Fasciculo10 Proporciones

Matemática para todos Fascículo

El mundo de las

Godfrey H. Hardy matemático británico (1877-1947) Esta frase fue escrita en su obra Apología de un matemático, 1940

Fotografía: Rogelio Chovet

Números III

proporciones

“Los diseños del matemático, como los del pintor o del poeta, han de ser bellos: las ideas como los colores o las palabras deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas”.

Número de oro Este es el “cuadro 72” de Piet Mondrian, construido de acuerdo con las proporciones del número de oro. Pintor neerlandés (1872-1944), Pieter Cornelis Mondrian, llamado Piet Mondrian, influido por el cubismo analítico pasó de una figuración al estilo Van Gogh a una abstracción geométrica en la que consigue el rigor extremo combinando los colores primarios con el blanco y el grís sobre una trama ortogonal.

El mundo de las proporciones De cada 10 000 habitantes de un país, 2 000 tienen título universitario.

Este auto es el mismo, uno es de verdad y el otro es su foto.

¿Qué porcentaje de la flor representa cada uno de sus pétalos?

Un perro tiene dos orejas. ¿Cuántas orejas tendrán 35 perros?

La factura de la electricidad vino altísima, porque aumentamos nuestro consumo.

Estos limones son “semejantes”.

Los intereses de las tarjetas de crédito en Venezuela eran mayores al 50% en el 2002.

Para subir 2,40 m necesito 18 escalones. ¿Cuántos escalones necesito para subir 4,50 m?

Todas estas situaciones pertenecen al fabuloso mundo de las proporciones. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Proporcionalidad 1.- La fórmula señala que para obtener un litro de leche deben agregarse a un litro de agua, 16 cucharadas de leche en polvo. Así, si deseamos preparar el doble de litros de leche, necesitaremos el doble de cucharadas de leche en polvo y si deseamos preparar una cantidad menor disminuiremos la cantidad de cucharadas de leche en polvo.

16 cucharadas de leche en polvo son necesarias para preparar un litro de leche. 8 cucharadas de leche en polvo son necesarias para preparar medio litro de leche.

Al expresar esto en una tabla, queda así:

Cucharadas

x

8

16

32

48

64

Litros de leche

y

1/2

1

2

3

4

Observamos que al relacionar el número de cucharadas de leche en polvo y la cantidad de litros de leche, obtenemos fracciones equivalentes:

16

32

=

1

®

48

2

3

0

10

=

64 4

=

X

cantidad de cucharadas

= 16

y

cantidad de litros

4 3

Litros

Si representamos mediante puntos algunos de estos pares en un sistema de coordenadas, al unirlos se obtiene un gráfico como éste.

=

2 1 0 20

30

40

50

70 cucharadas

60

2.- El siguiente recibo de la Electricidad de Caracas de agosto de 2001 muestra la facturación por consumo de kilovatios/hora (KWH) durante un mes

Observa que el consumo es de 872 KWH y el costo de 1 KWH es de Bs. 59,7454. Por lo tanto, el monto a pagar por este consumo es de Bs. 52 098. Para calcular ese monto a pagar se efectúa la siguiente operación:

872 KWH x Bs. 59,7454 Bs./KWH = Bs. 52 098 aproximadamente. ¿Cuánto costarán 100 KWH? ¿Cuánto costarán 5 KWH? Si se expresa esta relación con un gráfico se obtiene lo siguiente:

Bs.

3.000

Se observa en esta gráfica que para 0 KWH corresponde a Bs 0. Mientras mayor sea el consumo de electricidad, mayor será la cantidad de bolívares a pagar.

2.000

1.000 0 0

10

20

30

40

50

60

70

KWH

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Proporcionalidad En las dos relaciones vistas en la página anterior podemos observar lo siguiente: • A cada valor de la variable (KWH o número de cucharadas) le corresponde un valor único (imagen). Si la variable aumenta o disminuye, la imagen aumenta o disminuye en la misma relación. Por ejemplo, si se duplica la cantidad de KWH consumidos, se duplica el monto a pagar, es decir, hay una variación directa. • En las dos situaciones anteriores, la relación que se establece entre las variables forma un conjunto de fracciones equivalentes:

16

=

1

32

=

48

2 59,74

=

1

64

=

3

=

4

119,48

=

179,22

2

x

cantidad de cucharadas

y

cantidad de litros

=

3

y

Monto a pagar en Bs.

x

Cantidad de KWH consumidos

• Al representar gráficamente una relación directamente proporcional se obtiene una recta que pasa por el origen.

Intensidad

5 4 3 2 1 0 0

1

2 3 Resistencia

1

Existen relaciones que son inversamente proporcionales, es decir, que si una variable aumenta la otra disminuye en una relación similar. Por ejemplo: al aplicar en un circuito eléctrico una tensión constante, se mide la intensidad (Amperios) de la corriente haciendo variar la resistencia (Ohms).

Resistencia (Ω)

0,40

0,80

2,03

2,40

2,78

3,30

Intensidad (A)

13,2

6,60

2,60

2,20

1,90

1,60

Interesante 1- El resultado de dividir el numerador entre el denominador siempre es el mismo y se llama constante de proporcionalidad.

cantidad de cucharas cantidad de litros

16

32

48

64

80

1

2

3

4

5

En este caso k = 16

2- Dos relaciones cualesquiera de las establecidas en el cuadro anterior cumplen que al multiplicar sus extremos el resultado es el mismo. Por ejemplo:

32

80

32

80

5

2

5

=

2

32

160 = 160

48

3- Si tomas dos fracciones equivalentes, por ejemplo 2 y 3 y sumas directamente los numeradores y los denominadores, el resultado es una fracción equivalente a las anteriores:

numeradores denominadores

32 + 48 = 80 2+3=5

resulta que

80 5

es equivalente a

32 2

ya

48 3

4- La gráfica que resulta al representar los puntos de una relación proporcional siempre es una línea recta: Todas estas características se cumplen porque la relación de proporcionalidad está expresada por una función lineal. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Porcentaje (%) El

55%

de la población mundial es menor de 25 años

El

25%

de la estrella

está coloreada de rojo

El Este túnel

examen lo

está perforado

aprobó el

60%

sólo en un

del

15%

grupo

n por ciento (n%) significa que tomamos en cuenta n de las 100 partes iguales en las que dividimos algo. La distribución de agua es

La inflación

30%

acumulada en

para la zona rural y

el año 2002 fue

70% para la zona

de

17%

urbana

RETO Porcentaje como parte de un todo

Porcentaje como comparación

Estima el porcentaje de la parte roja en cada una de las siguientes figuras:

Observa cada par de figuras A y B. En cada caso determina cuál es el porcentaje, que es A de B y luego el que es B de A, es decir, en cada par de figuras completa: A = __% de B y B = __% de A

A

B

A B Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? ¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? Ejemplo: Hallar el 32% de 16 Método 1 Se divide 16 en 100 partes iguales 16 100 =0,16 Se multiplica el resultado por 32 0,16 x 32 = 5,12

Método 2 Calculo 32 centésimos de 16 32 100 x 16 = 0,32 x 16 = 5,12

Ejemplo El 20 % de una población tiene título para manejar Población con

Obtengo así el 32% de 16 Divido C entre 100 Multiplico el resultado por n

Divido n entre 100 Multiplico el resultado por C Regla de tres

100 C

n ?

? = (n x C) /100 Población con título para manejar

Población

título para manejar

X 20 500 1 000 2 500 5 000 10 000

Y 4 100 200 500 1 000 2 000

1 000 500

Cálculo de un número q del cual D es el n% Ejemplo: Hallar el número del cual 5 es el 25% 500

1 000

1 500

Método 1 Divido 5 entre 25 con lo que obtengo el valor de una de las cien partes del 100% 5 25 = 0,2 Multiplico luego por 100 y obtengo el número correspondiente al 100% 0,2 x 100 = 20 Este procedimiento puede resumirse así: 5 / (25 / 100) = 5 / 0,25 = 20 20 es entonces el número del cual 5 es el 25% Divido D entre n Multiplico el resultado por 100

Resumen Divido D entre n/100 Regla de tres

100 q

n D

q = (100 x D) / n

2 000

2 500 3 000 Población

Una franela me costó Bs. 3 664. El precio pagado incluyó el IVA, el cual es el 14,5% del PVP. ¿Cuál es el PVP de la franela? El monto pagado corresponde al 114,5% del PVP. Entonces PVP = 3 664 / 1,145 PVP = 3 200 Bs.

Argentina es el país que consume la mayor cantidad de alimentos per cápita (por persona). Cada habitante consume el 183% de la cantidad necesaria recomendada en 1996 por la FAO (Organización de Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación). Portugal es el segundo país, con el 149%, seguido de Irlanda con 142%. Fuente: Libro Guiness de los Records 2002. Editorial Planeta Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Figuras semejantes Los automóviles son iguales en forma. Uno de ellos es una réplica a escala.

Estas mariposas son copias semejantes de una misma fotografía, pero de diferente tamaño.

La semejanza de figuras es un importante concepto geométrico que se aplica en: diseño de casas y edificios, diseño de automóviles, construcción de circuitos impresos, fotografías. En la televisión, en el cine y en el microscopio vemos objetos que son semejantes a los objetos originales. Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño. La expresión “igual forma” está relacionada con las ideas numéricas de razón y proporción. Los rectángulos ABCD y XYZW son semejantes. Una correspondencia entre los vértices es: A <-> X , B <-> Y, C <-> Z y D <-> W. Y así corresponden los lados: AB <-> XY, AD <-> XW, BC <-> YZ y X CD <-> ZW. Si el factor de proporcionalidad es 2, entonces cada segmento de XYZW es el doble de su correspondiente de ABCD: XY = 2AB , XW = 2AD, YZ = 2BC y Y WZ = 2DC.

La proporción se establece entre pares de segmentos así: A

D

B

C

B’C’ BC

C’D’ CD

D’E’ DE

E’A’ EA

W

2, 1

YZ BC

2 , 1

ZW CD

2 , 1

WX DA

2 1

“La longitud del segundo segmento es a la del primero como 2 es a 1.” En las figuras semejantes los ángulos se conservan y las longitudes se multiplican por un número K>0. Si K>1 la figura se agranda y si K<1 se reduce.

Z

El dibujo A’ B’ C’ D’ E’ es la imagen semejante de ABCDE. El factor de proporcionalidad es 3 por cuanto OA’ es tres OA. Esto se expresa:

A’B’ AB

XY AB

La figura F’ es la imagen semejante de F. El factor de proporcionalidad es 1 : Observa que OX’ es la mitad 2 de OX. Esto se expresa:

X’Z’ XZ

3

A’

B’

X’W’ XW

1 2 X Z

A

X’

B O

O

Z’ F’

F

C E

C’

D

W’ W

E’

D’

El escalímetro, regla con seis graduaciones, una en cada borde de cada cara del prisma, es un instrumento fundamental para todos aquellos profesionales que trabajan con planos (arquitectos, ingenieros...). Los planos tienen unas escalas o factores de proporcionalidad “estándar” (uso reglamentado) que son 1:100, 1:50, 1:25, 1:200... Esto significa que cada centímetro medido en el plano corresponde en la realidad a 100 cm (1 m), 50 cm, 25 cm o 200 cm (2 m), respectivamente. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

Dibujos e identificación de figuras semejantes Pasos para dibujar figuras semejantes: Dibuja un triángulo ABC y un punto O (el triángulo es como la figura proyectada de una diapositiva y el punto O es como el foco de un proyector). Desde O dibuja los rayos OA, OB y OC. Con un compás se toma la distancia OA (línea roja discontinua) y la repetimos dos veces desde A para determinar A’. Se repite para cada vértice del triángulo ABC y así se determina el triángulo A’B’C’ semejante al triángulo ABC y además: A’B’ = 3 AB

A’B’ AB

B’C’ BC

A’C’ AC

3

B’C’=

3 BC

A’C’=

3 AC

A’

A O B B’

C

El pantógrafo

O

V’ V

El pantógrafo es un instrumento mecánico para reducir o aumentar figuras, produciendo figuras semejantes. El punto O es fijo, el punto V (visor) recorre la figura y el lápiz en el punto V’ dibuja la figura semejante.

C’

Con un par de ligas y un lápiz

Se cruzan las ligas como en la figura.

Se fija un extremo en un punto y en el otro extremo se coloca un lápiz.

A medida que el nudo recorre la figura, se va dibujando con el lápiz la figura semejante.

RETO Dibuja una figura semejante al pentágono cuyos lados midan la mitad del pentágono dado.

Dibuja una figura semejante al hexágono cuyos lados midan tres medios de los lados del hexágono dado.

Interesante Las diagonales de rectángulos semejantes están sobre una recta si los rectángulos son colocados como en la figura de la izquierda.

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Matemática para todos El mundo de las

Fascículo

proporciones

Proporciones y recetas de cocina CREMA DE BRÓCOLI Ingredientes para 4 porciones 4 tazas de brócoli picado 3 cucharadas de mantequilla 1 2 taza de cebolla picada 3 tazas de consomé de carne 2 cucharadas de harina 1 taza de leche caliente 1 12 cucharadita de sal 1 8 cucharadita de pimienta negra 2 ramitas de hierbabuena 2 ramitas de cilantro 2 cucharadas de crema gruesa La receta original es para 4 porciones ¿Cómo calculamos los ingredientes para 8 porciones? ¿Cómo calculamos los ingredientes para 6 porciones? • 8 es el doble de 4 • 6 es 1 y 12 vez de 4. Puedo calcular de dos maneras • Entonces multiplicamos por 2 cada una de las equivalentes que conducen a los mismos resultados: cantidades de los ingredientes. 1. Multiplico la cantidad de cada ingrediente por 1,5. Por ejemplo: El número de tazas de brócoli picado será El número de tazas de consomé será: 3 x 2 =6 4 x 1,5 = 6 Las cucharaditas de pimienta negra serán: El número de cucharaditas de sal será 1,5 x 1,5 = 1 2 1 x 2 = = 2,25 = 2 14 8 8 4 2.- A cada ingrediente le sumo la mitad de la cantidad En término de proporciones podemos decir que si de la receta original. Receta + 12 receta. la receta original de la crema de brócoli está dada El número de tazas de brócoli picado será: para 4 porciones, entonces: 4 + 42 = 4 + 2 = 6 Para 8 porciones los ingredientes son el doble de los de la receta original. El número de cucharaditas de sal será: Para 6 porciones los ingredientes son una vez y media de la 1 12 + 34 = 32 + 34 = 94 = 2,25 = 2 14 receta original. Para 16 porciones los ingredientes son cuatro veces de los de la receta original. Y así podemos armar una tabla de equivalencias.

Nº de porciones

4

6

8

16

20

Cucharadas de mantequilla

4 3

6 4 12

Taza de cebolla picada

1 2

3 4

Cucharadita de sal

3 2 1 1 12

42 3 112 2 14

8 6 1 6 4 2 3

16 12 2 12 8 4 6

20 15 2 12 15 10 5 7 12

Cucharadita de pimienta negra

1 8

3 16

1 4

1 2

5 8

2 2 2

3 3 3

4 4 4

8 8 8

10 10 10

Tazas de brócoli picado

Tazas de consomé de carne Cucharadas de harina Taza de leche caliente

Ramitas de hierbabuena Ramitas de cilantro Cucharadas de crema gruesa

1

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Proporcionalidad y belleza Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: “Qué bien proporcionada está esa chica, sus medidas son 90-6090”. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm y la de su cintura 60 cm. Si además de esto su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que deben cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por dos Rectángulos de Oro (rectángulo cuya relación entre sus lados es aproximadamente 1,618), concluiremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente.

90

60 90

Entonces podríamos preguntarnos:

¿Qué es la belleza?

El Modulor de Le Corbusier

Cabe definir la belleza como eI conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración (Diccionario Pequeño Larousse, 1999). La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños (Diccionario filosófico, Julio Rey Pastor e Ismael Quiles, 1952, p. 1 057, Buenos Aires). En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: "Los sentidos se deleitan en cosas debidamente proporcionadas". (Matemáticas, Colección Científica de Time Life, 1971, México). Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado Número de Oro, también conocido como la Divina Proporción. Este es un número que tiene un valor aproximado de 1,618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en Proporción de Oro de un rectángulo.

El Partenón, el Panteón de París y la Mona Lisa son obras de arte y arquitectura de diferentes épocas, en las que de alguna manera está presente la Divina Proporción o Número de Oro.

El Partenón

Reine Isabeau de Pablo Picasso

Sculpture et Nu de Le Corbusier

La Mona Lisa de Leonardo da Vinci

El Rectángulo de Oro ha sido utilizado en famosas obras de arte y en la Arquitectura desde las construcciones griegas como el Partenón, pasando por Leonardo da Vinci, hasta nuestros días, por cuanto ha sido utilizado por Le Corbusier y sus seguidores; Salvador Dalí, Mondrian y otros.

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La Divina Proporción El Rectángulo de Oro

C

P

Observa la construcción del Rectángulo de Oro B

1 1 2 M

1

5 2

5 2

B

1 1 2 M

M

1 2

1 2

1 2 Q

A Se dibuja un cuadrado.

Se determina M, punto medio de un lado.

Con radio MB se traza un arco para determinar P.

La intensidad de las sensaciones se incrementa proporcionalmente (de forma logarítmica) con el incremento de los estímulos que caracterizan nuestras relaciones físico-síquicas.

Rectángulo de oro ACPQ. QP 1+ 5 = 2 QA

En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801-1887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección fue de los rectángulos cuya razón de las longitudes de sus lados es:

1+ 5 2

aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción.

Los griegos y las proporciones Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas y ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro. Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro. Maqueta de El Partenón

El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón a e en el brazo x y la razón y en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro.

x y

a b

e

h

Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura del escalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas. Maurits C. Escher Artista plástico holandés (1898-1972 ) Relatividad

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Tengo que pensarlo La barba de Bartolomeo Supongamos que la barba del Sr. Panciatichi crecía a razón de 3 mm cada 24 horas. Si la barba alcanzó 1 dm con 8 cm el 5 de diciembre de 1540, ¿cuál fue la última fecha en la que el Sr. Bartolomeo se afeitó?

De Maturín a Tucupita Según se presenta en el mapa y tomando en cuenta la escala señalada, ¿calcule la distancia medida en línea recta entre Maturín y Tucupita? Escala del mapa 1:2.000.000

La figura ¿Cómo puede dividirse la figura en 4 partes tales que cada una de ellas sea semejante a la figura grande?

El restaurante Pagué, en el año 2001, un total de 72 500 bolívares por la cuenta del restaurante. Si se sabe que el 14,5% corresponde al pago del IVA y 10% al servicio, ¿cuánto me costó realmente la comida?

Resultados Bartolomeo se afeitó la barba el 7 de octubre de ese mismo año. Entre Maturín y Tucupita hay 143 km aproximadamente. La comida me costó Bs. 58 232,93; el IVA fue de Bs. 8 443,77 y el 10% fue de Bs. 5 823,29.

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¡A jugar! Material Nueve fichas rojas y nueve azules, un par de dados y el cartón de juego.

Número de jugadores Dos (uno con las fichas azules y el otro con las rojas).

Objeto del juego Colocar tres fichas de un mismo color en fila: diagonal, vertical u horizontal.

Reglas del juego Se elige el jugador que inicia el juego lanzando los dados. En su turno, el jugador lanza los dados y forma una fracción con los números de los dados. El jugador puede marcar una fracción o equivalente, y coloca su ficha en el recuadro correspondiente a dicho valor. Si la fracción seleccionada no está en el cartón pierde su turno. Ejemplo: Con estos números se pueden formar las fracciones y porcentajes:

2 = 40% 5

Un jugador puede remover la ficha del contrario si en su turno obtiene ese valor.

2 3

50% 40%

5 = 250% 2

60% 200%

300% 120% 20%

125% 80% 100% 150% 1 3

60% 250% 75%

Información actualizada Bibliografía Carvajal, Fernando (1997). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Editorial Grao. Barcelona, España. Gutiérrez A. (editor) (1987). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid, España. Grupo Beta (1990). Proporcionalidad, geometría y semejanza. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Páginas web OMA- Programa Enriquecimiento en Matemática. http://www.oma.org.ar/programa/blan26.htm Fibonacci y el Número Áureo. http://www.geider.net/esp/mate/logo.htm Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 10 - El mundo de las proporciones - NÚMEROS 3

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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

Uso de mapas para desarrollar el pensamiento proporcional o sentido de proporción en los niños y adolescentes. ¿Se pueden lograr pensadores proporcionales en la escuela básica? Esta fue una interrogante que se plantearon un grupo de docentes conscientes de la importancia que tiene el desarrollo de lo que se ha llamado sentido de proporción en el ser humano. En muchos de los aspectos de nuestra vida diaria están presentes relaciones que son directamente proporcionales, así lo encontramos en muchas obras de arte, arquitectura, etc. En ciencia, el estudio de soluciones, el uso de balanzas de cruz, los cálculos de densidad de sustancias, requieren de la aplicación del concepto de proporción. En geografía, calcular la densidad de población, construir y leer mapas, hacer gráficas, también lo requieren. En matemática, la semejanza de figuras geométricas, el estudio de probabilidades, de las fracciones y del porcentaje están basados en la idea de proporcionalidad.

¿Cómo lograrlo? Apoyados en la opinión de los investigadores, los docentes señalaron que aun cuando el desarrollo de este concepto no es fácil, se puede alcanzar su comprensión aplicando una enseñanza activa que utilice material apropiado, lo cual ayuda al estudiante en la formulación de las respuestas, y esto tiene influencia significativa en el desarrollo del pensamiento proporcional. Ésta competencia se adquiere entre el Quinto y el Octavo Grado de la Educación Básica, a través de una enseñanza organizada, que se inicie desde temprana edad, a partir de las relaciones proporcionales que cada estudiante maneja en su entorno. Proponen, a continuación, una actividad que hace uso de mapas y diferentes escalas en un contexto real y útil; da la oportunidad a los estudiantes de manejar conceptos relacionados con la idea de proporcionalidad. ACTIVIDAD SUGERIDA PARA EL DOCENTE Objetivo Desarrollar en los niños y adolescentes el sentido de proporción. ¿Cómo nos organizamos en el aula? • Los estudiantes trabajarán en parejas. ¿Qué necesitamos? • Para las demostraciones del docente: Un mapa político de Venezuela. Un mapa del estado Anzoátegui. Un mapa de la ciudad de Barcelona. • Para cada pareja de estudiantes: Un mapa del estado Anzoátegui. Escala. Un mapa de la ciudad de Barcelona. Escala. Una regla. Rotafolio con las instrucciones.

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¿Qué haremos? 1- Pídale a los estudiantes que ubiquen su mapa del estado Anzoátegui. 2- Muestre en el mapa político de Venezuela la ubicación del estado y comente: • Los mapas están en escalas diferentes, por eso su tamaño es diferente. • Identifique en ambos mapas la escala correspondiente y escríbala en el pizarrón. • Revisar y explicar la escala del mapa político de Venezuela. • Escala del mapa del estado Anzoátegui. La forma del estado Anzoátegui es igual en ambos mapas, el que tienen los estudiantes y el mapa político de Venezuela grande que tiene el docente. Las dos figuras son semejantes. En la medida en que a cada unidad de la escala le corresponda un número mayor de la medida natural, el dibujo es más pequeño. 3- Cada pareja, con el mapa del estado Anzoátegui, va a responder a las siguientes preguntas; es importante recordar que un estudiante hace las mediciones y el otro registra los resultados. a ¿Cuál es la escala del mapa? b Determinar la distancia entre Barcelona y Puerto La Cruz. • Ubicar cada una de las ciudades en el mapa. • Medir con una regla graduada en centímetros cuánta es la distancia que las separa. • Usando la escala calcular la distancia. c Ubicar en el mapa un pueblo o ciudad que esté a más de xx km de Barcelona. • Deben determinar a cuántos centímetros corresponden los xx km usando la escala. • Ubicar a Barcelona en el mapa. • Ubicar la regla en su punto cero en Barcelona. • Rotarla con cuidado hasta encontrar un pueblo o ciudad que esté más lejos. Se puede usar un compás con la abertura en los centimetros establecidos. • Es importante indicar que puede haber distintas soluciones y también pequeños errores de medición. • Se puede cerrar esta parte midiendo y calculando la distancia exacta del pueblo o ciudad encontrado y la ciudad de Barcelona. d Llenar un cuadro de distancias de Barcelona a diferentes centros poblados. e Indicarle a los estudiantes que el factor que relaciona a ambas cantidades en cada caso es la constante de proporcionalidad. Los nuevos prospectos de pensadores proporcionales que se espera formar deben saber: • Que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando aumentan y disminuyen siempre en la misma relación. • Que hay un factor constante que relaciona las dos magnitudes: constante de proporcionalidad. • Que gráficamente al representar los puntos de una relación proporcional y unirlos, forman una recta que pasa por el origen. Adicionalmente, deben ser capaces de: • Diferenciar lo que es directamente proporcional de lo que no lo es. • Comprender situaciones proporcionales. • Aplicar varios métodos para resolver situaciones que son proporcionales. • Resolver tareas cuantitativas y cualitativas del razonamiento proporcional.

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Jesús Alberto León

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en La Victoria, estado Aragua, el 19 de octubre de 1940. Obtuvo la Licenciatura en Biología en 1963 y en Matemática en 1964, en la Universidad Central de Venezuela, y un doctorado en Ciencias en 1973, en la Universidad de Sussex, Inglaterra. Ha recibido premios nacionales y reconocimientos internacionales, tales como el Premio de la Asociación de Profesores de la UCV (APUCV) al mejor Trabajo de Ascenso de la UCV, en 1991. Premio Francisco De Venanzi (APIUCDCH) a la Trayectoria del Investigador Universitario (1991). Premio Iberoamericano “Federico Riu” a la investigación filosófica, en 1990. Premio al Mejor Trabajo Científico otorgado por el CONICIT (1995) y la Orden José María Vargas (Corbata), en 1990. Es fundador de la revista Evolutionary Theory y editor asociado de varias revistas internacionales de su especialidad. Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 2001. Fotografía: Carlos Rivodó

Los trabajos del profesor León, si bien en el área de biología, hacen uso de la matemática. Dejemos que él nos explique: “La biología está, como toda ciencia, llena de aspectos que requieren matemática para su expresión precisa. Pensemos, por ejemplo, en la biomecánica. Es claro que en la constitución de los huesos en animales, o de los troncos y ramas en los árboles, hay implicados problemas de tensión, deformación y resistencia de materiales. Y en la relación entre huesos que sostienen un esqueleto, o lo mueven mediante contracciones y relajamientos musculares, hay toda una música de leyes mecánicas en acción. ¿Dónde se ha visto que esto pueda estudiarse sin las leyes de Newton y su expresión matemática? Y el movimiento de fluidos en los sistemas circulatorios animales, o el agua que trepa por dentro de los árboles desafiando la gravedad. ¿No requieren compleja hidrodinámica para su comprensión? Por otra parte, al ser los seres vivos complicados sistemas físico-químicos, en los cuales campean toda clase de moléculas –desde las simples hasta las grandes y enmarañadas macromoléculas– que interactúan en incesantes flujos y transformaciones bio-químicas, es apropiado que para entenderlos se usen las matemáticas de la química y la físico-química. Hay otros niveles en que la biomatemática no es reducible a las matemáticas ‘importadas’ (por decirlo así) de las otras ciencias. Por un lado, los seres vivos se hallan siempre en colecciones que llamamos poblaciones y comunidades. Esto es consecuencia de la propiedad definitoria de estos seres: la reproducción. Así, las preguntas ¿cuán numerosos serán dichos colectivos, cuáles procesos determinarán su abundancia?, deben forzosamente ser formuladas matemáticamente. Se prestará entonces atención a los mecanismos que inducen nacimientos y muertes, eventos básicos que cambian la numerosidad de los individuos constitutivos de cualquier población. Esta clase de formulaciones (casi siempre usando ecuaciones diferenciales, que son las matemáticas del cambio), son el meollo de lo que se llama Ecología Matemática”. Dos aspectos fundamentales del trabajo del Dr. León son el desarrollo de la teoría matemática de la coevolución y la de estrategias adaptativas. Como él explica, “al caracterizar la Selección Natural se ha esbozado la dinámica de la causación de cambios evolutivos en una especie en un ambiente. Pero las especies están siempre involucradas en redes ecológicas con otras especies (compiten, se comen unas a otras... etc.). Así, cada especie es a la vez ambiente para otras, y esto da lugar a cambios evolutivos recíprocos, a coevolución. Por otra parte, el cambio evolutivo guiado por la Selección Natural tiene consecuencias. ¿Cuáles serán éstas? ¿Cuál constelación de caracteres será favorecida en un ambiente dado? ¿Qué resulta adaptativo en ese ambiente? Como la selección premia a quien es capaz de sobrevivir o reproducirse mejor, hay que encontrar funciones que expresen esto: funciones que indiquen qué relaciones hay –en un cierto ambiente– entre los caracteres y la supervivencia y reproducción. Así se puede, con técnicas matemáticas de optimización, buscar cuál combinación de caracteres –entre aquellas que son posibles– otorga mayor éxito reproductivo”.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.