transformación

lineal, sin importar la naturaleza de la función

. Claramente

es

. El estudio de estas

transformaciones integrales generalizadas a conducido al análisis de ciertas transformaciones específicas que han resultado de mucha utilidad al abordar ciertos problemas. Una de estas transformaciones especiales se obtiene haciendo

Definición

,

y

, como vemos en la siguiente definición.

[Transformada de Laplace]

Suponga que la función

converge para existe para

está definida para

y la integral impropia

. Entonces la transformada de Laplace de y está dada por

Antes de dar alguna teoría que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada de Laplace de algunas funciones, usando esta definición.

Ejemplo

Calcule

.

Solución Por definición

para

.

Ejemplo Calcule

.

Solución Usando la definición

Observación: no resulta difícil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente transformada

para

y

. Dejamos al lector la comprobación de esta fórmula

(sugerencia use inducción matemática).

Ejemplo Calcule

.

Solución Usando la definición

para

.

Un par de transformadas particularmente útiles son las de las funciones trigonométricas

y

, que calculamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo Calcule

y

Solución Usando la definición

.

Por otro lado

De donde concluimos que

para

.

Y retomando la transformada de

para

.

Observación: podemos calcular la transformada representación compleja. Como

tenemos que

De forma análoga usando

podemos calcular

.

usando su

Ejemplo Calcule

, donde

Solución Por definición

Propiedades de la Transformada de Laplace Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

Definición

[Funciones continuas a trozos]

Decimos que una función 1.

es continua a trozos si

está definida y es continua en todo finito de puntos

2. Para cada

, para

, salvo en un número .

los límites

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si

es uno de los extremos de

.

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de

son discontinuidades de salto, del

tipo que aparecen el la figura 1.2.

Figura 1.2

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi

continua o que no son demasiado discontinua.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado

rápido.

Definición

[Funciones de orden exponencial]

Decimos que la función existen números

,

es de orden exponencial si y

tales que

para Intuitivamente esto significa que la función

esta por debajo de una función

exponencial, como se muestra en la 1.3.

Figura 1.3 Observación: algunas veces, para verificar que una función

es de orden

exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de mayor que exponencial.

. Si

es finito, entonces

(y este determina

puede ser cualquier número

). Por otro lado, si

,

no es de orden

Ejemplo Compruebe que

es de orden exponencial.

Solución Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital

para cualquier número positivo , y así

. Por lo tanto, si es suficientemente grande

es de orden exponencial.

Ejemplo Compruebe que la función

es de orden exponencial para cualquier

valor de .

Solución Calculando el límite

siempre y cuando

. De donde,

para grande.

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado

o

función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas

funciones. En general, si

y

son de orden exponencial la suma

y el producto

son de orden exponencial.

Ejemplo Compruebe que la función

no es de orden exponencial.

Solución Calculando el límite tenemos que

para cualquier valor de

, con lo cual la función

no es de orden

exponencial. El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.

Teorema

[Funciones acotadas]

Sea exponencial.

una función acotada, entonces es de orden

Demostración Como

es acotada

para cualquier

para todo

, con lo cual

. Entonces

es de orden exponencial.

Observación: como

y

son acotadas, son de orden exponencial.

Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.

Teorema

[Existencia de la transformada]

Sea

una función continua a trozos y de orden

exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe un número

tal que

existe para

existe. Es decir, .

Demostración Por ser que

de orden exponencial existen números no negativos , para

,

y

tales

. Así que

La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando

, tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función

que no cumpla las hipótesis del teorema, pero

aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo Compruebe que la transformada

existe, aún cuando

no cumple las hipótesis del teorema de existencia

anterior.

Solución Claramente

tiene una discontinuidad infinita en

es continua a trozos en el intervalo

Para calcular esta última integral sea

con lo cual

; pero

, con lo cual no

Ahora note que

Figura 1.4 Donde

es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe

que si

y

son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces

Con lo cual, tomando el límite

Y así,

. Por lo tanto

El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.

Ejemplo Compruebe que

no existe.

Solución Usando la definición

Y puesto que la integral impropia

diverge, la transformada no existe. Observación: la otra integral

es convergente para

, pues

La integral

diverge, pues, por el criterio de comparación

para toda , con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero

diverge. Ahora vamos a enunciar algunos propiedades de la transformada.

Teorema

[Linealidad de la transformada]

Si

y

existen entonces

para cualquier constante real . Demostración Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo Calcule

.

Solución Como

por la propiedad de linealidad

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

Teorema

[Transformada de una derivada]

Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo entonces

Demostración Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

,

Ejemplo Use el resultado anterior para calcular

Solución Haciendo

, tenemos que

y de aquí concluimos que

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.

Definición

[Transformada de una derivada]

Si

son continuas a trozos y de orden exponencial en el

intervalo

, entonces

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función

.

Teorema

[Propiedad de escalación]

Sea

una función continua a trozos y de orden exponencial en

si

, entonces

Demostración Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,

,

Ejemplo Si

calcule

.

Solución Usando la propiedad de escalamiento

La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para . Ahora, como obtendríamos la solución transformada inversa

, es decir,

si pudiéramos devolvernos que buscamos. Es decir, necesitamos de la , para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

Definición

Si

[Transformada inversa de Laplace]

es la transformada de Laplace de una función continua

decir,

, es

, entonces la transformada inversa de Laplace de

, escrita

es

, es decir,

Ejemplo Calcule

Solución Puesto que

tenemos que

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que siendo pues, si

,

. Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, y son continuas y de orden exponencial en

y

, entonces orden exponencial en que las funciones

; pero, si y

, entonces se puede demostrar

y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir

sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo Calcule

y son continuas y de

, donde

esta dada por

¿Qué se puede concluir ? Solución Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones

y

tienen la misma transformada, de este

modo, la transformada inversa de

no es única. El siguiente resultado establece el comportamiento de

Teorema

[Comportamiento de

en infinito.

en infinito]

Sea

una función continua a trozos y de orden

exponencial en

, entonces

Demostración Puesto que

es continua a trozos en

este intervalo; o sea,

y así

cuando

necesariamente es acotada en

para todo

. De donde

, de modo que

cuando

Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de orden exponencial, basta con que

existe.

.

Ejemplo ¿ Porqué no existe una función

tal que

?

Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función. Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función

tal que

,

,

,

, es

decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional

es la transformada de alguna función

grado del numerador

es menor que la del denominador

si el .

Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.

Teorema

[Del valor inicial]

Si entonces

Demostración: Como

y

existe y es igual a

,

y

siempre y cuando

sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos

que

siempre y cuando

sea continua por la derecha en

Ejemplo Si

, calcule

.

Solución Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular

Teorema

.

[Del valor final]

Si

y el límite

Demostración: Análoga a la anterior.

existe, entonces

.

El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

Teorema

Sean

[Linealidad de la transformada inversa]

y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el

intervalo

tales que

y

, entonces

Ejemplo Calcule

Solución Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

en fraciones parciales

ahora sí

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante

.

Teoremas de traslación No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas. Si conocemos que

, podemos calcular la transformada de

como una traslación, de siguiente teorema.

Teorema

[Primer teorema de traslación]

a

, como lo enuncia el

Si es un número real y

donde

existe, entonces

.

Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración La prueba es inmediata apartir de la definción

Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica de

es la misma de , la gráfica de

trasladada

se desplaza

, la gráfica se traslada

unidades sobre el eje . Si

unidades a la derecha, miéntras que, si

unidades a la izquierda. Para enfatizar en la

traslación se acostumbra escribir

donde Ejemplo

Calcule

significa que se sustituye por

en

.

Solución Usando el primer teorema de traslación

Ejemplo

Use la forma inversa del primer teorema de traslación para calcular

Solución

Ejemplo

Calcule

Solución Para usar la forma inversa del primer teorema de traslación debemos completar el cuadrado en el denominador

Función escalón En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Definición

[Función de Heaviside]

La función escalón unitario o función de Heaviside1.2 se define como

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general

para

Ejemplo Trazar la gráfica de la función

.

Solución La función

está dada por

y su gráfica se muestra en la figura 1.5

Figura 1.5

.

Cuando la función de Heaviside definida para

se multilplica por una función

, ésta función se desactiva en el intervalo

,

, como

muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo Trazar la gráfica de la función

.

Solución La función está dada por

Figura 1.6 La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función

se escribe usando la función de Heaviside como

Teorema [Transformada de la función Heaviside] La transformada de la función de Heaviside es

Demostración Usando la definición de transformada

En el primer teorema de traslación nos permitío calcular la transformada de una función

al ser multiplicada por una función exponencial

, el segundo

teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.

Teorema [Segundo

teorema de traslación]

Si

y

, entonces

Forma inversa del segundo teorema de traslación:

Demostración Usando la definición

Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la función

haciendo

:

Ejemplo Calcule

Solución Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar a

Ejemplo Calcular

, donde

Solución: Observe que la función

puede reescribirse como

con lo cual

Ejemplo Calcule

Solución Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.

Corolario [Forma alternativa

al segundo teorema de traslación]

Sea

una función continua a trozos y de orden

exponencial en

, entonces

Demostración Usando la definición

Ejemplo Calcule

Solución Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa. Ejemplo Calcule

Solución En este caso

y

con lo cual

Ejemplo Calcule

Solución Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales

con lo cual

Ejemplo Calcule

Solución Como el discriminante de

es negativo, no es factorizable en

y

debemos completar el cuadrado.

En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:

y

Y de aquí

Ejemplo Calcule

Solución Este ejemplo combina los dos teoremas de traslación

Teorema

[Multiplicación por

Sea en

.]

una función continua a trozos y de orden exponencial , entonces

Ejemplo Calcule

Solución Aplicando el teorema anterior para

, tenemos que

El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior. Ejemplo Calcule

Solución Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Por el teorema de multiplicación por

, tenemos que

De donde obtenemos que

y tomando

Existe un caso especial del teorema anterior, cuando el cálculo de transformadas inversas.

Corolario [Multiplicación

Si

por .]

, entonces

Ejemplo Calcule

Solución Si

por el corolario tenemos que

, que es muy útil en

Teorema [División

por .]

Sea

una función continua a trozos y de orden

exponencial en

tal que el límite

existe, entonces

Demostración Sea

entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que

Integrando

es decir,

Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que . El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema. Ejemplo Calcule

Solución Tenemos que

con lo cual

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Si

entonces

De donde

y tomando el límite cuando

Convolución y transformadas

, tenemos que

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

Definición

[Convolución]

La función

, donde es el conjunto de funciones

continuas en el intervalo

dada por

se conoce como la convolución de

y .

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.

Teorema

Sean

[Propiedades de la convolución]

y funciones continuas en el intervalo

1. 2. 3. 4.

Demostración

(ley conmutativa) (ley distributiva) (ley asociativa)

, entonces

La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.

Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto, note que

Ejemplo Calcule la convolución de

y

.

Solución Usando la definición e integración por partes, tenemos que

Ejemplo Calcule la convolución de las funciones Solución Usando la definición e integración por partes

Observación: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

y

.

Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como veremos.

Teorema

Si

[Teorema de convolución] y

existen para

, entonces

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas. Ejemplo Calcule

Solución Usando el teorema de convolución tenemos que

Observación: como ya hemos calculado

podemos corroborar el

resultado obtenido anteriormente

como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solución Usando el teorema de convolución

Observación: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solución Usando el teorema de convolución, tenemos

Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan simple

Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solución Usando convolución

El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.

Corolario

Tomando

donde Demostración

en el teorema de convolución tenemos que

Ejemplo Calcule la siguiente transformada

Solución Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por

, tenemos que

Funciones periódicas Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Teorema

Sea

[Transformada de una función periódica] una función continua a trozos y de orden

exponencial en el intervalo entonces

. Si

es periódica, con periódo

,

Demostración Usando la definición

Ejemplo Calcule

, donde

muestra en la figura 1.7.

es la función periódica diente de sierra que se

Figura 1.7 Solución El periódo de esta función es

y su transformada esta dada por

Función impulso unitario Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circutitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elétrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.

Definición

[Impulso unitario]

La función

donde

dada por

,

se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de

la función escalón para

y

se muestra en la figura 1.8.

Observación: para valores pequeños de , se tiene que

es una

función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de

.

Figura 1.8

[Area bajo la función impulso] La función impulso unitario satisface la propiedad Teorema

y de aquí su nombre.

Demostración

En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función

de Dirac1.3

[Función delta de Dirac] La función delta de Dirac esta dada por Definición

Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).

[Propiedades de la función delta] La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades Teorema

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

Definición

[Transformada de delta]

Para

Demostración Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

De donde tenemos que

con lo cual

Observación: a partir de

es razonable concluir que

. Esto reafirma el hecho de que puesto que se espera que

cuando

no es una función ordinaria, .

Ejemplo Calcule Solución Claramente

Función Gamma Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma

, la cual

es de gran importacia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una integral impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.

Definición

La función

[Función Gamma] dada por

se conoce como la función gamma. Su gráfica se muestra en la figura 1.9.

Figura 1.9

El siguiente teorema establece una de las propiedades más importantes de la función gamma.

Teorema

[Recursividad de gamma]

Para toda

se tiene que

Demostración Integrando por partes

Ejemplo Calcule

.

Solución

El resultado anterior puede generalizarse, como muestra en el siguiente corolario.

Corolario [Recursividad

Para

,

de Gamma] y

se tiene que

Observación: de los resultados anteriores obtenemos que esta razón se conoce a esta función como el factorial generalizado. Ejemplo Calcular los valores de

,

,

.

, por

Solución Usando la propiedad recursiva, tenemos que



Para

:



Para

:



Para

:

De donde

Definición [Función Beta] La siguiente integral

se conoce como la función beta. El siguiente teorema enuncia algunas de las propiedades de la función Beta. Teorema

[Propiedades de la función beta]

1. La función

converge para

2.

.

3. Para

,

se tiene que

4. Para

,

se tiene que

,

.

5. Para

,

se tiene que

Demostración 1. Para demostrar que la integral convege, separemos la integral en dos partes

Ahora, observe que la primera integral convwerge si

y de igual manera, la segunda integral converge si

2. Para demostrar esta propiedad basta hacer un cambio de variable

3. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

4. Haciendo el cambio de variable

tenemos que

5. La demostración de este resultado es un tanto más compleja y se sale de los objetivos del curso, por esta razón no la haremos.

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Usando los resultados del teorema anterior

Observe que cuando

es muy grande es extremadamente difícil calcular

,

aún con la ayuda de logaritmos. Por ejemplo, la tarea de determinar el número de posibles formas de barajar un maso de cartas podría tomar mucho tiempo, pues involucra el calculo de

. El siguiente teorema establece que

es una buena aproximación de

, cuando

es muy grande.

Teorema

[Fórmula de Stirling]

Observación: del la fórmula de Stirling1.4 tenemos que

Y por último el siguiente teorema expresa la relación entre la función

y la

transformada. Teorema

Para

[Transformada de

]

, tenemos que

Demostración Usando la definición de transformada y la sustitución

Ejemplo Calcule

Solución Usando el teorema anterior

, tenemos que

Ejemplo Calcule

Solución Usando el primer teorema de traslación, tenemos que

Ejemplo Calcule

donde

es la función de Bessel de orden cero dada por la

serie

Solución Aplicando transformada de Laplace

Observación: en este ejemplo hemos usado que

para

.

Solución de ecuaciones diferenciales La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones

, periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas

de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución

se muestra en la figura 1.10

Figura 1.10 Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

donde

está dada por

Solución La función

puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un

sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir

Aplicando transformada tenemos que

Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La gráfica de

se muestra en la figura 1.11.

Figura 1.11 Ejemplo Resolver el siguiente problema de valor inicial

:

Solución En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil.

0 0 0

Integrando obtenemos que

De donde obtenemos que

Para determinar el valor de obsérvese que la solución al problema está dada por

. Con lo cual .

Sistemas mecánicos Ejemplo Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte

el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2

unidades de momentum a la masa; además, en el instante

se activa una

fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces 1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento. 2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante . 3. ¿Cuál es la posición del peso en ? Solución Para hallar la constante del resorte Con lo cual el modelo matemático es

Aplicando transformada

El

que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo

con una intensidad de 2 unidades, además recuerde que

, pues el

peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales

De donde obtenemos que

Y así

. La gráfica de

se muestra en la figura 1.12

Figura 1.12 Ecuaciones Integrales El teorema de convolución es útil en la solución de otros tipos de ecuaciones en las cuales aparecen integrales de una funciones desconocida.

[Ecuaciones integrales de Volterra] La ecuación Definición

donde incógnita y

,

son funciones conocidas,

es una función

, un parámetro numérico, se llama ecuación integral

lineal de Volterra de segunda especie. La función denomina núcleo de la ecuación de Volterra. Si

se la ecuación

integral toma la forma

y se llama ecuación integral homogénea de Volterra de segunda especie. Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación integral

Solución Aplicando la transformada a ambos lados de la ecuación integral tenemos

Luego

Circuitos L-R-C En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión a través de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la tensión aplicada

. Sabemos que

 

La caída de tensión a través de un inductor es La caída de tensión a través de la resistencia es



La caída de tensión a través de un capacitor es

. . , pero como

con lo cual la caída de tensión a través de un capacitor esta dada por

donde

es la corriente y

,

y

son constantes conocidas como: la

inductancia, la resistencia y la capacitancia, respectivamente.

Figura 1.13 De lo anterior obtenemos que la corriente

en un circuito como el de la figura

1.13 satisface la ecuación integrodiferencial

la cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace. Ejemplo Determine la corriente (Henrios), R=20

en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H

(Ohms), C=

F (Faradios) y

. La tensión

aplicada al circuito es la que se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.14 Solución Puesto que la función se anula para

, se puede escribir como

con lo cual la ecuación diferencial que modela este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fraciones parciales tenemos que

y al aplicar la transformada inversa

Sistemas de ecuaciones diferenciales El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

con las condiciones

,

.

Solución Si

y

, entonces

o agrupando

Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De donde obtenemos que

Ejemplo Dada la malla eléctrica de la figura 1.15, determine el valor de las corrientes y

, si inicialmente valen cero.

Figura 1.15 Solución Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que: 

Para la malla KLMNK



Y para la malla JKNPJ:

De donde obtenemos el siguiente sistema:

0

Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales, , obtenemos que

0

Observe que de la primera ecuación ecuación se transforma en

Entonces

y

, de modo que la segunda