Estudio De La Ad Y Derivabilidad De Una Funcion

Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:

f(x) =

0 x2 x

si x < 0 si 0 ≤ x < 1 si x ≥ 1

Continuidad en x = 0. (1) f(0) = 0² = 0 (2)

(3)

lim x→0

-

f(x) =

+

f(x) =

lim x→0

lim

→ f(x) es continua en x = 0

0=0

x→0 lim

x2 = 0² = 0

x→0

Continuidad en x = 1. (1) f(1) = 1 (2)

(3)

lim

f(x) =

-

x →1 lim

+

x →1

f(x) =

lim x →1 lim x →1

x2 = 1² = 1

→ f(x) es continua en x = 1

x= 1

Por tanto f(x) es continua

∀x ∈

0 f´(x) = 2x 1

R – {0,1}

si x < 0 si 0 ≤ x < 1 si x ≥ 1

Derivabilidad en x = 0. (1) f´(0) = 2•0 = 0 (2)

(3)

lim x→0

-

f´(x) =

+

f´(x) =

lim x→0

lim x→0 lim x→0

0=0

2x = 2•0 = 0

→ f(x) es derivable en x = 0

Derivabilidad en x = 1. (1) f´(1) = 2•1 = 2 (2)

(3)

lim x → 1lim +

x →1

f´(x) =

f´(x) =

lim x →1 lim x →1

2x = 2•1 = 2

1 =1

Por tanto f(x) es derivable

∀x ∈

R – {1}

→ f(x) no es derivable en x = 1