Razones Y Proporciones

ARITMETICA

CEPRE-UNI

RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN O RELACIÓN DE DOS NÚMEROS Es la comparación de dos cantidades y pueden ser: a)

Razón aritmética ( r ).

Cuando la comparación se realiza por diferencia.

12 – 3 = 9

9 es razón aritmética de 12 y 3

a–b = r

b)

Razón Geométrica (r).

12 =4 3

Cuando la comparación se realiza mediante el cociente. 4 es la razón geométrica de 12 y 3 r es el valor de la razón geométrica de a y b a es el antecedente b es el consecuente

a = r b

c)

r es el valor de la razón aritmética de a y b a es el antecedente b es el consecuente

Razón armónica (r).1 1 1 − = 2 3 6

1 1 = r − a b

Es la razón aritmética de las inversas de los dos números 1 es la razón armónica de 2 y 3 6 r es el valor de la razón armónica de a y b a = antecedente b = consecuente

PROPORCION Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Pueden ser: a)

Proporción Aritmética: Discretas: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres. Ejemplo: 15 – 8 = 11 – 4

a–b =c–d

a y d : extremos b y c : medios

Continuas: Cuando los términos medios ó los extremos son iguales Ejemplo:

15 – 9 = 9 – 3

ING. EDGAR NORABUENA

a–b =b–c

1

ARITMETICA

Donde:

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b es la media diferencial de a y c, su valor es:

b=

a+c 2

a y c se denominan terceras diferenciales b)

Proporción Geométrica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres. Ejemplo:

Continua: Ejemplo: Donde:

a c = b d

15 12 = 5 4

a y d: extremos

b y c: medios Cuando los términos medios o los extremos son iguales 20 10 = a b 10 5 = b c b es media proporcional de a y c, su valor es:

b=

a .c

a y c : Terceras proporcionales c)

Proporción Armónica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta armónica de los otros tres. Ejemplo:

Donde:

1 1 1 1 − = − 3 4 6 12

1 1 1 1 − = − a b c d

a y d son los términos extremos b y c son los términos medios

Continuas: Cuando los medios ó los extremos son iguales Ejemplo:

1 1 1 1 − = − 2 3 3 6

Donde:

b en la media armónica de a y c, su valor es:

1 1 1 1 − = − a b b c

b=

2.a.c a+c

a y c se denominan terceras armónicas RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES O EQUIVALENTES Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor. Pueden ser discretas o continuas. DISCRETA: Cuando todos los términos son diferentes

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a c e g = = = = k ... (1) b d f h

ARITMETICA

Ejm:

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4 6 8 10 = = = 6 9 12 15

CONTINUA:

a b c ... d (2) = = = = k ... (2) b c d e

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS Podemos señalar entre las más importantes

1ª Propiedad

de la serie (1)

Suma de antecedentes = razón Suma de consecuent es

a = bk c = dk e = fk g = hkk (a+c+e+g) = k (b+d+f+h)

a+c+e+g b+d+ f +h

=k

2ª Propiedad Elevando las razones (1) a la potencia n y haciendo lo mismo que la demostración anterior, obtenemos: a n + c n + e n + gn b n + dn + f n + hn

= kn

3ª Propiedad Multiplicando todas las razones (1)

a⋅c ⋅e ⋅g b ⋅ d⋅ f ⋅h

=k4

Aplicando esta propiedad al conjunto de razones continuas, obtenemos:

a ⋅b ⋅c ⋅d = k4 b ⋅ d⋅ f ⋅h

a = ek4

Similarmente

a = dk3 ;

a = ck2 ; a = bk

4ª Propiedad Las razones (1) se puede escribir como: am cn ep gq = = = =k donde: m, n, p, q ≠ 0 bm dn fp hq

ING. EDGAR NORABUENA

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am + cn + ep + gq bm + dn + fp + hq

y aplicando la 1ª propiedad

5ª Propiedad De la expresión (1) se pueden deducir varias relaciones como las siguientes: a ±b c ±d e ± f g±h k ±1 = = = = f h 1 b d a ±b c ±d e ± f g±h k ±1 = = = = a c e g k a +b c +d e + f g+h k +1 = = = = a −b c −d e − f g−h k −1

a n ± b n c n ± dn e n ± f n k n ± 1 = = = bn dn fn 1

PROPIEDADES MH

1.-

≤ MG ≤ MA

2.-

MA =

a +b 2

MG =

MA ⋅ MH = ab

ING. EDGAR NORABUENA

ab

MH =

2ab a +b

MA ⋅ MH = MG2

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