Estudio De La Representacion De Una Funcion

Para estudiar una función hay que seguir los siguientes pasos: (1) Dominio. (2) Simetrías. (3) Puntos de corte con los ejes. (4) Signo o regionamiento. (5) Asíntotas. (6) Crecimiento y decrecimiento. Monotonía. (7) Máximos y mínimos. Extremos relativos. (8) Representación gráfica. Procedemos a explicar como se calcula cada paso: (1) El dominio de una función son los valores de x tales que existe la función, es decir para los que f(x) ≠ ± ∞, tendremos que Dom(f) = {x∈ R : f(x)∈ R}. Si la función y = f(x) es un polinomio tenemos que Dom (f) = R. Si la función y = f(x) es una fracción algebraica de la forma f(x) =

p( x ) q( x )

con m.c.d (p,q) = 1 tenemos que Dom (f) = R - {x ∈ R : q(x) = 0}. Existen más casos pero solamente estos son los que preguntan en P.A.U.

(2) Una función es simétrica par si se cumple que f(- x) = f(x) ∀ x ∈ Dom (f), su gráfica será simétrica con respecto al eje Y. Una función es simétrica impar si se cumple que f(- x) = - f(x) ∀ x ∈ Dom (f), su gráfica será simétrica con respecto al origen de coordenadas, es decir, el punto (0, 0). Si no cumple ninguna de las dos condiciones diremos que no tiene simetrías. (3) Punto de corte con el eje Y:

Hacemos x = 0 y el punto será (0, f(0)) Puntos de corte con el eje X: Calculamos las soluciones de f(x) = 0, Si tenemos por soluciones x1, x2, … , xn entonces los puntos de corte serán: (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), … , (xn, f(xn)) (4) Si los puntos de corte con el eje X son: (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), … , (xn, f(xn)) y tenemos que x1 < x2 < … < xn entonces los intervalos en los que hay que estudiar el signo de la función son: ( - ∞, x1), (x1, x2), … , (xn , + ∞) Tenemos que ver cuando f(x) es mayor o menor que cero. (5) Asíntotas verticales: Son de la forma x = a donde a es un número real que cumple que

lim x→a

f(x) = ± ∞

Sus gráficas son rectas paralelas al eje Y.

Asíntotas horizontales: Son de la forma y = b donde b es un número real que cumple que

Sus gráficas son rectas paralelas al eje X.

Asíntotas oblicuas: Son de la forma y = mx + n

lim f(x) = b y → ±∞

donde m es un número real que cumple que m =

y n un número real tal que n =

lim f ( x) y → ±∞ x

lim [f(x) – mx] y → ±∞

(6) Calculamos las soluciones de f´(x) = 0 Si tenemos por soluciones x1, x2, … , xn tales que x1 < x2 < … < xn Construimos los intervalos con esos puntos y las asíntotas verticales, Si tenemos por asíntota vertical x = a con x1 < a < x2 < … < xn entonces los intervalos serán: (- ∞, x1), (x1, a), (a, x2), … , (xn , + ∞) Si f´(x) > 0 en alguno de estos intervalos la función será creciente en ellos. Si f´(x) < 0 en alguno de estos intervalos la función será decreciente en ellos.

(7) Si x = x0 con x0 ∈ Dom (f), es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente entonces el punto (x0, f(x0)) es un máximo. Si x = x0 con x0 ∈ Dom (f), es un punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente entonces el punto (x0, f(x0)) es un mínimo. (8) Con toda la información anterior procedemos a hacer la representación gráfica de la curva, si fuera necesario construiríamos una tabla de valores.