Fisica (ii) Doc 9.docx

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PRINCIPIO DE BERNOULLI El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento, ya sea líquido o gas, consta de tres componentes: 1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. 2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. 3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. La siguiente ecuación conocida como “Ecuación de Bernoulli” (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos. 1 𝑃 + 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 Dónde: ●

𝒗 = velocidad del fluido en la sección considerada.

●

𝝆 = densidad del fluido.

●

𝑷 = presión a lo largo de la línea de corriente.

●

𝒈 = aceleración gravitatoria

●

𝒛 = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permanecer constante. Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos: Viscosidad (𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo rotacional Aunque el

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nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería. Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término z se suele agrupar con 𝑃 𝑃 𝑚∗𝑔 𝑚 (𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛾 = = = ∗ 𝑔 = 𝜌𝑔 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜) 𝛾 𝑉 𝑉 𝑉 Para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica. Características y consecuencia: 1 𝑃 + 𝜌𝑣 2 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝑃 1 𝜌𝑣 2 𝜌𝑔𝑧 + + =𝐻 𝜌𝑔 2 𝜌𝑔 𝜌𝑔 𝑃 1 𝑣2 + +𝑧 =𝐻 𝛾 2𝑔 𝑃 𝛾

+

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

+

1 𝑣2 2𝑔

+

𝑧

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 + 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

=

𝐻

= 𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑙 𝑜 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por 𝜸, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

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𝑃 1 𝑣2 + +𝑧 =𝐻 𝛾 2𝑔 1 𝑣2 𝑃 + +𝑧 =𝐻 2𝑔 𝛾 1 𝑣 2 𝜌𝑔 𝑃𝜌𝑔 + + 𝑧𝜌𝑔 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝑔 𝛾 1 2 𝑣 𝜌 2

+

𝑃 + 𝑧𝛾

= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

O escrita de otra manera más sencilla: 𝑞 + 𝑝 = 𝑝0 Donde 1



𝑞 = 2 𝑣 2𝜌

 

𝑝 = 𝑃 + 𝑧𝛾 𝑝0 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa: 1 2 𝑣 𝜌 + 𝑃 + 𝑧𝛾 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 1 𝑣 2 𝜌 𝑃 𝑧𝛾 + + = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝜌 𝜌 𝜌 1 2 𝑃 𝑣 + + 𝑧 ∗ 𝑔 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝜌 1 2 𝑣 2

𝑃 𝜌

+

+

𝑧∗𝑔

= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Para este tipo de sistemas podemos aplicar la ecuación de continuidad la que nos establece que el flujo másico dentro de un sistema se mantiene constante y el flujo másico que entra es igual al flujo másico que sale del sistema, esto se expresa de la siguiente manera. 𝑀1 = 𝑀2 Donde 𝑀1 = 𝜌1 𝐴1 𝑣1 = 𝜌1 𝑄1 Página 3 de 10

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𝑄1 = 𝐴1 𝑣1 𝐴1 = 𝜋𝐷12 𝐴2 = 𝜋𝐷22 𝑀1 = 𝜌2 𝐴1 𝑣1 = 𝜌2 𝜋𝐷12 𝑣1 Como tenemos que 𝑀1 = 𝑀2 Igualando las dos ecuaciones tenemos: 𝜌1 𝜋𝐷12 𝑣1 = 𝜌2 𝜋𝐷22 𝑣2 Planteando la ecuación de la energía 1 1 𝑃1 + 𝜌1 𝑄12 = 𝑃2 + 𝜌2 𝑄22 2 2 Esta expresión matemática es válida para la siguiente figura que me representa una parte del tubo de Venturi

Tubo de Venturi El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluido y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluidos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de sección 𝑆1 por la que fluye un fluido y que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección 𝑆2 < 𝑆1 . Como el caudal se conserva entonces tenemos que 𝑣2 > 𝑣1 , Y 𝑃2 < 𝑃1 . Por tanto: 1 1 𝑃1 + 𝜌𝑣21 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2 2 2

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EJERCICIO 1 En la figura están circulando 0,370

m3 sg

de agua de A a B, existiendo en A una altura de

presión de 6,6m. Suponiendo que no existen pérdidas de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B. Dibujar la línea de alturas totales.

Solución: 𝑄 = 0,370

m3 sg

1 A = πr 2 (área del Cilindro) 4

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rA = 30 cm = 0.3m rB = 60 cm = 0.6m

𝑃 = 6,6𝑚 𝛾 Se aplica la ecuación de Bernoulli entre A y B, tomando como plano de referencia la horizontal que pasa por A: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝐴 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑎ñ𝑎𝑑𝑖𝑑𝑎 − 2 𝑃𝐴 1 𝑣30 ( + + 𝑧𝐴 ) + 0 − 𝛾 2 𝑔

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝐵 2 𝑃𝐵 1 𝑣60 0 =( + + 𝑧𝐵 ) 𝛾 2 𝑔

𝑄 = 𝐴𝑣 𝑄 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑣 = 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 0,370

𝑄 𝑚 =1 = 5,24 𝐴 𝑠𝑔 π(0.3m)2 4 m3 0,370 𝑄 𝑚 sg = =1 = 1,31 𝐴 𝑠𝑔 π(0.6m)2

𝑣30 =

𝑣60

m3 sg

4

2 2 𝑃𝐴 1 𝑣30 𝑃𝐵 1 𝑣60 ( + + 𝑧𝐴 ) + 0 − 0 = ( + + 𝑧𝐵 ) 𝛾 2 𝑔 𝛾 2 𝑔

6,6𝑚 + (

𝑚 2 (5,24 1 𝑠𝑔) 2 9,8 𝑚 𝑠𝑔2

+ 3,0𝑚 + 0 − 0 = )

𝑚 2 (1,31 1 𝑠𝑔)

𝑃𝐵 + 𝛾 2 9,8 𝑚 𝑠𝑔2 (

+ 7,5𝑚 )

𝑚 2 𝑚 2 1 (5,24 𝑠𝑔) 𝑃𝐵 1 (1,31 𝑠𝑔) 6,6𝑚 + + 3,0𝑚 = + + 7,5𝑚 2 9,8 𝑚 𝛾 2 9,8 𝑚 𝑠𝑔2 𝑠𝑔2

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𝑚 2 (5,24 1 𝑠𝑔)

𝑚 2 (1,31 1 𝑠𝑔)

𝑃𝐵 = 6,6𝑚 + + 3,0𝑚 − − 7,5𝑚 𝛾 2 9,8 𝑚 2 9,8 𝑚 2 2 𝑠𝑔 𝑠𝑔 𝑃𝐵 = 6,6𝑚 + 1,4𝑚 + 3,0𝑚 − 0,09𝑚 − 7,5𝑚 = 3,41𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝛾 Puede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre un plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por 𝐷 − 𝐷. 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝐴 =

2 𝑃𝐴 1 𝑣30 + + 𝑧𝐴 = 6,6𝑚 + 1,4𝑚 + 3,0𝑚 = 11,0𝑚 𝛾 2 𝑔

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝐵 =

2 𝑃𝐵 1 𝑣60 + + 𝑧𝐵 = 3,41𝑚 + 0,09𝑚 + 7,5𝑚 = 11,0𝑚 𝛾 2 𝑔

TEOREMA DE TORRICELLI Estamos sumergidos dentro de un fluido, la atmósfera, por tanto, nos encontramos sometidos a una presión, ésta se conoce como presión atmosférica. Es una presión elevada pero estamos tan acostumbrados a ella que ni nos enteramos. Por ser un gas no podemos calcularla mediante el principio fundamental pero sí podemos medirla experimentalmente. El primero en medirla fue Torricelli (s. XVII) que realizó un famoso experimento. Es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio" (Fluido ideal). ℎ = 𝑦2 − 𝑦1 En el punto 2 la presión 𝑃2 = 𝑃 y 𝑣2 . En el punto 1 la presión 𝑃1 = 𝑃0 y 𝑣1 . 𝑃0 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 1𝑎𝑡𝑚 = 1,01 ∗ 105 𝑃𝑎 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒.

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El líquido al estar saliendo es un líquido en movimiento El diámetro en el punto 1 es mucho menor que el diámetro en el punto2. 𝐷2 < 𝐷1 Por lo tanto el área dos es mayor que el área uno. 𝐴2 > 𝐴1 Por lo tanto la velocidad dos es menor que la velocidad en el punto uno 𝑣2 ≪ 𝑣1 Para el vaciado del tanque debemos calcular 𝑣1 que es la velocidad de salida o velocidad de emisión Aplicamos el principio de Bernoulli que es el movimiento de un fluido en una tubería 1 1 𝑃1 + 𝜌𝑣21 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔𝑦2 2 2 𝑃1 = 𝑃0 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑃2 = 𝑃 𝑣2 = 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 (𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜) = 0 1 𝑃0 + 𝜌𝑣21 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃 + 𝜌𝑔𝑦2 2

(1)

Despejando 𝑣1 1 𝜌𝑣12 2

= 𝑃 − 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦2 − 𝜌𝑔𝑦1

1 2 𝜌𝑣 = 𝑃 − 𝑃0 + 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ) 2 1 ℎ = 𝑦2 − 𝑦1 1 2 𝜌𝑣 = 𝑃 − 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ 2 1 𝑣12 =

2 [𝑃 − 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ] 𝜌

𝑣12 =

2 2 (𝑃 − 𝑃0 ) + 𝜌𝑔ℎ 𝜌 𝜌

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2

𝑣12 = 𝜌 (𝑃 − 𝑃0 ) + 2𝑔ℎ

2 𝑣1 = √ (𝑃 − 𝑃0 ) + 2𝑔ℎ 𝜌

(2)

De la ecuación (2) se concluyen dos casos Caso 1) Cuando la presión confinada dentro del recipiente es mucho mayor que la presión atmosférica entonces:

𝑃 ≫ 𝑃0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2𝑔ℎ ≈ 0 2𝑃 𝑣1 = √ 𝜌

(2𝑎)

Caso 2) Cuando el recipiente está destapado

Ya no se encuentra aire o gas que se encuentre confinado sobre el líquido, el líquido se encuentra a la atmósfera, para este caso se tendrá: 𝑃2 = 𝑃 = 𝑃0 2

2

La expresión 𝜌 (𝑃 − 𝑃0 ) = 𝜌 ∗ 0 = 0 Quedando la ecuación: 𝑣1 = √2𝑔ℎ

(2𝑏)

EJERCICIO 1 Se hace un agujero (orificio) en el costado de un recipiente grande lleno de agua a una distancia vertical desde el fondo del tanque de 20 cm. Si el nivel del líquido del tanque es de 100 cm y el tanque se encuentra abierto a la atmósfera, calcular la velocidad de salida del agua por el agujero.

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𝑦1 = 20 𝑐𝑚 = 0,20 𝑚 𝑦2 = 100 𝑐𝑚 = 1 𝑚 ℎ = 𝑦2 − 𝑦1 = 1 𝑚 − 0,20 𝑚 = 0,80 𝑚 𝑃2 = 𝑃1 = 𝑃0 Utilizamos la ecuación del caso 2) de Torricelli

𝑣1 = √2𝑔ℎ = √2 ∗ 9,8

𝑚

𝑚 ∗ 0,80 𝑚 = 3,96 𝑠𝑔2 𝑠𝑔

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