Ejercicios De Pau De Ad Y Derivabilidad

Ejercicio 4.1. Castilla La Mancha. Junio 2008. Suponiendo que el rendimiento (R) en % de un estudiante en una hora de examen viene dado R(t) = 300 t (1 – t ) siendo 0 ≤ t ≤ 1 (tiempo en horas). (1) Representar gráficamente la función R(t). (2) Indicar cuando aumenta y disminuye el rendimiento y ¿cuándo se hace cero? (3) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es? Solución: (1)

Rendimiento (%)

0

1

tiempo (horas)

(2) R(t) = 300 t (1 – t ) → R(t) = 300 ( t – t² ) → R´(t) = 300 ( 1 – 2t ) = 0 →

→ R´(t) = 300 ( 1 – 2t ) = 0 → t = 1/2 Crecimiento y decrecimiento: intervalos f´(x) f(x)

(0,1/2) + crece

(1/2,1) decrece

Por tanto, de 0 a 1/2 horas el rendimiento aumenta y de 1/2 a 1 hora el rendimiento disminuye.

R(t) = 300 t (1 – t ) = 0 → t1 = 0 y t2 = 1. Por tanto, a 0 y 1 hora el rendimiento es 0%.

(3) R´(t) = 300 ( 1 – 2t ) = 0 → t = 1/2 R´´(t) = – 600t → R´´(1/2) = – 600•1/2 = - 300 < 0 → t = 1/2 es un máximo R(1/2) = 300•1/2• (1 – 1/2 ) = 300/4 = 75 Por tanto, el máximo rendimiento se alcanza a las 1/2 horas y vale un 75%.

Ejercicio 4.2. Murcia. Junio 2009. La función f(x) = x³ + px² + q tiene un valor mínimo igual a 3 en el punto de abscisa x = 2. Hallar los valores de los parámetros p y q. Solución: f´(x) = 3x² + 2px Como f(x) tiene un mínimo en 2 tenemos que la 1º derivada en el punto x=2 tiene que ser 0. f´(2) = 3•2² + 2p•2 = 0 12 + 4p = 0 p=-3 Como f(x) tiene un valor mínimo igual a 3 en x=2 tenemos que f(- 3) = 2 (- 3)³ + (- 3)² + q = 2 - 27 + 9 + q = 2 - 18 + q = 2 q = 20

Ejercicio 4.3. Valencia. Junio 2008 (a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 en el intervalo [1, 4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos absolutos. (b) Estudia la continuidad en el intervalo [0, 4] de la siguiente función: 2x + 3

0≤x<1

x³ - 6x² + 9x + 1

1≤x≤4

f(x) =

Solución: (a) f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 - (-4) ± (-4) 2 - 4 • 1• 3 = 2•1 4+2 6 = =3 x1 = 2 2

f´(x) = 3x² - 12x + 9 = 0 → x² - 4x + 3 = 0 → x =

=

4 ± 16 - 12 4 ± 4 4 ± 2 = = = 2 2 2 4 2 x2 =

intervalos f´(x) f(x)

( - ∞, 1) + crece

(1, 3) decrece

2

=

2 =1 2

(3, + ∞) + crece

Entonces en (1, 3) f(x) es decreciente, esto quiere decir como la función es continua que f(1) = 1³ - 6•1² + 9•1 + 1 = 5 es el valor máximo y f(3) = 3³ - 6•3² + 9•3 + 1 = 27 – 54 + 27 + 1 = 1 es el valor mínimo de la función en el intervalo (1, 3). Entonces en (3, 4) f(x) es creciente, esto quiere decir como la función es continua que f(3) = 3³ - 6•3² + 9•3 + 1 = 1 es el valor mínimo y f(4) = 4³ - 6•4² + 9•4 + 1 = 64 – 96 + 36 + 1 = 5 es el valor máximo de la función en el intervalo (3, 4). En conclusión el mínimo absoluto de f(x) es el punto (3, 1) y el máximo absoluto es el (4, 5)

(b) Tenemos la función

2x + 3

0≤x<1

x³ - 6x² + 9x + 1

1≤x≤4

f(x) =

Como es una función a trozos definida por dos polinomios solamente tendremos que estudiar la continuidad en el punto x = 1 f(1) = 1³ - 6•1² + 9•1 + 1 = 5

lim f(x) =

x →1

lim x →1

(2x + 3) = 2•1 + 3 = 5

La función es continua

lim +

x →1

f(x) =

lim x →1

(x³ - 6x² + 9x + 1) = 1³ - 6•1² + 9•1 + 1 = 5

en x = 1

Ejercicio 4.4. Valencia. Septiembre 2008. Obtén los parámetros r, s y t para que la función f(x) = x³ + rx² + sx + t tenga un máximo en x = - 2, un mínimo en x = 0 y pase por el punto (1, -1). Solución: f(x) = x³ + rx² + sx + t → f´(x) = 3x² + 2rx + s máximo en x = -2 → f´(-2) = 3(-2)² + 2r(-2) + s = 12 – 4r + s = 0

→r=3 mínimo en x = 0 → f´(0) = 3(0)² + 2r(0) + s = 0 → s = 0 Pasa por el punto (1, -1): f(1) = -1 → 1³ + r1² + s1 + t = -1 → 1+ 3 + 0 + t = -1 → 4 + 0 + t = -1 → t = -5

Ejercicio 4.5. Valencia. Septiembre 2008. La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la siguiente función de los años de existencia x de la misma: y=

5 x 2 + 20 x − 25 x2 + 7

(a) ¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas? (b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuánto ascienden éstas? (c) Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?

Solución: (a) y=

5 x 2 + 20 x − 25 = 0 → 5 x 2 + 20 x − 25 = 0 → x 2 + 4 x − 5 = 0 → x2 + 7 x1 =

-4+6 2 = = 1 2 2

x2 =

- 4 − 6 − 10 = = -5 2 2

- 4 ± 4 2 - 4 • 1 • (−5) - 4 ± 16 + 20 - 4 ± 6 →x= = = = 2 •1 2 2

A partir del 1º año. (b) (10 x + 20) • ( x 2 + 7) − (5 x 2 + 20 x − 25) • 2 x y´= = ( x 2 + 7) 2 (10 x 3 + 70 x + 20 x 2 + 140) − (10 x 3 + 40 x 2 − 50 x) − 20 x 2 + 120 x + 140 = =0→ ( x 2 + 7) 2 ( x 2 + 7) 2

→ − 20 x 2 + 120 x + 140 = 0 → − x 2 + 6 x + 7 = 0 → x =

=

- 6 ± 6 2 - 4 • (−1) • 7 = 2 • (−1)

x1 =

-6+8 −2 = = 1 −2 −2

x2 =

- 6 − 8 − 14 = = 7 −2 −2

- 6 ± 6 2 + 4 • 1 • 7 - 6 ± 36 + 28 - 6 ± 8 = = = −2 −2 −2

intervalos f´(x) f(x)

(0,1) + crece

(1,7) – decrece

(7, + ∞) + crece

Por tanto el máximo se encuentra en x = 7 y de esta forma la empresa alcanzanrá su beneficio máximo el 7º año que será de y=

5 • 7 2 + 20 • 7 − 25 5 • 49 + 140 − 25 385 − 25 360 = = = = 6,42 millones de euros. 49 + 7 56 56 72 + 7

(c) Representación gráfica:

5 x 2 + 20 x − 25 = 5 → Los beneficios a largo plazo serán de 5 millones de €. x2 + 7 x → +∞

lim

Ejercicio 4.6. Castilla La Mancha. Septiembre 2008. Una empresa ha realizado un estudio acerca de los costes de producción llegando a la conclusión de que producir x unidades de un objeto dado tiene un coste (en euros) expresado por f(x) = 0’25 x2 - 25 x +700. (a) ¿Cuántas unidades han de producirse para tener un coste de 175 euros? (b) Halla el número de unidades que se deben producir para que el coste sea mínimo. (c) ¿Cuánto es ese coste mínimo? Solución: (a) 0,25 x2 - 25 x +700 = 175 → 0,25 x2 - 25 x + 525 = 0 →

→x=

25 ± (-25) 2 - 4 • (0,25) • 525 25 ± 625 - 525 25 ± 100 25 ± 10 = = = = 2 • (0,25) 0,5 0,5 0,5 x1 =

25 + 10 35 = = 70 0,5 0,5

x2 =

25 - 10 15 = = 30 0,5 0,5

=

Las unidades que han de producirse son 30 o 70.

(b) f´(x) = 0,5 x - 25 = 0 → 0,5 x = 25 → x =

25 = 50 0,5

f´´(50) = 0,5 > 0 → x = 50 es un mínimo (c) f(50) = 0’25•502 - 25•50 +700 = 0’25•2500 – 1250 + 700 = 625 – 1250 + 700 = 75 Por tanto 75 € es el coste mínimo.