Ejemplo De La Representacion De Una Funcion

x3 Estudiar la siguiente función: f(x) = 1- x 2 (1) Dominio: 1 – x² = 0 → x = ± 1 Dom (f) = R – {- 1, 1}

(2) f(- x) =

(- x )3 - x3 x3 = = = - f(x) 1 - (-x)2 1- x 2 1- x 2

Es impar. Es simétrica con respecto al origen de coordenadas. (3) Punto de corte con el eje Y: x = 0 → f(0) =

(0 ) 3 = 0 → (0, 0) 1 - (0) 2

Puntos de corte con el eje X: x3 3 2 = 0 → x = 0 → x = 0 → (0, 0) 1- x (4) intervalos f(x)

( - ∞,-1) +

(-1,0) -

(0,1) +

(1, + ∞) -

(5) Asíntotas verticales: x = ± 1 lim x → ±1

f(x) =

Tendencias:

x3 = ± ∞ → x = ± 1 son asíntotas verticales 2 x → ±1 1 - x

lim

lim

(-1,1)3 x3 x → -1 = ≈ +∞ 1 - (-1,1) 2 1- x 2 x = - 1,1 -

lim

(-0,9)3 x3 x → -1+ = ≈ -∞ 1- x 2 1 - (-0,9) 2 x = - 0,9

lim

x3 (0,9) 3 x → 1= ≈ +∞ 1- x 2 1 - (0,9) 2 x = 0,9

lim

x3 (1,1) 3 x →1 = ≈ - ∞ 1- x 2 1 - (1,1) 2 x = 1,1 +

Asíntotas horizontales: x3 2 = ± ∞ → No tiene asíntotas horizontales x → ±∞ 1 - x

lim

Asíntotas oblicuas: y = mx + n x3 lim lim f ( x ) lim x3 1- x 2 m= = = 3 = -1 x → ±∞ x x → ±∞ x x → ±∞ x - x lim x3 x3 + x - x3 n= [f(x) – mx] = [ = 2 + x] = 1- x 2 x → ±∞ x → ±∞ 1 - x x → ±∞ lim

=

lim

lim

x 2 = 0 x → ±∞ 1 - x

y = - x es una asíntota oblicua.

(6) 3 x 2 • (1 - x 2 ) - x 3 • (-2x) 3 x 2 - 3x 4 + 2x 4 3x 2 - x 4 f´(x) = = = = 0 → 3x 2 - x 4 = 0 → (1 - x 2 ) 2 (1 - x 2 ) 2 (1 - x 2 ) 2

→ x 2 (3 - x 2 ) = 0 → x 1 = 0, x 2 = - 3 y x 3 = 3 intervalos f´(x) f(x)

( - ∞, - 3 ) – decrece

( - 3 ,-1) + crece

(-1,0)

(0,1)

+ crece

+ crece

(1,

3)

+ crece

(

3 , + ∞) – decrece

(7) Tiene un mínimo en x = - 3 calculamos f( - 3 ) =

Por tanto ( - 3 ,

(- 3 ) 3 1 - (- 3 )

=

3 3 2

3 3 ) es un mínimo 2

Tiene un máximo en x = calculamos f( 3 ) =

Por tanto ( 3 , -

2

( 3)

3 3

1- ( 3 )

2

=-

3 3 2

3 3 ) es un máximo 2

(8) Representación gráfica: