(ebook) Transfer En Cia De Calor Omar Gelvez Aciddraker

TRANSFERENCIA DE CALOR Ciencia que se ocupa del análisis de la tasa de transferencia de energía que puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de temperaturas. Esta ciencia busca predecir: -

Como puede ser transferida la energía calórica.

-

La rapidez a la que se realizará éste intercambio bajo ciertas condiciones especificadas.

- Las temperaturas en función del tiempo.

En el estudio de la transferencia de calor se suelen considerar tres formas distintas de transferencia, como son: conducción, convección y radiación. En realidad, la distribución de temperatura en un medio se controla por los efectos combinados de éstas tres formas de transferencia de calor, sin embargo, para simplificar los análisis se puede considerar solamente una de ellas cuando las otras son despreciables. Por ejemplo en una resistencia eléctrica, debido a la diferencia de temperaturas hay una transferencia de calor hacia el ambiente por parte de la resistencia:

1

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN

Cuando dos cuerpos de temperaturas diferentes están separados por un vacío perfecto, no es posible la transferencia de calor entre ellos por conducción ó convección; en tal caso, la transferencia de calor ocurre mediante radiación térmica. Es decir, la energía radiante emitida por un cuerpo debida a su temperatura, es trasmitida en el espacio en forma de ondas electromagnéticas de acuerdo con la teoría clásica de las ondas electromagnéticas de Maxwell ó en forma de fotones discretos de acuerdo con las hipótesis de Planck, como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos ó moléculas. La radiación térmica difiere de otras formas de radiación electromagnética como los rayos gamma, microondas, ondas de radio y de televisión, las cuales no se relacionan con la temperatura. Algunas de sus propiedades son: -

No requiere un medio material entre el sistema y sus alrededores.

-

Es muy rápida (a la velocidad de la luz) y no sufre atenuación en el vacío.

-

A menor longitud de onda mayor frecuencia.

La radiación térmica es un fenómeno volumétrico y todos los sólidos, líquidos y gases emiten absorben ó transmiten radiación en diversos grados, sin embargo, suele considerarse

2

como un fenómeno superficial en sólidos que son opacos a la radiación térmica, como metales, madera y roca, ya que la radiación térmica emitida por las regiones internas nunca pueden alcanzar la superficie y la incidente suele ser absorbida por esta. Todos los cuerpos a una temperatura por encima del cero absoluto emiten radiación térmica. Toda la energía radiante que sale del cuerpo se llama el poder emisivo total y depende de la potencia real de la superficie y de la temperatura de la pared (dependencia que no es lineal).

T

PODER EMISIVO - Temperatura - Naturaleza de la superficie

Esta energía que sale o se emite con una longitud de onda se define como poder emisivo espectral (W/m2 µ ).

Poder emisivo: •

Longitud de onda → Poder Emisivo Espectral

•

Dirección → Poder Emisivo Direccional (Intensidad)

•

Total → Poder Emisivo Total

3

Ley de Stefan-Boltzman: Cuando dos cuerpos intercambian calor por radiación, el intercambio de calor neto es proporcional a las diferencias en T4, de tal forma que la tasa de radiación máxima que puede emitirse desde una superficie a una temperatura absoluta: Qemit ,max = σAT 4 [W ] donde A es el área de superficie y σ

es la constante de Boltzman, equivalente a

5,67 *10 −8 W / m 2 K 4 .

La superficie idealizada que emite radiación a esta tasa máxima recibe el nombre de cuerpo negro. La radiación emitida por superficies reales es menor que la radiación emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como: Qemit = εσAT 4 [W ] donde ε es la emisividad de la superficie y varía entre cero y uno, para un reflector ideal ε = 0 y para un cuerpo negro ε = 1 . No todas las radiaciones que dejan una superficie alcanzarán la otra superficie.

4

Por ejemplo, un cuerpo negro de área superficial A y temperatura absoluta Ts está dentro de un recinto de temperatura absoluta Tp. El cuerpo emitirá energía radiante en cantidad

AσTs4 y absorberá energía radiante en cantidad AσT p4 , así que la energía radiante neta que sale del cuerpo será Q R Neto = Aσ (Ts4 − T p4 ) .

Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto y si ambos guardan una relación geométrica entre sí la energía radiante neta que sale del cuerpo será Q R Neto = AFσ (Ts4 − T p4 ) donde F es una magnitud adimensional menor que la unidad, que modifica la ecuación para los radiadores perfectos de manera que tengan en cuenta las emitancias y la distribución relativa de las superficies. La determinación de la cantidad real de calor radiante intercambiado depende de varios factores: 1. Relación geométrica entre los cuerpos (factor de visión). 2. La presión o no de gas absorbente. 3. Receptividad de la superficie. El factor de visión permite determinar cuanta energía llega a una superficie con respecto a lo que salió de la otra, este factor también varía entre cero y uno.

5

Procesos básicos de intercambio de calor radiante:

CASOS

SUPERFICIE NEGRA

SUPERFICIE GRIS

A2

(

)

Q1, 2 = σT14 − σT24 A

A1 → ε 1

Q1, 2 = σ T14 − T24 A

Q1, 2 = ε 1 A1σ T14 − T24

(

)

(

)

(

)

A1

A2

(

A1

)

Q1, 2 = σT14 − σT24 A

A1 → ε 1

Q1, 2 = σ T14 − T24 A

Q1, 2 = ε 1 A1σ T14 − T24

(

)

A2

(

)

Q1, 2 = A1σ T14 − T24 F12

Q1, 2 = A1σ (w1 − w2 )

F12 → factor de visión

w → radiosidad

A1

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TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN La conducción es la forma de transferencia de calor en la cual el intercambio de energía ocurre de la región de mayor a la de menor temperatura por el movimiento cinético ó el impacto directo de las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como en el caso de los metales.

130º 140º

Definiendo un diferencial de área en una de las isotermas, la dirección del flujo de calor es perpendicular a esta.

qn qt

dA 150º

La ley básica de la conducción del calor basada en observaciones experimentales, se conoce con el nombre del físico matemático francés J. Fourier quien la aplicó en su teoría analítica del calor, la cual establece que la tasa de conducción de calor en una dirección dada es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.

q = − kA

∂T ∂x

Donde el signo menos nos indica que el calor fluye de un medio caliente a uno frío, A es el área de transferencia de calor perpendicular al eje X (m2), la derivada parcial es el gradiente de temperatura en la dirección X (K/m) y k es la conductividad térmica. Demostración:

dQ = qdA

[W ]

⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ r k ⎟⎟ j+ i+ q = − k ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ z y x ⎝ ⎠ ⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ k ⎟⎟. Ai iˆ + A j ˆj + Ak kˆ j+ i+ dQ = − k ⎜⎜ ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂x

(

)

⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂T Ak ⎟⎟ = Aj + Ai + dQ = − k ⎜⎜ ∂z ∂y ⎝ ∂x ⎠

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dT dX

∂T ∂T Ax = −k An sen 2θ ∂x ∂n ∂T ∂T Q y = −k Ay = − k An cos 2 θ ∂y ∂n ∂T Qx + Q y = −k An ( sen 2θ + cos 2 θ ) ∂n ∂T Qx + Q y = −k An = Qn ∂n Qx = −k

dT dn An Ax Ay dT dy

Un ejemplo es el caso de dos paredes de espesores diferentes, con el mismo tipo de material, la transferencia de calor por unidad de área en la pared A de la figura es mayor que en B, debido a que esta depende de la diferencia de temperatura con respecto a la distancia. Q =50/5 =10 ºC/cm

Q=50/10 =5 ºC/cm

A

B 100º

100º

50º

50º 5 cm

10cm

El valor numérico de la conductividad nos indica qué tan rápido fluirá el calor en un material dado y varía según el material (W/mK). El mayor valor lo tienen los metales puros y el menor los gases y vapores; los materiales aislantes amorfos y los líquidos inorgánicos tienen conductividades térmicas intermedias entre éstos valores. La conductividad térmica varía también con la temperatura. La de la mayoría de los metales puros disminuye con la temperatura, mientras que la de los gases y la de los materiales aislantes aumenta con ella.

8

El mecanismo de conductividad térmica en un gas es simple, se identifica la energía cinética de una molécula con su temperatura, en una región de alta temperatura la velocidad es alta. Si una molécula se mueve de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura, transporta energía cinética a la parte de baja temperatura y transfiere ésta energía a través de colisiones con moléculas de temperatura más baja, la condición depende de la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. En los líquidos, cualitativamente, igual que en los gases, pero más complejo ya que las moléculas se encuentran más cerca unas de otras y los campos de fuerza molecular ejercen una fuerte influencia sobre el intercambio de energía en el proceso de colisión. En los sólidos se identifican dos modos: por vibración de red y por el transporte por medio de electrones libres. En buenos conductores eléctricos un gran número de electrones libres se mueven en la estructura de la red del material transportando carga eléctrica y energía térmica, como un gas de electrones. En materiales aislantes a altas temperaturas puede ser por conducción a través de material sólido poroso ó fibroso, por conducción a través del aire atrapado en los espacios huecos ó por radiación a temperaturas suficientemente altas.

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TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN

Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó fluye dentro de un canal y si las temperaturas del fluido y del sólido o del canal son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se da el nombre de Convección, que implica los efectos combinados de la conducción en la primera capa de fluido y del movimiento del fluido.

Sólido Ts

Fluido T∞

El gradiente de temperatura depende de la rapidez a la que el fluido conduce el calor, es decir, del campo de flujo. Se dice que la transferencia de calor es por Convección Forzada si el movimiento es inducido artificialmente, digamos con una bomba ó un ventilador que impulse el fluido sobre la superficie; y que la transferencia de calor es por Convección Libre (o Natural), si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperaturas en el fluido. Por ejemplo, una placa caliente suspendida verticalmente en aire frío en reposo, produce un movimiento en la capa de aire adyacente a la superficie de la placa, debido a que el gradiente de temperatura en el aire da lugar a un gradiente de densidad que a la vez pone el aire en movimiento. La rata de transferencia de calor por convección depende de la conductividad térmica, el calor específico, la densidad del fluido, su viscosidad y de las temperaturas. Puede presentarse en diferentes formas: -

Interno, en el cual el fluido está confinado por la superficie.

-

Externo, en el cual el fluido se encuentra fuera de la superficie.

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Procesos básicos de intercambio de calor convectivo

CASO

CONFIGURACIÓN Tref

Confinado

Interno

COEFICIENTE

Ts Tm

Tm

-Natural

h=

qc Ts − Tm

h=

qc Ts − T∞

-Forzado

T∞ Ts

No

Externo

confinado

-Natural

T∞

-Forzado

MÉTODOS DE SOLUCIÓN:

- Analítico (infinitesimal)

∂T = ? → T ( y ) → Ec. diferencial del balance de energia ∂y

- Empírico (finito)

Tomando un promedio

h=

qc mCp∆T = Ts − Tref AT (Ts − Tref )

∆T = Ten − Ts ρu A Cp∆T h = m flujo AT ∆T h Af ∆T = w (a dim ensional ) → St ρCpum AT ∆T St ≅ Stanton.

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DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO

1. Conociendo el gradiente de temperatura del fluido ∂T ⎞ ⎟ ∂r ⎠ r = R

O

∂T ⎞ ⎟ z ∂y ⎟⎠ y = 0

Para el tubo qe = − kA

∂T ⎞ ⎟ ∂r ⎠ r = R

Para placas

qe = −kA

∂T ⎞ ⎟ ∂y ⎟⎠ y = 0

La determinación analítica del perfil de temperatura para T(r) ó T(y) es bastante complicado ya que depende de: 1. Patrón de flujo: laminar, turbulento o en transición. 2. Forma de la frontera. 3. Propiedades físicas del fluido. Se puede decir que

(1)

q c ≅ Ts − Tref ∆T =

Q mCp

⇒ Q = mCp∆T

Para tuberías existe una temperatura media del fluido. E = dmCpT (r ) = ρvr 2πr (e)drCp (Tr ) R

E = ∫ ρvr 2πr (e )CpT (r ) = m& CpTm 0

E = ρvmπR 2CpTm

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Para volver (1) igualdad:

qc = h(Ts − Tref h=

)

qc Ts − Tref

Donde h es variable y depende de muchos factores.

Unidades ⎡ Btu ⎤ ⎡ w ⎤ h=⎢ 2 0 ⎥ ; ⎢ ⎥ 2 ⎣m C ⎦ ⎣ hr ft F ⎦

Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

CONDICIÓN

⎛ W ⎞ h⎜ 2 ⎟ ⎝ m ºC ⎠

AIRE CONVECCIÓN LIBRE

5-15

AIRE CONVECCIÓN FORZADA

15-300

ACEITE CONVECCIÓN FORZADA 50-1700 AGUA CONVECCIÓN FORZADA

5000-12000

VAPORIZACIÓN DE AGUA

3000-55000

CONDENSACIÓN DE AGUA

5500-100000

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CONVECCION Y RADIACION COMBINADAS

Cuando las transferencias por convección y por radiación son del mimo orden de magnitud y ocurren simultáneamente, es muy complicado hacer un análisis de transferencia de calor considerando la interacción entre las dos formas de transferencia. Por otro lado, bajo condiciones muy restringidas, puede determinarse en forma aproximada la transferencia de calor por convección y radiación simultáneas, mediante la superposición lineal de los flujos de calor debidos a estas dos formas de transferencia. Consideremos por ejemplo, el fluido de los productos calientes de combustión a una temperatura Tg, a través de un ducto frío cuyas paredes se mantienen a una temperatura Tw. Los productos de la combustión tales como el CO2, CO y H2O absorben y emiten radiación. Entonces, la transferencia de calor del gas a las paredes del conducto se realizan tanto por convección por radiación y un análisis apropiado de este problema de transferencia de calor requiere de una solución simultánea de las ecuaciones de convección y radiación; lo cual es muy complejo. Si la componente radiante del flujo de calor no es muy apreciable, se puede calcular aproximadamente el flujo total de calor q desde el gas hasta la superficie de la pared, sumando el flujo de calor por convección qc y el flujo de calor por radiación qr como: q=qc +qr Cuando en esta ecuación se reemplazan las relaciones de los flujos de calor por convección y radiación se obtiene:

q = hc (Tg − Tw ) + hr (Tg − Tw ) = (hc + hr )(Tg − Tw )

o′ q = hcr (Tg − Tw )

En donde se define el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación como: hcr = hc + hr

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ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN

La distribución de temperatura en un medio puede determinarse a partir de la solución de la ecuación diferencial de la conducción de calor cuando se somete a condiciones apropiadas de frontera. Se mira el cambio de gradiente en todas las direcciones, se debe hacer el balance de energía teniendo en cuenta: -

Flujo de calor conducido a través de la superficie de control.

-

Flujo de calor almacenado en el elemento Qa.

-

Flujo de calor que se genera en el interior del elemento Qg.

Flujo de calor a una diferencia de temperatura:

Ecuación de balance de calor Qkx + Qky + Qkz + Q g = Qk ( x + ∆x ) + Qk ( y + ∆y ) + Qk ( z + ∆z ) + Qa

(Q

kx

(

)

− Qk ( x + ∆x ) ) + (Q y − Qk ( y + ∆y ) ) + Qk ( z + ∆z )+Qkz + Q g = Qa

Se puede aproximar al concepto de derivada ∂f ∂2 f f ( x + ∆x ) = f ( x ) + ∆x + 2 ∂x x ∂x Qk ( x + ∆x ) = Qkx Qkx − Qk ( x + ∆x ) −

x

∆x 2 ⋅⋅⋅⋅ 2

∂Q x ∆x ∂x ∂Q = − x ∆x ∂x

∂Q y ∂Q x ∂Q z ∆y − ∆z + Q g = Qa ∆x − ∂y ∂z ∂x

Es decir: Tasa neta de calor que entra por conducción al elemento ∆x∆y ∆z + Tasa de energía generada en el elemento ∆x∆y ∆z = Tasa de incremento de energía interna del elemento ∆x∆y ∆z

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Relaciones de transformación

1. La tasa neta de calor que entra por conducción al elemento de volumen se

determina

sumando las entradas netas de calor por conducción en las direcciones x, y, z. Si en la posición x el flujo de calor en dirección x es − k

∂T ∂x

, la tasa de flujo de calor que entra al

elemento de volumen a través de la superficie en dirección x es

Q x = −k

∂T ∆y∆z ∂x

Q y = −k

∂T ∆x∆z ∂y

Qz = −k

∂T ∆y∆x ∂z

2. Si en el medio hay fuentes distribuidas de energía que generan calor a una tasa g (x, y, z, t) por unidad de tiempo y por unidad de volumen, la tasa de energía generada en el elemento esta dada por

Q g = q g ∆V 3. En el caso de sólidos y líquidos lo calores específicos, a presión y volumen constante, son iguales, esto es, Cp ≅ Cv ≡ C . Entonces la tasa de incremento de la energía interna se refleja en la tasa de almacenamiento de energía en el elemento de volumen y esta dada por,

Qa = mCp

∂T ∂t

donde ρ y Cp no varían con el tiempo. ⎡ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎤ ∂T k∆V ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ + q g ∆V = ρCp ∆V ∂t ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x

Realizando las simplificaciones y dividiendo por k, obtenemos la ecuación diferencial parcial de la conducción de calor.

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q g ρCp ∂T + = + + k k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

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Donde

α=

k ρCp

→ Difusividad térmica (m2/seg)

Una difusividad alta indica elevada rapidez de transferencia de energía o valor bajo de la capacidad calorífica, lo que significa que se absorberá dentro del material una cantidad menor a la de la energía en movimiento y será utilizada para aumentar la temperatura del material, por tanto habrá mas energía disponible para transferencias ulteriores. Generalizando

∇ 2T +

g 1 ∂T = k α ∂t

Donde ∇ 2T es el operador laplaciano y se define como

∇ 2T =

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + ∂x 2 ∂y 2 ∂Z 2

En la ecuación general el primero y segundo término del lado izquierdo de la ecuación representa respectivamente las ganancias del calor del sólido por conducción y generación, y el lado derecho representa la tasa de variación de la temperatura con el tiempo en el sólido.

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ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

En el análisis precedente derivamos la ecuación de conducción del calor para un sistema de coordenadas rectangulares, esta ecuación se utiliza para analizar la conducción de calor en sólidos tales como la placa, un medio semi-infinito, un rectángulo ó un paralelepípedo. Por otra parte, para analizar la conducción de calor en cuerpos tales como un cilindro o una esfera se debe expresar la ecuación de conducción de calor en el sistema de coordenadas cilíndricas ó esféricas respectivamente; el propósito de emplear diferentes sistemas de coordenadas es asegurar que las superficies coordenadas coincidan con las superficies que delimitan la región. Coordenadas cilíndricas:

∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T g 1 ∂T + + + = + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 k α ∂t

Coordenadas esféricas: 1 ∂2 1 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ 2T g 1 ∂T ( ) + θ + + = rT sen ⎜ ⎟ r ∂r 2 ∂θ ⎠ r 2 sen 2θ ∂φ 2 k α ∂t r 2 senθ ∂θ ⎝ Existen otros sistemas de coordenadas ortogonales para resolver las ecuaciones de conducción del calor en cuerpos que tienen otras formas geométricas. Por ejemplo, se puede utilizar coordenadas cónicas, elipsoidales, parabólicas, etc. Para nuestro caso la solución de la ecuación de conducción en tales sistemas de coordenadas no las tendremos en cuenta.

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Ecuación general de conducción

CASO

COORDENADAS

Rectangulares

Cilíndricas

Esféricas

ECUACION GENERAL

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q g ρCp ∂T + = + + k k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T g 1 ∂T + + + = + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 k α ∂t

1 ∂2 1 ∂⎛ 1 ∂2T g 1 ∂T ∂T ⎞ ( ) θ rT sen + = + + ⎜ ⎟ r ∂r2 ∂θ ⎠ r 2sen2θ ∂φ2 k α ∂t r 2senθ ∂θ ⎝

Algunos casos prácticos:

1. Flujo de calor unidimensional en el estado estable sin generación de calor,

∂ 2T =0 ∂x 2 2. Flujo de calor unidimensional en coordenadas cilíndricas

∂ 2T 1 ∂T =0 + ∂r 2 r ∂r 3. Flujo de calor unidimensional en estado estacionario con fuentes de calor

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∂ 2T g + =0 ∂x 2 k 4. Conducción bidimensional en estado estacionario sin fuentes de calor

∂ 2T ∂ 2T + =0 ∂x 2 ∂y 2

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CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE

A continuación discutiremos las aplicaciones de la conducción del calor en una placa, en un cilindro y una esfera, en estado estable y en una dimensión, considerando diferentes condiciones de frontera; discutiremos la determinación del flujo de calor a través de una placa cuya conductividad térmica depende de la temperatura; estudiaremos el análisis de la transferencia de calor en capas paralelas compuestas, el concepto de resistencia térmica por analogía con la resistencia eléctrica, derivaremos la ecuación de una aleta en una dimensión, determinando la transferencia de calor proveniente de superficies provistas de aletas

Condiciones de frontera

En los problemas de conducción de calor que se encuentran en la practica intervienen regiones adyacentes que pueden ser muy distintas, para estudiar estos problemas es necesario conocer las condiciones térmicas en cada una de las superficies de contacto; en general se requiere que tanto el flujo de calor por unidad de área como la temperatura sean continuas a través de la interfaz; así las soluciones de la ecuación de conducción en cada región deben estar ligadas. En el estudio de problemas de transferencia de calor más complejos, a menudo es conveniente desligar las regiones y considerarlas por separado. Así, la condición de contorno o de frontera es simplemente una temperatura conocida. Se pueden plantear cuatro clases de fronteras: 1.

Primera clase: Se especifica el valor de la temperatura en dos puntos del cuerpo,

( x=0 ; x=e ) Especificar →

Tx = 0 = T1 Tx = e = T2

21

2. Segunda clase: Especifica el flujo de calor en una posición dada. Donde el flujo de calor es igual al producto de la conductividad térmica k del material por la derivada de la temperatura normal a la superficie.

∂T ∂x

q x = 0 = q0 dT q0 = − k dx

= q0 x =0

3. Tercera clase: Esta condición se da cuando se somete la superficie limite a una transferencia de calor por convección con un medio de temperatura conocida. Consideremos una placa

h1 (T∞1 − Tx=0 ) = −k

qc = qk dT qc = h1 (T∞ − T1 ) = − k dx

∂T ∂x

−k x=0

(

∂T = h2 T x=e −T∞2 ∂x x=0

x =0

4. Frontera móvil:

q c = q condensacio&n Se llaman condiciones de frontera móvil a las condiciones de problemas de radiación, convección, fusión o solidificación y ablación porque en ellos aparece la temperatura elevada a una potencia, lo que hace el análisis de los problemas de calor sometidos a condiciones de frontera móvil muy complejo.

22

)

Situaciones de transferencia de calor

CASO

PERFIL DE TEMPERATURA

FLUJO DE CALOR

PARED PLANA

dT A dx Q = − kC1 A Qx = −k

d 2T =0 dx 2 dT = C1 dx ⊗ T ( x ) = C1 x + C 2 T (x ) =

PARED CILÍNDRICA

T1

Q=

T1 − T2 e kA

T2 − T1 x + T1 e

1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜r ⎟=0 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ T −T ∗ T (r ) = 1 2 ⋅ Lnr2 + C2 r Ln 1 r2

dT A(r ) dr T −T Q= 1 2 Ln r2 r1 2πkL Qr = − k

T2

La solución debe ser particularizada a través de las condiciones de frontera: ⊗ Pared plana

Tx =0 = T1 Tx=e = T2

T1 = C 2T2 = C1e + T1 T2 = C1e + C 2 C1 =

T2 − T1 e

⇒ T( x ) =

T2 − T1 x + T1 e

23

* Pared cilíndrica

T1 = C1 Lnr1 + C 2 T2 = C1 Lnr2 + C 2

T(r = r1 ) = T1

T1 − T2 = C1 Ln r1 r2

T(r = r2 ) = T2

C1 =

T (r ) =

⇒

T2 − T1 Ln r2 r1

T1 − T2 ⋅ Lnr2 + C 2 Ln r1 r2

CASOS DERIVADOS

1. Paredes en serie: ƒ

Las temperaturas T1 , T2 ,...Tn serán fijas en el tiempo.

ƒ

Los calores son iguales por que no hay generación ni almacenamiento

Q=

Q=

T1 − T2 e1 k1 A T2 − T3 e2 k2 A

Q=

T1 − T3 e e1 + 2 k1 A k A 2

⎛ e e ⎞ T1 − T3 = ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟Q ⎝ k1 A k 2 A ⎠

Si se tiene una pared compuesta en la cual una de ellas (intermedia), se debe realizar el balance por separado.

24

1. Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional sin generación.

1) Q1 =

T1 − T2 e1 k1 A

T − T3 2 ) Q2 = 2 e2 k2 A 3) Q3 =

T2 − T3 e2 k3 A

Generalizando: Q =

Q1 = Q2 + Q3 ⎡1 1⎤ e e T1 − T2 = T2 − T3 ⎢ + ⎥ donde R2 = 2 ; R3 = 2 e1 k3 A k2 A ⎣ R2 R3 ⎦ k1 A ⎛ 1 ⎞ T −T T2 − T3 ⎜ ⎟ = 2 3 ⎜R ⎟ e1 ⎝ eq ⎠ k1 A

T2 − T3 → Req

1 1 1 = + Req R1 R2

Condiciones de frontera de tercera clase: (Unidimensional estado estable sin generación) Qc = Qk = Q donde : Qc = h1 A(T∞1 − T1 ) T − T2 e kA Qc = h2 A(T2 − T∞ 2 ) Qk =

25

Despejando las diferencias de temperaturas: Q = T∞ 1 − T 1 h1 A e = T1 − T2 kA Q = T2 − T∞ 2 h2 A

Q

⎡ 1 T ∞ 1 − T∞ 2 1 ⎤ e Q⎢ + + ⇒ Q= ⎥ = T∞ 1 − T ∞ 2 ∑R ⎣ h1 A kA h2 a ⎦ T ∞ 1 − T∞ 2 1 ; siendo Q= = Re istencia global 1 UA UA U = Coeficiente global de transferencia de calor

Coeficiente global de transferencia de calor

UA =

Q T∞ 1 − T∞ 2

T∞ 1 − T∞ 2 Q= 1 1 e + + h1 A kA h2 A

UA =

1 1 1 e + + h1 A kA h2 A

Ejemplo

Se tiene una pared con las siguientes especificaciones: h1

h2

10 10

U

%h

%U

100 8.33

h2

6.2%

400 8.88

400%

100 10

8.33

h1

400 10

8.88

400%

100 40

22.22 400% 68.75%

6.2%

26

De la anterior tabla se puede se concluye: 1. El coeficiente global de transferencia de calor U es menor que los valores menores de h. 2. Para mejorar la transferencia de calor apreciablemente debemos mejorar el coeficiente de transferencia de calor, del lado que tenga el menor h. Se tienen dos objetivos: Q = UA(T∞1 − T∞ 2 ) ↑ 1. Disminuir la transferencia de calor ⇒ U ↓ (debe aumentarse la resistencia total al paso del calor). Q=

T∞ 1 − T ∞ 2

1 1 + Rp + h1 A1 h2 A2

2. Aumentar la transferencia de calor ⇒ U ↑ (Tomar en cuenta que U < hmin ). Q=

T∞ 1 − T∞ 2 1 1 + Rp + hi Ai he Ae

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Disminución de la transferencia de calor colocando una resistencia adicional.

CASO

PARED

SITUACION

PLANA Sin

FORMULA Qsin =

resistencia

adicional

Con

resistencia

Qcon =

adicional

PARED

Sin

CILINDRICA

adicional

Con adicional

resistencia

resistencia

Qsin =

Qcon =

T∞ 1 − T ∞ 2 e 1 1 + + h1 A kA h2 A

T∞ 1 − T ∞ 2 1 1 e e + + + h1 A kA k a A h2 A T∞ 1 − T ∞ 2

1 1 + Rp + h1 2πr1 L h2 2πr2 L T∞ 1 − T ∞ 2 Ln r2 r1 1 1 + Rp + + h1 2πr1 L 2πk a L h2 2πr2 L

Podría aparecer a simple vista que entre mas grueso sea el aislante menor será la perdida de calor. Esto se cumple para aislantes planos, pero no para aislantes curvos. Ejemplo: considerar un tubo con capas sucesivas de aislamiento cilíndrico. A medida que

el grueso del aislamiento aumenta, la superficie de la que el calor debe ser removido por el aire aumenta y la perdida total de calor puede aumentar si el área aumenta mas rápidamente que la resistencia.

28

∑

r

Ln

(m)

2πk a L

1 h2 2πrL

0.4

0

0.0198943 0.0198943

r

r1

0.45 0.0018745 0.0176838 0.0195583 0.5

0.0035514 0.0159154 0.0194668

0.6

0.0064532 0.0132629 0.0197161

∑R = R

i

+ Rp +

Ln

r

r2

2πk a L

+

1 h2 2πrL

La resistencia es un mínimo y la perdida de calor un máximo, cuando las derivados de la suma de la resistencia R con respecto al radio r se hace igual a cero. d∑ R dr

=

1 ⎡ r2 1 1 1 ⎤ 1 1 = − =0 ⎢ ∗ ∗ − 2 ⎥ 2πL ⎣ r r2 k a h2 r ⎦ k a h2 r

h2 r = k a En otras palabras, la máxima perdida de calor por una tubería tiene lugar cuando el radio cuando el radio critico sea: rc =

ka h2

29

Es de desear mantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, de manera que la aplicación del aislante proporcione una reducción y no un aumento en la perdida de calor por una tubería. Lo cual se puede lograr usando un material aislante de baja conductividad. •

Para aumentar la transferencia de calor rcritico > rexterior (tubería)

•

Para disminuir la transferencia de calor rcritico < rexterior (tubería)

Determinación del espesor de aislamiento requerido (Radio Óptimo).

Si queremos determinar cuanto aislamiento poner, entonces se debe realizar un análisis económico. El espesor económico se define como el valor mínimo anual de la suma de los costos correspondientes a la pérdida de calor más los del aislante. Cuando el espesor de un aislamiento es bajo, el costo anual amortizado de aislante es mínimo, pero el costo anual de energía que se pierde es alto y por consiguiente, a mayor espesor, el costo del aislante se incrementa, pero se reduce el costo de perdida de energía. Mas allá del punto mínimo, el costo total aumenta, debido a que el costo del aislante supera al de la energía, como se aprecia en la figura Cc Vs ra

Cc = Costo del combustible. 30

ra = Radio de aislamiento. r2 = Radio exterior del materia sin aislamiento. Cmin = Costo total mínimo. Los factores que deben ser tenidos en cuenta para el cálculo del aislamiento requerido son: •

El costo del calor perdido: Costo del combustible, inversión de capital, interés, depreciación de os equipos, mantenimiento, numero de horas de operación.

•

El costo del aislamiento.

• Costo del material: Ca = ( $/Kg) * wa = ( %/Kg)*π(ra2-r22 )*L*ρa wa= Peso especifico del material. Costo del calor perdido: CQ = ( Q*horas )* $/Kw-hr

Donde: Q =

T∞ 1 − T ∞ 2 r Ln a r2 1 Ri + R p + + 2πk a L he 2πra L

El costo total esta determinado por CT = C a + C Qp

31

CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLE CON GENERACIÓN

En algunas circunstancias, el comportamiento térmico se ve afectado por la producción o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Las resistencias de calentadores, los embobinados eléctricos, los reactores nucleares y la combustión del combustible en el hogar de una caldera. La disipación del calor, procedente de fuentes internas, constituye otro aspecto importante para juzgar la potencia de régimen de motores eléctricos, generadores y transformadores.

CASOS:

1. Placa plana: Considerar una placa plana en la cual el calor se genera uniformemente. Esta placa podría ser un elemento de calentamiento tal como una barra plana de un cuadro de distribución en la cual se genera el calor al pasar una corriente eléctrica a través de ella. Si suponemos la existencia de un estado estable, que el material es homogéneo y que la placa es lo suficientemente larga para poder pasar por alto los efectos de los extremos, se puede expresar una ecuación de energía para el elemento diferencial como:

Q x + Q g = Q x + ∆x donde Qg es la intensidad de la fuente de calor por unidad de volumen. ∇ 2T =

qg k

=0

d 2T q g + = 0 Ecuación que debe cumplirse en cualquier punto del cuerpo. k dx 2 Por dos integraciones sucesivas se obtiene la solución de esta ecuación, la primera de ellas conduce al gradiente de temperatura y la segunda proporciona la distribución de la temperatura,

32

qg dT x + C1 =− dx k

⇒ T( x ) = −

qg k

x 2 + C1 x + C 2

Donde C1 y C2 son constantes de integración cuyos valores están determinados por las condiciones de frontera de primera clase. Por facilidad se toma T1 y la posibilidad de un punto x0 donde

dT =0. dx x=0

→ Tx =0 = T1

⇒ C 2 = T1

dT dx

⇒ C1 =

x = x0 →

=0 x = x0

qg k

x0

Reemplazando estas expresiones se obtiene la distribución de la temperatura: T( x ) = −

qg 2k

x2 +

q g x0 k

x + T1

Si se tienen los valores de T1 Y T2 , puedo calcular a x0. Se tiene que mirar el flujo de calor en una dirección transversal: qg q g x0 q g dT (x0 − x ) x+ =− = dx k k k qg dT ⎞ dT ⎞ Calculando x0 ⇒ ⎟ ⎟ = dx ⎠ x =0 dx ⎠ x =0 k qg dT ⎞ (x0 − e ) ⎟ = dx ⎠ x =e k entonces : q x =0 = − k q x =e = − k

qg dT ⎞ x0 = −q g x0 ⎟ = −k dx ⎠ x =0 k qg dT ⎞ (e − x0 ) = q g (e − x0 ) ⎟ = −k dx ⎠ x =e k

Generalizando : Q1 = − q g Ax0

Q2 = q g A(e − x 0 ) Si se quiere determinar el balance global o calor generado por la pared, puede realizarse una tabla de “mas por menos” (+ x -).

33

x0

Q2 = q g (e − x0 ) Q2 − Q1

Q1 = − q q x0

-, xo < 0 +

+

qge

+, xo < e -

+

qge

+, xo > e

-

qge

-

Ejemplo: Calcular el calor en cada una de las fronteras y el punto máximo de una pared

cuyas temperaturas son T1= T2 = 100°C , espesor e =0.2 m, conductividad térmica k = 40 w/m.K, la pared tiene una generación uniforme qg = 105 w/m3 Suposiciones: -

Condiciones de estado estable.

-

Conducción unidimensional en la dirección x.

-

Propiedades constantes para la pared.

Las condiciones de frontera son simétricas, por lo tanto el gradiente de temperatura es cero, dT ⎞ ⎟ = 0 , en consecuencia no hay transferencia de calor a través de este plano. dx ⎠ x =0

Calculo del punto máximo: T2 = − qg 2k

qg 2k

e2 =

e2 +

q g x0 k

q g x0 k e

e + T1

→ x0 =

Calculo de la temperatura máxima en e = xo: Tmax = −

como T1 = T2 e 2 qg 2k

Tmax = − Tmax

qg

2

x0 + 2

x0 2k = 112.5º C

q g x0 k

x0 + T1

10 5 ∗ (0.1) + T1 = − + 100 2 ∗ 40 2

Calculo de calores: Q1 = − q q x 0 = −10 5 ∗ 0.1 Q1 = −10 4 w

m2

Q2 = q g (e − x0 ) = 10 5 ∗ (0.2 − 0.1) Q2 = 10 4 w

m2

34

2. Cilindro hueco: Para condiciones de estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Esta condición permite que la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo Ts = T1.

A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos con la forma apropiada de la ecuación de calor, para una conductividad térmica k, constante: 1 d ⎛ dT ⎞ q g =0 ⎟+ ⎜r r dr ⎝ dr ⎠ k

Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener: r

qg dT = − r 2 + C1 dr 2k

Si el procedimiento se repite, la distribución general para la distribución de temperaturas se convierte en: T(r ) = −

qg 4k

r 2 + C1 Lnr + C 2

Las constantes C1 Y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera: r = r0

dT =0 dr

→

; r = r1

→ T = T1

Aplicando el desarrollo para este caso como se hizo para la pared plana, se obtiene: T(r ) = −

(r 4k

qg

2 1

− r 2 )+

qg 2k

r02 Ln

r + T1 r1

Calores:

(

Q1 = q qπL r12 − r02

)

y

Q 1 = q q π L (r1 − r

)

35

Tabla resumen. Conducción unidimensional, estado estable con generación.

CASO

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS FLUJO DE CALOR

PARED PLANA T( x ) = −

qg

T(r ) = −

qg

2k

x2 +

q g x0 k

Q1 = −q g Ax0

x + T1

Q2 = q g A(e − x 0 )

CILINDRO HUECO

(r 4k

2 1

− r 2 )+

qg 2k

r02 Ln

r + T1 r1

( = q πL(r

Q1 = q qπL r12 − r02 Q2

q

2 2

− r02

) )

36

SUPERFICIES EXTENDIDAS

Al hablar de superficie extendida, se hace referencia a un sólido que experimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de energía por convección (y/o radiación) entre sus límites y los alrededores.

Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de conducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de manera especifica para aumentar la rapidez de transferencia de calor entre un sólido y un fluido contiguo, esta superficie extendida se denomina aleta. Las aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección hc es pequeño. Los ejemplos mas comunes son las aletas de enfriamiento de componentes electrónicos, o de cilindros de los motores de motocicletas y podadoras, así como de los tubos del condensador de un refrigerador domestico. Las aletas se agregan para aumentar el producto hcA y así disminuir la resistencia térmica por convección 1/hcA Las aletas según su posición relativa se clasifican en: •

Longitudinales

•

Transversales.

Las aletas según la forma de la sección se clasifican en: •

Aletas de sección transversal constante.

•

Aletas de sección transversal variable.

37

Aletas de sección transversal constante:

Considerando flujo bidimensional, que la temperatura solo cambia en dirección x, sin considerar el gradiente en y por el valor del espesor muy pequeño, que la aleta no genera. Se realiza el balance de energía: Q x = Q x + ∆x + Qc dQ x Qx = Qx + dx + hpdx(Tx − T∞ ) dx

⇒

d 2T kA 2 = hp(Tx − T∞ ) dx

d 2T hp (Tx − T∞ ) = 0 − dx 2 kA Para simplificar la forma de esta ecuación, transformamos la variable dependiente definiendo un exceso de temperatura θ como: θ = (Tx − T∞ ) , como T∞ es una constante. dθ/dx = dT/dx, al reemplazar nos queda: d 2θ − m 2θ = 0 2 dx

cuya solución es:

θ ( x ) = C 5 senh m(L − x ) + C 6 cosh m(L − x )

38

dθ = − mC5 senh m(L − x ) − mC 6 cosh m(L − x ) dx Condiciones de frontera: 1. x = 0 → θ x =0 = θ 0 = Tb − T∞ 2. x = L → − k

dT ⎞ ⎟ = hθ L dx ⎠ x =0

Reemplazando la segunda condición frontera tenemos:

− k [mC 5 senh m(0) − mC 6 cosh m(0)] = h[C 5 senh(0) + C 6 cosh (0)]

⇒ C5 =

h C6 km

Reemplazando:

θ0 =

h C 6 senh mL + C 6 cosh mL km

⇒

C6 =

θ0 h

km

senhmL + cohmL

Generalizando:

θ x = θ0

h

km

senhm(L − x ) + cosh m(L − x ) h km senhmL + cosh mL

Hay que tener en cuenta que el gradiente de temperatura disminuye al aumentar x. Esta tendencia es una consecuencia de la reducción en la transferencia de calor por conducción con el aumento de x debido a las perdidas por convección continuas de la superficie de la aleta.

Calor de aleta:

El calor total transferido por la aleta se puede evaluar en dos formas alternativas, que implican el uso de la distribución de temperaturas. El procedimiento mas simple, y el que usaremos, implica aplicar la ley de fourier a la base de la aleta. Es decir: Qa = − k

dT ⎞ dT ⎞ ⎟ ∗ A= − k ⎟ ∗A dx ⎠ x =0 dx ⎠ x =0

Qa = − k [− m h km C 6 cosh mL − mC 6 senhmL]A

39

Qa = kAmC6 [h km cosh mL + senhmL] Qa = kAmθ 0

h

cosh hmL + senhhmL h km senhmL + cosh mL

km

→ Calor de aleta

Una manera alterna de presentar esta ecuación para un análisis mas practico, es dividiendo por cosh(mL):

Qa = kAmθ 0

taghmL + h km 1 + h km tan ghmL

Efecto del parámetro h/km y de la longitud de la aleta:

El objetivo es mirar como varia el calor de aleta (Qa) al variar la relación h/km. h/km mL = 0

TaghmL = 0.3

2

Qa = 2kAmθ 0

Qa = 1.4375kAmθ 0

1

Qa = kAmθ 0

Qa = kAmθ 0

0.1

Qa = 0.1kAmθ 0

Qa = 0.388kAmθ 0

0.01

Qa = 0.01kAmθ 0 Qa = 0.309kAmθ 0

Observaciones:

•

Para que la transferencia de calor aumente la relación k/km <1

•

Si la relación h/km < 1, se ponen aletas para aumentar el calor transferido.

•

Es indiferente poner aletas cuando h/km = 1, por que el calor transferido no cambia.

Desde el punto de vista práctico se colocan aletas cuando h/km → 0 en estas condiciones la perdida de calor en la aleta se puede aproximar a:

Qa = kAmθ 0 taghmL Para disminuir el error cometido por despreciar la perdida de calor en el extremo (aleta), se debe “corregir” la longitud de la aleta.

40

Longitud corregida:

Para hacer la corrección de la longitud, se parte de la suposición de que el área última se abre y aumenta la longitud de la aleta.

Lc = L + δ = Lc = L +

t 2

t 2

Aleta de aguja:

CASO

δ=

A p

δ=

πr 2 2πr

⇒ δ =

r 2

Lc = L + δ

δ

δ =

t 2

Lc = L +

δ =

r 2

L +δ =

t 2

r 2

Calor absoluto perdido por una aleta:

En la medida en que se incremente L, el calor de aleta ( Qa ) aumenta hasta un punto donde mL = 4 Teóricamente se puede decir que QL→∞ ≈ QL→(mL→4 ) . De mL = 4 en adelante mL → ∞ el termino kAmθ 0 es constante, independiente de L ya que la

41

tagh (mL ) = 1

⇒

Q a = kAm θ 0

Desde el punto de vista “relativo” la mejor aleta es la mas corta.

Aletas de sección transversal constante

CASO

PERFIL DE TEMPERATURAS

FLUJO DE CALOR

ECUACION GENERAL

θ x = θ0

h

km

senhm(L − x) + coshm(L − x) h senhmL+ cosh mL km

ECUACION SIMPLIFICADA

θ x = θ0

cosh m(L − x ) cosh mL

Qa = kAmθ 0

Qa = kAmθ 0

h

cosh hmL + senhhmL h km senhmL + cosh mL

km

taghmL + h km 1 + h km tan ghmL

Otra forma de expresar el calor de aleta teniendo en cuenta la eficiencia: Qa = hpLcθ 0

tagh(mLc ) mLc

42

Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal uniforme

CASO

CONDICIÓN ALETA (x=L)

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA θ / θb

TRANSFERENCIA DE CALOR DE LA ALETA Qa

cosh m(L − x ) cosh mL

M tanh (mL )

A Adiabática dθ =0 dx x = L

B Temperatura Establecida θ (L ) = θ L

θ b = θ (0 ) = Tb − T∞

⎛ cosh mL − θ L ⎞ ⎜ θb ⎟⎠ M⎝ senh mL

e − mx

M

Aleta infinita (L → ∞ ) θ (L ) = 0

C

θ = T − T∞

h ⎞ senh m(L − x ) cosh m(L − x ) + ⎛⎜ e ⎟ km ⎝ ⎠ h ⎞ senh mL cosh mL + ⎛⎜ e ⎟ ⎝ km ⎠

m 2 ≡ hp

kAL

SECCIÓN TRANSVERSAL UNIFORME

M ≡ θ 0 hpkAC

43

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR EN ALETAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL UNIFORME

Al resolver la ecuación general para aletas de sección transversal uniforme, es posible encontrar la distribución de temperatura, sometiéndola a condiciones apropiadas de frontera. En general se conoce la temperatura en la base x=0 de la aleta, pero hay varias situaciones físicas posibles en el extremo x=L de la aleta:

A. Aletas con flujo de calor despreciable en el extremo (adiabáticas)

En este caso el área del extremo o borde de la aleta es muy pequeña en comparación con el área lateral de la aleta y el calor transferido por el extremo de la aleta es despreciable con respecto al transferido por las superficies laterales, entonces la condición de frontera que caracteriza esta situación en el extremo o borde de la aleta es dθ

dx

x =L

=0.

La siguiente es la formulación matemática del problema d 2θ (x ) para − m 2θ ( x ) = 0 2 dx θ ( x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0 dθ ( x ) =0 dx

0≤ x≤L

en x = L

Resolviendo

θ ( x ) = C1 cosh m(L − x ) + C2 senh m(L − x ) Aplicando las condiciones de frontera se obtiene

θ ( x ) T ( x ) − T∞ cosh m(L − x ) = = θ0 T0 − T∞ cosh mL El calor transferido por la aleta se obtiene sustituyendo la solución dada por la ecuación anterior, en la ecuación general Q = − Ak

dθ ( x ) dx x = 0

Obteniendo así, Q = Akθ 0 m tanh mL = θ 0 phkA tanh mL

44

B. Aletas con convección en el extremo

Es una condición de frontera físicamente mas real en el borde de una aleta, se considera que por el borde ó extremo de la aleta se transfiere calor por convección al fluido que lo rodea. d 2θ ( x ) − m 2θ ( x ) = 0 para 2 dx θ ( x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0 k

dθ ( x ) + heθ ( x ) = 0 dx

0≤ x≤L

x=L

En donde k es la conductividad térmica de la aleta y he es el coeficiente de transferencia de calor entre el extremo de la aleta y el fluido circundante. Se escoge la siguiente solución de la ecuación diferencial.

θ ( x ) = C1 cosh m(L − x ) + C2 senh m(L − x ) Las constantes de integración C1 y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera dadas anteriormente, de donde se obtiene respectivamente

θ 0 = C1 cosh mL + C2 senh ml − kC2 m + heC1 = 0 como dθ dx

= − mC1 senh m(L − x ) − mC 2 cosh m(L − x ) x = L = − mC 2 x=L

Cuando se hallan C1 y C2 se encuentra la distribución de temperatura en la aleta h ⎞ senh m(L − x ) cosh m(L − x ) + ⎛⎜ e km ⎟⎠ θ (x ) ⎝ = h θ0 ⎞ senh mL cosh mL + ⎛⎜ e ⎟ km ⎝ ⎠

B. Aleta larga (infinita)

En una aleta suficientemente larga se puede suponer razonablemente que la temperatura en el extremo o borde de la aleta es aproximadamente igual a la temperatura T∞ del medio circundante, además se considera que se conoce la temperatura To en la base de la aleta.

45

d 2θ ( x ) para − m 2θ ( x ) = 0 2 dx θ ( x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0

θ (x ) → 0

donde m 2 ≡

0≤ x≤L

cuando x → ∞ ph kA

La solución es de la forma

θ ( x ) = C1e − mx + C 2 e mx Las constantes de integración se determinan aplicando las condiciones de frontera, donde C2 = 0

y C1 = θ 0 , y la solución será

θ ( x ) − mx =e θ0 Eficiencia de la aleta:

Se debe recordar que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor de una fuente. Sin embargo, la aleta misma representa una resistencia de conducción para la transferencia de calor de la superficie original. Por esta razón no hay seguridad de que la transferencia de calor aumente a través del uso de aletas. Una apreciación de este caso se obtiene evaluando la efectividad de la aleta ηa. Si θ0 se mantuviera constante como una diferencia de temperaturas entre la superficie de la aleta y el ambiente, entonces tendríamos: Qmax = Qideal Partiendo de : Qaideal = h( pLc )θ 0 = hA f θ 0 Af = área superficial total de la aleta Si se toma: m 2 =

hp kA

Qa = Qreal =

kAm 2θ 0 tagh(mLc ) mLc

Generalizando:

46

Qa = hpLcθ 0

tagh(mLc ) mLc

Haciendo una extensión del concepto de eficiencia de aleta, podemos manejar todo tipo de aleta (de sección constante o variable) como: Qa = Qideal ∗ η aleta Qa = hA f θ 0 ∗ η aleta

Donde la eficiencia para diferentes formas se calcula por medio de la tabla 3.5, del libro Incropera. ¿Que pasaría si la temperatura de la base de la aleta se mantuviera constante en toda la longitud de ella? O lo que seria lo mismo que tanh (mL ) ≈ mL , ósea mL <<<<
ηa =

Qreal Qideal

⇒ ηa =

tagh (mLc ) mLc

Llamaremos parámetro de la aleta al producto mL , cuando este producto es pequeño, el valor de ηa esta cerca de la unidad; cuando mL es mayor que aproximadamente 4, tagh(mL ) ≅ 1 . Un valor pequeño de mL corresponde a aletas relativamente cortas y gruesas

de alta conductividad térmica, mientras que valores altos de mL corresponden a aletas relativamente largas y delgadas de baja conductividad térmica.

Determinación de la longitud optima de la aleta:

Con respecto a la longitud óptima se usan dos criterios: 1. El mejor uso del material gastado en construir la aleta. 2. El costo mínimo del sistema.

47

Mejor uso del material

Ac = t ∗ L t=

A = b∗t

Ac L

Ac A = L b

t=

⇒

A=

A b

Ac b L

Maximizar el flujo calórico (calor de aleta), para una Ac constante, ¿cuál será la longitud optima de la aleta? Qa = kAmθ 0 taghmL

;

m=

2h kt

dQa =0 dL Qa = k (b ∗ t )

2h 2h θ 0 tagh L kt kt

Qa = kb

2h 2h 3 2 θ 0 t ∗ tagh L k kAc

Qa = kb

A 2h 2h 3 2 θ 0 c ∗ tagh L k L kAc

Ac dQa 2h ⎡ θ 0 ⎢− = kb ∗ tan ghmL + dL k ⎢⎣ 2 L L

⎤ Ac 2h 3 ∗ sec 2 hmL ∗ L⎥ = 0 L KAc 2 ⎦⎥

dQa 2h 3 2 = −taghmL + sec 2 hmL ∗ L =0 dL kAc

3 sec 2 hmL − taghmL = 0

48

El valor de mL que hace que esta ecuación se cumpla es mL = 1.419 y es el valor que hace máxima la relación beneficio- costo y es cierto, solo para aletas de sección transversal constante.

mL = 1.419 Corresponde a una ηa = 0.62 → 62%

Cuando los catetos sean mL y Q iguales entonces ese es el punto optimo.

Haciendo un análisis económico:

Si se colocan aletas mas largas que mL = 1.419 , entonces el calor que va a disipar (dQ1 ) es muy poco y entonces no compensa el aumento del material con la disminución de Q desde ese punto de vista la aleta seria mas corta.

Costo mínimo del sistema:

Para hacer este análisis se hace una tabla de costos, así: Si tengo un cuarto con una tubería aleteada que me transmite calor. Al aumentar la longitud de las aletas el costo se eleva y si disminuyo la longitud y compenso el calor con una resistencia.

49

CT Cmin

1.4199

m*L

Aletas con área de sección transversal variable

Muchas de las aletas que se encuentran en la práctica tienen una sección transversal cuya área Ac varia entre la base y el extremo, por lo que hace mas complejo su análisis ya que la solución no presentara la forma de funciones exponenciales o hiperbólicas simples. Como caso especial considere la aleta anular de espesor t.

Estas aletas tienen muchas aplicaciones en intercambiadores de calor liquido-gas, como los evaporadores de sistemas de refrigeración enfriados por aire. Aunque el espesor de la aleta es uniforme (t es independiente de r), el área de la sección transversal, Ac = 2πrt varia con

(

)

r; el área superficial A f = 2π r2 − r1 , por tanto la forma general de la ecuación de la aleta 2

1

se reduce a:

50

d 2T 1 dT 2h (Tb − T∞ ) = 0 + − dr 2 r dr kt d 2θ 1 dθ + − m 2θ = 0 dr 2 r dr

donde

m=

;

2h kt

θ = Tb − T∞

La expresión anterior es una ecuación de Bessel modificada de orden cero, y la solución general tiene la forma: θ (r ) = C1 I 0 (mr ) + C 2 K 0 (mr ) donde I0 y K0 son funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase, respectivamente. Si la temperatura en la base de la aleta se establece, θ (r ) = θ b , y se supone la superficie adiabática, dT

dr r 2

= 0 , C1 y C2 se pueden evaluar para dar una distribución de temperaturas según la

forma :

θ (r ) I 0 (mr )K 0 (mr2 ) + K 0 (mr ) + I 1 (mr2 ) = θ0 I 0 (mr1 )K 1 (mr2 ) + K 0 (mr1 ) + I 1 (mr2 ) Las funciones de Bessel se tabulan según el apéndice B del libro de Mills. Si la transferencia de calor de la aleta se expresa como: Qa = − kAc

dT dr

= −kA(2πr1t ) r = r1

dθ dr

r = r1

y por lo tanto Qa = 2πkr1tmθ 0

K 1 (mr1 )I 1 (mr2 ) − I 1 (mr1 )K 1 (mr2 ) K 0 (mr1 )I 1 (mr2 ) + I 0 (mr2 )K 1 (mr2 )

Eficiencia global de la superficie

En contraste con la eficiencia de la aleta, que caracteriza el rendimiento de una sola aleta, la eficiencia global de la superficie ηs caracteriza un arreglo de aletas y la superficie base a la que se le une en cada caso la ηs , se define como:

ηs =

QTotal Qmax

51

Donde QT es la transferencia de calor total del área de la superficie AT asociada con las aletas y la parte expuesta de las aletas, si hay N aletas en el arreglo, cada una de las áreas superficiales Af, y el área de la de la superficie primaria AL, el área total de la superficie es AT = AL + A f . La transferencia de calor máxima posible resultara si toda la superficie de la aleta, así como la base expuesta, se mantuviera en Tb. La transferencia de calor total esta dado por QT = ∑ Qmod ulo = N (Qai + QLi ) Donde Qai = calor de aleta por un modulo y QLi =calor total de un modulo aleteado. Si aceptamos condiciones de flujo unidimensional, Qai = hA fiθ 0 ∗ η aleta QLi = hALiθ 0 el calor total de calor por convección de las aletas y de la superficie principal (sin aletas) se expresa como

QT = N (hA fiθ 0η a + hALiθ 0 ) QT = hA f θ 0η a + hALθ 0 QT = hθ 0 (AL + η a A f

)

QT = h(Tb − T∞ )(AL + η a A f

)

⇒

QT =

Tb − T∞ 1 h(AL + η a A f

)

Eficiencia de la superficie: QT = hθ 0 (AL + η a A f ) = η sup hθ 0 AT AL + η a A f = η sup AT

η sup = 1 − (1 − η a )

Af AT

Que dando de esta manera la resistencia para un sistema aleteado 52

QT =

θ0 1 hAT η sup

53

Eficiencia de aletas continúas

CASO

η

Re/r

M⎛ L Re ⎞ = 1,28 ⎜ − 0,2 ⎟ r r ⎝M ⎠

1

2

η=

tg h(mrφ ) (mrφ ) ⎛ Re ⎞ ⎡ ⎛ Re ⎞⎤ − 1⎟ ⎢1 + 0,35 ln⎜ ⎟⎥ ⎝ r ⎠⎣ ⎝ r ⎠⎦

φ =⎜

Busca aleta circular M⎛ L Re ⎞ = 1,27 ⎜ − 0,3 ⎟ r r ⎝M ⎠

1

2

equivalente.

CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN SOLUCIÓN ANALÍTICA Para este análisis se toma un sistema cartesiano y un elemento con sus 4 caras expuestas al flujo de calor. Se realiza un balance de energía y teniendo la Temperatura en función de X y Y se pueden obtener los gradientes de temperatura en X y Y ( ∂T / ∂x y ∂T / ∂y ) y los

calores conducidos. Balance de Energía: ∂ 2 T ∂ 2T + =0 ∂X 2 ∂Y 2

Esta es una Ecuación diferencial de tipo Lineal homogénea parcial.

Esto permite que si la ecuación es valida para T, también lo es para una (cte)X T esto es un caso particular de la linealidad.

54

Y Tα b

H

a

∂ 2 T ∂ 2T + =0 ∂X 2 ∂Y 2

c

d W

X

Donde a , b , c , d son condiciones de frontera. Al solucionar esta ecuación se encuentran cuatro constantes de integración y se necesitan 4 condiciones de frontera, las cuales se pueden clasificar en homogéneas y no homogéneas. Las no homogéneas se pueden convertir en homogéneas haciendo un cambio de variable. El caso más sencillo que podemos abordar es cuando tenemos a,c,d homogéneas y b no homogénea. El método analítico que se aplica a la solución se llama SEPARACIÓN DE VARIABLES.

θ (x,y) = f (x,y) ⇒

θ (x,y) = A(x) . B(y)

θ (x,y) = T(x,y) - T α EJEMPLO Se tiene un sólido con las siguientes condiciones de frontera: 1. (a) T(0,y) = T0 2. (c) T( w ,y ) = T0 3. (d) T(x,0) = T0 4. (b) T(x,h) = T0 + θ msen X.

55

T(x,h) = T0 + θ msen X.

T0

H

T0

W T0 La Solución es de la forma : θ (x,y) = A(x) . B(y) ∂ 2 T ∂ 2T Para la ecuación + =0 ∂X 2 ∂Y 2 ∂ 2 (A(x) . B(y) ∂ 2 (A(x) . B(y) ) + ∂X 2 ∂Y 2

B(y)

∂ 2 (A(x)) ∂ 2 (B(y) ) + A (x) ∂X 2 ∂Y 2

es:

= 0

= 0 Dividimos entre A(x) . B(y)

1 ∂ 2 (A(x)) 1 ∂ 2 (B(y) ) + A(x) ∂X 2 B(y) ∂Y 2

=0

1 ∂ 2 (A(x)) 1 ∂ 2 (B(y) ) = − A(x) ∂X 2 B(y) ∂Y 2

= ± λ2

y resulta

La única manera para que el termino de la izquierda F(x) sea igual al termino de la derecha F(y) es que ambos sean iguales a una constante, por ejemplo λ 2 > 0. Tomamos la negativa para A y para B la positiva así:

56

1 ∂ 2 (A(x)) =- λ2 2 A(x) ∂X 1 ∂ 2 (B(y) ) B(y) ∂Y 2

1 ∂ 2 (A(x)) A(x) ∂X 2

⇒

= λ2

⇒

)

1 ∂ 2 (B(y) ) B(y) ∂Y 2

+ λ 2 A(x) = 0 -λ 2 = 0

⇒ ⇒

(sin Senoidal) (sin Exponencial)

La solución será de la forma: A(x) =C1sen λ X + C2cos λ X B(y) =C3℮ -λY + C4 ℮ -λY La solución completa será el producto A(x) * B(y)

θ (x,y) =( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3℮ -λY + C4 ℮ -λY ) Reemplazando las condiciones de frontera: 1. θ (0,y) =0 0 =( C1sen0 + C2cos0)( C3℮ -λY + C4 ℮ -λY ) 0 = ( 0 + C2 ) ( C3℮ -λY + C4 ℮ -λY ) C2 = 0 3. θ

(x,0) =

0

0=( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3℮ -λ0 + C4 ℮ -λ0 ) 0=( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3 + C4 ) 0=( C1sen λ X )*( C3 + C4 ) C3 = -C4 La ecuación general reemplazando los valores de las constantes

θ (x,y) = C1sen λ X( C3℮ -λY + C3 ℮ -λY ) θ (x,y) = C1*C3 Csen λ X( ℮ -λY + ℮ -λY ) por 2/2

θ (x,y) = 2C1*C3 Csen λ X( ℮ -λY + ℮ -λY )

57

2. θ (x,y) = C sen λ X senh λ Y 3. θ (w,y) =0

0 = Csen λ W senh λY

λ W = 0, π , 2 π , 3 π , 4 π , ……….n π

λ nW = n π

n → entero

Se obtienen n soluciones . ( independiente de n, el valor de sen λ W es siempre cero). ∂ 2 T ∂ 2T + =0 ∂X 2 ∂Y 2

Como la ecuación

es lineal, la suma de las soluciones particulares es

también una solución, de esta forma como se tienen n soluciones (infinitas) θ (x,y) puede escribirse como la suma de una serie infinita así:

∑

∞ n =1

C nsen λnX senh λnY ;

λn = n π / W

Se deben encontrar los valores de Cn de la solución general que dependen de la 4 condición de frontera. 4. θ (x,H) = θ msen π X W

θ msen ( π X)/W =

∑

∞ n =1

C nsen (n π X)/w senh(n π H)/w

Como Cn es la combinación de otras constantes, esta igualdad existe cuando C2=C3 =C4 = 0=… Cuando n=1 θ msen ( π X)/W = C1 sen (1 ( π X)/W) senh( π H )/W C1 = θ m senh ( π Y/ W) sen( π X/ W) senh( π H )/ W

PRINCIPIO DE ORTOGONALIDAD: Principio aplicado a las funciones seno (llamadas funciones propias).

∫ senλ nX

sen λ mX dX =

{0 si n ≠ m ,

valor propio si n = m.

58

Un caso particular es cuando F(X) = θ c = cte.

Ejemplo

Se tiene una placa con las siguientes condiciones de frontera: Y θ = 20oC

H θ(x, y)= ?

θ=0

Por el mismo procedimiento

θ=0

anterior, Antes

∑

∞ n =1

aplicar

la

4

condición de frontera

W θ=0

θ (x,y) =

de

X

C nsen λ nX senh λ nY

Tenemos:

; λ n = (n π ) / W

Aplicando la 4 condición de frontera se obtiene:

θc=

∑

∞ n =1

C nsen λ nX senh λ nH

;

como hay C1,C2,C3…..Cn multiplicando por

sen λ nXdX

θ c sen λ nXdX =

∑ ∫

Cn sen2 λ nXsenh λ nH

se calcula el Cn correspondiente

W

∫ 0

θ c sen λ nXdX =

W

∫

Cn sen2 λ nXsenh λ nH

0

59

Integrando obtenemos:

θc

∫

sen

nπX nπ W dX = Cn senh * W W 2

Multiplicando y dividiendo por la derivada interna tenemos:

θc

W nπ

nπ ⎤ W nπH ⎡ ⎢⎣− cos W ⎥⎦ = 2 Cn senh W

1 + (−1) n Cn = 2 θ c senh λnH Así:

θ (x,y) =

∑

Cn sen λ nX senh λ nY.

SOLUCIÓN GRAFICA El principio básico de la solución por este método es que las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor en un punto específico. De esta manera se toma el elemento de análisis y se trata de dibujar sobre él un sistema de cuadrados curvilíneos compuesta por líneas de flujo de calor y líneas isotermas.

METODOLOGÍA (según Incropera) 1. Identificar todas las líneas de simetría relevantes. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas así como por condiciones geométricas.

Como se muestra en la fig. 1.(a). ,estas líneas

incluyen las verticales, horizontales y diagonales que se designan. Por tanto, para este sistema es posible considerar sólo un octavo de la configuración, como se muestra en la fig 1.(b).

60

2. Las líneas de simetría son adiabáticas en el sentido que quizá no haya transferencia de calor en una dirección perpendicular a las líneas. Por tanto, son líneas de flujo de calor y deben tratarse como tales. 3. Después de que todas las líneas conocidas de temperatura constante asociadas con las fronteras del sistema hayan sido identificadas, debe hacerse un intento de dibujar líneas de temperatura constante dentro del sistema. Las isotermas siempre deben ser perpendiculares a las adiabáticas. 4. Las líneas de flujo de calor deben dibujarse con la finalidad de crear una red de cuadrados curvilíneos. Esto se logra haciendo que las líneas de flujo de calor y las isotermas se intersequen en ángulos rectos y que todos los lados de cada cuadrado sean aproximadamente la misma longitud. En la fig 1. (c) al asignar la coordenada (X) a la dirección del flujo de calor y la coordenada (Y) a la dirección normal de este flujo, el requerimiento se expresa como:

∆X ≡

ab + cd ac + bd ≈ ∆Y ≡ 2 2

FIG.1

61

DETERMINACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR Si la grafica de flujo se construye de forma apropiada, el valor de qi será el mismo para todas las bandas y la transferencia de calor se expresa como: M

q = ∑ qi = Mqi i =1

Donde M es el número de bandas asociado con la grafica. A partir del cuadro curvilíneoy aplicando la ley Fourier obtenemos qi ≈ kAi

∆Ti ∆T ≈ k (∆Y )(l ) i ∆x ∆x

Donde ∆ Ti es la diferencia de temperaturas entre isotermas sucesivas, Ai es el área de transferencia de calor por conducción para la banda y l es la longitud del canal normal a la página. Sin embargo, si la grafica de flujo esta construida de forma apropiada, el incremento de temperatura es el mismo para todas las isotermas contiguas y la diferencia global de temperaturas entre las fronteras ∆ T1-2 se expresa como: N

∆ T1-2 = ∑ ∆T j = N∆T j j =1

Donde N es el número total de incrementos de temperatura. AL combinar las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que ∆ X ≈ ∆ Y para cuadros curvilíneos obtenemos :

q≈

Ml k∆T1− 2 N

Para la figura 1. N=6 y M=5, por supuesto que conforme la red de cuadros curvilíneos se hace más fina, M y N aumentan y la estimación de M/N se hace más exacta.

FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN En muchos problemas de conducción multidimensional intervienen flujos de calor entre dos superficies, cada una de las cuales tiene una temperatura uniforme; las superficies restantes,

62

si las hay, son adiabáticas. EL factor de forma para la conducción, S, se define de manera o

que el flujo de calor, Q entre las superficies sea :

o

Q = kS∆T

Donde K es la conductividad térmica y ∆ T es la diferencia de temperatura entre las superficies; vemos que S tiene dimensiones de longitud. Los resultados obtenidos antes para la conducción unidimensional también pueden expresarse en función del factor de forma.

63

RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLA DE FACTORES DE FORMA o

1. No existe generación de calor interna: Q ′′′ = 0. 2. La conductividad térmica K es constante. 3. Ambas superficies deben ser isotérmicas. 4. Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemplo en el punto 7 tanto la superficie plana como el medio infinito deben estar a la T2. 5. El apartado 8 a menudo se usa incorrectamente para calcular la pérdida o la ganancia de calor de tuberías subterráneas. Es esencial que la tierra que rodea a la tubería se encuentre a la misma temperatura que las superficies, lo que rara vez ocurre en la realidad.

Además, el problema de las tuberías subterráneas con

frecuencia hay conducción transitoria.

64

RECOMENDACIONES PRACTICAS PARA LA SOLUCIÓN GRAFICA 1. El trazado del sistema de cuadrados curvilíneos es útil si las fronteras son isotermas. 2. Si el cuerpo tiene simetría, las líneas de flujo de calor son los ejes de simetría. 3. La distancia entre líneas isotermas aumenta con el aumento

del área de

transferencia. 4. Las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor. MÉTODO PRÁCTICO PARA DETERMINAR GRÁFICAMENTE LA DISTANCIA ENTRE 2 LÍNEAS ISOTERMAS Se desarrolla basado en la conducción de calor en el caso particular de un tubo: Cuando h determinado N=3 Para saber cuanto es el valor De r1 y r2 se aplica la analogía De TC con las resistencias eléctricas. R3 Ta

T0

Entonces: R1

Q=

R0 R2

T0 − T3 T0 − T2 T0 − T1 = = = R3 R2 R1 Ln Ln Ln R0 R0 R0 2πKL 2πKL 2πKL

Q

Como se sabe que T0 – T1 = ∆ T y T0 – T2 = 2 ∆ T Q=

2∆T 3∆T ∆T N∆T = = = = RN R2 R1 R3 Ln Ln Ln Ln R0 R0 R0 R0 2πKL 2πKL 2πKL 2πKL

65

R3 R R R Ln 2 Ln 1 Ln N R0 R0 R0 R0 = = = = 3 2 1 N

Ln

Si se relacionan los 2 últimos términos: Ln R1/R0 = (1/N) * Ln Rn/R0 (Ln rn/r0)1/N

Ln r1/r0

e

= e

(R1/ R0) N

= (Rn /

R0)

Rn = R0 FN

donde : F = factor gráfico

EJEMPLO R3

Donde: R0 = 10 Cm R0

y N=3

F=(rn/r0)1/N = ( R3/R0)1/3 = ( 2)1/3 = 1.26

R2 = R0 F2 = R2 ?

R3 = 20 Cm

R1 =

10 (1,26)2 = 15,87 Cm

10 (1,26) = 12,6Cm.

SOLUCIÓN NUMÉRICA El objetivo de este método es convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas ( o numéricas ), lo cual se puede hacer por un procedimiento analítico o por un balance de energía sobre un elemento finito. Procedimiento analítico → Partiendo de la ecuación que gobierna el proceso en el interior del cuerpo, producto de un balance de energía infinitesimal:

66

∂ 2 T ∂ 2T =0 + ∂X 2 ∂Y 2

∂ 2T → Flujo neto de calor por Donde : ∂X 2

conducción en la dirección x. Al aplicarle un mecanismo de aproximación analítico como es la expansión en series de Taylor puede convertir la ecuación en una algebraica ( reemplazando x+ ∆ x por m+1). T

Si hablamos de encontrar la

Tm+1

variación de la pendiente de

Tm Tm-1

la temperatura en la dirección de x.

m-1 m m+1

Caso Unidimensional

X

∂ 2T = 0 → Línea recta. ∂X 2

Caso Bidimensional → con T(x,y) → Función continua. En forma de series de Taylor tenemos :

Tm+1 = Tm

+

Tm-1 = Tm -

∂ 2T ∂T ∆x + ∆ x2 ………….+ ( se desprecian) 2 ∂X ∂X ∂T ∂ 2T ∆x + ∆ x2 ………….+ ( se desprecian) 2 ∂X ∂X

-------------------------------------------------------------------------------------Tm+1 + Tm-1 = 2 Tm +

∂ 2T ∆ x2 2 ∂X 67

∂ 2T ∂X 2

m,n

=

Tm + 1, n + Tm - 1, n - 2 Tm, n ∆X 2

Para un procedimiento similar obtenemos: ∂ 2T ∂Y 2

m ,n

=

Tm + 1, n + Tm - 1, n - 2 Tm, n ∆Y 2

El Balance de energía en un nodo debe ser igual a cero : siempre la subdivisión se hace de tal forma que ∆ x = ∆ Y ⇒ Reemplazando : Tm + 1, n + Tm - 1, n - 2 Tm, n ∆X 2

=

Tm + 1, n + Tm - 1, n - 2 Tm, n ∆Y 2

Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n

= 0

ECUACIÓN NODOS INTERNOS

Esta ecuación solamente se cumple para los nodos internos de un cuerpo conduciendo calor en forma bidimensional. Se puede plantear una ecuación de este tipo para cada uno de los nodos internos del cuerpo. Para n nodos tengo n ecuaciones con n incógnitas. Por éste método analítico NO se puede analizar los nodos frontera. * F(x+ ∆ x) = F(x) +F` (x) ∆ x + F” (x) ∆ x2 0.5

PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS Este método puede aplicarse a conducción bidimensional con generación. Para obtener la ecuación de relación de temperaturas se hace un balance de energía sobre un elemento finito Vc → nodo.

68

NODOS INTERNOS Balance de Energía : m-1,n

Q1 + Q2 = Q3 + Q4 Q4 m-1,n

Q1

m,,n

Si aplicamos Fourier:

Q3 m+1,n

Q1 = K( ∆ Y l ) (Tm-1,n - Tm,n ) ∆X

Q2

Q2 = K( ∆ X l ) (Tm,n-1 - Tm,n )

∆Y

m,n-1

Q3 = K( ∆ Y l ) (Tm,n - Tm+1,n ) ∆X Q4 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n+1 ) ∆Y Reemplazando: Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n

= 0

ECUACIÓN NODOS INTERNOS

Este método si se puede utilizar para nodos de frontera. NODOS FRONTERA 1. Cuando las fronteras coinciden exactamente con el sistema X,Y (ejes de coordenadas). Existen 5 tipos de nodos así:

69

Nodo frontera convectivo en superficie Tm,n+1

Tα

vertical

Q1 Q2

Tm,n

Las condiciones de frontera pueden Tm+1,n

ser de 2 tipos:

Qc a. Cuando se conoce la Temp. Del Q3

nodo. b. Cuando la frontera es convectiva.

Tm,n-1

Balance de Energía : Q1 + Q2 + Q3 + Qc = 0 Q1 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n+1 )

Q3 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n-1 )

;

2∆Y

2∆Y

Q2 = K( ∆ Y l ) (Tm,n - Tm+1,n )

Qc =h( ∆ Y l ) (Tm,n - T∞ )

;

∆X 0 = K l ( Tm,n - Tm,n+1 ) + K l ( Tm,n - Tm+1,n ) + K l ( Tm,n - Tm,n-1 ) + h( ∆ Y l ) (Tm,n - T∞ ) 2

2

0 = Tm,n - Tm,n+1 +2 Tm,n - 2Tm+1,n +Tm,n - Tm,n-1 + 2 h( ∆ Y)( Tm,n - T∞ ) K 2h∆Y ⎤ ⎡ ⎢⎣4 + K ⎥⎦ Tm,n - 2Tm+1,n - Tm,n+1 - Tm,n-1 =2 h( ∆ Y)( T∞ ) /(K)

NODO TIPO 1

Nodo frontera convectivo en superficie horizontal

Tα Qc Tm-1,n

Tm,n

Tm+1,n

Q1

Balance de Energía: Q1 + Q2 + Q3 = Qc

Q2 Q3 Tm,n-1

70

Q1 = K( ∆ Y l ) (Tm-1,n - Tm,n )

;

Q3 = K( ∆ X l ) (Tm,n-1 - Tm,n )

2∆X

∆Y

Q2 = K( ∆ Y l ) (Tm+1,n - Tm,n )

;

Qc =h( ∆ X l ) (Tm,n - T∞ )

2∆X K l ( Tm-1,n - Tm,n ) + K l ( Tm+1,n - Tm,n ) + K l ( Tm,n-1 - Tm,n ) = h( ∆ X l ) (Tm,n - T∞ ) 2

2

Tm-1,n - Tm,n + Tm+1,n -Tm,n +2Tm,n-1 - 2Tm,n = 2 h( ∆ X)Tm,n - 2 h( ∆ X T∞ ) K

k

2h∆X ⎤ ⎡ ⎢⎣4 + K ⎥⎦ Tm,n - 2Tm,n-1 - Tm-1,n - Tm+1,n =2 h( ∆ X)( T∞ ) /(K) NODO TIPO 2 Nodo frontera convectivo en esquina interna Balance de Energía: m,n+1

Q2

m-1,n

Q1

Q1 + Q2 + Q3 +Q4= Qc

Q3

m,n

m,+1n

Qc

Q4 m,n-1

Q1 (

Tm - 1, n - Tm, n ) ∆X

Q2 = K( ∆ X l ) (

;

Q3 = K(

Tm, n - Tm, n + 1 ) ∆Y

=

K( ∆ Y l )

∆Y Tm, n - Tm + 1, n l )( ) 2 ∆Y

;

Qc =h(

∆X ∆Y + ) l (T∞ -Tm,n ) 2 2 71

Q4 = K(

∆X Tm, n - Tm, n - 1 l)( ) 2 ∆Y

K l (Tm-1,n - Tm,n ) + h( ∆ X l )(T∞ - Tm,n) = K l (Tm,n - Tm,n+1 ) + K l (Tm,n - Tm+1,n ) + K l ( Tm,n - Tm,n-1 )

2

2 -6Tm-1,n - 2Tm,n + 2 h( ∆ X T∞ ) - 2 h( ∆ X)Tm,n = 2Tm,n - 2Tm,n+1 -Tm+1,n +2Tm,n - Tm,n-1 K

K

2h∆X ⎤ ⎡ ⎢⎣6 + K ⎥⎦ Tm,n - 2Tm-1,n - 2Tm,n+1 - Tm+1,n - Tm,n-1 = 2 h( ∆ X)( T∞ )/(K) NODO TIPO 3

Nodo frontera convectivo en esquina externa Qc Tm,n

Tm+1,n

Balance de Energía: Q1 + Q2 = Qc

Q2 Q1 Tm,n-1

Q1 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n-1 ) 2∆Y Q2 = K( ∆ Y l ) (Tm,n - Tm+1,n ) ; 2∆X Qc =h(

∆X ∆Y + ) l (T∞ -Tm,n ) 2 2

K l ( Tm,n - Tm,n -1) + K l ( Tm,n - Tm+1,n ) = h( ∆ X l ) (T∞ -Tm,n ) 2

2

72

Tm,n - Tm,n-1 + Tm,n -Tm,n -Tm+1,n = 2 h(

∆X ∆X )T∞ - 2 h( ) Tm,n K K

2h∆X ⎤ ⎡ ⎢⎣2 + K ⎥⎦ Tm,n - Tm+1,n - Tm,n-1 =2 h( ∆ X)( T∞ ) /(K) NODO TIPO 4

Nodo Adiabático

Tm,n+1

Q2 Tm-1,n

Tm,n

Balance de Energía: Q1 = Q2 + Q3

Q1 Q3 Tm,n-1-

Q1 = K( ∆ Y l ) (Tm-1,n - Tm,n ) ∆X Q2 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n+1 ) ; 2∆Y

Q3 = K( ∆ X l ) (Tm,n - Tm,n-1 ) 2∆Y

4Tm,n -Tm,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0 NODO TIPO 5

La TABLA 1 l resume las situaciones anteriormente descritas.

73

TABLA 1

74

CONTINUACIÓN

75

“La energía que se pierde o se gana sirve para calentarlo o para enfriarlo”. 2L

To

T

T

Para cuando TO < Tα ⇒ el cuerpo está calentándose. Balance de Energía: hA s (Tα − Tt ) = mc Cp

dT dt

Para cuando TO > Tα ⇒ el cuerpo está enfriándose. Balance de Energía: hA s (Tt − Tα ) = mc Cp

dT dt

[Se coloca el signo (-) porque la temperatura va disminuyendo, entonces su variación con respecto al tiempo debe ser negativa]. La ecuación es la misma para ambos casos. Introduciendo θt =

T( t ) − T α dt

hA sθt (To − Tα ) = −ρ∀CP

dθ (To − Tα ) dt

hA S dθ θt = − dt ρ∀CP θ

dθ hA ∫ θt = − ρ∀CSP θ o

Tt − Tα =e To − Tα

t

∫ dt o

hA S t ⎡ Tt − Tα ⎤ − Ln ⊥= e− ⇒ eLn ⎢ ⎥ ρ∀CP ⎣ To − Tα ⎦

hA S t − ρ∀CP

Graficando esta ecuación: A medida que aumenta el tiempo, entonces θt disminuye, lo que indica que la diferencia Tt − Tα es cada vez más pequeña.

76

t 1

t t=

La ecuación anterior se puede presentar de otra forma: ∀ AS

ht hA S t=− ρ∀CP ρCP (∀ / A S )

longitud característica

L K Biαt ht x x = 2 = Bi . Fo = ρCP (L ) L K L θ( t ) = e −(Bi Fo)

Temperatura en función del tiempo

CÁLCULO DEL CALOR PERDIDO O SUMINISTRADO Flujo instantáneo: Q( t ) = hA s (Tt − Tα ) = hA s (θt (To − Tα )) = hA s (To − Tα )e−BI Fo El calor total suministrador a un tiempo t: t

t

Q( t ) = ∫ Q( t )dt = hA s (To − Tα )∫ e −Bi

Fo

dt

o

o t

= hA s (To − Tα )∫ e

−

hA s t ρCp∀

dt

o

77

Q( t ) = −hA s (To − Tα )

ρCp∀ hA s

t

∫e

−

hA s tt ρCp ∀

o

∫

o

hA s ⎞ ⎛ − hA s t − θ ⎜ ρC p ∀ ρCp ∀ ⎟ = − (To − Tα )ρCp∀⎜ e −e ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛ − hA s t ⎞ ⎟ ⎜ ρC ∀ = − (To − Tα )mCp ⎜ e p − 1⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

Q( t )

hA s ⎞ ⎛ − t ⎜ ρC p ∀ ⎟ = (To − Tα )mCp⎜1 − e ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

Calor Total Su min istrado

en t = 0, no hay pérdida de calor en t = α , el calor perdido es Qo = mCp(To-T α )

Q = 1 − e −Bi Fo Qo Q = f (Bi . Fo) Qo 1.0 O

I-e

-BiFo

t t=

Qo ⇒ máximo calor que se puede perder. Ejemplo: Un cuerpo cilíndrico que está inicialmente a una temperatura de 400ºC se somete repentinamente a una temperatura T α =25ºC, calcular la temperatura del cuerpo al cabo de 1 hora si la conductividad térmica del material → α. Datos: 78

ρ = 5800

kg

qq = 10 4

; m3

w

Cp = 400

; m3

J ; kgº C

h = 20

w m2 º C

El calor fluirá del cuerpo al ambiente:

Balance de Energía: Qentra + Qgenerada = Qsale + Qalmacenada Qgenerada = qq∀ = 10 4 xπ(0.1)2 x0.4 = 125.664 W Qsale = Qconv = hA s (Tt − Tα ) 20

Wm 2 2

m ºC

x(2π(0.1)x0.4 + 2π(0.1)2 )(T( t ) − 25º C)º C

= 6.2832 W (T( t ) − 25º )

= Qalmacenado = mCp

∂T ∂t

= 72.884Kg * 400

J ∂T ∂T = 29153 .98 Kgº C ∂t ∂t

;

m = ρ∀ = 72.884Kg

Qgenerada = Qsale + Qalmacenada Reemplazando: 125.664 = 6.2832 (T(t)-25)+29153.98 20 = (T(t)-25)+4639.9892

∂T ∂t

∂T ∂t

79

si llama K1 =20 y K2 =4639.9892 K1 = (T(t)-25)+K2

∂T ∂t

Haciendo θ( t ) = T( t ) − 25 − K1 dθ dT = dt dt

⇒ θ( t ) = −K 2

θ

dθ dT = − K2 dt dt

t

dθ dt =∫ ⇒ − (Lnθ − Lnθo ) = t / K 2 − ∫ θ( t ) o K 2 θ o

Lnθ = −

Lnθ

e

t + Lnθo K2 (−

= e

θo = 400 − 25 − 20 = 355

;

t +Ln 355 ) K2

(−

⇒θ=e

t +Ln 355 ) K2

Reemplazando el tiempo en segundos t = 3600 seg. (−

θ=e

3600 +Ln 355 ) 4639.989

= 163.409

⇒ T( t ) = θ( t ) + 25 + 20 = 163.409 + 45 + 20 T(1 hora) = 208.41 º C Para resolver la ecuación diferencial se puede hacer por un método alterno aplicando cond. I.

Lnθ = −

t + C1 K2

con

C1 = LnC t

− t Lnθ − LnC = − ⇒ θ = Ce K 2 K2

Para t = 0 ⇒ Ce −o = C ⇒

C = To –25 – 20 C = 400 – 25 – 20 C = 355

⇒ T (t) = 208.4 ºC. Ejemplo: Un elemento cilíndrico de 0.2m de diámetro y 0.4m de largo se somete a un proceso en el cual mientras él genera calor a una rata uniforme por unidad de volumen y

80

estando a una temperatura inicial de 10ºC, se pone primero en un ambiente de aire, el cual se encuentra a una Tº de 25ºC, alcanzando en este ambiente una temperatura de equilibrio de 45ºC. Luego se pone (partiendo de la misma temperatura inicial) dentro de un gran volumen de agua a 20ºC, alcanzando en este caso una Tº de equilibrio de 24ºC. Determinar el tiempo requerido en cada caso, para que el elemento alcance la Tº del ambiente que la rodea. Asumir que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la segunda prueba es de hW = 100w/m2 ºC; δelemen = 5800 kg/m3; Cp = 400 Joul/Kg ºC

Solución: Asumimos conductividad alta:

φ = 0.2 m ⊥ = 0.4 m To = 10 ºC T α 1 = 25 ºC Teq1 = 45 ºC En el equilibrio con el primer ambiente Qa = φ Qq = h1A s (Teq1 − Tα1)

qq * A T *

L = h1 A s ( 45 − Tα1) ⇒

h1 =

Qq * A T * L A s ( 45 − Tα1)

(1)

En el equilibrio con el segundo ambiente Qa = φ

81

Qq = h2 A s (Teq2 − Tα 2 ) qq * A T * qq =

L = h2 A s (24 − Tα 2 ) ⇒

h2 A s (24 − Tα 2 ) AT * L

( 2)

•

As = 2 π rL + π r2 * 2 = 2 π (0.1)(0.4)+2 π (0.1)2 = 0.31416 m2

•

h2 = 100 w/m2 ºC

•

AT = π r2 = π (0.1)2 = 0.3142 m2

•

T α 2 = 10 ºC

•

L = 0.4 m

Reemplazando en 2: Qq = 9998.727 w/m3 Reemplazando en 1: h1 = 20 w/m2 ºC Haciendo un balance de energía sobre el elemento, y suponiendo K grande: Estado transitorio: Qq = Qa + Qc Qg = qq ∀ ;

Qa = ρ∀C`P

∂T ∂t

;

QC = h A s (T( t ) − Tα )

Para el primer caso: qq∀ = ρ∀CP

∂T + h1A s (T( t ) − Tα1) ∂t

qq∀ hA ∂T + − 1 s (T( t ) − Tα1) ∂t ρCP∀ ρCP∀ qq∀ A h ∂T + − s 1 (T( t ) − Tα1) − =φ ∂t ρCP∀ ρCP∀ qq∀ ⎤ A h ⎡ ∂T + − s 1 ⎢T( t ) − Tα1 − ⎥=φ h1A s ⎦ ∂t ρCP∀ ⎣

Para resolver esta ecuación tomamos o hacemos un cambio de variable:

82

qq∀

θ = T( t ) − Tα1 −

h1A s

⇒

∂θ ∂T = ∂t ∂t

∂θ A sh1 + θ= φ ∂t ρCP∀ Resolviendo esta ecuación en θ : ∀ = π (0.2)2 * 0.4 = 0.0126 m3

A h A h W ∂θ = − s 1 θ ⇒ X1 = − s 1 = −0.000215 J ∂t ρCP∀ ρCP∀ ∂θ = X1 θ ∂t

θ1 ∂θ

Integrando :

∫

θ

=

→ Ecuación

∫ x∂t

t0

θ0

Lnθ − Lnθo = xt

t1

que gobierna

⇒ t1 1 = (Lnθ1 − Lnθo ) / x1 = Ln(θ1

θo

el proceso

) / x1

En el tiempo t, la T(t) = 25ºC entonces Tº del ambiente qq∀ ⎤ ⎡ θ1 = ⎢T( t ) − Tα1 − ⎥ h1A s ⎦ ⎣

qq∀ h1A s

= 20.0509 º C

qq∀ ⎤ ⎡ θ1 = ⎢T(φ) − Tα1 − ⎥ h1A s ⎦ ⎣ θ = −20.0509 º C ⇒ t1 = Ln(θ1

θ0

;

θ0 = −35.0509 º C

) / x1 = Ln (0.572) / − 0.000215

t1 = 2597.801 seg ≈ 0.722 horas Para el segundo caso : x2 = −

t 2 = Ln (θ2

θ0

) / x2

h2 = 5h1

A sh2 = 5 x1 = − 0.001075 s−1 ρCp∀

En el tiempo t la T(t) = 20ºC, Tº del ambiente ⇒

83

Tα 2 = 20º C

;

TO = 10º C

;

θ2 = 20 − 20 − 4.0109 = −4.0109

qq∀ h2 A S

= 4.01019 º C

θ2 = 0.2863 θO

θO = 10 − 20 − 4.0109 = −14.0109 ⇒ t 2 = Ln( −0.2863 ) / − 0.001075 t 2 = 1163.55 seg ≈ 0.323 horas

Ejemplo: Un esfera de aluminio cuyo peso es m = 7kg y cuya temperatura inicial es de 260ºC se sumerge súbitamente en un fluido cuya temperatura es de 10ºC. Suponiendo que h = 50w/m2 ºC, determine el tiempo que se requiere para enfriar el aluminio a 90ºC.

To = 260ºC T1 = 90ºC Te = 10ºC h = 50w/m2 ºC t = ? To →

T1

Datos aluminio supuestos ctes: K = 204 w/m2 ºK,

P = 2707 Kg/m3

ρ=

m m 7Kg m3 ⇒∀= = = 0.002586 m3 ∀ ρ 2707Kg

∀=

4 3∀ πro3 ⇒ ro = 3 = 0.0852 m 3 4π

;

Cp = 900 J/Kg ºK

84

Para

el

⊥c = ro / 3 Bi =

cálculo

de

Bi

se

necesita

la

longitud

característica

Lc = ∀ sólido / A sup erficie

mº C h ⊥c 50 w 0.0852 m = 2 = 0.0069 < 0.1 * * 204 w K 3 m ºC

Se trata como un problema de capacidad calórica concentrado o (Resistencia Interna Despreciable) ⎛ T −T ⎞ Ln⎜⎜ 1 α ⎟⎟ = Lne ⎝ T0 − Tα ⎠ t=

−

Ash ρC p ∀

⎛ T −T ⎞ A h ⇒ Ln⎜⎜ 1 α ⎟⎟ = − s t ρCp∀ ⎝ T0 − Tα ⎠

Ln(T1 − Tα ) − LnT0 − Tα * ρCp∀ − A sh

A = 4πro2 = 4π(0.0852)2 = 0.09122 m2

⇒ t = 1573.941 seg ≈ 0.437 horas

NB: [Kar/ckar: para fines prácticos se dice que un sistema alcanza un estado estacionario después que transcurre un tiempo igual o 4 constantes de tiempo: donde la constante de tiempo 1/b = Ash / ρCP∀ ⇒ (T − Tα ) = 0.018 (TO − Tα ) ⇒ Estado

Estacionario

Lo que se usa en el cálculo de Bi: Pared plana espesor 2L

⇒L

Cilindro largo de radio ro

⇒ ro / 2

Esfera de radio ro

⇒ ro / 3

Cubo de lado a

⇒ a/ 6

Ejemplo: Determinar el tiempo requerido para que un elemento cilíndrico de 0.1m de φ y L = 0.2m, ρ = 4500 kg/cm3 ; Cp = 400 Joul / kg ºC y K >>>>>>. Alcance la Tº ambiente

85

que lo rodea, si se sabe que genera calor a una rata qq w/m3 y la Tº de equilibrio condicho ambiente es de 120ºC, la Tº del ambiente es 80ºC, h = 50 w/m2ºC. Análisis T

80ºC

Los más altos cambios de Tº 20ºC

t

La ecuación diferencial del comportamiento transitorio de este cuerpo es: Qentra + Qgenerada = Qalmacenada.

hA 2 (Tα − T( t )) + qq∀ = ρ∀Cp Tα − T( t ) +

qq∀ hA s

=

ρ∀Cp hA s

∂T ∂t

∂T ∂t

Se define θ : θ = Tα − T( t ) + ρ∀Cp ∂θ θ=− hA s ∂t

qq∀ hA s

θ

hA s ∂θ ⇒ ∫ =− θ ρ∀Cp θ o

t

∫ ∂t o

hA s Ln θ − Lnθo = − t ⇒ eLn( θ / θo ) = e ρ∀Cp

En

el

equilibrio

e − xt → φ ⇒ θ

θo

=0

se

supone

∂T ∂θ = − ∂t ∂t

⇒

que

−

hA s ρ∀Cp

el

tiempo

es

grande

⇒ el

término

Teq = 120 º C

86

θ=φ

θ = Tα − T( t ) +

θ = 80 − 120 +

qq∀

qq∀ hA S

⇒ qq =

hA S

(2πr 2 + 2πrL )

qq = 40 * 50 *

πr 2L

(120 − 80)hA S ∀ = 40 * 50 * 50

qq = 105 w / m3

para cuando T(t) = 80ºC ⇒ qq∀ qq∀ θ = 80 − 80 + ⇒ θo = 80 − 20 + hA S hA S hA S 50 w = 2 * ρCp∀ m º C

(2π(0.05)2 + 2π(0.05)0.2)m3m3kgº C 4500kg * 400 Joul * π(0.05)2 * 0.2m2

hA S = 0.001388 = a ρCp∀ qq∀ hA S ⇒

= 10

5

w m3

*

0.001571 m3m2 º C 50 w − 0.07854 m2

= 40.0051º C

Lnθ − Lnθo Ln401 − Ln100 θ = e −at → t = = θo −a − 0.001388

t = 660.152 seg ≈ 0.18 horas

2. BIOT Grande Bi > 100 “sólido semi-infinito”. Para este caso en que la resistencia convectiva en la frontera es muy pequeña, comparada con la resistencia interna, debida a la conducción. Se asume que la temperatura dela superficie cambia casi inmediatamente a T α , al entrar en contacto con un ambiente a dicha temperatura (T α ), es decir, la frontera se independiza del tiempo → “el calor se concentra en la superficie y NO penetra”. Es así como el elemento fuera infinitamente grueso. En el interior se presentan grandes caídas de temperatura, y en el exterior pequeñas.

87

2L To

Ts

Ts

T

T

“Todo el cuerpo se encuentra a la temperatura To y en el tiempo t = 0, la temperatura de la cara en x = 0 se eleva instantáneamente a la temperatura Ts”.

balance de Energía:

∂ 2T ∂X

2

=

1 ∂T α ∂t

si definimos la temperatura adimensional θ=

∂ 2θ 1 ∂θ T( x, t ) − Tα T( x, t ) − Ts = ⇒ 2 = α ∂t TO − Tα TO − Ts ∂x

Lo anterior es una ecuación parcial de 2 variables, y para solucionarla la metodología se reduce a buscar una variable η función de x1t; que haga que θ( x1t ) se pueda expresar como una función de una sola variable, dicha variable η( x1t ) =

x 2 αt

⇒ la ecuación diferencial

se transforma en:

∂ 2θ ∂η2

+ 2η

∂θ =θ ∂η

de la siguiente manera (demostración):

88

∂ 2θ ∂x

2

=

1 ∂θ α ∂t

η=

x

1 ∂η = ∂x 2 αt

⇒

2 αt

1 ∂θ ∂θ ∂η ∂θ . = = ∂x ∂η ∂x ∂η 2 αt ∂ 2θ ∂x

2

∂ 2θ ∂x

2

=

=

1 ⎞ ∂η ∂ ⎛ ∂θ 1 ⎞ ∂η ∂ ⎛ ∂θ ⎞ ∂ ⎛ ∂θ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ = . . ⎜ ⎟= ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂η 2 αt ⎠ ∂η ∂η ⎝ ∂η 2 αt ⎟⎠ ∂x ∂ 2θ ∂η

2

.

1 2 αt

.

1 2 αt

=

∂ 2θ ∂η

2

=

1 4α t

∂θ ∂θ ∂η ∂θ x = =− . ∂t ∂η ∂t ∂η 4 αt t Re emplazando ∂ 2θ ∂η2 ∂ 2θ ∂η

2

.

+

en la

ecuación

1 1 ∂θ x =− = α ∂η 4t αt 4α t ∂θ = θ αt ∂η

x

⇒

∂ 2θ ∂η

2

si introducimos la variable p =

⇒

diferencial

+ 2η

∂θ = θ∴ ∂η

∂θ para poder integrar: ∂η η

∂P + 2ηP = θ ∂η

⇒

∂P = − ∫ 2η∂η P O

2 2 ⎛P⎞ eLn ⎜ ⎟ = e− η ⇒ P = Ce − η ⎝C⎠ Volviendo a la var iable anterior

θη

η

2 2 ∂θ = Ce − η ⇒ − ∫ ∂θ = − ∫ Ce− η dη ∂η O θo

Las condiciones de frontera iniciales eran:

89

Tα − Tα =φ To − Tα To − Tα θ( x, o) = =1 To − Tα To − Tα θ(α, t ) = =1 To − Tα

T(o, t ) = Ts ≈ Tα

θ(o, t )

T( x, o) = To

⇒

T(α, t ) = To

⇒

η(o, t ) = η( x, o) =

φ 2 αt x

η(α, t ) =

2 αφ

α 2 αt

=

=φ =α =α

Al hacer la integración tenemos: η

θη = C∫ e− η dη + θo 2

θo = θ(o, t ) = φº

o

para hallare la constante C, se reemplaza alguna condición frontera, ejemplo la 2ª α

α

θα = C ∫ e − η dη = θ( x, o) = 1 2

;

o

1= C

π 2

−η ∫ e dη =

o

⇒ C

2

π 2

2

π

θ( x, t ) = θη =

2

π

η

−η ∫ e dη = erf (η) 2

Temperatura Función de x y t

o

erf ( η ) Función error de η La integral de la ecuación anterior se puede hacer pero ese trabajo ya esta hecho y se puede encontrar los valores de la función error de η en tablas o en gráficas. Como η es función de x y de t, entonces pueden existir diferentes combinaciones de x y t que den el mismo η . Lo que quiere decir que podemos tener dos posiciones del cuerpo que tengan la misma temperatura, pero en tiempos diferentes.

90

e-

2

1

Tabla de la función error de η

“Se considera que fer ( η ) es casi ⊥ cuando η esté entre 2.5 y 3.6”.

91

Gráfica de la función error de η

T − T1 ⎛ x ⎞ = fer ⎜ ⎟ T1 − T1 ⎝ 4α t ⎠

X/ 4αt

ZONA DE CAMBIO: La zona límite hasta donde To empieza a cambiar, la determina la X crítica. Antes de la zona de cambio θ( x, t ) = θ(η) < 1 después siempre es ⊥ . La zona de cambio se establece cuando η = 2.5 ⇒ θ(η) = 1. Esta zona de cambio también funciona con paredes delgadas. Xcritico = 2.5 x 2. αt

Cálculo del calor suministrado a la pared. Flujo instantáneo:

∂ϑ ⎛ ∂T ⎞ A = −K (To − Tα ) A Q( t ) = −K ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ x =o ∂ϑ ∂ϑ ∂η 2 − η2 ⎛ 1 ⎞ = = . e ⎜ ⎟ ∂x ∂η ∂x π ⎝ 2 αt ⎠

* * θ(η) =

2

π

∫e

− η2

dη

η = x / 2 αt ⇒ Q( t ) = −KA

(To − Tα )

παt

=

KA (Tα − To )

παt

El calor total suministrado a un tiempo t:

92

t

Q( t ) = ∫ Q( t )dt =

KA (Tα − To )

πα

o

Q( t ) =

Q( t ) =

KA (Tα − To )

πα

.

2KA (Tα − To )

πα

Q( t ) =

t

∫t

−1 / 2

dt

o

t1 / 2 1/ 2

.

t

2KA (Tα − To )

πα

.

Calor total suministrado

t

HISTORIA DE LA TEMPERATURA EN UN SÓLIDO SEMI – INFINITO CON CONVECCIÓN EN LA SUPERFICIE 1.0 0.5

T( x, t ) − To T − To

1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05

0.1 0.05

4 3 2

0.01 0.0

0.5

x 2 αr

1.0

=

1.5

1 2 Fo

La gráfica anterior se utiliza como solución, cuando se tiene en cuenta la convección en la frontera, es decir, T α se considera un poco diferente de Ts para determinar θ( x, t ) . Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor tiende a infinito, entonces la temperatura de la superficie se eleva instantáneamente a una nueva temperatura T α , entonces la solución de la gráfica anterior con h / k

αt = α es igual a la del uso de la

gráfica de función error. 93

3. BIOT Mediano 0.1
“Se estudia analíticamente un caso particular , el cual puede someterse a tratamiento matemático debido a las condiciones de frontera escogidas”: “la geometría, las condiciones de frontera y la distribución de temperatura SIMÉTRICAS”

Balance de energía:

∂ 2T ∂x

2

=

1 ∂T α ∂t

Condiciones de frontera:

∂T en x=φ =φ ∂x ∂T 2. − K = h(T(L,t ) − Tα ) ∂x 3. T( x,o ) = To

1.

en

x =L

si introducimos la variable adimensional θ( x, t ) :

94

θ( x, t ) =

T( x, t ) − Tα To − Tα

la ecuación diferencial se convierte en:

∂ 2θ ∂x

2

=

1 ∂θ α ∂t

la ecuación diferencial parcial de 2 variables, se resuelve por el método de separación de variables y las condiciones de frontera cambian a:

1.

∂θ ⎞ =φ ⎟ ∂x ⎠ x =0

2. − K

θ( x, t ) = F( x ).G( t ) ∂ 2 (G( t ) . F( x )) ∂x ⇒

1.

2.

2

G∂ 2 F

∂x 2 ∂ 2F

=

∂θ ⎞ ⎟ = hθ ∂x ⎠ x =0

3. θ( x, o) = 1

si esta solución se reemplaza en la ecuación diferencial :

1 ∂(G( t ) . F( x )) α ∂t

1 F∂G 1 ∂ 2F 1 1 ∂G = ⇒ = = −λ2 2 α ∂t α G ∂t F ∂x

= + λ2F = φ

Solución:

F( x ) = Asenλx + B cos λx

∂G − α λ2∂ t = φ G

Solución:

G( t ) = Ce− αλ

∂x

2

2

t

⇒ θ( x, t ) = e − αλ t [Msenλx + N cos λx ] 2

Aplicando la primera condición de frontera ∂θ / ∂x

⇒

2 ∂θ ⎞ = e − αλ t [λM cos λx − λNsenλx ]x =0 ⎟ ∂x ⎠ x =0

Re emplazando en θ( x, t ) = Ne − αtλ

2

)x =0 = φ

⇒ M=φ

cos λx

Aplicando la segunda condición de frontera:

95

− K ⎡− Ne − αλ ⎢⎣

λsenλx ⎤ x =L = hNe − αλ t cos λx ⎥⎦ h L Bi . ⇒ Tag λL = = λ K L λL 2

2

t

)x =L

Esta ecuación tiene un número infinito de raíces positivas... gráfica. θ( x, t ) = ∑ Ne

− αλ2n t

cos λnX =

∑ Ne

n

− λ2nL

αt

L2

x⎞ ⎛ cos⎜ λnL ⎟ L⎠ ⎝

se concluye que θ( x, t ) = f (Bi, Fo, Χ ) uno de los métodos para determinar λn consiste en trazar un gráfico exacto de este tipo:

2. Solución Gráfica: La solución analítica puede ser expresada (tabulada y graficada)en términos de parámetros adimensionales tales como Bi, Fo, y

Χ ; esta solución se encuentra plasmada en las

gráficas de Heisler, las cuales se presentan para 3 casos particulares: - Placa infinito de espesor 2L - Cilindro largo de radio ro. - Esfera de radio ro. Condiciones en la frontera convectiva 1ª carta:

⎡ T(o, t ) − Tα ⎤ ⎢ To − Tα ⎥ vs Fo ⎣ ⎦

Fo =

αt Lc 2

α=

k ρCP

1 x amt Bi

T(o,t): Temperatura en la línea central en el tiempo t.

96

T α : Temperatura del fluido de los alrededores (cte). To: Temperatura inicial en la pared (cte) /: Razón de temperaturas sin dimensiones. Lc: ½ del espesor dela pared = L 2ª carta:

⎡ T( x, t ) − Tα ⎤ 1 ⎢ T(o, t ) − Tα ⎥ vs Bi ⎣ ⎦

x / L Parámetro

T(x,t): Temperatura en x, en el tiempo t. X/L: Posición adimensional. Calor “potencial”: Uo

Uo = ρCp∀(To − Tα ) Bi : Parámetro 3ª carta: 2 ⎡ U ⎤ ⎡ h αt ⎤ ⎢ Uo ⎥ vs ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎢ k ⎦⎥

U: calor perdido o ganado durante el tiempo t. el método de los gráficos de Heisler sirve también para una placa aislada en una cara: base : x = 0 dT/dx = φ . X = φ : en la superficie aislada. X = L: en la superficie convectiva. CARTAS DE HEISLER “PLACA PLANA e=2L”

97

Temperatura de Línea central de una placa cuyo espesor es 2L. Bi =

hL k

98

CARTAS DE HEISLER “CILINDRO LARGO r=ro”

99

CARTAS DE HEISLER “ESFERA ro”

100

Temperatura del Centro de una Esfera Bi =

h ro 3k

101

CONDUCCIÓN TRANSITORIA, BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN Para este caso se tienen las siguientes restricciones: 1. Simetría: Los 2 ambientes deben ser iguales 2. El elemento que conduce calor, está a una T inicial uniforme To y repentinamente el ambiente que lo rodea se cambia a Tα. La solución analítica a estos casos se basa en que la ecuación diferencial que gobierna estos procesos es:

∂ 2T ∂x

2

+

∂ 2T ∂y

=

2

1 ∂T α ∂t

T ( x, y, z)

Si se introduce la variable θ(x,y,z) ⇒ T( x, y, t ) − Tα T( x, y, t ) − Tα = To − Tα T( x, y,0) − Tα

θ( x, y, t ) =

La ecuación diferencial de 2º orden en T se convierte en:

∂ 2θ ∂x 2

+

∂ 2θ ∂y 2

=

1 ∂θ α ∂t

θ ( x, y, z)

Utilizando el método de separación de variables: θ( x, y, t ) = θ1( x, t ) . θ2 ( y, t )

Si se reemplaza la solución en la ecuación diferencial, entonces

a2 (θ1( x, t ) . θ2 ( y, t ) ∂x

2

+

a2 (θ1( x, t ) . θ2 ( y, t ) ∂y

2

=

1 ∂(θ1.θ2 ) α ∂t

102

θ2

∂ 2θ1 ∂x

2

+ θ1

a 2 θ2 ∂y

2

=

1 ⎛ a θ2 aθ ⎞ + θ2 1 ⎟ ÷ θ1θ2 ⎜ θ1 α ⎝ ∂t ∂t ⎠

1 ∂ 2θ1 1 a2 θ2 1 + = θ1 ∂x 2 θ2 ∂y 2 α

⎛ 1 aθ2 1 aθ1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ + θ1 ∂t ⎟⎠ ⎝ θ2 ∂t

1 ∂ 2θ1 1 1 aθ1 − =− θ1 ∂x 2 α θ1 ∂t

⎛ 1 a 2 θ2 1 a θ2 ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ θ ∂y 2 α ∂t ⎟ ⎝ 2 ⎠

No puede existir una “función” que sea función de x y t que sea igual a otra función de y y t: tiene que ser igual a una constante λ ± y esa constante debe ser cero. Entonces tanto para θ1 como para θ2 debe ser el mismo tipo de solución; entonces tendríamos 2 ecuaciones

independientes: ∂ 2θ1 1 aθ1 1 ∂ 2θ1 1 1 aθ1 − = φ ⇒ = θ1 ∂x 2 α θ1 ∂t α ∂t ∂x 2 ∂ 2θ2 1 aθ2 1 ∂ 2θ2 1 1 aθ2 − = φ ⇒ = θ2 ∂y 2 α θ2 ∂t α ∂t ∂y 2

Se concluye que la solución de θ1 es la solución de un proceso unidimensional al igual que para θ2 . La solución gráfica, de la misma manera se obtiene de θ( x, y, t ) = θ1( x, t ) . θ2 ( y, t ) Casos particulares: 1. Columna Y

2a

X

2b

Si quiero encontrar la Tº en un punto x,y ≠ centro:

103

θ1( x, t ) = θ1(c, t ) Fcorrección θ2 ( y, t ) = θ2 (c, t ) Fcorrección θ( x, y, t ) =

T( x, y, t ) − Tα ⎛ T(o, y, t ) − Tα ⎞ =⎜ ⎟ To − Tα ⎝ To − Tα ⎠

⎛ T( x, o, t ) − Tα ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ To − Tα ⎠

⎛ T( x, y, t ) − Tα ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ T(o, y, t ) − Tα ⎠

⎛ T( x, y, t ) − Tα ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ T( x, o, t ) − Tα ⎠

Para el punto central (o,o,t): θ(o, o, t ) = θ1(o, t ) .

θ2 ( y = o, t )

T(o, o, t ) − Tα ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎟⎟ * ⎜ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ To − Tα ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ To − Tα ⎠ PLACA 2b ( x ) PLACA 2a ( y )

Para el punto (o,a,t): θ(o, a, t ) = θ1( x = o, t ) . θ2 ( y = a, t ) T(o, a, t ) − Tα ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(a, t ) − Tα ⎞ ⎟⎟ * ⎜ ⎟⎟ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ To − Tα ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ PLACA 2b ( x ) PLACA 2a ( y )

Para el punto (b,a,t): θ(b, a, t ) = θ1( x = b, t ) . θ2 ( y = a, t ) T(b, a, t ) − Tα ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(b, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(a, t ) − Tα ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ * ⎜ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ To − Tα ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ ⎝ To − Tα ⎠ ⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ PLACA 2b ( x ) PLACA 2a ( y )

2. Cilindro Corto

104

YX

Para encontrar la temperatura de un punto ≠ del centro: θ( x, r, t ) = θ1( x, t ).θ2 (r, t ) θ1 pared ∞ θ2 cilindro ∞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞⎛ T( x, t ) − Tα ⎞ ⎛ T(o, t ) − Tα ⎞⎛ T(r, t ) − Tα ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ * ⎜ θ( x, r, t ) = ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜⎜ ⎝ To − Tα ⎠⎝ T(o, t ) − Tα ⎠ ⎝ To − Tα ⎠⎝ T(0, t ) − Tα ⎠ PLACA 2L ( x ) CILINDRO λ (r )

3. Extremo de una Barra Y X

2b 2a

Z

θ( x, y, z, t ) = θ1( y, t ) . θ2 ( z, t ) . θ3 ( x, t ) θ1 Pared α

θ2 Pared α

θ3

Sólido semi − inf inito

erf (η)

105

La conducción transitoria sirve para estimar propiedades térmicas de un elemento tales como la conductividad térmica K y el calor específico Cp. Un problema típico es: Dado un θ (x,t) dimensiones físicas L, coeficiente convectivo h, encontrar Cp. si no conocemos K ⇒

prueba y error asumo K → Bi → Fo y despejo K → Kasum = Khallado CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN 3. SOLUCIÓN NUMÉRICA Existen 2 alternativas para obtener la ecuación algebraica. Una a partir de un Balance de Energía sobre un elemento diferencial y otra sobre un elemento finito. Cuando se toma un elemento diferencial se aplica la serie de aproximación de Taylor para obtener la ecuación algebraica. Elemento Diferencial: Procedimiento Analítico: T Tn+1

Tn Tn-1

X n-1

n

n+1

∂ 2T ∆x 2 ∂T = ∆x ∂x ∂x 2 2 Balance de Energía:

∂ 2T ∂x 2

=

1 ∂T α ∂t

106

la aproximación de Taylor nos da el valor de las funciones antes y después de un nodo y nos permite aproximar una segunda derivada a valores específicos de la temperatura.

Tn + 1 = Tn +

Tn − 1 = Tn −

∂T ∂x ∂T ∂x

∆x +

∆x +

T n + 1 + T n − 1 = 2T +

⇒

∂ 2 T ∆x 2 ∂x 2

2

+ ....... (Despreciables)

∂ 2 T ∆x 2 ∂x

2

∂2T ∂x

2

+ ....... (Despreciables)

2

∆x 2

T n + 1 + T n − 1 − 2T n ∂ 2 T ⎞⎟ = ⎟ ∂x 2 ⎠ n ∆x 2

∂T Tni+1 − Tni = ⇒ ∆t ∂t

Reemplazando en la ecuación diferencial:

Tni +1 + Tni −1 − 2Tni ∆ x2

=

1 Tni+1 − Tni α ∆t

En el método explícito aparecen dos discretizaciones, en el tiempo y en el espacio; la temperatura en un tiempo cualquiera depende del tiempo y el espacio anterior: α∆ t ∆x

2

(T

i n +1

)

+ Tni −1 − 2Tni = Tni+1 − Tni

(

Tni+1 = r Tni +1 + Tni −1 − 2Tni

(

)

r=

α∆ t ∆x 2

)

Tni+1 = r Tni +1 + Tni −1 Tni (1 − 2r )

Ecuación Nodos Internos

107

Por este método no se pueden tratar nodos convectivos. PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS 1. Discretizamos el espacio de tal forma que las distancias sean las mismas. 2. Definimos el elemento finito de control 3. Identificamos los flujos de calor sobre el elemento: conducido, almacenado, generado, convectivo. 4. Hacer el Balance de Energía Elemento Finito: Método Universal NODOS INTERNOS: n-1

n

n+1

Qq Q K1

Q K2

Qq 0

1

2 e

3

4

Balance de Energía: QK1 + Qg = QK2 + Qa ⎛ Tn − 1 − Tn ⎞ QK1 = KA ⎜ ⎟ ∆X ⎝ ⎠ ⎛ Tn − Tn + 1 ⎞ QK2 = KA ⎜ ⎟ ∆X ⎝ ⎠ ⎛ TnT +1 − Tn1 Qa = ρ∆ XACp ⎜⎜ ∆t ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

Qg = qq ∆ XA Reemplazando los colores en la fórmula de Balance de Energía:

108

K

Tni − 1 − Tni Tni+1 − Tni Tni − Tni + 1 + qq ∆ X = K : ρ ∆ XCp + ρ∆XCp ∆x ∆x ∆t

K∆t

(Tn − 1− Tn )− ρCpK∆∆tX (Tn − Tn + 1)+ qρCp∆t = Tn i

ρCp∆X

2

i

i

q

i

i+1

2

Tni+1 = r(Tni-1 - Tni - Tni + Tn+1) +

qq∆t

Tni+1 = (1-2r)Tni + r(Tni-1 + Tn+1i) +

K ρCp

+ Tni

ρCp

Tni+1 = r(Tni-1+Tn+1i) – 2 Tnir + Tni +

- Tni ; α =

qq∆t ρCp

qq∆t ρCp

Tni+1 = (1-2r) Tni + r (Tni-1 + Tni + 1)

NODOS INTERNOS SIN GENERACIÓN

NODOS FRONTERA: n-1

n

Qa

Q K1

QC

Qg 0

1 X

2 e

3

4 X 2

Balance de Energía: QK1 + Qg = QC + Qa ⎛ Tn − 1i − Tni ⎞ ⎟⎟ QK1 = KA ⎜⎜ ∆X ⎝ ⎠

Qa = ρ

⎛ Tni+1 − Tni ⎞ ∆X ⎟⎟ ACp ⎜⎜ 2 t ∆ ⎝ ⎠

QC = hA (Tni − Tα) 109

Qg = qq

∆X A 2

Reemplazando los valores de los calores en la formula de Balance de energía tenemos:

K

(

)

∆X ∆X ⎛⎜ Tni+1 − Tni ⎞⎟ Tni − 1 − Tni + qq = h Tni − Tα + ρCp ⎟ ∆t 2 ⎜⎝ ∆X 2 ⎠

ρ∆ XCp y * 2 ∆ t Î α = K / ρCp 2k∆t ρCp∆X

q ∆t ∆t (Tn − 1− Tn )+ ρCph∆2xK ( T α − Tn ) + = Tn ∆x ρCp i

2

r= α∆x / ∆x 2

2rTn-i1-2rTni + 2r

i

i

q

i +1

+ Tni

h∆XTα h∆X i qq∆t − 2r + Tni = Tni+1 Tn + K ρCp K

⎡ h∆X ⎡ h∆x ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ qq∆t Tni+1 = Tni ⎢1 − 2r ⎢1 + Tα ⎥ + ⎥ + 2r ⎢Tn − 1 + ⎥ k ⎦⎦ K ⎣ ⎣ ⎦ ρCp ⎣ ⎡ h∆X h ∆X ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ i ⎤ Tni+1 = Tni ⎢1 − 2r ⎢1 + Tα ⎥ ⎥ + 2r ⎢ Tn − 1 + ⎥ K k ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣

NODO FRONTERA CONVECTIVO, SIN GENERACIÓN

NODO INTERFASE: 2 Materiales

110

n-1

n

n+1

Q a1

Q a2

Q K1

Q K2

q1

Q q2

A 0

1

B 2

3

4

5

6

7

8

Balance de Energía: Qk1 + Qq1 + Qq2 = Qk2 + Qa1 + Qa2 ⎛ Tni − 1 − Tni ⎞ ⎟⎟ Qk1 = K1A ⎜⎜ ∆X ⎝ ⎠ ⎛ Tni − T in + 1 ⎞ ⎟⎟ Qk2 = K2A ⎜⎜ X ∆ ⎝ ⎠ ∆X ⎛ Tni+1 − Tni ⎞ ∆X ⎛ Tni+1 − Tni ⎞ ⎟⎟ Qa2= ρ 2Cp2 ⎟⎟ Qa1 = ρ 1Cp1 A⎜ A⎜ ∆t ∆t 2 ⎜⎝ 2 ⎜⎝ ⎠ ⎠

Qq1 = qq1

∆x A 2

Qq2 = qq 2

∆x A 2

Reemplazando en la ecuación de Balance de Energía: ∆X ⎛⎜ Tni+1 − Tni ⎞⎟ ∆X ⎛⎜ Tni+1 − Tni ⎞⎟ + ρ1Cp2 ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ 2 ⎜⎝ ∆t ∆t ⎠ ⎠ ⎛ Tni − Tni + 1⎞ ⎛ Tni − 1 − Tni ⎞ qq1∆X qq2∆X ⎟ + ρ1Cp1 ⎟ ⎜ K1 + + = K 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ X x 2 2 ∆ ∆ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ Tni − Tni + 1⎞ ⎛ Tni − 1 − Tni ⎞ ∆X ⎟ = (ρ1Cp1 + ρ2Cp2 ⎟+ K1 ⎜ + qq1 + qq 2 − K 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ X x ∆ ∆ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

111

∆X 2

⎛ Tni+1 − Tni ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∆t ⎝ ⎠

(*) 2 ∆ t

y

( ρ 1Cp2 + ρ 2Cp2) ∆ X

2∆tK1(Tni − 1 − Tni ) (ρ1Cp1 + ρ2Cp2)∆X

2

+

(qq1 + qq 2)∆t (ρ1Cp1 + ρ2Cp2

−

2∆tK 2(Tni − Tni + 1 (ρ1Cp1 + ρ2Cp2)∆X

2

+ Tni = Tni+1

Si definimos m = ρ 1Cp1 / ρ 2Cp2:

(

)

2K1∆t 2k 2∆t (Tni − 1 − Tni Tni − Tn + 1 q 1 + q 2 ∆ t ρ1Cp1 ρ2Cp2 q q + − + Tni = Tni+1 2 2 (ρ1Cp1 + ρ2Cp2) (1 + 1 / m)∆x (m + 1)∆X

(

)

(qq1 + qq 2∆t 2r1(Tni − 1 − Tni 2r 2(Tni − 1 − Tni + Tni = Tni+1 + − (1 + 1 / m) (ρ1Cp1 + ρ2Cp2) (m + 1)

Tni+1 =

(qq1 + qq 2)∆t 2r1mTni − 1 2r1mTni 2r 2Tni − − + Tni + (m + 1) (m + 1) (m + 1) (ρ1Cp1 + ρ2Cp2)

(qq1 + qq 2)∆t ⎡ 2r m 2r2 ⎤ 2r1mTni − 1 2r2Tn + 1 + + + Tni+1 = Tni ⎢1 − 1 − ⎥ (m + 1) (m + 1) (ρ1Cp1 + ρ2Cp2) ⎣ (m + 1) (m + 1) ⎦

(qq1 + qq2 )∆t ⎡ ⎤ 2r1mTn − 1 2 2r2 Tni+1 = Tni ⎢1 − (mr1 + r 2)⎥ + + tn + 1 + (m + 1) (m + 1) (ρ1Cp1 + ρ2Cp2) ⎣ (m + 1) ⎦ ⎤ ⎡ 2 2r1m 2r2 Tni +1 = Tni ⎢1 − (mr1 + r2)⎥ + Tn − 1 + Tn + 1 (m + 1) (m + 1) ⎦ (m + 1) ⎣

nodo interfase sin generación CRITERIO DE CONVERGENCIA: Se debe tener especial cuidado con la medida de los ∆ X y ∆ t debido a que si estos son muy grandes se pueden obtener resultados no muy

confiables 112

Ejemplo: si se tienen una placa cuyo espesor de 40 cm es muy pequeño en comparación de las otras dimensiones y repentinamente una de sus caras (solo una) sufre un cambio brusco en su temperatura desde 28º C hasta 300º c; calcular analíticamente el tiempo máximo que transcurre antes de que en la cara opuesta se sienta dicho cambio. SOLUCIÓN: Se analiza por “sólido – semi – infinito”

DATOS: α = 1.2 X 10-6 m2/seg K = 80 W/ mº C e = 0.4 m t = ? (X = 0.4)

θ(x, t) = θ(n) =

T(x, t) − Tα T(x, t) − Ts = To − Tα To − Ts

El valor de n que hace que esa relación sea ⊥ es:

η = 25 ⇒

2.5 = t=

T(0.4, t ) − 300 = 1 = 1 = θ(η) → η = 28 − 300

0.4 2 α t

x 4αt

Despejando el tiempo t:

0.42 0.42 m2seg = = 88.888min (2.5x2)2 xα 25(1.2x10−6 )m2

113

Ejemplo: Determinar la capacidad calórica y la conductividad de un elemento cilíndrico de 0.2 m φ y 0.4m de longitud cuya Densidad es 5800 Kg / m3 mediante los resultados obtenidos en 2 pruebas diferentes. 1ª PRUEBA: El elemento genera calor a una rata de qq = 104 W/m3 y alcanza una temperatura de 271.3º C después de dejarlo una hora en un ambiente de 25º C estando él a una temperatura inicial de 400º C. Durante esta prueba el coeficiente de transferencia de calor por convección es de sólo 20 W/m2 oC la cual determina una resistencia a la convección muy alta frente a la resistencia de la conducción. 2ª PRUEBA: El elemento se deja enfriar sin generar calor estando inicialmente a 400º C en un ambiente de 25º C y alcanza una temperatura de 51.25º C al cabo de 400 seg. Durante esta 2ª prueba el coeficiente de Transferencia de calor por convección es de 800 W/ m2 oC la cual determina una resistencia a la convección similar (no igual) a la resistencia a la conducción. SOLUCIÓN:

qq

0.4

0.2

h =20 W/m2oC

δ = 5800 Kg/m3

qq = 104 w/m3

As = 0.3142 m2

T(3600) = 271.3º C

∀ = 1.25664

To = 400º C T α =25º C Asumiendo Bi < 0.1 Æ ∀ C es el elemento

114

Balance de energía: Qq = Qa + Qc qq ∀ = mCp qq∀ mCp

−

∂T + hA = (T(t) − Tα ) ∂t

∂T hAs (T(t) − Tα) = mCp ∂t

qq∀ ∂T hAs + )=θ (T( t ) − Tα − hAs ∂t mCp

Define: ¬(t) = T(t) - T]-

qq∀ ∂θ ∂T ⇒ = hAs ∂t ∂t

Î

hAs hAs ∂θ ∂θ hAs =− θ; x = − + θ(t) = θ ⇒ mCp ∂t mCp ∂t Mcp

x=

− 20x(2π(0.1)2 + 2π(0.1)x(0.4) − 8.62069x10−2 = 5800x π(0.1)2 x0.4 xCp Cp

(

θ

Î

)

t

∂θ ∫θ0 θ = x ∫0 dt ⇒ Lnθ − Lnθ0 = xt

⎛ 104 * 1.26x10−2 ⎜ Ln(¬/¬0) ¬= ⎜ 271.3 − 25 − 20x0.31416 ⎝ ⎛ 104 * 1.26x10−2 ¬= ⎜⎜ 400 − 25 − 20x0.31416 ⎝

⎞ ⎟⎟ = 226.3 ⎠

⎞ ⎟⎟ = 355 ⎠

8.62069 x10 −2 * 3600 Ln(0.6375) = +0.45026 = + Cp

Cp = 689.263 J/Kgo C Para la 2ª prueba: como dice que la resistencia convectiva es similar (no igual a la conductiva Î esta cerca de ⊥ Î 0.1 < Bi < 100 se soluciona por cartas de Heisler: se supone cilindro α

115

X

T(0.400) = 51.25ºC

=

51

.2

5

h = 800w/m2o C

T(0, t) − Tα 51.25 − 25 = = 0.07 To − Tα 400 − 25

Asumo un K:Æ Bi = 2 Æ Bi = Ka= Fo =

hro hro ÆK= 2k 2Bi

800x0.1 = 20 De las tablas con ½ Bi como parámetro: Fo = 0.08 2x2

αt

ro2

=

kt PCpro2

⇒K =

FaxδxCpxro2 t

Kh = 7.9955 Ejemplo: Para determinar el calor específico de un material se hizo una prueba sobre una placa construida de dicho material, que consistió en someterla a un cambio brusco de la temperatura de los ambientes que rodean la placa elevándolos igualmente a 240ºC. La placa está a una temperatura inicial de 20ºC y tiene una conductividad térmica K = 26 W/moC.

El coeficiente de transferencia de calor de la placa a los ambientes es de

100W/m2oC. Durante la prueba se encontró que las temperaturas en puntos situados sobre la superficie exterior y en el punto medio entre el eje de la placa y la superficie al cabo de 2.11 horas fue de 209º C y 199.5º C respectivamente. δ placa = 7850 Kg/m3. EXPLICAR DETALLADAMENTE el proceso de solución.

DATOS:

116

To = 20º C K = 26 w/mº C h = 100 w/m2º C δ = 7850 kg / m3

Posición Relativa de P con respecto al centro: X/L =

L/2 = 0.5 L

Pared plana – solución por cartas: X/L = 0.5 k = 26 Bi =

hL = 3.846 Lc k

Para Bi = 1.0 Æ asumimos Lc = 0.2600 En la tabla 2 : 1/Bi = 1.0 Æ T(x,t) = 199.5º C Tα = 240ºC

T(x, t) − Tα = 0.92 T(α, t) − Tα

Æ T(0, t) =

199.5 − 240 + 240 0.92

T(0,t) = 195.978 ºC

Posición relativa de S con respecto al centro: X/L = 1 k = 26 Bi = 3.846 Lc Lc = 0.2600 En la tabla 2: 1/Bc = 1.0 Æ T(x,t) = 209º C

T(x, t) − Tα = 0.64 T(0, t) − Tα Æ T(0, t) =

209 − 240 + 240 0.64

117

Tα = 240º C T(0,t) = 191.563 º C x/L = 0.5 Æ 0.95

Iterando con Bi para 1/Bi = 2.0:

X/L = 1 Æ 0.795 L = 0.52 T(0,t) = 197.368 T(0,t) = 201.006 1/Bi = 2.5, 2.1, 1.5, 1.2, 1.3, SI para i/Bi = 1.3 Æ x/L = 0.5 Æ 0.915 Lc = 0.34 x/L = 1

Æ 0.70

T(0,t) =

T(x, t) − Tα + 240 = 195.74º C 0.915

T(x,t) = 199.5 ºC

T(0,t) =

T(x, t) − Tα + 240 = 195.714º C 0.70

T(x,t) = 209 ºC

Vamos a la tabla 1 con T(0,t) y Bi T(0, t ) − Tα 195.74 − 240 = = 0.2012 To − Tα 20 − 240

hallamos Fo: Fo = 2.2 = Bi =

αt kt = 2 L PCpL2

hL →⊥= 0.338m k

Cp =

kt 26 * 2.11 * 3600 = 2 2.2PL 2.2 * 7850 * (0.338)2

Cp = 100.0996

Joul Kgº C

118

Una barra cilíndrica (aislada por un extremo) de 4 cm. de diámetro y 30 cm. de largo, que genera calor a una rata de 6.75x105 W/m3, se sumerge verticalmente en un baño de aceite a 25°C después de que ha alcanzado su equilibrio térmico en el aire a 20°C. Determinar la historia de la temperatura de la barra que esta dentro del aceite a partir del momento que empieza a sumergirse en el baño. Considere lo siguiente: • • • • • • •

Densidad de la barra = 2500kg/ m3 Calor especifico = 400J/Kg °C Kbarra = 30 W/m °C h de la barra con el aire = 67.5 W/m2 °C h de la barra con el aceite = 120 W/m2 °C La cantidad de aceite en el baño es muy grande. La variación radial de la temperatura en la barra es despreciable.

Î 1° Parte : La barra alcanza el equilibrio con el aire (estado estable)

L = 0.3 m ; D = 0.04m ; r = 0.02m Balance de energía: qAC y + q g AC ∆y = qAC

y + ∆y

+ h(πD)(T − T∞ )

d (qAC ) + q g AC = h(πD)(T − T∞ ) dy KAC

d 2T + q g AC = h(πD)(T − T∞ ) dy 2

qg q g AC ⎞ d 2T hπD d 2T hπD ⎛ ⎜ ⎟=0 T T T T ( ) 0 − − + = ⇒ − − − ∞ ∞ dy 2 KAC k dy 2 KAC ⎜⎝ hπD ⎟⎠ { 1442443 2 β

⇒

θ

2

d T − β 2θ = 0 ⇒ θ ( y ) = C1 senhβy + C 2 cosh βy 2 dy

1° C.F : y = 0

dθ dy

y =0

= 0 ⇒ 0 = βC1 cosh β (0) + βC 2 senhβ (0) ⇒ C1 = 0 1424 3 1424 3 1

0

119

y = 0 T( y ) = T0

⇒ T0 − T∞ −

2° C.F : ⇒ C1 = T0 − T∞ −

3° C.F : y = L − K

q g AC hπD

q g AC hπD

= T0 − 20 −

= C 2 cosh β (0) 1424 3 1

6.75 x10 π (0.02) 2 = T0 − 120 67.5π 2(0.02) 5

dθ = h(TL − T∞ ) ⇒ −kβ (T0 − 120) senhβL = h(TL − 20) dy

67.5 ⋅ 2 = 15 ⇒ −30 ⋅15(T0 − 120) senh(15 ⋅ 0.3) = 67.5(TL − 20) 30 ⋅ 0.02 ⇒ −300(T0 − 120) = TL − 20 ⇒ TL = −300T0 + 36020

β=

4° C.F : y = L T( y = L ) = TL

⇒ TL − T∞ −

q g AC

= (T0 − 120) cosh(4.5) hπD TL − 20 − 100 = 45.01T0 − 5401.7 ⇒ TL = 45.01T0 − 5281.7 ⇒ −300T0 + 36020 = 45.01T0 − 5281.7 ⇒ T0 = 119.71

Remplazando: Ty = (119.71-120)cosh(15y)+120=-0.29cosh(15y)+120 Î Ty = 0.55cosh(15y)+120 (con el origen de y arriba)

Î 2° Parte : El cilindro se introduce gradualmente al aceite (estado transitorio) “ojo” nuevo origen de y abajo

(∆y = 0.03m) (para seguir el mvto de inmersión de, invertí la nomenclatura)

120

Análisis (1) : Qg + QK1 = Qa + QCr + QCa T −T ∆T ⎡2 ⎤ + ha (T0 − Ta ) ⎢ πr 2 ∆y + πr 2 ⎥ q g ∆y (πr 2 ) + K (πr 2 ) 1 0 = ρC P ∆y (πr 2 ) ∆y ∆t ⎣r ⎦ q g ∆y + K

T1 − T0 ∆T ⎡2 ⎤ = ρC P ∆y + ha (T0 − Ta ) ⎢ ∆y + 1⎥ ∆y ∆t ⎣r ⎦

∆y 2 ∆T ha ∆y ρ ⎡2 ⎤ (T0 − Ta ) ⎢ ∆y + 1⎥ + T1 − T0 = C P ∆y 2 + qg ∆t 12 K k K3 ⎣r ⎦

;

ρC P ∆y 2 k∆t

=

1 30 = Fo ∆t

βi

⇒ qg

T i +1 − T0i ∆y 2 ⎤ ⎡2 + T1i − T0i = 0 + βi (T0i − Ta ) ⎢ ∆y + 1⎥ K Fo ⎦ ⎣r

i +1 0

⇒T

⎡ ⎤ ⎢ ∆y 2 ⎞⎥ ⎛2 i i i = T + Fo ⎢q g + T1 − T0 − β i (T0 − Ta )⎜ ∆y + 1⎟⎥ = T0i + Fo 20.25 + T1i − 1.48T0i − 0.48Ta { ⎝1r424 0.12 ⎢ 12K3 3⎠⎥ 20 . 25 4 ⎣ ⎦

[

i 0

]

Análisis (2) : Qg + QK2 = Qa + QCr + QK1 i i ∆T ha K 2 2 T2 − T1 = ρC P ∆y (πr 2 ) + 2πr 2 ∆y (T1i − Ta ) + (πr 2 )(T1i − T0i ) q g ∆y (πr ) + K (πr ) ∆y ∆t ∆y r

ρC P ∆y 2 ∆T ha 2∆y i ∆y 2 + T2i − T1i = + (T1 − Ta ) + (T1i − T0i ) ∆t K rK K i +1 i 2 T − T1 2βi∆y i ∆y + T2i − T1i = 1 + (T1 − Ta ) + T1i − T0i qg Fo r K ⎡ ⎤ 2 ∆y i ⎢ ∆y ⎥ i +1 i i i i ⇒ T1 = T1 + Fo ⎢q g + T2 − 2T1 + T0 − 2βi (T1 − Ta )⎥ = T1i + Fo 20.25 + T2i − 2.36T1i + T0i + 0.36Ta r K3 123 ⎢⎣ 1202 ⎥⎦ .25 0.36 qg

[

Análisis para (3): Qg = Qa + QCr + QKn-1 q g ∆y (πr 2 ) = ρC P ∆y (πr 2 ) qg i +1 n

⇒T

K ∆T ha + 2πr 2 ∆y (Tni − Ta ) + (πr 2 )(Tni − Tni−1 ) r ∆t ∆y

∆y 2 T1i +1 − T1i 2 βi∆y i = + (Tn − Ta ) + Tni − Tni−1 K Fo r

⎡ ⎤ 2 ∆y i ⎢ ∆y ⎥ i i = T + Fo ⎢q g − Tn + Tn −1 − 2 β i (Tn − Ta ) ⎥ = Tni + Fo 20.25 − 1.36Tni + Tni−1 + 0.36Ta K3 r 123 ⎢⎣ 1202 ⎥⎦ .25 0.36 i n

[

]

121

]

Criterios de estabilidad (determinación de Fo y ∆t)

[ = T (1 − 2.36 Fo) + Fo[20.25 + T = T (1 − 1.36 Fo) + Fo[20.25 + T

(1) T0i +1 = T0i (1 − 1.48Fo) + Fo 20.25 + T1i + 0.48Ta (2) T1i +1 (3) Tni +1

]

− T0i + 0.36Ta

i 1

i 2

i n

i n −1

(1) Fo < 1/1.48 = 0.675 Î (2) Fo < 1/2.36 = 0.424 Î (3) Fo < 1/1.36 = 0.735 Î

]

+ 0.36Ta

0.65 = ∆t/30 0.4 = ∆t/30 0.7 = ∆t/30

]

Î ∆t = 19.5 seg Î ∆t = 12 seg Î ∆t = 21 seg

Í tomo este por ser el menor

Remplazando encontramos la ecuación para cada nodo inmerso

n=0→ y=0

t 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 134

i +1 1

n = 1 → y = 0.03

→ T

n = 2 → y = 0.06

→ T2i +1

n = 3 → y = 0.09

→ T3i +1

n = 4 → y = 0.12

→ T4i +1

n = 5 → y = 0.15

→ T5i +1

n = 6 → y = 0.18

→ T6i +1

n = 7 → y = 0.21

→ T7i +1

n = 8 → y = 0.24

→ T8i +1

n = 9 → y = 0.27

→ T9i +1

n = 10 → y = 0.3

→ T10i +1

y 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,3 0,3

T0 106,946 101,204 98,861 62,575 46,166 35,705 33,578 30,391 28,510 27,416 27,300 27,069

( ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.456) + 0.4(29.25 + T )

→ T0i +1 = T0i (0.408) + 0.4 32.25 + T1i

T1 111,675 111,675 23,348 19,339 9,924 15,274 9,479 8,026 7,210 8,034 7,576 7,178

T2 114,689 114,689 114,689 55,427 53,713 28,015 23,066 18,043 18,337 15,982 14,933 14,528

i 1

i 2

i 0

i 2

i 3

i 1

i 3

i 4

i 2

i 4

i 5

i 3

i 5

i 6

i 4

i 6

i 7

i 5

i 7

i 8

i 6

i 8

i 9

i 7

i 9

i 10

i 8

i 10

i 9

T3 116,61 116,61 116,61 116,61 43,192 39,767 22,107 22,092 15,348 13,880 12,555 12,809

T4 117,833 117,833 117,833 117,833 117,833 48,465 45,951 24,069 21,638 16,176 15,949 13,951

T5 118,609 118,609 118,609 118,609 118,609 118,609 46,596 43,569 23,509 22,238 15,950 14,954

T6 119,099 119,099 119,099 119,099 119,099 119,099 119,099 47,493 44,693 23,688 21,851 16,007

T7 119,403 119,403 119,403 119,403 119,403 119,403 119,403 119,403 47,223 44,301 23,657 22,086

T8 119,584 119,584 119,584 119,584 119,584 119,584 119,584 119,584 119,584 47,379 44,505 23,663

T9 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 119,68 47,334 44,433

T10 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 119,71 85,221

122

Transferencia de Calor por Convección El proceso de la transferencia térmica de una superficie de un sólido a un líquido se llama intercambio de calor por convección o emisión calorífica. En este caso la transferencia de calor se realiza debido a la acción simultánea de la conductibilidad térmica y la convección. El fenómeno de la conductibilidad térmica en los líquidos y gases, al igual que en los sólidos, lo determina de modo completo el coeficiente de conductibilidad térmica y el gradiente de temperatura El fenómeno de convección que es segunda forma elemental de propagación del calor tiene otro aspecto. En este caso el proceso de transferencia térmica está ligado inseparablemente con la transferencia de masa fluida. Por eso la convección es posible solamente en los líquidos y gases cuyas partículas son capaces de desplazarse con facilidad. Según la naturaleza de su surgimiento se distinguen dos formas de movimiento: libre y forzado. El movimiento libre se llama también convección libre. Se conoce como forzado el movimiento que surge bajo la acción de un agente externo, por ejemplo, una bomba, un ventilador, etc. En caso general a la par con el movimiento forzado puede desarrollarse también el libre

Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido-fluido

V

dT dx

dT Determinar el flujo de calor qc = − K f dx

x =0

x=0

Perfil de temperatura del fluido

ρ , C p fluido{

Gas Liquido

123

Además de existir contacto intimo entre sólido y fluido (conducción), la transferencia de calor se ve mejorada por el movimiento del fluido (natural o forzado) Convección : Conducción + Movimiento FACTORES QUE DETERMINAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR ¾ Propiedades del fluido ¾ Patrón de flujo (laminar o turbulento) ¾ Forma de la frontera

- El fluido (sus propiedades)

El coeficiente de transferencia de calor es una función de muchos parámetros que se relacionan

- La naturaleza del flujo: Laminar velocidad, régimen Turbulento

- Forma de la frontera

Interno Externo

Condiciones de flujo Interno

Externo

a. paralelo

b. transversal

124

El flujo de calor por convección esta definido por la evolución de la temperatura del fluido en las cercanías de la interfaz sólido-fluido, y considerando que en esta interfaz el fluido se encuentra en reposo relativo al sólido (velocidad del fluido cero) el mecanismo de transferencia en esta primera capa de fluido es de conducción y se puede aplicar la relación de Fourier, de tal manera que: qc = − K f

∂T ⎞ ⎟ ∂x ⎠ X =0

De esta relación se observa que para determinar qc se requiere conocer la función de temperatura con x, lo cual normalmente no es tan sencillo de establecer, debido a la complejidad del movimiento del fluido, principalmente en los casos en que el flujo es turbulento. Es así, que para simplificar la cuantificación del flujo de calor convectivo qc se ha ideado una forma de involucrar en un único factor (el coeficiente de transferencia de calor h) todos los parámetros que podrían afectar su valor (propiedades del fluido, régimen de flujo, forma de la frontera etc) y que mediante una relación mas sencilla permita cuantificar el flujo de calor por convección como producto de una diferencia de temperatura entre la superficie del sólido y alguna temperatura representativa del fluido denominada Tref (ya dijimos que la temperatura es variable en las cercanías de la frontera).

DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR ∂T ⎞ = h (TS − Tref ) ⎟ ∂x ⎠ X =0 − K f ∂T / ∂x )x =0 qc h= = TS − Tref TS − Tref

qc = − K f

donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección h [W/m2 °c]

h = f ( Π1, Π 2, Π 3... Π n)

De la ecuación anterior se deduce que para establecer el valor de h se requiere: o Definir la temperatura de referencia en el fluido Tref o Determinar el perfil de T° en el fluido para poder calcular el ∂T / ∂x )x =0

125

DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE REFERENCIA o Para flujos externos o Para flujos internos

Temperatura ambiental para la transferencia de calor por convección. En los flujos externos la temperatura cambia bruscamente en los puntos mas cercanos a la superficie pero en los mas alejados no lo hace, por eso usamos T∞ como temperatura de referencia. - Flujo externo (no confinado)

qC = −u f

dT f dy

h=

Q A(TS − Tamb )

⎞ ⎟⎟ = h(TS − Tamb ) ⎠ y =0

dT f ⎞ ⎧ q x = x1 ⎟ dy ⎟⎠ y =0 ⎪⎪ h local = T − T S1 amb ⇒ h= ⎨ q TS − Tamb ⎪h promedio = ⎪⎩ TS − Tamb −K

- Temperatura de referencia para Flujo interno: (confinado) En los flujos internos la temperatura está cambiando tanto en x como en dirección radial, tomaremos en este caso la temperatura media o temperatura “bulk” como de referencia.

Tbulk = Tm =

∫ dmC T

Entonces Tm

p

m& C p

∫ =

R

0

donde dm = ρU (r )2π r dr

ρU (r )2π r drC pT (r ) m& C p

126

como la Tm cambia a lo largo del tubo, existen por lo tanto diversos h, si sabemos que el flujo de calor es constante.

DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURA Para determinar el perfil de temperatura de la convección el proceso convectivo se puede analizar por dos diferentes métodos: 1. Analítico 2. Empírico

Establecimiento de las ecuaciones Solución de las ecuaciones básicas Î Mediante parámetros adimensionales (experimental)

Balance de fuerzas y energía

Ecuaciones Diferenciales

Resolverlas Buscar los parámetros adimensionales que las gobiernan

SOLUCION ANALITICA Obtener relación matemática

T = T(x)

1. Conocer el perfil de velocidades U = U(x). Esto se puede obtener a partir de la Ecuación de balance de fuerzas sobre un elemento de fluido. Ecuación de conservación del momentum denominada ecuación hidrodinámica. 2. Necesitamos determinar un balance de energía Ecuación Los elementos del Balance energético -Flujo neto por Conducción son - Almacenamiento de la energía por la masa fluida - Trabajo de las fuerzas viscosas y normales Flujo neto por conducción = Q almacenado m& = c p ∆T

Flujo neto de calor por conducción Qc

127

∂Q x ⎛ ⎞ ∆x ⎟ Q x − Q x +∆x = Q x - ⎜ Q x + ∂ x ⎝ ⎠ ∂Q ∂ ⎛ ∂T ⎞ − ∆x = − ⎜ − K ⎟∆x ∆y ∆z ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ −

∂Q ∂ 2T ∆x = K 2 ∆V ∂x ∂x

⎡ ∂ 2T ∂ 2T ⎤ Flujo neto por conducción K ⎢ 2 + 2 ⎥ ∆V ∂y ⎦ ⎣ ∂x

Rata de almacenamiento de calor CpTρU∆y∆z ∂ (UT ) = ∂U T + U ∂T ∂x ∂x ∂x ∂ (UT ) = ∂ϑ T + ϑ ∂T ∂y ∂y ∂y

dmC p T +

∂ (∂mC pTx ) + ∂ (ρU∆y∆zC pTx )∆x ∂x ∂x

calor almacenado en la direccion de x =

∂ (UT )( ρC p ∆V ) ∂x

∂ (ϑT )ρC p ∆V ∂y

El análisis anterior se resume en las siguientes graficas anexas (*)

128

ECUACIÓN DEL LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA UN FLUIDO DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

BALANCE DE FUERZAS

RELACIONES DE TRANSFORMACION

ECUACION DEFERENCIAL Momentum en x :

[σy + (δσy/δy)∆y] [τxy + (δτxy/δx)∆x]

τxy σx

∆y ∆x τyx σy

[σx + (δσx/δx)∆x]

Momentum en x : ⎛ ∂u ∂σ x ∂τ yx ∂u ⎞ + v ⎟⎟ = Fx + + ∂y ⎠ ∂x ∂y ⎝ ∂x

ρ ⎜⎜ u

Momentum en y : [τyx + (δτyx/δy)∆y]

∂σ ∂τ ⎛ ∂v ∂v ⎞ ρ ⎜⎜ u + v ⎟⎟ = Fv + y + xy ∂y ⎠ ∂y ∂x ⎝ ∂x

⎛ ∂u

∂v ⎞

τ xy = τ yx = µ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂u ∂x ∂v σ y = − p + 2µ ∂y

σ x = − p + 2µ

⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂p + v ⎟⎟ = Fx − ∂y ⎠ ∂x ⎝ ∂x

ρ ⎜⎜ u

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ + µ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x Momentum en y :

⎛ ∂v ∂p ∂v ⎞ + v ⎟⎟ = Fy − ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x

ρ ⎜⎜ u

⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞ + µ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

129

ECUACION DIFERENCIAL DE LA ENERGIA EN LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

[Ey + (δEy/δy)∆y] [Qy + (δQy/δy)∆y] Ex

[Ex + (δEx/δx)∆x]

∆y

Qx

[Qx + (δQx/δx)∆x]

∆x Ey

Qx

BALANCE DE ENERGIAS Balance de Conducción : ∂Q y ⎞ ⎛ ∂Q − ⎜⎜ X ∆x + ∆y ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

RELACIONES DE TRANSFORMACION ∂T Q x = −k ∆y∆z ∂x ∂T Q y = −k ∆x∆z ∂y Ex = ρ u (∆y ∆z) Cp T

Balance asociado con la energía del fluido:

⎛ ∂T ∂T ⎞ ⎟ +v ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂x

ρ ⋅ Cp⎜⎜ u

⎛ ∂ 2T ∂ 2T = K ⎜⎜ 2 + 2 ∂y ⎝ ∂x

⎞ ⎟⎟ + φ ⎠

Ey = ρ v (∆x ∆z) Cp T ∂ (uT ) ∂T ∂u =u +T ∂x ∂x ∂x ∂ (vT ) ∂T ∂v =v +T ∂y ∂y ∂y

∂E y ⎛ ∂E x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∆x + ∂y ∆y ⎟ ⎝ ⎠

Ex = ρ · u · (∆y · ∆z) · Cp · T Ey = ρ · v · (∆x · ∆z) · Cp · T

ECUACION DEFERENCIAL

u

⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂T ∂T +v + T ⎜⎜ + ⎟⎟ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠

Analogía

⎛ ∂u ∂p ∂u ⎞ + v ⎟⎟ = Fx − ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x

ρ ⎜⎜ u

⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞ + u ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x

130

SOLUCION EMPIRICA Tiene como objetivo encontrar los parámetro adimensionales que gobiernan la solución de las ecuaciones básicas. Encontrar la relación funcional entre los parámetros Significado físico: Re =

ρVD flujo fuerzas de inercia = µ fuerzas viscosas

Lo que se busca es un numero adimensional que contenga h: Nadim(h) = f(h)

SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS La teoría de la semejanza es la ciencia que estudia la similitud de los fenómenos. En la geometría, de donde se

α

C

B

tomó este término por primera vez nos encontramos con el concepto de la semejanza. Como se conoce las figuras semejantes geométricamente, por ejemplo, los triángulos

α

a β

θ

θ

β

A

b

c

expuestos en la figura, son semejantes cuando poseen la propiedad de que sus ángulos respectivos son iguales y los lados homólogos, proporcionales. El concepto de semejanza se puede extender a cualquier fenómeno físico. Se puede hablar, por ejemplo, acerca de la semejanza cinemática en el movimiento de dos flujos de un líquido, semejanza dinámica; semejanza de distribución de temperaturas y flujos caloríficos, la semejanza calorífica, etc. En caso general el concepto de semejanza entre los fenómenos físicos se reduce a los postulados siguientes: o El concepto de semejanza en cuanto a los fenómenos físicos es aplicable solamente

a fenómenos de un mismo género con igual calidad, y que se describen analíticamente con ecuaciones que tienen tanto iguales la forma, como el contenido. Si la descripción matemática de dos fenómenos cualesquiera tiene forma igual, pero su contenido físico es diferente, dichos fenómenos se denominan analógicos. Tal analogía se da, por ejemplo, entre los procesos de la conductibilidad térmica, electro-conductibilidad y difusión.

131

o La premisa obligatoria para la semejanza entre los fenómenos físicos ha de ser su

semejanza geométrica. Para que exista esta última es necesario que los fenómenos en mención siempre se desarrollan en sistemas geométricamente semejantes. o Al llevar a cabo el análisis de los fenómenos semejantes pueden compararse

únicamente las magnitudes homogéneas sólo en los puntos homólogos del espacio y en los momentos homólogos del tiempo. Llámense homogéneas a las magnitudes que tienen un mismo sentido físico e igual dimensión. Se denominan homólogos a los puntos de los sistemas geométricamente semejantes cuyas coordenadas son proporcionales.

En resumen las condiciones para la semejanza son: 1. Fenómenos con el mismo contenido no analógicos 2. Debe existir semejanza geométrica 3. debe establecerse siempre en puntos homólogos 4. Existir proporcionalidad entre todas las magnitudes del caso A y el caso B Lista de constantes de semejanza CL =

X A YA = X B YB

;

CU =

U A ϑA = U B ϑB

;

ρA ρB µ Cµ = A µB

Cρ =

C PA C PB

;

Ccp =

;

C ∆T =

∆TA ∆TB

El valor numérico de estas constantes de semejanza no es arbitrario.

132

SEMEJANZA HIDRODINÁMICA Teniendo la ecuación de momento para el caso A: FI a ⎡

ρ a ⎢U A ⎣

=

Fνa

⎡∂ U ∂U A ∂ϑ ⎤ ∂ 2ϑ ⎤ + ϑA A ⎥ = µa ⎢ 2 A + 2 A ⎥ ∂x A ∂y A ⎦ ⎣ ∂x A ∂y A ⎦ 2

remplazando en función de las constantes y parámetros del caso B: ⎡ ⎛ C dU B C ρ ρ B ⎢CV U B ⎜⎜ V ⎝ C L dx B ⎣ Cρ

CV2 CL

⎛ C dU ⎞ ⎟⎟ + CV ϑ B ⎜⎜ V B ⎝ C L dy B ⎠

⎡ C d 2U B CV d 2U B ⎤ ⎞⎤ ⎟⎟⎥ = C µ µ B ⎢ V + ⎥ C L dy B ⎦ ⎠⎦ ⎣ C L dx B

⎧ ⎡ ∂U B CV ⎧⎪ ⎡ ∂ 2U B ∂ 2U B ⎤ ⎫⎪ ∂U B ⎤ ⎫ + + ϑB ⎨ ρ B ⎢U B ⎥ ⎬ = C µ 2 ⎨µ B ⎢ 2 ⎥⎬ ∂x B ∂y B ⎦ ⎭ C L ⎪⎩ ⎣ ∂x B 2 ∂y B ⎦ ⎪⎭ ⎩ ⎣

Fia F ... = ... va FIb Fvb como vemos lo que esta entre las dos “llaves” {} es la ecuación de para el caso B, por lo tanto para que no se altere la ecuación se debe cumplir que: C L C ρ CV CV2 C Cρ = C µ V2 por lo tanto =1 CL Cµ CL la condición necesaria para la semejanza hidrodinámica es: X AU A ρ A X BU B ρ B = o sea igualdad de Reynolds Re A = Re B

µA

µB

SEMEJANZA TÉRMICA : En dos procesos que producen calor además de moverse de la misma forma tenemos: ⎡

ρ AC PA ⎢U A ⎣

⎡ ∂ 2T A ∂ 2T A ⎤ ∂TA ∂T ⎤ + ϑA A ⎥ = K A ⎢ + 2 2 ⎥ ∂x A ∂y A ⎦ ∂y A ⎦ ⎣ ∂x A

introduciendo CK = KA/KB y remplazando en función de B

133

⎡ C ∆T ∂ 2TB C ∆T ∂ 2TB ⎤ ⎡ CV U B C ∆T ∂TB CV ϑB C ∆T ∂TB ⎤ C ρ ρ B Ccp C pB ⎢ + ⎥ = CK K B ⎢ 2 2 + 2 2 ⎥ C L ∂x B C L ∂x B ⎦ ⎣ C L ∂x B ⎦ ⎣ C L ∂x B ⎧ ⎡ ∂TB ∂T ⎤ ⎫ C + ϑB B ⎥ ⎬ = C K ∆T2 ⎨ ρ B C pB ⎢U B ∂y B ⎦ ⎭ CL ⎣ ∂x B ⎩ C C CV C ρ Ccp ∆T = C K ∆T2 CL CL

CV C ρ Ccp

C ∆T CL

CK =1 CV C ρ Ccp C L Cα =1 CV C L

introduciendo

Cα =

⎧⎪ ⎡ ∂ 2TB ∂ 2TB ⎤ ⎫⎪ + ⎨K B ⎢ 2 2 ⎥⎬ ∂y B ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ ∂x B

CK constante de difusividades térmicas C ρ Ccp

si multiplicamos y dividimos por Cυ =

C C υA ⇒ V L = 1 Reynolds υB Cυ

La condición para que se cumpla la semejanza térmica es la igualdad en los números de Prant. Cυ υ A /υ B =1 ⇒ =1 α A /α B Cα # Pr =

υ A υ B viscosidad cinemática = = αA αB difusividad térmica

Gobierna la solución θ = f ( Re, Pr )

θ=

Condición de frontera

−K

T − TS = f (Re, Pr) T∞ − TS

∂T ⎞ ⎟ = h(TS − T∞ ) ∂y ⎟⎠ y =0

Semejanza de las condiciones de frontera CK

C ∆T = C h C ∆T CL

entonces

⇒

ChC L =1 CK

h A x A hB x B = = # de Nusselt KA KB

Nu = f ( Re, Pr ) es una relación adimensional y depende de cada caso.

134

Se pueden presentar los siguientes tres casos :

ν>α Pr > 1

Térmico = Rojo Hidráulico = Azul

ν=α Pr = 1

ν<α Pr < 1

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ENTRE UN FLUIDO Y UNA PLACA PLANA

Ecuaciones gobernantes: ⎡ ∂ 2u ⎡ ∂ 2T ⎡ ∂u ⎡ ∂T ∂ 2u ⎤ ∂u ⎤ ∂ 2T ⎤ ∂T ⎤ + v ⎥ = µ ⎢u 2 + v 2 ⎥ ; ρC p ⎢u +v ⎥ = K⎢ 2 +v 2 ⎥ ∂y ⎦ ∂y ⎦ ∂y ⎦ ∂y ⎦ ⎣ ∂x ⎣ ∂x ⎣ ∂x ⎣ ∂x

ρ ⎢u

Pueden sufrir modificaciones producto de algunas consideraciones: ∂ 2u =0 ∂µ 2 ⎡ ∂u ∂ 2u ∂u ⎤ quedando : ρ ⎢u + v ⎥ = µ 2 ∂y ⎦ ∂y ⎣ ∂x

∧

∂ 2T =0 ∂x 2 ⎡ ∂T ∂ 2T ∂T ⎤ +v ⎥ = K 2 ∂y ⎦ ∂y ⎣ ∂x

ρC P ⎢u

∧

Solución matemática: si introducimos las variables g(η) y η U = g (η ( x, y )) U∞ U = g (η ) U∞

U = U ∞ g ( x, y )

η=

y Re x

135

la forma final de la ecuación de momento ∂ 2 g 1 ∂g + f =0 ∂η 2 2 ∂η

donde

f = ∫ g (η )dη

y de la ecuación de energía, considerando

T − TS = θ (η ) T∞ − TS

∂ 2θ 1 ∂θ + f Pr =0 2 ∂η 2 ∂η

Solución hidrodinámica g = U /U ∞

∂g ⎞ ⎟ = 0.332 ∂η ⎟⎠η =0

g (0) = 0 g (∞ ) = 1 g (5) ≅ 1

η=

y Re x x

Podemos hallar el espesor de la capa límite hidrodinámica: y 5x η =5= Re x ⇒ y = x Re x

cuando Pr =1 las capas hidrodinámica y térmica coinciden.

136

En un fluido de Pr = 15 que se mueve sobre una placa plana de L = 1m a una T∞ = 50°C y U∞ = 2m/seg. Calcular el espesor de capa limite δH y δT en x = 0.5m y Re x x

η=

donde

Re x =

U ∞ x 2 x0.5 = = 0.2 x10 5 v 5 x10 −5

como el Rex = 0.2x105 < 5x105 el flujo es laminar δH = YH cuando U(x,y)=U∞ Y U = 1 entonces n = 5 = H U∞ x 5x

δH =

5 x0.5

= 0.0176m 0.2 x10 5 T ( x, y ) − T S Y δT = θn = = 1 obtenemos η = 2.02 = T T∞ − T S x

YT =

Re x

=

Re x

2.02 x0.5 0.2 x10 5

Re x

= 0.00714m

a partir de una regresión lineal

δH = f (Pr) ≅ Pr 1 / 3 δT

Y H = YT Pr 1 / 3

η=

YH x

Re x =

YT 1 / 3 Pr Re x x

En resumen el comportamiento térmico e hidrodinámico para el movimiento de un fluido sobre una placa plana, en régimen laminar se puede resumir en la siguiente gráfica.

η=

y 1/ 3 Pr Re x x

137

Hidrodinamica

Térmica h =

Re x

Remplazando en ec. hidrodinámica : f 0.332 µ (U ∞ / x) Re x Cf = = 1 4 ρU ∞2 2 0.664 Re x Cf = ρU ∞ x

µ

donde

q = TS − T∞

µ ∂U / ∂y ) y =0 f τ = = 1 4 1 ρU ∞2 ρU ∞2 2 2 − K ∂U / ∂y ) y =0 TS − T∞ ⎛ T − TS ⎞ ⎟⎟ ∂⎜⎜ ⎝ T∞ − TS ⎠ ⎛y ∂⎜ Pr 1 / 3 Re x ⎝x

∂ (U / U ∞ ) = 0.332 ⎛y ⎞ Re x ⎟ ∂⎜ ⎝x ⎠ U ∂u ⎞ ⎟⎟ = 0.332 ∞ x ∂y ⎠ y =0

Cf =

ρUU ∞ x 0.664 = Re x ⇒ C f = µ Re x

hx

⎞ ⎟ ⎠

= 0.332

T −T ∂T ⎞ ⎟ = 0.332 ∞ S Pr 1 / 3 Re x x ∂y ⎟⎠ y =0 Remplazando en ec. témica : h=

− 0.332 K (T∞ − TS ) Pr 1 / 3 Re x x(T∞ − TS )

k hx = 0.332 Pr 1 / 3 Re x x Usando Nusselt : hx = 0.332 Pr 1 / 3 Re x Nu x = K

h = 2hx = L (promedio) x Re = 5x105

138

Q = h A(TS − T∞ ) Q = ∫ dQ = ∫ hx (bdx)(TS − T∞ ) = b(TS − T∞ ) ∫ hx dx Q = cte ∫

x1 / 2 dx = cte = 2cte x 1/ 2 x

Q = 2b(TS − T∞ )k ⋅ 0.332 Pr 1 / 3 Q = 0.664b(TS − T∞ )k Pr

1/ 3

U∞x

υ

Re x

En x = L ; Re = Re L sucede : Q = 0.664b(TS − T∞ )k Pr 1 / 3 Re L = h Lb(TS − T∞ ) despejando

hL = Nu = 0.664 Pr 1 / 3 Re L K

si C f = 0.664 / Re x y C f = 2C f ) x = L ⇒ C f =

1.328 Re x

K 1/ 3 Pr Re L L Si relacionamos C f y Nu obtenemos :

y h = 0.664

Cf Nu Cf 2 Cf 2

= =

1.328 / Re x = L 0.664 Pr

1/ 3

Re x = L

=

2 Re L Pr 1 / 3

Nu Nu Nu = Pr 2 / 3 donde = St 1/ 3 Re L Pr Re L Pr Re L Pr

= St Pr 2 / 3 analogia de Colburn

El numero de Stanton (St) nos sirve para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección h: St =

Nu hL / K hK h = = = U L υ KU ∞ ρCp ρCpU ∞ Re L Pr ∞ ⋅

υ

α

Recordemos que si el flujo es laminar f = 64/Re, pero si es turbulento usamos el diagrama de Moody para hallar el valor de f

139

Caso Laminar

Coeficiente de fricción Cf

Solución Analítica

Coeficiente de transferencia de calor h

C fx

U/U∞

Local

Hidrodinámica

∂ 2 g 1 ∂g ∂g ⎞ U + f =0 ; = g ; ⎟⎟ = 0.232 2 ∂η 2 ∂η ∂η ⎠η =1 U∞

Analogías

0.664

C fx =

Re x

2

k hx = 0.332 Pr1/ 3 Re x x

=

Nu x f Pr 2 / 3 = Re x Pr 8

= St x Pr 2 / 3 = J St x =

hx ρCpU ∞

η

υ

Cf =

1.328 Re L

k h = 0.664 Pr 1 / 3 Re L L L = long placa

y Re x x

Combinada

η=

Térmica

Regimen Laminar U X Re x = ∞ ≤ 5 x105

Promedio

T − TS ∂θ ∂ 2θ 1 = 0 ; θ (η ) = + f Pr 2 2 T∞ − TS ∂η ∂η

η=

y 1/ 3 Pr Re x x

Cf 2

= St Pr 2 / 3 = J =

St =

f 8

h ρCpU ∞

Casos

δH

δT

Pr = 50

5x/√(Rex1)

1.36x/√(Rex1)

Pr = 15

5x/√(Rex1)

2.02x/√(Rex1)

Pr= 1

5x/√(Rex1)

5x/√(Rex1)

140

Coeficiente de fricción Cf

Coeficiente de Transferencia de Calor h

Analogias

Local

C Tfx

Promedio

Caso Turbulento

C Tfx =

0.0576 Re 0x.2

Nu x Pr 2 / 3 2 Re Pr h = Pr 2 / 3 ρCpU ∞

Nu Tx = 0.0288 Pr 1 / 3 Re 0x.8

Cf Nu

T ,L

= (0.036 Re 0L.8 − 850) Pr1 / 3

2

=

= St Pr 2 / 3 = J =

St =

f 8

h ρCpU ∞

141

Ejemplo Determinar la longitud de una placa cuyo Ts = 180°C, se mueve un fluido con una velocidad no perturbada de 2 m/seg y una temperatura no perturbada de 30°c, calor transferido de 7888W/m de anchura, y una F = 210.9N, ρ=780Kg/m3, K=0.14W/m°C Y un # Pr desconocido que presenta espesor capa limite cuando η = 2.5 1 ρU ∞2 L = 210.9 Nw (1) 2 Q = h A(TS − T∞ ) = h (t ⋅1)(TS − T∞ ) (2) F = τ ( L⋅1) = C f

si sabemos que C f =

U L 1.328 que Re = ∞ υ Re L

las ecuaciones quedan :

1.328 1 ⋅ ρU ∞2 L Re L 2

(1)

210.9 =

(2)

7888 = 0.664

δH =

5L Re L

K Re L Pr 1 / 3 L(TS − T∞ ) L δ 2.5 L y δT = entonces H = Pr 1/3 = 2 δT Re L

despejando de (2) : L = 1.8 metros

FLUJO TURBULENTO

Que sucede cuando la capa limite se vuelve turbulenta.

142

Xc: Longitud crítica en que el # Re vale 5x105 ó más C fx 0.332 ≠ Para régimen turbulento no se cumple que : 2 Re x Según análisis experimentales: 0.0576 Re1 / 5 C fx 0.0288 Nu = = Pr 2 / 3 1/ 5 2 Re⋅ Pr Re T Nu x = 0.0288 Re 0.8 Pr 1 / 3

Cf x = T

Para h promedia en una placa cuya L > Xc, existen 2 funciones para hallarla: Q = Qlaminar + Qturbulento Xc

L

Q = ∫ hxL (dx ⋅1)(TS − T∞ ) + ∫ hxT (dx ⋅1)(TS − T∞ ) = h A(TS − T∞ ) 0

Xc

Xc

L

0

Xc

hL = ∫ hτx dx + ∫ hτx dx Xc

hL = ∫ 0.332 0

[

hL = Pr 1 / 3 K 0.036 Re 0L.8 − 850 Nu

T ,L

L

K K 0.8 Re x Pr 1 / 3 dx + ∫ 0.0288 Re x Pr 1 / 3 dx x x Xc

]

= [0.036 Re 0.8 − 850] Pr 1 / 3

Como las propiedades físicas de los fluidos, cambian con la temperatura (Nu, Re, Pr) se deben evaluar los parámetros a la temperatura fílmica Tf que es un promedio entre las temperaturas superficial y ambiental. Tf =

TS + T∞ 2

La analogía de Colburn sirve para cualquier tipo de flujo:

Cf 2

= St Pr 2 / 3

143

Ejemplo De cual de las resistencias que se muestran en la figura se debe suministrar más calor en la placa para que Ts sea constante.

Cada placa es de 1x1 [m2] y cada elemento de 4 cm

⎧ K f = 0.03447W / m°C 250 + 28 ⎪ Tf = Pr f = 03687 = 139°⎨ 2 ⎪υ = 26.61x10 −6 m 2 / seg ⎩ f Primer paso: determinamos xc para ver si en un metro alcanza a sucederse flujo turbulento. U ∞ xc

υf

= 5 x10

5

5 x10 5 ⋅ 26.61x10 −6 xc = = 0.2661m 50

⇒

Segundo paso: analizamos las celdas críticas: 1, 7 y 8 h1 = 0.664

Celda 1:

K Re L1 Pr 1 / 3 L1

50 ⋅ 0.04 = 0.75 x10 5 −6 26.61x10 h1 = 138.42

Re L1 =

flujo laminar

Q1 = 138.42(0.04)1(250 − 28) = 1239.15W L7

L7

L6

0

L6

h = ∫ hx d x = ∫ hx d x − ∫ hx d x

Celda 7:

(

0

)

hL = 0.036 Re − 850 Pr 1 / 3 K − 0.664 Re 0L.65 Pr 1 / 3 K 0.8 L7

sabiendo que L7 = 0.28

y

L6 = 0.24

h7 (0.04 x1)(TS − T∞ ) = Q7 = 425W

144

Q7 = Q1−7 − Q1−6 = h1−7 (0.28 ⋅1)(222) − h1−6 (0.24 ⋅1)(222) = Pr ⎛ 50 ⋅ 0.24 ⎞ ⎟ − 0.664⎜ ⎜ υ ⎟ f ⎝ ⎠

1/ 3

0.28 ⎡ ⎤ ⎛ 50 ⋅ 0.28 ⎞ ⎟ − 850⎥ K (0.28 ⋅1)(222) ⎢0.036⎜ ⎜ υ ⎟ ⎢ ⎥ 0.28 f ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0.5

Pr 1 / 3

K (0.24 ⋅1)(222) = 425W 0.24

Q8 = QT 8 − QT 7 = h8 ( L8 ⋅1)(TS − T∞ ) − h7 ( L7 ⋅1)(TS − T∞ )

Celda 8:

[

]

Q8 = 0.036 Re 0L.88 − 850 Pr 1 / 3

[

]

K K L8 (TS − T∞ ) − 0.036 Re 0L.78 − 850 Pr 1 / 3 L7 (TS − T∞ ) L8 L7

Q8 = 1035W ⎡ ⎛ 50 ⋅ 0.32 ⎞ ⎟ Q8 = Q1−8 − Q1−7 = Pr 1 / 3 ⎢0.036⎜ ⎜ υ ⎟ ⎢ f ⎝ ⎠ ⎣ = 1035W

0. 8

0.8 ⎤ K ⎡ ⎤ ⎛ 50 ⋅ 0.28 ⎞ ⎟ − 850⎥ K (0.28 ⋅ 1)(222) − 850⎥ (0.32 ⋅ 1)(222) − Pr 1 / 3 ⎢0.036⎜ ⎜ ⎟ ⎥ 0.32 ⎢ ⎥ 0.28 ⎝ υf ⎠ ⎦ ⎣ ⎦

Como vemos de la celda 1 hay que suministrar más energía a la placa para mantener Ts cte. DETERMINACION DE h PARA FLUJO INTERNO Específicamente: 1. Flujo intratubular. 2. Régimen laminar. 3. Zona de flujo totalmente desarrollado térmica e hidrodinámicamente

si ν = α las 2 zonas de entrada serán iguales. No necesariamente la longitud hidrodinámica es igual a la longitud térmica: LH = LT si Pr = 1 ;

LH < LT si Pr > 1 ;

LH > LT si Pr < 1

145

Desarrollo analítico Flujo laminar completamente desarrollado : yr = 0 ; du/dx = 0 La ecuación de momento : ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ 2U ⎤ ∂P ⎡ ∂U ∂U ⎤ µ +ϑ = ⎢ r ∂x ⎜ r ∂r ⎟ + 2 ⎥ − ∂x ∂y ⎥⎦ ⎝ ⎠ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎣

ρ ⎢U

1 ∂P

µ ∂x

=

1 ⎛ ∂u ⎞ ⎜ r ⎟ = C1 , ∂r ⎝ ∂r ⎠

porque f ( x) = f (r )

∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂u C1r 2 = + C2 ⎜ r ⎟ = C1r si integramos r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂r 2 ∂u como = 0 para r = 0 ⇒ C 2 = 0 ∂r C r 2 C R2 ∂u C1r = int egramos u(r) = 1 − 1 ∂r 2 4 4 2 2 ⎞ CR ⎛r u (r ) = 1 ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ parabola 4 ⎝R ⎠ R

Velocidad media: A ⋅ u m = ∫ U (r )2πrdr ; u m = 0

f τ = 4 (1 / 2) ρVm2

Factor de fricción:

; τ =µ

u max C1 R 2 = 2 8

dU ⎞ ⎟ dt ⎠ r =0

f =

64 Re

Con base en el análisis del perfil de velocidades para flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente podemos analizar lo térmico Hidrodinámica:

∂ (U / U m ) = 0 ∂x

Térmicamente:

h=

− K ⋅ ∂T / ∂r )r = R q = TS − Tm TS − Tm

∂ ⎛ T (r , x) − TS ⎜ ∂x ⎜⎝ Tm − TS

⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠

146

TOPICO Ecuación Diferencial

HIDRODINAMICA ⎡ ∂ 2 u 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ∂p ∂u ⎤ ⎡ ∂u ρ ⎢u + v ⎥ = − + µ ⎢ 2 + ⎜ r ⎟⎥ ∂ ∂x ∂r ⎦ r r ∂ x ⎝ ∂r ⎠⎦ ⎣ ∂x ⎣

Ecuación de flujo laminar totalmente desarrollado

1 ∂p 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ = ⎜ r ⎟ = C1 µ ∂x r ∂r ⎝ ∂r ⎠

Derivadas de Campo

∂u 1 ∂p r = ∂r µ ∂x 2

Ecuaciones de Campo

u (r )

TERMICA ⎡ ∂ 2 T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ∂T ⎤ ⎡ ∂T ρ ⋅ C p ⎢u = k +v ⎟⎥ ⎜r ⎢ 2 + ∂ r r ∂r ⎥⎦ ∂ x ⎝ ∂r ⎠⎦ ⎣ ∂x ⎣

ρ ⋅C p ⋅u

∂T U max ∂T ⎛ r r 2 ⎜ − = α ∂x ⎜⎝ 2 4 R 2 ∂r

2 ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ 1 ∂p R 2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ =− ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = U max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ µ ∂x 4 ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

Valores Promedios

Um = −

T( r )

1 ∂p R 2 µ ∂x 8

∂u ⎞ ∂p R ⎟ 2 ∂r ⎠ r = R f 16 ∂x 2 = = = 2 1 4 Re 1 ∂p R ρU m2 ρU m2 2 µ ∂x 8 64 f = Re

Parámetros Adimensionales

U ∂T = Tc + max α ∂x Tm = Tc +

µ

Coeficientes

∂T k ∂ ⎛ ∂T ⎞ = ⎜r ⎟ ∂x r ∂r ⎝ ∂r ⎠

−k h=

∂T ⎞ ⎟ ∂r ⎠ r = R

T S − Tm

⎛r2 r4 ⎜⎜ − 2 ⎝ 4 16 R

Tc +

⎞ ⎟⎟ ⎠

7 U max ∂T 2 R 96 α ∂x

k =

⎞ ⎟⎟ ⎠

U max ∂T R α ∂x 4

3 U max ∂T 2 7 U max ∂T 2 R − Tc + R 16 α ∂x 96 α ∂x hl = Nu = 4.364 k

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN TUBOS CIRCULARES

147

Flujo Laminar Con. zona de entrada

Caso Flujo totalmente desarrollado

Flujo de calor constante en la pared

Temperatura de superficie cte

Nu D = 4.36

Nu D = 3.66

Nu D = 4.36 +

0.023( D / x) Re Pr 1 + 0.0012( D / x) Re Pr

Nu D = 4.36 +

0.036( D / x) Re Pr 1 + 0.011( D / x) Re Pr

Nu D = 3.66 +

0.0668( D / x ) Re Pr 2/3 1 + 0.04[( D / x) Re Pr ]

Nu D = 3.66 +

0.104( D / x) Re Pr 1 + 0.016( D / x) Re Pr

Efecto del concepto de perfil de temperatura totalmente desarrollado sobre h: * Primer Caso: Ts cte

h=

− k ⋅ ∂T / ∂r )r = R q = Tm − TS Tm − TS

(disminuye) = cte (disminuye)

Disminuye a la misma rata por lo que el coeficiente convectivo no varía * Segundo Caso: Q(pared) = cte

la curva se mantiene pues ∂T ⎞ ⎟ = cte ∂r ⎠ r = R

h=

q cte = = cte Tm − TS cte

∂ (Tm − TS ) = 0 ∂x

Cualquiera que sea la condición de frontera siempre se da un coeficiente convectivo de calor cte 148

ECUACIÓN DE LA ENERGIA ⎡ ∂ 2T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ∂T ⎤ ⎡ ∂T k + vr = ⎢ 2 + r ∂r ⎜ r ∂r ⎟⎥ ∂r ⎥⎦ ⎣ ∂x ⎝ ⎠⎦ ⎣ ∂x

ρ ⋅ C p ⎢u

⇒ ρ ⋅C p ⋅ u

∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ =k ⎜r ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂x

∂ 2T ≡0 ∂x 2

vr = 0

T = TS (en r = R) ;

∂T =0 r =0 ∂r

⎞ ⎟⎟ = 0 , buscamos la ecuación diferencial térmica ⎠ dT dTS TS − T ⎛ ∂TS ∂Tm ⎞ Porque h = cte en el flujo Derivando tenemos: = − − ⎟ ⎜ totalmente desarrollado dx dx TS − Tm ⎝ ∂x ∂x ⎠

Basados en la expresión

∂ ⎛ T (r , x) − TS ⎜ ∂x ⎜⎝ Tm − TS

Cuando Ts es cte tenemos

Cuando q es cte tenemos

Para q = cte

⇒

∂TS =0 ⇒ ∂x

∂T = cte ⇒ ∂x

∂T TS − T ⎛ ∂Tm ⎞ = ⎟ ⎜ ∂x TS − Tm ⎝ ∂x ⎠

h=

∂T ∂TS ∂Tm = = ∂x ∂x ∂x

de

u ∂T u ∂Tm 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ = = ⎜r ⎟ α ∂x α ∂x r ∂r ⎝ ∂r ⎠

Flujo totalmente desarrollado laminar

q TS − Tm

si

∂ ⎛ T − TS ⎜ ∂x ⎜⎝ Tm − TS

q = cte ⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠

∂T ∂TS ∂Tm = = = cte ∂x ∂x ∂x ⇒ TS − Tm = cte

q cte ==> Nu = 4.364 Ts cte ==> Nu = 3.66

Analizando el cambio del fluido a totalmente desarrollado a Ts cte

149

DETERMINACION DE LA TEMPERATURA DE SALIDA PROMEDIO DE UN FLUIDO QUE SE MUEVE DENTRO DE UN TUBO

PRIMER CASO q cte

Balance de energía: ∂T ⎛ ⎞ mC pTm + qπD∆x = mC p ⎜ Tm + m ∆x ⎟ ∂x ⎝ ⎠ dT h(Tsx − T )πD = qπD∆x = mC p m ∆x dx L

∫ qπDdx = 0

Tm 2

∫ mC p dTm

x

ó

Tm1

∫ qπDdx = 0

Tm 2

∫ mC

p

dTm

Tm1

qπDx = mC p (Tmx − Tm1 ) qπDL = mC p (Tm 2 − Tm1 ) Calor ganado a través de la pared = calor ganado por el movimiento

SEGUNDO CASO Ts cte

150

dT ⎛ ⎞ mC pTmx + h(TS − Tmx )πD∆x = mC p ⎜ Tmx + mx ∆x ⎟ dx ⎝ ⎠ dTmx hπD∆x(TS − Tmx ) = mC p ∆x dx Tm 2 L − dTmx − hπDdx − hπDL Tm 2 = ∫Tm1 Ts − Tmx ∫0 mC p ⇒ ln(TS − Tmx ) Tm1 = mC p

T − Tm 2 − hπDL ln S = TS − Tm1 mC p

⇒

TS − Tm 2 =e TS − Tm1

− hπDL mC p

<

otra forma de presentar la ecuación, multiplico por un factor : ln

TS − Tm 2 − hπDL Tm 2 − Tm1 = ⋅ TS − Tm1 mC p Tm 2 − Tm1

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hπDL

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hπDL

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hA

Tm 2 − Tm1 + TS − TS T − Tm 2 ln S TS − Tm1 (TS − Tm 2 )(TS − Tm1 ) T − Tm 2 ln S TS − Tm1

(TS − Tm 2 )(TS − Tm1 ) T − Tm 2 ln S TS − Tm1

Si definimos LMTD =

∆Tentrada − ∆Tsalida ∆T ln entrada ∆Tsalida

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hA ⋅ LMTD

donde LMTD es la diferencia de temperaturas media logarítmica Características típicas de LMTD: •

El valor típico de LMTD siempre estará entre el valor de la entrada y la salida ∆Tsalida < LMTD < ∆Tentrada

•

Cuando ∆Tsalida = ∆Tentrada el LMTD resulta en una indeterminación 0/0 que por L’hopital

LMTD = ∆Tsalida = ∆Tentrada

151

1

Casos prácticos Determinación del área de Transferencia de Calor requerida para calentar (ó enfriar) un fluido desde T1 hasta T2 Ts constante

Flujo de calor constante

qπD∆x = m& c p (Tx + ∆x − Tx ) qπD = m& c p

dT dx

dT qπD = =C dx m& c p

∫

T2

T1

dT = ∫

L

0

qπD dx m& c p

qπD L T2 − T1 = m& c p qπDL = m& c p (T2 − T1 ) q = hx = L (TS 2 − T2 ) hx = L = 4.36

kf D

dT (Tx + ∆x − Tx ) dx dT q xπD = m& c p dx dT hx (TS − Tx )πD = m& c p { dx tomamas h q xπD∆x = m& c p

−∫

TS −T2

TS −T1

L hπD dT = −∫ dx 0 mc Ts − Tx & p

⎛ T − T2 ⎞ hπD ⎟⎟ = − ln⎜⎜ S L m& c p ⎝ TS − T1 ⎠ hπD

⎛ TS − T2 ⎞ − m& c p L ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎝ TS − T1 ⎠ ⇒ m& c p (T2 − T1 ) = hπDL ⋅ LMTD

152

1. FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO Debido a la naturaleza compleja del flujo a través de cilindros, de los procesos de separación de flujo, no es posible calcular analíticamente los coeficientes de transferencia de calor en el flujo transversal, es por esto que los investigadores se ven obligados a utilizar fórmulas empíricas producto de muchas investigaciones y experimentos. Para un flujo transversal en un cilindro se ha determinado que el coeficiente de transferencia de calor depende en gran medida del número de Reynolds, el cual se halla en base a la velocidad de flujo libre y con longitud característica el diámetro del tubo, esta dependencia se puede observar en el grafico de la Figura 1. Para determinar el número de Nusselt promedio ( Nud ) en un flujo transversal alrededor de un cilindro, se tiene las siguientes correlaciones encontradas en los libros de Holman, Mills e Incropera.

153

NÚMERO DE

PATRÓN DE FLUJO

REYNOLDS

ReD<5

Flujo laminar no separado

5-15< ReD< 40

Par de vórtices fijos en la estela

40< ReD<150

Trayectoria de vórtices laminar

La capa límite es laminar hasta el punto de separación; la trayectoria de vórtices es turbulenta y el campo de flujo de estelas es cada vez más tridimensional.

5

150< ReD<3*10

3*10
La capa límite laminar se transforma en una capa límite turbulenta antes de la separación; la estela se vuelve cada vez más angosta y desorganizada

3.5*106< ReD

Se reestablece una trayectoria de vórtices turbulenta, pero en este caso es más angosta que en el caso anterior, 150< ReD<3*105

5

6

Figura 1. Principales regímenes de flujo para el flujo alrededor de un cilindro.

1.1 CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUJO TRANSVERSAL A UN TUBO Debido a la gran cantidad de variables en la transferencia de calor por convección, muchos investigadores han dedicado gran parte de sus investigaciones a encontrar correlaciones 154

matemáticas que se aproximen a los datos experimentales, con el fin de que los ingenieros tengan herramientas para calcular el calor transferido por medio de fluidos, aquí se enumeran algunas de estas correlaciones según sus autores:

1.1.1 SEGÚN LOS INVESTIGADORES CHURCHILL Y BERNSTEIN

las siguientes correlaciones son usadas muy frecuentemente, debido a que encierran la mayoría de los rangos del numero de Reynold en las formulas lo cual las hace muy manejables cuando se utiliza un software matemático. Se tienen las siguientes fórmulas: Para un Pr>0.5 N UD = 0.3 +

0.62 RED

0.5

(

⎛⎜1 + 0.4 Pr ⎝

)

1

⋅ Pr

2/3

⎞⎟ ⎠

3

N UD = 0.3 +

0.25

N UD = 0.3 +

(

0.3

⎛⎜1 + 0.4 Pr ⎝

(

0.3

⎛⎜1 + 0.4 Pr ⎝

)

⋅ Pr

2/3

⎞⎟ ⎠

1

3

0.25

⎛ ⎛ RED ⎞ 0.5 ⎞ ⎜⎜ ⎟ + 1⎟ ⎜ ⎝ 282000 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

2*104 < Re < 4*105 Ecuación 1.2.

Re< 104 Ecuación 1.1 0.62 R ED

0.62 RED

)

⋅ Pr

2/3

⎞⎟ ⎠

1

3

0.25

⎛ ⎛ R ED ⎞ 5 / 8 ⎞ ⎜⎜ ⎟ + 1⎟ ⎜ ⎝ 282000 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

4/5

4*105 < Re < 5*106

Ecuación 1.3.

En donde se encuentra que: Nud = Número de Nusselt promedio Re = Número de Reynold Pr = Número de Prant 1.1.2 SEGÚN LOS INVESTIGADORES NAKAI Y OKZAKI Para bajos Re se tiene 155

Nu =

1 0 .3 0.8237 − (Ln(Re⋅ Pr ))

Re*Pr < 0.2

Ecuación 2

Para utilizar las dos fórmulas anteriores en un flujo transversal en un cilindro se deben evaluar las propiedades del fluido a la temperatura fílmica que es la media aritmética de la temperatura de la superficie y de la temperatura de corriente libre: Tf = 0.5(Ts + T∝)

De donde: Tf = Temperatura fílmica Ts = Temperatura de la superficie del tubo Tα = Temperatura del fluido en movimiento estabilizada 1.1.3 SEGÚN EL INVESTIGADOR ZHUKAUSKAS se tienen las siguientes correlaciones para el número de Nusselt 1/4

⎛ Pr ⎞ Nud= C*Re *Pr ⎜ ⎟ ⎝ Prs⎠ m

n

0.7 < Pr <500;

1< Re <106

Ecuación 3

Pr > 10 ⇒ n = 0.37 Pr ≤ 10 ⇒ n = 0.36 Todas las propiedades se deben evaluar a la temperatura del fluido T∝ solo Prs será evaluada a la temperatura de superficie del tubo Ts. La constante C y m se encuentran en la tabla 1.

156

TABLA 1.Constantes de la ecuación 3 para el cilindro circular en flujo cruzado Re

C

0.75 0.4

1-40

0.51 0.5

40-1000 5

1000-2*10 5

m

6

2*10 -10

0.26 0.6 0.076 0.7

1.1.4 SEGÚN LOS INVESTIGADORES HILPERT, KNUDSEN Y KATZ. La siguiente relación fue determinada por los investigadores nombrados Nud = C * Re m * Pr 1/3

Ecuación 4

Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica. Tf = 0.5(Ts + T∝). Según la tabla 2 se pueden determinar los coeficientes C y m de la formula anterior TABLA 2.Constantes de la ecuación 4 para el cilindro circular en flujo cruzado Re

C

m

0.4-4

0.989 0.330

4-40

0.911 0.385

40-4000

0.683 0.466

4000-40000

0.193 0.618

40000-400000 0.027 0.805

1.1.5 SEGÚN FAND.

(

)

NUD = 0.35 + 0.56 ∗ Re 0.52 ∗ Pr 0.3

para: 0.1 < Re < 105

Ecuación 5

1.1.6 SEGÚN ECKERT Y DRAKE. 157

NUD = (0443 + 0.5 Re 0.5 ) Pr 0.3 ( NUD = 0.25 Re 0.6 Pr 0.38 (

Pr 0.25 ) Pr s

Pr 0.25 ) Pr s

1 < Re <103 103 < Re < 2*105

Ecuación 6.1 Ecuación 6.2

Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica, solo Prs se evalúa a la temperatura de superficie. Para los gases se puede omitir la razón del Pr. De todas estas ecuaciones, la menos engorrosa es la de Hilpert y por lo tanto es buena para obtener datos para inspección, pero la ecuación desarrollada por Churchill y Bernstein es una de las mas completas ya que encierra todos los rangos del número de Reynolds en una sola ecuación con algunas modificaciones, además esta ecuación se puede introducir dentro de una computadora para obtener los resultados, mientras que las otras necesitan de una base de datos.

158

2. BANCOS DE TUBOS Un banco de tubos es un arreglo de tubos que tiene como fin transferir calor entre dos fluidos, cuya característica principal es la de presentar tanto flujo interno como un flujo externo. Normalmente, en los bancos de tubos, un fluido se mueve sobre los tubos, mientras que un segundo fluido a temperatura diferente corre por el interior de los tubos, permitiendo la transferencia de calor por convección, tanto interna como externa en los tubos. Una de las principales razones por la cual son muy empleados los bancos de tubos es debido a su gran área para la transferencia de calor en espacios reducidos, esto se puede explicar con el siguiente ejemplo: Tenemos dos tubos concéntricos por los cuales fluyen dos fluidos, un fluido caliente entre el tubo de mayor diámetro (D) y el de menor diámetro (d); y uno fluido frío que circula por el interior del tubo de menor diámetro como se observa en la figura 2.

L

Figura 2. intercambiador de calor con un solo tubo en el interior

159

de la anterior figura observamos que el área de transferencia de calor es por tanto:

A =π ⋅d ⋅L siendo L la longitud de los tubos en la cual hay intercambio de calor. Ahora si por el mismo tubo de diámetro D hacemos pasar varios tubos mas pequeños tenemos la siguiente disposición:

Figura 3. intercambiador de calor con varios tubos en su interior, que hacen que aumente el área para la transferencia de calor.

Ahora para una misma cantidad de caudales de los fluidos frío y caliente tenemos la siguiente área para la transferencia de calor:

A =π ⋅d ⋅L⋅n donde n es el numero de tubos que hay en la figura 3. Por lo tanto de aquí se deduce que los bancos de tubos mejoran la transferencia de calor debido a su disposición. Otra ventaja que presenta esta disposición, es que se puede transportar fluidos a una mayor presión, debido a que los espesores en tuberías con diámetros pequeños en recipientes a presión son mas chicos a medida que disminuye el diámetro de sus dimensiones, esta deducción se obtiene de resistencia de materiales y se expresa en la siguiente formula: t=

P⋅R

σ

donde: t

es el espesor de la tubería.

P

es la presión que hay en la tubería. 160

σ

es el esfuerzo admisible de la tubería.

R

es el radio medio de la tubería.

2.1 CLASIFICACIÓN DE BANCOS DE TUBOS 2.1.1 Según la relación de movimiento del flujo respecto del banco de tubos

Se deben considerar las siguientes definiciones para tener una idea clara de lo que se va ha tratar:

a) Bancos de tubos ideales:

Son aquellos bancos a los que se las hacen

algunas

idealizaciones con el fin de observar el comportamiento global de la transferencia de calor en los bancos de tubos. Estas idealizaciones son: ¾ Flujo totalmente transversal a los tubos ¾ La transferencia de calor es homogénea ¾ Se desprecia la transferencia de calor por radiación ¾ Se desprecian las corrientes de bypass b) Bancos de tubos reales: son los bancos de tubos que se encuentran en la realidad.

La dirección del flujo influye mucho en la transferencia de calor ya que se cambia el área de transferencia de calor o la cantidad de flujo que entra en contacto con los tubos.

161

a

b Figura 4. Bancos de tubos con diferentes direcciones de flujo a) flujo cruzado perpendicular. b) flujo cruzado oblicuo.

En la figura 4a se presenta un arreglo de tubos cuyo flujo externo es perpendicular al flujo interno de los tubos que difiere de la figura 4b porque su flujo se podría dividir en dos clases de movimiento (tiene 2 componentes de velocidad), uno perpendicular al flujo interno y otro paralelo, dependiendo si este ultimo va en contracorriente o en el mismo sentido que el flujo interno, el intercambiador será mas efectivo o no. Este análisis se llevara a cabo mas adelante.

2.1.2 Según la efectividad de la transferencia de calor

La efectividad con la que puede ocurrir la transferencia de calor depende de que tan uniforme reciba calor el fluido, ya que puede haber un espaciamiento mayor entre la cubierta y las hileras de tubos extremas , que entre las hileras de tubos, por donde el fluido puede no tener un buen contacto con los tubos y entonces no tiene una transferencia de calor igual que el resto del flujo, este tipo de bancos se denominan bancos de tubos con baypass (Figura 5a); mientras que si los tubos tienen un igual espaciamiento entre ellos y con la cubierta, la transferencia de calor será uniforme en todo el fluido, ya que tendrá igual contacto con los tubos a través de todo el banco y la transferencia de calor se hace con mejor efectividad. (Figura 5b)

162

a

b

Figura 5. a) Banco de tubos con Baypass. b) Banco de tubos sin Baypass

2.1.3 Según el arreglo de los tubos en el banco

Debido a que no se pueden hacer infinidad de arreglos para los bancos de tubos, estos se encuentran estandarizados de acuerdo a una geometría estándar, que son el cuadrado y el triángulo equilátero, ya que son de fácil fabricación y estos se acomodan de tal forma para dar los diferentes arreglos. Las filas de tubos de un banco tienen dos tipos de arreglos principales: alineados y alternados como se muestra en la figura 6.

Figura 6.Tipos de arreglos de bancos de tubos a) alineados b) alternados

a

b 163

De la figura 6 a y b tenemos Ltp = paso longitudinal St = separación transversal entre diámetros Sl = separación longitudinal entre diámetros, es el mismo paso longitudinal. α = ángulo de inclinación entre el paso longitudinal y la línea de dirección del flujo

1.2.3.1. Arreglos estandarizados

El arreglo alineado esta estandarizado con la siguiente relación: ST / SL = 1 al cual se le denomina arreglo cuadrado o arreglo a 90°, ya que el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos es 90°. Su forma básica es el cuadrado, figura 7

Figura 7.Arreglo cuadrado St / Sl = 1

El arreglo escalonado tiene estandarizado los arreglos de 30°, 45° y 60°. El arreglo de 30° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 30°. Su forma básica es el triángulo equilátero, figura 8 El arreglo de 45° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 45°. Su figura básica es el cuadrado. Figura 9

164

Figura 8. Arreglo escalonado de 30°

Figura 9. Arreglo escalonado a 45°

El arreglo de 60° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 60°. Su figura básica es el triángulo equilátero, figura 10.

165

Figura 10. Arreglo escalonado 60°

2.2 NÚMERO DE REYNOLDS De igual forma que en un flujo transversal a un cilindro, el Reynolds influye en gran medida sobre la transferencia de calor y este debe calcularse con la velocidad máxima que pueda tener el fluido dentro del banco de tubos, es decir , cuando este pasa por el área de flujo mínima.

2.2.1 Área de flujo mínima

Esta área de flujo mínima depende del arreglo que tenga el banco de tubos, ya que esta puede ser el área vertical (A1) o las dos áreas diagonales (A2) (ver figura 11). Se deben tomar las dos áreas diagonales ya que después que el flujo pasa por el área vertical A1, este flujo se divide en dos y pasa por cada área diagonal A2 Si el área vertical es menor que las dos áreas diagonales se debe cumplir la siguiente relación.

(St − D ) ≤ 2(Ltp − D )

Ecuación 7

166

en donde: St es la distancia que hay entre los centros de dos tubos de una misma fila. Ltp es la distancia mas corta que hay entre los centros de dos tubos de diferente fila. D es el diámetro del tubo. sino se cumple la relación anterior, el área de flujo mínima son las áreas diagonales

Figura 11. Posibles áreas de flujo mínimas para bancos de tubos alineados y escalonados

Las áreas mínimas de los bancos de tubos estandarizados son los siguientes: Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 30° y alineados St/Sl=1:

A mín = (H - NTF*D)*L = NTF(Ltp - D)*L

Ecuación 8

donde H es la altura total del banco de tubos , NTF el número total de tubos por fila, D es el diámetro del tubo ,L el largo del tubo y Ltp es la distancia entre los diámetros cruzados (Ver figuras 8, 9 o 10) Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 45° y 60°:

Amin = (Ltp − D ) × L(1 + 2(NTF − 1))

Ecuación 9

Entonces ya determinada el área mínima de flujo determinamos el número de Reynolds Re =

M ×D Amin × µ

Ecuación 10

167

2.2.2 Velocidad máxima de flujo

Otra relación importante que se puede usar para determinar el numero de Reynolds es la relación de velocidades, esta relación no incluye el numero de tubos del intercambiador la cual es muy útil cuando no se posee esta información Para los bancos de tubos tenemos la siguiente relación para hallar la velocidad máxima: ρ*Vmáxima*Amínima=ρ*V∇*A donde ρ es la densidad, Amínima puede ser al área A1 o A2 de acuerdo a lo visto en la parte anterior (ver figura 9), A es el área a la entrada del banco y V es la velocidad de entrada del fluido. Debido a que los bancos trabajan a presión constante, se pueden tomar los fluidos como incompresibles. Por lo tanto se obtiene la siguiente relación: Ecuación 11

la cual conlleva a dos posibles valores dependiendo del arreglo del banco:

Ecuación 12 en donde el valor que sea mayor será la razón máxima entre velocidad máxima de flujo y

Vα . De aquí se procede a obtener Re: Re =

Vma × D

υ

Ecuación 13

2.3 DETERMINACIÓN DEL EFECTO DE CAMBIO DE TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES DEL FLUIDO

Debido a la no uniformidad de las temperaturas dentro del banco de tubos, se hace necesario buscar una temperatura promedio global para determinar las propiedades del fluido. Por lo cual se ha tomado como esta temperatura global a la temperatura fílmica: 168

Tf

Donde Tα

Tα 1

Tα

Ts 2

Ecuación 14

Tα 2 2

Tα = temperatura promedio del aire Tα1 = temperatura del aire a la entrada Tα2 = temperatura del aire a la salida Y Ts (temperatura de superficie promedio) se evalúa globalmente

Figura 12. Diferentes temperaturas que se encuentran en un banco de tubos

Para la figura 12 se tienen que Ts1, Ts2,..Tsn son las temperaturas superficiales de los tubos de cada fila, y Tα1 y Tα2 son las temperaturas de entrada y de salida del flujo al banco de tubos, respectivamente. Para evaluar la temperatura de la superficie se considera que el calor que se transfiere del fluido interno es aproximadamente igual al que se transfiere al fluido externo, es decir se desprecia la resistencia de la pared, como se muestra en la figura 13:

Figura 13. Transferencia de calo presentada en la sección transversal de uno de los tubos.

169

Q

Tm Ts 1 Aihi

Q

Rp

Tα

Ts 1

donde

Tm

Tm1 Tm2 2

heAe

Ecuación 15

Tm1 y Tm2 es la temperatura media del fluido interno al entrada y la salida del tubo respectivamente. Con esto quedan analizadas las propiedades, se evalúa el Re y se calcula el Nud.

2.4 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR INTERNO El cálculo del hinterno se realiza con los conceptos ya vistos de flujo dentro de tubos. Para el cálculo del mismo hay que tener en cuenta la repartición del flujo en los tubos ya que esto interviene en la rata de masa que pasa por cada tubo y afecta así al Reynolds interno

a)

b)

Figura 14 Distribución de la masa que va por dentro de los tubos: a) repartido por igual en cada fila (serpentín); b) repartido por igual en cada tubo.

En la figura 14a la masa se reparte por igual en cada fila de tubos, por lo que para calcular la masa que pasa por cada tubo se divide la mas total por el número de filas que hay en el 170

banco (esto ocurre cuando los tubos se encuentran en forma de serpentín); mientras que en la figura 14b la masa se reparte por igual en cada tubo del banco, por lo que para calcular la masa que pasa por cada tubo se divide la mas total por el número total de tubos que hay.

2.5 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN BANCO DE TUBOS

Al analizar de manera experimental la transferencia de calor en los bancos de tubos, se ha encontrado que el coeficiente de transferencia de calor tiene aumentos apreciables desde la primera hasta la quinta fila después de esta los aumentos son cada vez menores , por lo cual el Nud promedio del banco de tubos se vuelve uniforme a partir de décima fila. Esto es debido a que cuando el flujo atraviesa la primera fila de tubos se genera una turbulencia que se incrementa a medida que el flujo se sigue desplazando por las demás filas de tubos, esto propicia a que el coeficiente de transferencia de calor aumente, pero llegara un momento en el cual el flujo se estabiliza y por ende el coeficiente de transferencia de calor no aumentara infinitamente, esto se puede ilustrar en la figura 15.

171

c) Figura 15. Condiciones de flujo para tubos: a) alineados y b) escalonados. c) Variación del coeficiente de transferencia de calor en los bancos de tubos

De manera empírica se han determinado varias correlaciones para hallar el coeficiente de transferencia de calor externo en bancos de tubos:

2.5.1 Método Mills:

El Nud promedio para un banco de tubos con 10 o más filas se calcula a partir de la relación:

Ecuación 16

Donde ∈ es un factor de arreglo

y el Nud1fila es el Nusselt de la primera fila, el cual se

determina con las correlaciones encontradas por Churchill y Bernstein. (Ecuación 1)

172

φ alternado

Donde ψ

ψ

1

1

Π 4. Pt

1

2 3Pt

si Pl>=1

Π . 4 Pt. Pl

si Pl<1

Donde Pl es Sl/D (paso longitudinal adimensional) y Pt es ST/D (paso transversal adimensional). Si el banco tiene menos de 10 filas

Donde

Ecuación 17 es el Nud para la primera fila de tubos, el cual se toma como si fuese el de

un solo tubo, N es el numero de filas y φ es el factor de arreglo.

2.5.2 Método Incropera:

La correlación utilizada es la de Zhukauskas: 1/4

⎛ Pr ⎞ Nud= C*Rem *Prn ⎜ ⎟ ⎝ Prs⎠

1000
Ecuación 18

Valores de las constantes C y m de penden del Re máximo y el arreglo, (tabla 3) Los valores de las propiedades se hallan a temperatura fílmica, solo Prs se determina a la temperatura de superficie del tubo. Si el cambio de temperaturas Tα1 y Tα2 es muy grande, resultaría un error significativo de la evaluación de las propiedades en la temperatura de entrada. Por ello se aplica un factor de corrección tal que: 173

Nud= C2 *Nud

Ecuación 19

donde C2 depende del arreglo y del número de filas en el banco, (tabla 4) TABLA 3.Constantes de la ecuación 18 para el banco de tubos en flujo cruzado Arreglo

ReD máx

C

m

Alineado

10-100

0.80

0.40

Escalonado

10-100

0.90

0.40

Alineado

100-1000

Se aproxima como un

Escalonado

100-1000

cilindro único aislado

Alineado(Sl/St<0.7)*

103-2*105 3

0.27

5

Escalonado (St/Sl<2)

10 -2*10

Escalonado (St/Sl>2)

103-2*105

0.63 1/5

0.35(St/Sl)

0.60

0.40

0.60

Alineado

6

2*10 -2*10

0.021

0.84

Escalonado

2*105-2*106

0.022

0.84

5

*Para Sl/St<0.7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar. TABLA 4. Factor de corrección para la ecuación 19 para número de filas menor de 20 Numero de filas

1

2

3

4

5

7

10

13

16

Alineado

0.70 0.80 0.86 0.90 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

Escalonado

0.64 0.76 0.84 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

2.5.3 Método Holman:

Para bancos de 10 filas o más se usa la correlación de Grimson: Nud = C*RenPr1/3

Ecuación 20

donde C y n depende del arreglo, (tabla 5)

Para bancos de menos de 10 filas se utiliza el resultado de la fórmula anterior, pero se debe multiplicar por un factor que depende del arreglo y del número de filas (tabla 6)

174

TABLA 5. Constantes par la ecuación 20 para a transferencia de calor para bancos de tubos de 10 hileras o más. St/D 1.25

Sl/D C

1.5 n

C

2 n

C

3 n

C

n

Alineados 1.25 0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.752 1.5

0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.744

2

0.418 0.570 0.229 0.602 0.229 0.632 0.198 0.648

3

0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286 0.608 Escalonados

0.5

-

-

-

-

0.9

-

-

-

-

1

-

-

1.125

-

-

-

0.213 0.636

0.446 0.571 0.401 0.581

0.497 0.558 -

-

-

-

-

-

-

0.478 0.565 0.518 0.560

1.25 0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522 0.562 1.5

0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488 0.568

2

0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449 0.570

3

0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.428 0.574

TABLA 6. Factor de arreglo para la ecuación 20 cuando son menos de 10 filas Numero de filas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Escalonado

0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

Alineado

0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99

Método grafico de Incropera: Intercambiadores Compactos

175

176

jH = St Pr2/3 ; St = h/G cp ; Re = G DH/µ ; G ≡ ρ Vmax = ρVAfr/Aff = m’/Aff = m’/σAfr donde: D0 = Diámetro exterior del tubo = Espaciado de aletas Dh = Diámetro hidráulico σ = Área de flujo libre / área frontal α = Área de T.C. / volumen total Af /At = Área de aleta / área total t = Espesor de aletas jH = Factor de Colburn Ai = Área interior del banco Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el fluido externo Nota: El área mínima de flujo libre es transversal al flujo en espacios

177

3. INTERCAMBIADORES DE CALOR

Se han desarrollado muchos tipos de intercambiadores de calor para ser usados en varios grados de tamaños y de sofisticación tecnológica, como plantas de potencia de vapor, plantas de procesamiento químico, calefacción y acondicionamiento de edificios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóviles, radiadores de vehículos espaciales, etc. En los tipos comunes, tales como intercambiadores de coraza y tubos y los radiadores de automóvil, la transferencia de calor se realiza fundamentalmente por conducción y convección desde un fluido caliente a otro frío, que están separados por una pared metálica. En las calderas y los condensadores, es de fundamental importancia la transferencia de calor por ebullición y condensación. En ciertos tipos de intercambiadores de calor, como torres de enfriamiento, el fluido caliente (es decir agua) se enfría mezclándola directamente con el fluido frío (es decir aire) o sea que el agua se enfría por convección y vaporización al pulverizarla o dejarla caer en una corriente (o tiro) inducida de aire. 178

En los radiadores de las aplicaciones espaciales, el calor sobrante, transportado por el líquido refrigerante, es transferido por conducción y convección a la superficie de las aletas y de allí por radiación térmica al espacio vacío. En consecuencia en los diseños térmicos de los intercambiadores de calor es un área donde tiene numerosas aplicaciones los principios de transferencia de calor que se discutieron a través de la materia de transferencia de calor. El diseño real de un intercambiador de calor es un problema mucho mas complicado que el análisis de la transferencia de calor porque en la selección del diseño final juegan un papel muy importante los costos, el peso, el tamaño y las consideraciones económicas. Así por ejemplo, aunque las consideraciones de costos son muy importantes en instalaciones grandes, tales como plantas de fuerza y plantas de tratamiento químico las consideraciones de peso y tamaño constituyen un factor predominante en la selección del diseño en el caso de aplicaciones espaciales y aeronáuticas. En el presente trabajo se pretende resumir los aspectos básicos que se tienen en cuenta para el diseño de diferentes tipos de intercambiadores. La mayoría de los intercambiadores de calor se pueden clasificar en base a la configuración de las trayectorias del fluido a través del intercambiador, la aplicación que se les va a dar o la relación térmica entre los fluidos trabajados. Examinaremos ahora la clasificación de los intercambiadores de calor de acuerdo a estas diferentes consideraciones.

3.1.1 Clasificación por tipos de aplicación. Para caracterizar los intercambiadores de calor en base a su aplicación se utilizan en general terminos especiales. Los terminos empleados para los principales tipos son calderas (o generadores de vapor), condensadores, intercambiadores de calor de coraza y tubos, torres de enfriamiento, intercambiadores compactos, radiadores para plantas de fuerzas especiales y regeneradores. En seguida se describirán algunos aspectos típicos de estos intercambiadores de calor.

179

CALDERAS.

Las calderas de vapor son una de las primeras aplicaciones de los intercambiadores de calor. Con frecuencia se emplea el término generadores de vapor para referirse a las calderas en las que la fuente de calor es unas corrientes de un flujo caliente en vez de los productos de la combustión a temperatura elevada. La principal función de la caldera es la de ceder calor a algún fluido de trabajo por medio del aprovechamiento de la energía química de un combustible. Las calderas generalmente se clasifican en calderas piro tubular y calderas acuotubulares, esta clasificación depende de la disposición de los fluidos.

Figura 16. Calderas

LAS CALDERAS PIROTUBULARES

Consisten de una serie de tubos que transportan los gases residuales de una combustión que se encuentran a elevada temperatura, estos tubos que se encuentran rodeados de una determinada masa de agua, que al ganar calor de los gases se evapora y se transporta a donde se requiera el vapor de agua para algún trabajo especifico (realizar potencia o hacer limpieza de equipos alimenticios), el tanque que contiene la masa de agua se va llenando continuamente para que mantenga su nivel.

180

LAS CALDERAS ACUOTUBULARES

El fluido de trabajo es transportado a través de tubos, los cuales atraviesan una cámara de combustión esto hace que el fluido dentro de los tubos se evapore (casi siempre se evapora agua pero existen otros procesos que requieren otros fluidos de trabajo) debido a que los gases de la combustión a altas temperaturas rodean la superficie exterior de los tubos y le transfieren calor al fluido de trabajo.

CONDENSADORES

La función principal del condensador es retirar el calor de algún fluido de trabajo y transportar ese calor al ambiente. Los tipos principales de condensadores son los condensadores de superficie, los condensadores de chorro y los condensadores evaporativos. El tipo mas común es el condensador de superficie, que tiene la ventaja de que el condensado se recircula a la caldera por medio del sistema de alimentación. La figura 17 muestra una sección a través de un condensador de superficie típico, de dos pasos, de una gran turbina de vapor de una planta de fuerza. Como la presión de vapor a la salida de la turbina se de solo 1 a 2 pulg. De Hg., la densidad es muy pequeña y la tasa de flujo volumétrico es extremadamente alta.

181

Figura 17. Condensador

Para reducir la perdida de presión al transferir el vapor de la turbina al condensador, normalmente se coloca este ultimo debajo de la turbina y acoplado a ella. El agua de enfriamiento fluye horizontalmente dentro de los tubos en tanto que el vapor fluye verticalmente hacia abajo desde la gran abertura superior pasando transversalmente sobre los tubos. Obsérvese que se puede purgar el aire que existe en las regiones situadas sobre el centro del depósito de agua caliente. Esto es muy importante porque la presencia de un gas no condensable en el vapor reduce el coeficiente de transferencia de calor para la condensación.

INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CORAZA Y TUBOS

Las unidades conocidas con este nombre están compuestas en esencia por tubos de sección circular motados dentro de una coraza cilíndrica con sus eje paralelos al aire de la coraza. Los intercambiadores de calor liquido –liquido pertenecen en general a este grupo y 182

también en algunos casos los intercambiadores gas a gas son muy adecuados en las aplicaciones en las cuales la relación entre los coeficientes de transferencia de calor de los dos fluidos son del orden de 2 a 3 de tal forma que no hay necesidad de emplear superficies extendidas. En el caso de las aplicaciones gas a gas, la relación de los coeficientes de transferencia de calor de las dos superficies o lados opuestos es generalmente de la orden de 3 a 4 y los valores absolutos son en general menores que los correspondientes a los intercambiadores de calor liquido – liquido en un factor de 10 a 100; por lo tanto se requiere un volumen mucho mayor para la transferir la misma cantidad de calor. Existen muchas variedades de este tipo de intercambiador; las diferencias dependen de la distribución de la configuración de flujo y de los aspectos específicos de la construcción. Un factor muy importante para determinar el número de pasos del flujo por el lado de los tubos es la caída de presión permisible. El haz de tubos esta provisto de deflectores para producir de este modo una distribución uniforme del flujo a través de él. Ver figura 18

figura 1. intercambiador

de coraza y tubos

183

TORRES DE ENFRIAMIENTO.

Las torres de enfriamiento se han utilizado ampliamente para desechar en la atmósfera el calor proveniente de los procesos industriales en vez de hacerlo en el agua de río, un lago o en el océano. Los tipos más comunes de torres de enfriamiento son por convección natural y por convección forzada.

Torre De Enfriamiento Por Convección Natural.

En este tipo de torre el agua se pulveriza directamente en la corriente de aire que se mueve a través de la torre de enfriamiento por convección térmica. Al caer, las gotas de agua se enfrían tanto por convección ordinaria como por evaporación. La plataforma de relleno situada dentro de la torre de enfriamiento reduce la velocidad media de caída de las gotas y por lo tanto aumenta el tiempo de exposición de las gotas a la corriente de aire en la torre. Se han construido grandes torres de enfriamiento del tipo de convección natural de más de 90m de altura para desechar el calor proveniente de las plantas de fuerza. Ver figura 19

Figura 19. Torre de enfriamiento de tiro natural.

184

Torre de enfriamiento por convección forzada.

En una torre de enfriamiento de convección forzada se pulveriza el agua en una corriente de aire producida por un ventilador el cual lo hace circular a través de la torre. El ventilador puede estar en la parte superior de la torre aspirando el aire hacia arriba, o puede estar en la base por fuera de la torre obligando al aire que fluya directamente hacia dentro. La figura 20 muestra una sección a través de una torre de enfriamiento de circulación forzada de tiro inducido por un ventilador. Al aumentar la circulación del aire aumenta la capacidad de transferencia de calor de la torre de enfriamiento.

Figura 20. Torre de enfriamiento de tiro inducido

REGENERADORES.

En los diversos tipos de intercambiadores que hemos discutido hasta el momento, los fluidos frío y caliente están separados por una pared sólida (exceptuando las torres de enfriamiento) en tanto que un regenerador es un intercambiador en el cual se aplica un tipo de flujo periódico. Es decir, el mismo espacio es ocupado alternativamente por los gases caliente y frío entre los cuales se intercambia calor. En general los regeneradores se emplean para precalentar el aire de las plantas de fuerza de vapor, de los hornos de hogar 185

abierto de los hornos de fundición o de los altos hornos y además muchas otras aplicaciones que incluyen la producción de oxigeno y la separación de gases a muy bajas temperaturas. Ver figura 21.

figura 21. Regenerador

3.1.2 Clasificación según la relación térmica entre los fluidos Los intercambiadores con superficie de separación se pueden clasificar así: Por una única diferencia de temperaturas: De un solo paso: Los fluidos se encuentran térmicamente una vez, por lo que existe un

única diferencia de temperatura local. (Ver figura 22) Por múltiples diferencias de temperatura: De múltiples pasos y de flujo cruzado: Existen múltiples diferencias de temperatura

localmente por sección de intercambiador. (Ver figura 22)

186

Figura 22.Clasificación de los intercambiadores de calor según las relaciones térmicas entre los fluidos

187

3.1.3 Clasificación según las configuraciones geométricas del flujo Vapor

a) Una sola corriente (condensador)

Líquido

b) Dos corrientes en flujo paralelo

Ambas corrientes sin mezclar

c)Dos corrientes a contraflujo

Una corriente sin mezclar d) Dos corrientes en flujo mezclado

188

e) Dos corrientes a contraflujo cruzado

f) Dos corrientes a pasos múltiples

Figura 23. Esquemas de configuraciones geométricas de flujo comunes para intercambiadores de calor

Las más importantes son: Una sola corriente: es un intercambiador en el que cambia sólo la temperatura de un

fluido; la dirección del flujo carece de importancia. (Ver figura 23a) Dos corrientes en flujo paralelo: los dos fluidos fluyen en direcciones paralelas y en el

mismo sentido. Su forma más simple consta de dos tubos concéntricos. En la práctica, un gran número de tubos se colocan en una coraza para formar lo que se conoce como intercambiador de coraza y tubos. El intercambiador tipo placa consiste en varias placas separadas por juntas y resulta mas adecuado para bajas presiones. (ver figura 23b) Dos corrientes en contracorriente: los fluidos se desplazan en direcciones paralelas perro

en sentidos opuestos. Los intercambiadores de coraza y tubos o de placas también son los más comunes. la efectividad de estos es mayor que la de flujos paralelos. ( ver figura 23 c)

189

Dos corrientes en flujo cruzado: las corrientes fluyen en direcciones configuraciones. Una

o ambas corrientes pueden estar sin mezclar .tiene una efectividad intermedia entre en intercambiador contracorriente y uno de flujo paralelo, pero su construcción es más sencilla. (Ver figura 23 d) Dos corrientes en contraflujo cruzado: son intercambiadores en donde los tubos pasan

varias veces por la coraza. El número de veces que pasa por la coraza se indica con el número de pasos y entre mayor es el número de pasos aumenta su efectividad. (Ver figura 23e) Dos corrientes a pasos múltiples: cuando los tubos de un intercambiador de coraza y tubos

están dispuestos en uno o más pasos en el interior de la coraza, algunos de los pasos producen un flujo paralelo, mientras que otros producen un flujo a contracorriente (ver figura 23f) T1 T

Fluido Caliente t2

T2

T-t

t2

t1 t1 a) Una sola corriente (condensador)

Fluido frío b) Flujos paralelos

T1

t2 T2 t1 c) Contracorriente d) Flujos cruzados Figura 24. Configuración característica de la temperatura de los fluidos para intercambiadores de diferentes configuraciones

190

En la figura 24 se muestran las diferentes variaciones de temperaturas que pueden experimentar un fluido al ingresar a un intercambiador de calor.

3.2 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL Este coeficiente se define en términos de la resistencia térmica total para la transferencia de calor entre dos fluidos: 1 1 1 UA UcAc UhAh donde los subíndices c y h denota caliente y frío respectivamente. Reemplazando los valores de Uc y Uh dependiendo de si esta del lado externo o interno tenemos:

(

)

1 1 ln r0 / ri 1 = + + UA h i 2Πri 2Π k h 0 2Π r0

Ecuación 21a

El cálculo del coeficiente depende de si se basa en el área de la superficie fría o caliente. Si en la superficie se hallan impurezas sus resistencias deben incluirse y por lo tanto la ecuación 21 se modifica de la siguiente manera:

(

)

1 1 ln r0 / ri 1 = + + +R impurezas UA h i 2Πri 2Π k h 0 2Π r0

Ecuación 21b

Las impurezas encontradas en diferentes materiales se pueden extraer de la tabla 7

191

TABLA 7. Valores recomendados para la resistencia por ensuciamiento en el diseño de intercambiadores de calor FLUIDO

RESISTENCIA POR ENSUCIAMIENTO Rf [W/m2K]-1

Aceite combustible

0.05

Aceite para transformadores

0.001

Aceites vegetales

0.003

Gasóleo ligero

0.002

Gasóleo pesado

0.003

Asfalto

0.005

Gasolina

0.001

Keroseno

0.001

Soluciones cáusticas

0.002

Líquidos refrigerantes

0.001

Fluido hidráulico

0.001

Sales fundidas

0.0005

Gas de escape de un motor

0.01

Vapor (sin aceite)

0.0005

Vapor (con aceite)

0.001

Vapores refrigerantes

0.002

Aire comprimido

0.002

Gas ácido

0.001

Vapore solventes

0.001

Agua marina

0.0005-0.001

Agua salada

0.001-0.003

Agua de torre de enfriamiento (tratada)

0.001-0.002

Agua de torre de enfriamiento (sin tratar)

0.002-0.005

Agua de río

0.001-0.004

Agua destilada o condensada de un ciclo cerrado

0.0005

Agua tratada de alimentación de calderas

0.0005-0.001

192

3.3 INTERCAMBIADORES DE CALOR FORMAS DE ANÁLISIS

Para analizar intercambiadores de calor, existen dos métodos que se aplican de acuerdo a la relación térmica entre los fluidos: ¾ El método de la diferencia media logarítmica de temperatura (LMTD siglas en

ingles) que consiste en determinar una diferencia media de temperatura entre los fluidos del intercambiador de calor. ¾ El método del las eficiencias (relación ε vs. NTU) que consiste en determinar la

razón entre la máxima transferencia de calor que puede ocurrir en un intercambiador de calor y la transferencia de calor que ocurre realmente.

193

Lo anterior se puede esquematizar en la figura 25. ANÁLISIS GLOBAL

UNA SOLA DIFERENCIA DE TEMPERATURAS

MÉTODO DE LA EFECTIVIDAD

MÉTODO LMTD

Q = UA * LMTD LMTD =

∆Tent − ∆Tsal ∆T Ln ent ∆Tsal

MÚLTIPLES DIFERENCIAS DE TEMPERATURAS

ε=

QFLUIDO DE Cp BAJO Qmax

MÉTODO LMTD

LMTD Q = UA * LMTDV Q = UA( LMTDcc * FC )

Q = ε *Qmax

MÉTODO DE LA EFECTIVIDAD

q = ε * mCp * ∆Tm

ε=

∆T (mCp )min ∆Tent .

R

ε

Paso simple En paralelo NTU

Q = UA * LMTDu Paso simple contracorriente

NTU = R=

UA mCp min

mCp min mCp max

Q = UA * LMTDcc

Figura 25.Formas de análisis para los intercambiadores de calor según las relaciones térmicas entre los fluidos

194

3.4 ANÁLISIS DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR, USO DE LA LMTD (Diferencia de temperatura media logarítmica.)

Es esencial relacionar en la transferencia de calor las temperaturas de entrada y salida de los fluidos con el U y el área superficial total para transferir el calor. Estas relaciones se pueden obtener haciendo balances de energía globales a cada fluido (figura 26): Q = mCpC(T1– T2),

para el fluido caliente.

Q = mCpf(t2 – t1),

para el fluido frío. T1

Flujo frio

t1

Flujo caliente

Volumen de control en el intercambiador de calor

t2

T2 Figura 26. Volumen de control en el intercambiador de calor

Al producto de la masa con el Cp (m*Cp) se le llamara C de ahora en adelante, modificando las ecuaciones anteriores tenemos: Q = Cc(T1 – T2),

para el fluido caliente.

Q = Cf(t2 – t1),

para el fluido frío.

Se puede obtener otra expresión útil al relacionar la transferencia de calor con la diferencia de temperatura ∆T entre los fluidos, ∆T = Tc – Tf. Sin embargo como ∆T varia con la posición en el intercambiador, es necesario trabajar con la diferencia de temperatura media adecuada.

195

3.4.1 Intercambiador de calor de flujo paralelo

Se hace un balance de energía para cada fluido, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones (figura 27): ¾ La única transferencia de calor es entre los dos fluidos. ¾ La conducción axial a lo largo de los tubos es insignificante. ¾ Los calores específicos se toman constantes. ¾ El producto UA es constante. ¾ Se trabajan con valores promedios de U y Cp T1

t2

t1 dA T2

T1 T (x) t(x)

T2 t2

LM TD

t1 . Figura 27. Distribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de flujo paralelo

Para un diferencial de área dA tenemos el siguiente balance de energía: ∂q = −Cc∂T ∂q = −Cf∂t

δq = U (T – t)δA

∂T = ∂t =

−∂q Cf

− ∂q Cc

(1) (2) (3)

196

Restando las dos primeras ecuaciones anteriores: ⎛ 1 1 ∂ (T − t ) = −⎜⎜ + ⎝ Cc Cf

⎞ ⎟⎟∂q ⎠

Ecuación 22

y reemplazando dq de la ecuación (3) en la ecuación 22: ⎛ 1 1 ∂(T − t ) = −⎜⎜ + ⎝ Cc Cf

⎞ ⎟⎟U (T − t )∂A ⎠

reordenando la ecuación anterior ⎛ 1 ∂(T − t ) 1 = −⎜⎜ + (T − t ) ⎝ Cc Cf

⎞ ⎟⎟U∂A ⎠

e integrando: ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ T −t ⎞ ⎟dA + ⎟ = ∫ U ⎜⎜ ∫ − d⎜ ⎟ ⎝ T − tt ⎠ ⎝ CC C F ⎠ ⎛T −t Ln⎜⎜ 2 2 ⎝ T1 − t1

⎞ ⎛ 1 1 ⎟⎟ = −UA⎜⎜ + ⎝ Cc Cf ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

Ecuación 23

Al sustituir Cc y Cf de las ecuaciones del balance de energía global, Cc = (T1 – T2)/q y Cf = (t2 – t1)/q, tenemos

:

⎛T −t ⎞ ((T − t ) − (T1 − t2 )) Ln⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ = UA 2 2 Q ⎝ T1 − t2 ⎠ Despejando Q: Q = UA

((T2 − t 2 ) − (T1 − t1 )) ⎛ (T − t ) ⎞ Ln⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎝ (T1 − t1 ) ⎠

Q = UA*∆TLMTD

Ecuación 24

¾ Por lo tanto el LMTD es la temperatura media adecuada.

A menudo no es conveniente suponer que el UA es constante a lo largo del intercambiador, lo que puede deberse a los efectos de entrada (mientras se desarrolla la capa límite) y a variaciones de las propiedades del fluido. Si sólo interesa la región de entrada entonces podemos reemplazar U en la ecuación 24 por un valor medio de U: L

Q=UA∆Tlm;

1 U = ∫ Udx L0

197

Si las variaciones de las propiedades del fluido también son importantes entonces es necesario integrar la ecuación 22 en forma numérica, ya que U, Cc y Cf varían a lo largo del intercambiador.

3.4.2 Intercambiador de calor en contracorriente

T1 t2 T2 t1

Con el mismo análisis del intercambiador anterior se puede demostrar que la ecuación anterior también se aplica a este caso, pero la diferencia de temperatura en los flujos extremos la hace variar un tanto: Vamos a suponer que el coeficiente global de transferencia de calor u, se toma constante sobre la línea.

((T2 − t 2 ) − (T1 − t1 )) ⎛ (T − t ) ⎞ Ln⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ ⎝ (T1 − t1 ) ⎠

Como

∆T LMTD =

Entonces:

Q = U ∗ A ∗ LMTDcc

Advierta que con las mismas temperaturas de entrada y salida se tiene, LMTDcc>LMTDu

198

Ejemplo 1:

Efecto de la dirección relativa de los flujos para las mismas temperaturas terminales: Calcular LMTD

LMTDu =

Au =

(T1 − t1 ) − (T2 − t 2 ) 80 − 10 = 33.66 = (T − t ) 80 ln 1 1 ln (T2 − t 2 ) 10

Q U ⋅ LMTDu

LMTD cc =

Acc =

(t1 − T2 ) − (t 2 − T1 ) 40 − 50 = 44.5 = 40 (t1 − T2 ) ln ln 50 (t 2 − T1 )

Q U ⋅ LMTD cc

Î LMTDcc>LMTDu Î 44.5 > 33.66 (ok)

80 > LMTDu > 10

Î 80 > 33.66 > 10

50 > LMTDcc > 40

Î 50 > 44.5 > 40

199

Ejemplo 2: Efectos de la relación de los productos (m · Cp ) de cada fluido:

Para los siguientes datos de contracorriente: Agua Î m& w = 5kg / seg

Aceite Î m& a = variable

Cpw = 4000 J/kg ºC

Cpa = 2000 J/kg ºC

Tl = 100 ºC

tl = 20 ºC

T2 = 70 ºC

t2 = ?

1) Q = m& w Cp w (100 − 70) = m& w Cp w .30 (t 2 − 20) m& w Cp w 5 * 4000 = =R= 100 − 70 m& a Cp a m& a * 2000 m& Cp 10 t 2 − 20 = w w (30) = 30 R = 30 * m& a Cp a m& a 2) Q = m& a Cp a (t 2 − 20) ⇒

para un ∆Tw = 30 ºC m& a 5 20 ∞

R 2 0.5 0

t2-20 60 15 0

t2 observaciones 80 Aceite menor mcp 35 Agua menor mcp 20

60>30 15<30

Î En un intercambiador el fluido con el producto (m · Cp ) menor, será el que sufra una m& Cp min mayor diferencia de temperatura, por tanto R = m& Cp max

200

3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado

Para ese tipo de intercambiadores se tienen las siguientes suposiciones: 1. La temperatura del fluido en la coraza está a una temperatura isotérmica promedio en cualquier sección transversal. 2. El área de calentamiento en cada paso es igual. 3. El coeficiente total de transferencia de calor es constante. 4. La razón de flujo de cada uno de los fluidos es constante. 5. El calor específico de cada fluido es constante. 6. No hay cambios de fase de evaporación o condensación en una parte del intercambiador. 7. Las perdidas de calor son despreciables. Haciendo un balance de energía para un diferencial (dx) y haciendo un desarrollo similar al que se hizo en el análisis del intercambiador de un solo paso encontramos la siguiente ecuación para el calor

201

MTD real = f(R,S) = FT(LMTDcc)

Q = UA ∆t = UA(MTD)real Donde FT =

R 2 + 1 ln[(1 − S ) /(1 − RS )] ( R − 1) ln

( 2 − S (R + 1 +

) + 1)

2 − S R +1− R2 +1 R2

; R=

T1 − T2 t 2 − t1

; S=

t 2 − t1 T1 − t1

Ejemplo Valor relativo de la diferencia de temperaturas (MTD)real de un intercambiador de múltiples pasos en relación a la diferencia media de intercambiadores de paso simple para cuando se tienen las mismas temperaturas terminales. Dado que un intercambiador de paso múltiple se comporta simultáneamente como de flujo unidireccional y de flujo en contracorriente, se espera que el valor numérico de la diferencia media de temperatura este entre el valor máximo determinado por el arreglo en contracorriente y el valor mínimo determinado por el arreglo en flujo unidireccional, asi que es posible relacionar la (MTD) real con la LMTDcc mediante un factor que lógicamente sera menor que 1. F=

MTDreal LMTDcc

para el caso particular en donde las temperaturas terminales sean: T1=100 T2=60 t2= 50 t1= 20 Para flujo unidireccional: (T − t ) − (T2 − t 2 ) (100 − 20) − (60 − 50) 80 − 10 LMTDu = 1 1 = = = 33.66 ( (T1 − t1 ) 100 − 20) ln (80 / 10) ln ln (60 − 50) (T2 − t 2 ) Para flujo contracorriente: (T − t ) − (T1 − t 2 ) = (60 − 20) − (100 − 50) = 40 − 50 = 44.81 LMTDcc = 2 1 (60 − 20) (T − t ) ln (40 / 50 ) ln ln 2 1 (100 − 50) (T1 − t 2 )

202

Para flujo de pasos múltiples: MTD real = FT(LMTDcc) Donde R=

100 − 60 50 − 20 = 1.33 ; S = = 0.375 ⇒ FT = 50 − 20 100 − 20

(1.33) 2 + 1 ln[(1 − 0.375) /(1 − 1.33 ⋅ 0.375)]

( (1.33 − 1) ln 2 − 0.375(1.33 + 1 +

) = 0.891 + 1)

2 − 0.375 1.33 + 1 − (1.33) 2 + 1 (1.33) 2

Î MTD real = 0.891(44.81) = 39.92

* Como podemos observar para las mismas temperaturas terminales se cumple que LMTDu < MTD real < LMTDcc 33.66 < 39.92 < 44.81 Aunque las condiciones de flujo son mas complicadas que las anteriores, se pueden usar las mismas ecuaciones si se hace la siguiente modificación al LMTD: ∆TLMTD = F*∆TLMTD Donde F es un factor de corrección que se puede determinar de graficas, para varias configuraciones de intercambiadores de calor en función de las temperaturas.(Figura 28)

203

* * *

* c) Intercambiador de calor de flujo cruzado donde los dos fluidos están mezclados

CARACTERÍSTICAS: 1. El parámetro P tiene un límite para un R dado. 2. En la misma medida P aumenta (R dado) Fn disminuye. Ejemplo:

m1 = 5 Kg/sg

m2 = 20Kg/sg

Cp2 = 2000

Cp1 = 4000

T1 = 100ºC

t1

= 20ºC

Buscar el Fn para diferentes valores de T2

204

R=

T1 − T2 m2 Cp 2 = =2 t 2 − t1 m1Cp1

P=

t 2 − t1 t − 20 = 2 T1 − t1 100 − 20

5 * 4000(100 − T2 ) = 20 * 2000(t 2 − 20) t2 =

5 * 4000 (100 − T2 ) + 20 20 * 2000 T2

t2

P

Fn(1 shell)

Fn(2shell)

90

25

0,0625

0,999

0,999

80

30

0,125

0,98

0,98

50

45

0,3125

0,86

0,975

40

50

0,375

0,5

0,92

Si queremos aumentar t2 entonces, debemos disminuir el R, para lo que se tienen las siguientes opciones: 1. Bajamos m2 → disminuimos R 2. Subimos m1 → disminuimos R 3. Elevar T1

0,375 =

t 2 − 20 → t 2 = 68,75 150 − 20

4. Poner un intercambiador de doble paso por el casco.

Criterios de selección de intercambiador de calor

1. Para un intercambiador de un casco (1 Shell): no debe haber cruce de temperatura, equivale a decir que Fn ≥ 0,85. 2. Si existe un cruce de temperatura colocamos un intercambiador de 2 Shell.

205

d) Intercambiador de calor de flujo cruzado de dos pasos por tubos (sin mezclar) y un paso por coraza (mezclado) Figura 28. Factor de corrección según el método LMTD para diferentes intercambiadores

Figura 29. factor de corrección según el método de la LMTD para un intercambiador de

calor de un paso por coraza y 2,4,6.... pasos por tubos.

206

207

Ejercicio: Diseñar un intercambiador de banco de tubos aleteado para enfriar 20.6 Kg/sg de aire que se mueve por el exterior desde 80° hasta 60° C con agua a 10° C que se distribuye igualmente por el interior de todos los tubos del banco. El aire tiene una velocidad antes de entrar al banco de 5 m/sg. Características físicas del banco: a) El área frontal es un cuadrado b)El arreglo de los tubos es cuadrado con relación St/de= SL/de= 1.5 c)Los tubos son de de/di = 0.024 / 0.02 mt. d) Los parámetros de relación modular del banco son: Ai/At = 0.1 Afr/Amin = 1.8 Ai/V = 360 m2/m3 Af/At = 0.92 Dh = 0.006 m donde: Ai = Área interior del banco Af =Área de aletas At = Área total externa (Libre + aletas) Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el aire V = Volumen Dh = Diámetro hidráulico para calculo de Re y Nu externos Y las siguientes condiciones . • La resistencia de la pared de los tubos representa el 12% de la resistencia total al flujo de calor • La eficiencia de las aletas se puede tomar como 0.8 • Si en lugar de enfriar el aire con agua a 10° se utilizara un liquido que se vaporizara a los mismos 10° utilizando el mismo tamaño de intercambiador el aire saldría a 38° en lugar de 60° entrando a los mismos 80° y se determinaría un coeficiente global de transferencia U1, 1.9 veces mas grande que el U del caso con agua. • El coeficiente de transferencia de calor (para el aire) es función del numero de Reynolds según el siguiente gráfico.

208

.Solución: Para resolver este problema se requiere analizar primero la transferencia de calor del intercambiador de calor con los flujos de aire y vapor y luego con los flujos de aire y agua

Análisis de intercambiador Aire – Vapor: (1) Q A−V = m& a c p ∆Ta (2)T a = (80 + 38) / 2 = 59 ⇒ c p = 1007 kj / kg ⇒ (1) Q = 20.6 ⋅ 1007(80 − 38) = 871256.4 (3) Q = (UA) A−V ⋅ F ⋅ LMTDCC ( 4) P =

t 2 − t1 10 − 10 = =0 T1 − t1 80 − 10

(5) R =

T1 − T2 80 − 38 = =∞ t 2 − t1 10 − 10

⇒ de graficas F = 1 (6) LMTDCC =

(T1 − t 2 ) − (T1 − t 2 ) (80 − 10) − (38 − 10) 42 = = = 45.838 ln[(T1 − t 2 ) /(T1 − t 2 )] ln[(80 − 10) /(38 − 10)] ln(70 / 28)

⇒ 45.84 (UA) A−V = 871256 ⇒ (UA) A−V = 19006 (7) (UA) A−V = 1.9(UA) A−W

Análisis de intercambiador Aire – Agua (w): ⇒ (UA) A−W = 10003

209

(8) Q A−W = 20.6 ⋅ c pA (80 − 60 )

(20) Re i =

(9)T a = (80 + 60) / 2 = 70 ⇒ c p = 1007 ⇒ (8) Q = 20 .6 ⋅ 1007 ( 20 ) = 414884

(21) he =

(10) 414884 = m& w c p w (t 2 − 10)

4m& w NTF ⋅ NFπ (0.02) µ w

Jeρ w c pwU max

Pr 2 / 3 Je → tabla intercambiadores compactos

(11) Q = 10003 ⋅ F ⋅ LMTD CC t 2 − 10 80 − 10 80 − 60 (13) R = t 2 − 10

(22) U max = 20.6 /( Amin ρ a )

(14) de graficas F

(25) A fr = H 2

(12) P =

(15) LMTD CC =

(23) Amin = A fr / 1.8 (24) A fr = 20.6 /( ρ 80 ⋅ 5) (80 − t 2 ) − (50 ) ln[(80 − t 2 ) / 50 ]

(26) Re e =

(16) (UA) A−W = 1 / RT

(27) NTF = H / S L = H /(1.5 ⋅ 0.024)

R + Re (17 ) RT = Ri + 0.12 RT + Re ⇒ RT = i 123 0.88

(28) Q A−W =

RP

⇒ (16) 10003 = (18)η s = 1 −

Af AT

(19) hi = 0.023

20.6 ⋅ 0.006 Amin µ f

1 [1 /( hi Ai )] + [1 /(η s he AT )]

T S −T w [1 /( hi Ai )] + [0.12 / 10003]

(29) T f = (T s + 70) / 2

(1 − η a ) = 1 − 0.92 (1 − 0.8) = 0.816

K Re 0.8 Pr 0.4 ( Dittus − Boltern ) 0.02

(30) V = A fr L (31) Ai / V = 360 (32) L = NF ⋅ 1.5 ⋅ 0.024

1° Parte (8) – (15) (8) Q 414884 414884

(A) t2 43 42

2° Parte (24) Afr (25) H (27) NTF (23) Amin

= 4.11 = 2.02 = 56.11 ≈ 56 = 2.28

(A) NF 4 10

(20) Rei 993.05 397.22

(19) hi 359.65 172.79

(10) mw 3 3.1

(32) L 0.144 0.36

(30) V 0.6 1.48

(12) P 0.47 0.46

(31) Ai 216 533

(13) R 0.61 0.62

(28) Tse 36.32 35.48

(29) Tf 53.16 52.74

(14) F 0.95 0.95

(26) Ree 2792 3051

(15) LMTD 43.17 43.72

(T) Je 0.017 0.017

(22) Um 8.24 7.65

(11) Q 410278 415520

(21) he 175466

(16) UA 721

210

3.5 ANÁLISIS DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR, MÉTODO DE LA EFICIENCIA - NUT 3.5.1 Eficiencia

Para definir la eficiencia de un intercambiador de calor, debemos determinar la transferencia de calor máxima posible q

máx,

para el intercambiador. Esta transferencia se

puede alcanzar en principio en un intercambiador de calor en contraflujo de longitud infinita. (Ver figura 30) T1

T1 T2

t2

t-T

t2

T2 t1

t1

Figura 30.Variaciones de las temperaturas de los fluidos a lo largo de un intercambiador de

calor de corrientes paralelas y otro de contracorriente En tal intercambiador uno de los fluidos obtiene el ∆T máximo posible, (la temperatura de entrada del fluido caliente debe ser igual a la temperatura de salida del fluido frío o viceversa). Para ilustrar este punto, considere una situación en que Cf < Cc, en cuyo caso, de los balances de energía globales a cada fluido Q = Cc( T1 – T2) y Q= Cf(t1 – t2), | dt | > | dT|. El fluido frío experimentaría entonces el cambio de temperatura más grande y como L→ϖ, se calentaría a la temperatura de entrada del fluido caliente(t2 = T1). En consecuencia del balance de energía global al fluido Q = Cc(T1 – T2) obtenemos entonces: Cf < Cc Qmax = Cf * ( T1- t1) De manera similar, si Cf > Cc, el fluido caliente experimentaría el cambio de temperatura más grande y se enfriaría a la temperatura de entrada del fluido frío (T2 = t1), del balance de energía global Q = Cc(T1– T2), obtenemos entonces Cc > Cf 211

Qmax = Cc * ( T1 - t1) A partir de los resultados anteriores podemos escribir la siguiente expresión general Qmax = Cmin * ( T1 - t1)

Ecuación 25

Análisis de intercambiadores por el método de la efectividad ( ε , p ó s)

Ahora se puede definir la eficiencia como la razón entre la transferencia real de calor para un intercambiador de calor y la transferencia de calor máxima posible:

Efectividad =

Calor realmente transferido Calor máximo

ε=

Qreal Qmax

Ecuación 26

Qmax: calor absorbido (ó retirado)del fluido que tenga el mCpmin y el cual sufre la máxima diferencia de temperatura (T1-t1). Para un caso dado el flujo que tiene menor mCp es el que sufre mayor diferencia de temperatura, por lo tanto: QMax. = mCpMin. (T1 − t1 ) Qreal = C ∗ Cp min . (t 2 − t1 )

ε=

Qreal mCp min (t 2 − t1 ) = Qmax . mCp min (T1 − t1 )

Si el fluido frío es el que posee el mCpmin entonces:

Si el fluido caliente es el que tiene el mCpmin entonces:

ε=

(t2 − t1 ) (T1 − t1 ) ε=

(T1 − T2 ) (T1 − t1 )

212

Para un intercambiador de flujo paralelo unidireccional en donde el fluido frío es el que tiene menor Cp , encontrar la ecuación de la eficiencia. Q = ε ∗ Qmax

Definiendo

Q = U ∗ A ∗ LMTD

;

ε=

(t2 − t1 ) (T1 − t1 )

; R=

mCp min T1 − T2 = mCp max t 2 − t1

T1 T2 t2 t1

Cp min . (t 2 − t1 ) = Q = UA =

(T1 − t1 ) − (T2 − t2 ) Ln

Ln

T1 − t1 T2 − t2

(T − T2 ) + (t 2 − t1 ) T1 − t1 UA = * 1 T2 − t 2 mCp min t 2 − t1

Reagrupando las temperaturas y simplificando tenemos Ln

T2 − t 2 UA =− T1 − t1 mCp min

Entonces:

Ln

⎛ T1 − T2 ⎞ ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⎝ t 2 − t1 ⎠

T2 − t2 UA (1 + R ) =− T1 − t1 mCpMin

−UA

(1+R ) T2 − t2 = e mCpmin T1 − t1

213

Tomando el termino de la izquierda de la ecuación anterior y en el numerador restamos y sumamos t1 obtenemos: T2 − t1 + T1 − t2 (T2 − t1 ) − (t2 − t1 ) T2 − t1 = = −ε T1 − t1 T1 − t1 T1 − t1

(A)

Despejando T2 en función de R: T2 = T1 − R(t2 − t1 )

La ecuación ( A ) quedaría: T1 − R(t2 − t1 ) − t1 = −ε = 1 − R ∗ ε − ε T1 − t1 Despejando la efectividad:

ε (1 + R ) = 1 − e

ε=

1− e

−

−

UA (1+ R ) mCp Min

UA (1+ R ) mCp Min

1+ R

UA Si definimos: NTU = mCpMin

1 − e − NTU (1+ R ) entonces, ε = 1+ R

Los calores en cada fluido quedan: Q frío = Qcaliente m2Cp2 (t2 − t1 ) = m1Cp1 (T1 − T2 )

Donde:

R=

m2Cp2 T1 − T2 = m1Cp1 t2 − t1

Qreal: mCp/ ∆ T → si el mCpmin es el caliente ε =

mCp min (T1 − T2 ) T1 − T2 = mCp min (T1 − t1 ) T1 − t1

214

→ si el mCpmin es el frío

ε=

mCp min (t 2 − t1 ) t 2 − t1 = mCp min (T1 − t1 ) T1 − t1

Relación de capacidades calóricas:

R=

mCp min mCp max

Cuando el fluido caliente es el mismo → R =

Cuando el fluido frío sea el mínimo → R =

mCpcal t −t = 2 1 mCp frio T1 − T2

mCp frio mCpcal

=

T1 − T2 t2 − t1

3.5.2 Número de unidades de transferencia de calor NTU

El número de unidades de transferencia de calor NTU es un parámetro adimensional que se usa ampliamente para el análisis de un intercambiador de calor y se define como, queda demostrado que ε es función del NTU y del R UA Si definimos: NTU = mCp min

1 − e − NTU (1+ R ) entonces, ε = 1+ R

Los calores en cada fluido quedan: Q frío = Qcaliente m2Cp2 (t2 − t1 ) = m1Cp1 (T1 − T2 )

Donde:

R=

m2Cp2 T1 − T2 = m1Cp1 t2 − t1

Cuando tenemos área infinita en un intercambiador, el NUT se hace infinito, por lo que en un intercambiador de flujo paralelo la efectividad tiende a cero Para cualquier intercambiador se puede demostrar que ε = f( NTU , C min / C max) donde estas relaciones, ε vs. NTU se pueden encontrar en gráficas o en las tablas (ver tabla 8) 215

CASO

Formulas analiticas

GRAFICA DE EFECTIVIDAD

ε lim ite → A

mCpmin = frio

Intercambiador de paso simple unidireccional

R=

T1 − T2 t2 − t1

Ntu = T1 T2 t2 t1

t2 − t1 T1 − t1

; ε =

Ntu =

; ε =

ε lim ite =

R= 0

0,5

UA m& Cpmin

t1 − ti T1 − T2

NTU → ∞

Asíntota

1

1 1+ R

R=1

NTU

mCpmin = caliente

R=

Analisis

T1 − T2 T1 − t1

1 − e − NTU (1− R ) ε= 1 − R ∗ e − NTU (1− R )

UA m& Cpmin mCpmin = frio

Intercambiador de paso simple y contracorriente T1

T −T R= 1 2 t2 − t1 Ntu =

t2 T2 t1

t −t ; ε = 2 1 T1 − t1

ε=

1

1 − e −∞ 1 − R ∗ e − NTU (1− R )

ε LIMITE = 1

UA m& Cpmin

El análisis para este caso se realiza igual al caso unidireccional

ε=

1 − e − NTU (1− R ) 1 − R ∗ e − NTU (1− R )

216

TABLA 8 .Relaciones de eficiencia de un intercambiador de calor R = C mínimo /C máximo Arreglo de flujo

Relación Tubos concéntricos

ε=

Flujo paralelo

ε=

1 − exp(− NUT (1 + R )) 1+ R

1 − exp[− NUT (1 − R )] ; 1 − R * exp(− NUT (1 − R ))

Contraflujo

ε=

NUT ; 1 + NUT

R<1

R=1

Coraza y tubos

Un paso por la coraza(2,4,... pasos de tubos) N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasos por la coraza)

⎧⎪ ε1 = 2⎨1 + R + 1 + R 2 ⎪⎩

(

)

1/ 2

[ ( ) ]⎫⎪⎬ 1 − exp[− NUT(1 + R ) ]⎪⎭

1 + exp − NUT 1 + R 2

1/ 2

2 1/ 2

⎤ ⎡⎛ 1 − ε1R ⎞ n ⎤ ⎡⎛ 1 − ε1R ⎞ n ε = ⎢⎜ ⎟ − R⎥ ⎟ − 1⎥ ⎢⎜ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣⎢⎝ 1 − ε1 ⎠ ⎣⎢⎝ 1 − ε1 ⎠

−1

Flujo cruzado (un solo paso)

Ambos fluidos sin mezclar Cmáx (mezclado) Cmín (sin mezclar) Cmín (mezclado) Cmáx (sin mezclar) Todos los intercambiadores n (Cr=0)

{ [

] }

⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ 0.78 −1 ⎥ ε = 1 − exp ⎢⎜ ⎟ NUT 0.22 exp − R (− NUT ) ⎣⎝ R ⎠ ⎦ ε=

1 (1 − exp{− R[1 − exp(NUT )]}) R

(

)

ε = 1 − exp − R −1 {1 − exp[− R(NUT )]}

ε = 1 − exp(− NUT )

217

−1

TABLA 9 .Relaciones del NUT de un intercambiador de calor Arreglo de flujo

Relación Tubos concéntricos

NUT =

Flujo paralelo

NUT = Contraflujo

− ln{1 − ε(1 + R )} 1+ R

1 ⎛ ε −1 ⎞ ln⎜ ⎟; R −1 ⎝ ε * R −1⎠

NUT =

ε ε −1

;

R<1

R=1

Coraza y tubos

NUT = −(1 + R 2 )

−1 / 2

Un paso por la coraza(2,4,... pasos de tubos)

E=

⎡ E − 1⎤ ln ⎢ ⎣ E + 1⎥⎦

2 / ε1 − (1 + R )

(1 + R )

2 1/ 2

Use las ecuaciones del intercambiador anterior con

ε1 =

N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasos por la coraza)

F −1 F−R

⎛ ε * R −1⎞ F=⎜ ⎟ ⎝ ε −1 ⎠ Flujo cruzado (un solo paso)

Cmáx (mezclado) Cmín (sin mezclar) Cmín (mezclado) Cmáx (sin mezclar) Todos los intercambiadores con Cr=0

⎡ 1 ⎤ NUT = − ln ⎢1 + ln(1 − ε * R )⎥ ⎣ R ⎦ NUT = −

1 ln[R (ln(1 − ε * R ))] R

NUT = − ln(1 − ε )

218

CASO

RELACION DE EFECTIVIDAD

ε=

EFECTIVIDAD LÍMITE

1 − exp(− NUT (1 + R )) 1+ R

Cuando el intercambiador tiene un área infinita, el NUT también tiende a infinito. Entonces de la relación de 1 , es efectividad tenemos que la efectividad tiende a 1+ R decir que cada R dado tiene una efectividad máxima. Por ejemplo para R=1 la efectividad máxima es 50%

1

Intercambiador De flujo paralelo

T

0,6

1

0,4

0,75

EFECTIVIDA

EFECTIVIDAD

0,8

0,2

t 0

1

2

0,5

0,25

0

1

2 NUT 3

4

5

0

ε lim = Intercambiador de flujo contracorriente

R=0,5

1 − exp[− NUT (1 − R )] ; 1 − R * exp(− NUT (1 − R ))

1− 0 .........si..NIU → ∞ ; 1+ 0

R=0,75

0

R=1

EFECTIVIDAD

1

2

ε

0,6

3

4

5

0,60,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0,4

0

0 0

0,2 0 0 R=0

NUT

0,80,8

0,8

t

2

R=1 R=1

1 1

Para cualquier R

1

T

1

En este caso cuando el NUT tiende a infinito, la relación de eficiencia tiende a 1, sin importar R

R<1

EFICIENCIA

ε=

R=0,25

EFECTIVIDAD

R=0

1 R=0,25

2 4 NUT 3 R=0,5 R=0,75

5 R=1

219

5 10

10

15

20

20 NUT NUT

30

40

3.6 METODOLOGÍA DEL CÁLCULO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR

Se han analizado dos métodos para realizar un análisis en un intercambiador de calor el método del LMTD y el método de la eficiencia, ambos métodos se pueden usar y se obtendrán resultados equivalentes, pero dependiendo de lo que se conoce y lo que se desea hallar un método puede resultar más efectivo que el otro. El método LMTD se facilita con el conocimiento de las temperaturas de entrada y salida de los fluidos calientes y fríos, pues el LMTD se puede calcular fácilmente, es decir si se conocen las temperaturas, el problema consiste en diseñar el intercambiador de calor (número de tubos por fila o números de filas por tubos, material de los tubos, etc.). Normalmente se tiene las temperaturas de entrada y salida del fluido y su velocidad con lo que solo queda seleccionar un tipo de intercambiador apropiado, es decir determinar el área superficial de transferencia de calor. De manera alternativa se puede conocer el tipo de intercambiador y el tamaño mientras el objetivo es determinar la transferencia de calor y la temperatura de salida del fluido para la circulación del fluido y temperatura de entrada establecidas. Con esto podemos calcular el rendimiento de un intercambiador, pero los cálculos serían muy tediosos y requerirían iteración. La naturaleza iterativa de la solución anterior se podría eliminar usando el método Nut. A partir del conocimiento del tipo de intercambiador y del tamaño y las velocidades del flujo, los valores del Nut y de Cmin/Cmax se podrían calcular y ε se podría determinar entonces de la tabla o ecuación apropiada. Como qmax también se puede calcular es fácil calcular la transferencia real de calor a partir del requisito que q = ε*qmax y ambas temperaturas de salida del fluido se pueden determinar. 220

4. TABLA DE CORRELACIONES PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EXTERNO EN BANCO DE TUBOS

221

Para determinar el coeficiente de transferencia de calor dentro de un ducto se pueden usar cualquiera de las siguientes correlaciones: TUBOS LISOS FLUJO TURBULENTO

FORMULA

CONDICIÓN

OBSERVACIONES

f =(0.79*ln(ReD)-1.64)-2

104 < ReD < 5*105

Si f no se encuentra dentro del rango de ReD, f se determina del diagrama de Moody

NuD = 0.023ReD0.8*Prn

ReD > 2600

n = 0.4 para calentamiento n = 0.3 para enfriamiento.

NUD =

(f 8 )(R − 1000)P 1 + 12.7(f ) ⎡ P − 1⎤ 8 ⎢⎣ ⎥⎦ EB

r

1

2

2

3

3000 < ReD < 106

r

TUBOS RUGOSOS FLUJO TURBULENTO

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞⎟ − 2 ; Re = Re *e/De*(f/8)0.5; Re es el Reynolds rugoso − 5.02 + 13 f =⎜ − 2 Log ⎜ e Log ⎛⎜ e R D R ⎟⎟ * 7 . 4 * 7 . 4 r R r R eD eD ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 0 < ReR < 5 flujo hidrodinámicamente liso 0 < ReR < 60 flujo rugoso en transición 60 < flujo totalmente rugoso

223

f 8

St =

0.5 0.5 ⎤ ⎡ Re h ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ 0.9 + ⎛⎜ f ⎞⎟ ⎢0.55⎛⎜ R Pr − 1⎟ + 1.85⎥ ⎜ ⎟ e⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 8⎠ ⎣ ⎝ ⎦

; ha se determina de la tabla 4.8 Pág. 350 del libro Mills

Para un flujo a través de un tubo de cualquier forma se trabaja con las formulas anteriores bajo las mismas condiciones pero el Reynolds se evalúa con el diámetro hidráulico. Dhid = 4*A/P Siendo A el área de la sección transversal y P el perímetro mojado por el fluido.

Di

De

224

4 *π

4

(De

2

− Di 2

)

π (De + Di )

para determinar el valor del coeficiente de transferencia de calor externo en un flujo transversal a un cilindro se pueden usar cualquiera de las siguientes formulas: FORMULAS

CONDICIONES

OBSERVACIONES Se obtiene errores de hasta un 20% las

NuD = C*ReDm*Pr1/3

0.4 < ReD < 4*105

propiedades son evaluadas a Tf los

Pr>0.7

valores de Con y m se toman de la tabla 7.2 de la Incropera las propiedades se evalúan a la

m

n

1 < ReD < 106

1/4

NuD = C*ReD Pr (Pr/Prs)

temperatura media del fluido

0.7 < Pr < 500

Prs se evalúa a la temperatura de superficie

NUD

(0.62R = 0.3 +

ED

1

2

)

Pr 1 F 3

F=1

Para ReD < 104

(

⎡ 0.4 ⎢⎣1 + Pr

)

2

3

⎤ ⎥⎦

1

4

4

5

2*10 < ReD < 4*10

4*104 < ReD < 5*106 Nud = (0.8237 – ln(RePr)1/2)-1

RePr < 0.2

(

F = 1 + Re d

(

) 282000

1

)

2

5 ⎛ 8⎞ F = ⎜1 + Re d ⎟ 282000 ⎝ ⎠

4

5

para flujos con un Reynolds bajo

Para determinar el valor del coeficiente global de transferencia de calor en un flujo transversal externo en tubos de diferentes formas (triangular, hexagonal, cuadrado, etc) se determina con la siguiente relación:

225

Nud=C*RenPr1/4, los coeficientes Con y n se obtienen de la tabla 6-3 del libro de Hollman o la tabla 7.3 de la Incropera. El ReD es evaluado con el diámetro característico D encontrado en las tablas anteriormente nombradas. ReD = V*D/ν En un banco de tubos el ReD se determina con el área mínima, ya que aquí se presentara la velocidad máxima de flujo, para tal efecto se tiene la siguiente relación: ⎧ ⎫ St ⎪⎪ St ⎪⎪ 2 V max = V∞ * max ⎨ , ⎬; 1 2 2 St − D ⎪ ⎛⎜ Sl 2 + St ⎞⎟ − D ⎪ 2 ⎠ ⎝ ⎩⎪ ⎭⎪

( )

226

ReDmax = Vmax*D/ν

FORMULA +10filas

Nu

OBSERVACIONES Para determinar el Nud1fila se utilizan las correlaciones para

1fila

= ΦNu

el Nud en un flujo externo a un cilindro. PL=SL/De , PT=St/De SL es la distancia entre tubos longitudinalmente.

Ψ = 1-π/(4PT) si PL≤10

ST es la distancia entre tubos transversalmente.

Ψ = 1-π/(4PTPL) si PL≥10

Φ alineado

⎡ Sl − 0.3 ⎤ 0.7 ⎢ St ⎥ = 1 + 1.5 Ψ ⎢ Sl + 0.7 2 ⎥ ⎢⎣ St ⎥⎦

(

Φ alternado = 1 + Nud <10 filas =

)

Φalineado es el factor para un arreglo de tubos alineados Φalternado es el factor para un arreglo de tubos alternado

2 3Pt

1 + (N − 1)Φ Nud 1 fila N

Nud>10filas = CReDnPr1/3

Nud<10filas=C2Nud>10filas

227

D es el diámetro externo del tubo.

Nud<10filas se utiliza cuado el banco de tubos tiene menos de 10 filas. n y Con se evalúan de la tabla 6-4 Pág. 283 del libro de Holman C2 se evalúa de la tabla 6-5 Pág. 284 de la Holman

5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN

228

Aun precalentador de aire llegan 16 kg/seg de gases a 500°C y 15 kg/seg de aire a 30°C. El precalentador tiene un área de 400m2 y un coeficiente de transferencia de calor global de 1000W/m2°C. Después del precalentador los gases pasan a un economizador en donde por dentro de sus tubos pasa agua a 20°C a una rata de 8 kg/seg. Los tubos se encuentran doblados en forma de serpentín de tal forma que quedan 14 filas, tienen un diámetro externo de 2”, un espesor de 0.05” y un largo de 2 m. El economizador tiene 6 tubos por filas, un arreglo de 45° y Ltpd =1.2Dext Hallar el número de filas adicionales que se deben colocar para que se extraiga el 50% más de calor del gas en el economizador. Tomar las propiedades del gas como 1.2 las propiedades del aire a la temperatura correspondiente.

229

VARIABLE

CORRELACIÓN DE CHURCHILL Y BERNSTEIN

CORRELACIÓN DE GRIMSON

CORRELACIÓN DE ZHUKAUSKAS

Asumo Tg2

Tg2

427

427

427

Con Tg2 hallo Cpg

Cpg

1306

1306

1306

Q

1.525*106

1.525*106

1.525*106

Cpa

1009

1009

1009

Ta2

130.8

130.8

130.8

Ta

80.4

80.4

80.4

Cpa

1009

1009

1009

LMTDcc

382.3

382.3

382.3

P

0.155

0.155

0.155

PROCEDIMIENTO

PRECALENTADOR

Haciendo balance e energía al gas en el precalentador tenemos

16. Cpg. ( 500

Q

Tg2 )

Suponemos Cpa

Del balace de energía para el aire en el precalentador tenemos

Q 30 15. Cpa Ta2 30 Ta 2

Ta2

Con Ta vuelvo a calcular Cpa, hasta que este no cambie Calculamos la LMTDcc

LMTDcc

( 500

Ta2 ) ( Tg2 500 Ta2 ln Tg2 30

30 )

Hallamos los valores de P y Z

P

Tg2 500 470

230

Z

Cpg. 16 Cpa. 15

Z

1.381

1.381

1.381

F

1

1

1

Q

1532*106

1532*106

1532*106

Asumimos Tg3 Hallamos la temperatura media del gas en el economizador

Tg3

354

367.55

378

Tg2

Tg

390.5

397.15

404

Cpg2

1278

1281

1282

Q2

1.186*106

1.218*106

1005*106

Cpw

4179

4179

4178

Tw2

64.65

56.4

50

Tw

42.3

38.2

35

Cpw

4179

4179

4178

Prw

4.16

4.252

4.252

F es encontrado en gráficas con los valores de P yZ Se recalcula el calor transferido con la ecuación de la LMTD y se corrobora con el que se obtuvo anteriormente

UA. LMTDcc . F

Q

ECONOMIZADOR

Tg

Tg3 2

Cpg2(Tg) Haciendo balance de energía para el gas en el economizador tenemos

Q2

16. Cpg2. ( Tg2

Tg3 )

Suponemos Cpw Con el balance de energía al agua en el economizador tenemos

Tw2

Q2 8. Cpw

20

Hallamos la temperatura media del agua

Tw

Tw2 20 2

Con Tw vuelvo a calcular Cpw, hasta que este no cambie Con Tw buscamos las propiedades del agua Prw(Tw)

231

µw(Tw) Kw(Tw)

µw Kw

631*106 0.634

682*106 0.63

682*106 0.63

Rei

5.75*104

51580

51580

f

0.02

0.021

0.021

Nudi

288.345

272.583

272.583

Hi

5223

4906

4906

Ts

60

60

50

Con las propiedades del agua hallamos el Reynolds interno

8. 4 π . 1.9. 0.0254. 6. µw

Rei

f

( 0.79. ln( Rei)

1.64 )

2

Hallamos el Nud interno dependiendo del valor del Rei

f. ( Rei 8

Nudi

1000 ) . Prw 1

f 12.7. 8

1 Hi

2

2

. Prw 3

1

Kw Nudi. 0.035

Asumimos Ts Hallamos la temperatura fílmica

Tf

Ts

Tg

Tf

229

228.6

Las propiedades se evaluan a Tg

Prg

0.8208

0.8208

0.828

Kg µg Ree

0.04884 324*10-7 22840

0.04884 324*10-7 22840

0.616 398*10-7 18590

2

Con Tf buscamos las propiedades del gas Prg(Tf) Kg(Tf) µ g(Tf) Con las propiedades calculamos el Reynolds externo

232

0.74 µg

Ree

y con este hallamos el Nud externo con las diferentes relaciones Correlación de Churchill y Bernstein 1 0.62. Ree0.5. Prg3 . Ree 0. Nud1 0.3 1 1 282000 4 2

Nud1

100.3

Φ Nudg

1.38 138.4

0.4 3

1

Prg

Φ=1+2/3Pt

Nudg

Φ . Nud1

Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d) en tablas n(St/d, Sl/d) en tablas 1

Nudg

n.

3

C. Ree Prg

Correlación de Zhukauskas C(Ree, alernados St/Sl>2) en tablas m(Ree, alernados St/Sl>2)en tablas

C

0.495

n

0.571

Nudg

142

C

0.6

m

0.4

Nudg

91.6

1

Nudg

m 0.36 Prg C. Ree . Prg . Prgs

4

233

He

Kg Nudg. 0.0508

He

133.1

137.332

111

RP

9.66*10-6

9.66*10-6

9.66*10-6

Ts

58.27

58.89

53.16

UA2

3310

3410

2786

LMTDcc

359

359.165

366.6

Hallamos la resistencia de la pared

2 1.9 . . . . 2 π K 2 NTF . NF ln

RP

Evaluando globalmente la temperatura superficial con el balance de energía para los tubos tenemos

Tg. Ts

1 Hi. 25.33 1 . Hi 25.33

RP RP

1 He. 26.38 1 . He 26.38

Tw .

y corroboramos con el valor asumido antes Hallamos el coeficiente global de transferencia de calor para el economizador

UA2

1 1 He. 26.38

RP

1 Hi. 25.33

Calculamos la LMTDcc

LMTDcc

( 425

Tw2 ) ( Tg3 425 Tw2 ln Tg3 20

20 )

234

Calculamos Py Z

Tw2 20 425 20 Cpw. 8 Z Cpg. 16

P

El factor de corrección F se encuentra en gráficas, con los valores de P y Z Hallamos el valor del calor transferido en el economizador y lo corroboramos con el obtenido anteriormente

Q2

P

0.088

0.088

0.082

Z

1.381

1.381

1.381

F

1

1

1

Q2

1.189*106

1.218*106

1021*106

Q3

1.783*106

1.828*106

1.531*106

Tg4

340

337.5

351

Tw3

73.3

74.7

65

LMTD

335.4

333.6

345

UA2. LMTDcc . F

Para hallar el nuevo calor Q3=Q2*1.5 Con el balance de energía al gas en el economizador

Tg4

425

Q3 16. Cpg

Con el balance de energía al agua en el economizador

Tw3

Q3 8. Cpw

20

Hallamos la LMTD

LMTD

( 425

Tw3 ) ( Tg4 425 Tw3 ln Tg4 20

20 )

235

P

Tw3 Tw2

P

0.03

0.155

0.08

Z

0.625

0.625

0.625

F(P,Z) Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con la

F

1

1

1

ecuación del LMTD

UA

5317

5478

4343

Asumimos el número de tubos por fila NF suponemos Ts para hallar la nueva temperatura fílmica Hallamos la temperatura media del gas

NF

41

39

41

Ts

70

70

70

Tg3

Tg

354

352.5

364

Tf

202

211.25

215

Kg

0.0468

0.0468

0.0468

µg Prg

312.*10-6 0.685

321*10-6 0.685

321*10-6 0.685

Tg3 Tw2 Cpg. 16 Z Cpw. 8

UA

Tg Tf

Q3 LMTD . F

Tg4 2

Ts

Tg 2

Con Tf hallamos las propiedades del gas Kg(Tf) µg(Tf) Prg(Tf)

236

Con las propiedades del gas hallamos el Reynolds externo

Ree

( 0.09

16 . 2. 0.0254 2. 0.0254 ) . 2. NF µg

Ree

7804

Nud1

53.37

Nudg

73.7

7441

6353

Y con esto hallamos el Nud externo con cada correlación Correlación de Churchill y Bernstein 1

Nud1

0.3

0.5.

0.62. Ree

Prg 1

2

3

. 1

4

Ree 282000

0.5

3

0.4 1 Prg Nudg Φ . Nud1 Correlación de Hilpert C(st/d, Sl/d) de tablas n(st/d, Sl/d) de tablas 1 n 3 Nudg C. Ree . Prg Correlación de Zhukauskas C(st/d, Sl/d) de tablas m(st/d, Sl/d) de tablas Prgs(Ts)

C

0.495

n

0.571

Nudg

75.3

C

0.446

m Prgs

0.571 0.84

237

1

Nudg

m 0.36 Prg C. Ree . Prg . Prgs

4

Nudg

Kg Nudg. 0.0508

He

48

He

70.8

72.38

58

RP

4.15*10-7

3.955*10-7

4148*10-7

Tw

64.8

65.55

µw Kw Prw

439*10-6 0.657 2.792

439*10-6 0.657 2.792

439*10-6 0.657 2.792

Rei

80130

80130

80130

f

0.019

0.019

0.019

Nudi

324.4

324.4

324.4

Hallamos la resistencia de la pared

2 1.9 2. π . 40. 2. 6. NF ln

RP

Hallamos la temperatura media del agua

Tw

Tw3

Tw2 2

µw(Tw) Kw(Tw) Prw(Tw)

8. 4 π . 1.9. 0.0254. 6. µw

Rei f

( 0.79. ln( Rei)

1.64 )

2

57

Hallamos el Nud interno

f. ( Rei 8

Nudi

1000 ) . Prw 1

1

f 12.7. 8

2

2

. Prw 3

1

238

Hi

Nudi.

Kw 0.04826

Hi

4416

4416

4416

Ts

74

75.4

66

NF

40.6

38.8

40.8

Evaluando globalmente la temperatura superficial de los tubos Tg . Ts

1 . . . . ) . NF Hi ( π 1.9 0.02546 1 . ) . NF Hi. ( π . 1.9. 0.02546

RP RP

Tw.

1 . . . . 6 ) . NF He ( π 0.05082 1

. . 6 ) . NF He. ( π . 0.05082

Y con este corroboramos el valor asumido anteriormente Hallamos el número de filas de la ecuación del UA con las resistencias térmicas totales NF

1 . . 6) He. ( π . 0.05082

1 . . . ) Hi ( π 1.9. 0.02546

ln

2

1.9 . UA . . 2 π 40. 2. 6

Y corroboramos con el valor supuesto Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar, los que estan en verde son los que se han supuesto e inmediatamente obtenidos y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración, es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.

239

Se tiene un banco de tubos alineados con St/Dext= 1.5 en donde entran 10 kg de aire a 560°C y sale a 400°C y una cantidad de aire esta recirculando por el banco de tubos. Los tubos tienen un diámetro externo de 0.04 m y un diámetro interno de 0.035 m, longitud de 2 m y un K de 40 W/m°C, pueden soportar una temperatura máxima de 390°C, en el interior fluye 6 kg/seg de agua que se reparte uniformemente en cada tubo y tiene una temperatura de 40°C. Hallar la fracción de aire que recircula y el número de tubos por fila que hay.

240

PROCEDIMIENTO

Asumimos Tw2 Hallamos la temperatura promedio del agua 40 Tw2 Twprom 2 Cpw(Tw) Con el balance de energía total al agua en los tubos tenemos Q 6. Cpw. ( Tw2 40) Con Tw buscamos las propiedades del agua Kw(Tw) Cpw(Tw) Prw(Tw) µw(Tw) Suponemos Cpa (Ta1)

VARIABLES CORRELACIÓN CORRELACIÓN CORRELLACIÓN DE DE DE CHURCHILL GRIMSON ZHUKAUSKAS Y BRESTEIN Tw2 82 79 80 Twprom

61

59.5

61

Cpw

4186

4186

4186

Q

1055*106

8539*106

1005*106

Kw Cpw Prw µw Cpa

0.68 4186 2.88 4.53*10-4 1075

0.68 4186 2.88 4.53*10-4 1075

0.68 4186 2.88 4.53*10-4 1075

Ta1

402.2

402

402.2

Cpa

1075

1075

1075

Ta

401

401

401

Cpag

4187

4187

4187

Combinando las ecuaciones de balance de energía para el gas en el Intercambiador y el balance de energía en la cámara de mezcla, eliminamos F (siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra) y obtenemos . . 400. Cpa. 10. ( 1106.26560 400. 1057.71) 400. 1057.71Q . 10. Cpa. ( 1106.26560 400. 1057.71) Q. Cpag Hallamos el Cpa del aire a la temperatura de entrada y corroboramos con el que supusimos antes Cpa (Ta1) Ta1

Hallamos la temperatura promedio del aire Ta1 400 Ta 2 Con la temperatura de entrada de los gases Cpag(Tag) Con la temperatura promedio del aire

241

µa(Ta) Ka(Ta) Pra(Ta) Haciendo balance de energía a todo el aire que pasa por el banco de tubos ( 1096. 560) ( Ta1. Cpag ) F ( Cpag . Ta1 ) ( 400. 1057.71) siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra Asumiendo NTF Hallamos la resistencia de la pared 0.04 ln 0.035 RP . . 2 π 40. 2. 8. NTF Hallamos el Reynolds interno 6 . 0.035 REi 2 0.035 . . 8 NTF . µ w π. 4 2 f ( 0.79. ln( REi) 1.64) Hallamos el Nud interno f. ( REi 1000) . Prw 8 Nudi 1

1 Hi

f 12.7. 8 Nudi.

2

µa Ka Pra

322*10-7 0.495 0.65

322*10-7 0.495 0.65

322*10-7 0.495 0.65

F

41.25

44.7

43.5

NTF

51.5

51

51.5

RP

6.477*10-7

6.46*10-7

6.448*10-7

REi

1169

1172

1169

f

0.064

0.064

0.064

Nudi

1.81

1.836

1.813

Hi

35.2

35.7

35.2

Ai

90.6

90.4

90.6

LMTD

339.6

341

340.5

2

. Prw3

Kw

0.035 Calculamos el área interna Ai π . 0.035. 8. 2. NTF

Hallamos la LMTD

1

242

LMTD

( 400 Tw2) ln

( Ta1

40)

400 Tw2 Ta1

40

Calculamos el área externa Ae π . 0.04. 2. 8. NTF

Ae

103

103.3

103

Hallamos el UA con la LMTD Q UA LMTD

UA

3106

2872

2950

Con las propiedades del aire y el numero de tubos por fila supuestos hallamos el RE externo 10. ( 1 F ) . 0.04 REe NTF. 0.02. µ a

REe

50880

55110

53630

Nud1

701

ψ

0.476

Φ

1.516

NudA

1017

y con él calculamos los Nud externos con cada correlación Correlación de Churchill y Berstein 4 5 5

1

Nud1

0.3

0.5 3 0.62. REe . Pra . 1 1

REe

8

282000

2 4

0.4

1

Pra ψ

Φ

3

1

1 ψ NudA

π . 4 1.5 1 0.3

1.5 .

2

. 0.7

( 1 0.7) 1 7. Φ . Nud1 8

Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d) n(St/d, Sl/d)

C n

0.386 0.592

243

1

NudA

n.

3 C. REe Pra

852

NudA

Correlación de Zhukauskas C( alineado, Ree) m ( alineado, Ree) Pras(Ts)

C m Prs

0.27 0.63 0.84

NudA

931

1 4

m 0.36 Pra C. REe . Pra . Pras Ka He NudA . 0.04 Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con las resistencias totales 1 UA 1 1 RP . He Ae Hi. Ai

NudA

He

1264

1062

1157

UA

3106

3128

3135

Nud1

701

747

747.3

Tw2

86.6

79.55

79.37

y corroboramos con el hallado anteriormente Se halla el Nud externo de la primera fila de tubos 4 1

Nud1

0.3

0.5 3 0.62. REe . Pra . 1 1

2

1

0.4

5

REe

5

8

282000

4

3

Pra

Con la evaluación de la temperatura superficial en el lugar donde alcanzará la mayor temperatura (a la salida de los tubos de la primera fila) Ka ( Ta1 390) . Nud1. 0.04 Tw2 390 Hi

Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración , es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.

244

¿Qué ancho debe tener un intercambiador de aletas en donde se enfría aire de 30°C a 10°C a una rata de 5kg/seg si por dentro de los tubos pasa Refrigerante R134A a 10°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 600 W/m2°C?. La velocidad del aire a la entrada del intercambiador es de 6 m/seg.

Características geométricas modulares del equipo

Ai/At=0.1 Afrontal/Amínima=1.87 Ai/V=400 m2/m3 Condiciones

La resistencia de la pared es el 12% de la resistencia total La eficiencia de la aleta es 80 % El diámetro equivalente es 0.004m

245

Con las temperaturas de entrada y salida del aire y la temperatura del refrigerante podemos calcular la eficiencia: Ta1

Ta2

ε = 0.5 Ta1 TR134 Como podemos considerar el intercambiador como un evaporador, el Cmín/Cmáx es igual a

ε

cero y tenemos entonces la siguiente relación para NUT(ε,0): NUT

ln( 1

ε)

NUT = 0.693

Teniendo en cuenta que el fluido con el Cmín es el aire (Cpa=1011.3): UA

NUT. ma. Cpa

UA= 3504 y UA = 1/RT donde

RT

1

1

Hi. Ai

He. At. ηs

1

RT 0.88

UA

1

1

Hi. Ai

He. At. ηs

Ecuación A

ηs

Hi. Ai 1

RP

1 . 1 . . He At ηs 0.88

Af. (1 At

ηa )

Ai 0.1. At Ai + Af =At Af = 0.9At

ηs=0.82

Para hallar He debemos usar la gráfica J vs Remáx REmax

ma. Dequiv Amín. µ a

Af =ma / ρa* u =0.888 m Amín

Af 1.87

Amín =0.475m2

µa =218.94*10-7 Re máx = 1992 Con Remáx hallo J de las gráficas que dependen del tipo de intercambiador (la disposición y tipo de las aletas –se pueden encontrar en la Incropera, Mills, Holman)

246

J = 0.008

con J = 0.008 tenemos: St

J 2

Pr 3 St = 0.01 = He/(u*Cpa*ρa) He=57.5 W/m2°C Entonces despejando de la ecuación de UA, Ai: Ai= 15.1 m2 V = Ai/400 = 15.1/400 = 0.038m3 L = V/ Af = 0.038/0.888 = 0.043 m

247

Del sistema mostrado en la figura calcular la longitud del primer intercambiador, al área de transferencia de calor en el banco de tubos y el flujo másico que circula en el sistema. Sabiendo que el intercambiador consume el 50% de la carga

Tw2 contenedor Tw1 20°

Leche

Intercambiador

1Kg/s 150°

0 05

Banco de Tubos U=100 w/m2K

K=40w/m2K Tw=82 Tmax = 115 0.06 0.08

Tomar las propiedades de la leche como las propiedades del agua a la temperatura indicada.

248

Tas

Debido a que el intercambiador absorbe el 50% de la carga se puede decir que el calor absorbido por la leche al ingresar por primera vez al intercambiador el igual a la absorbida en el banco de tubos, de lo cual podemos deducir la siguiente expresión. Cp1(Tw1-20) = Cp2(82-Tw1), en donde los Cp son evaluados a la temperatura media del fluido a la entrada y salida de la leche del intercambiador y el banco de tubos respectivamente. por lo tanto se hace necesario hacer una iteración de tal forma que se tenga una temperatura de leche inicial se evalúen las propiedades y se obtenga una nueva temperatura, hasta que se encuentre el Tw1 que cumpla con la igualdad. Tw1=50.1 es la respuesta a esta iteración. Para determinar el flujo másico de leche que atraviesa el banco de tubos se asume que esta saldrá a la temperatura máxima, par tal efecto es necesario que el área para la transferencia de calor sea muy grande. con la relación de entrada para flujo cruzado , un flujo mezclado (aire con Cpa ma) y otro sin mezclar (leche con Cpw mw) y con Cpa ma < Cpw mw (del libro de Mills Pág. 773 tabla 8.3ª inciso 7) se hallo la siguiente correlación.

ε = 1− e

[

−1 1− e − RNtu R

]

el área de transferencia de calor se toma bien grande lo que conlleva a reducir la formula anterior a:

ε = 1− e

−

1 R

haciendo balances de energía para el agua y para el aire: Q = ma Cpa(150 - Tas)

249

Q = mw Cpw (115 – 51.1) otras relaciones encontradas son:

R=

maCpa mwCpw

Tas = 150 - ε (115 – 51.1) para resolver las 5 incógnitas anteriores se resuelve por iteración, las propiedades se evalúan a la temperatura media de los fluidos aire y agua respectivamente.

Ta

Cpa

Que

mw

R

ε

Ta

89.43

1007.24

6.101*104

0.229

1.055

0.612

89.43

Debido a que solo hay una cantidad de masa que cumple con esta condición, esta es la cantidad de masa de leche que fluye por el sistema. Para determinar la verdadera Tas y el área de transferencia de calor se tienen las siguientes correlaciones: Qreal = mw Cpw (115 – 51.1) Qreal = 29735.7 w haciendo un balance de energía para el aire: Tas = 150 - Qreal /(ma Cpa) Tas = 120.53°C para Cpa = 1009j/Kg°K de la correlación encontrada inicialmente se tiene:

250

ε=

150 − Tas = 0.3 150 − 51.1

R=

maCpa =1.04 mwCpw

Nut = −

1 ln[R ln (1 − ε ) + 1] = 0.44 R

despejando el área de transferencia de calor tenemos: A = Nut*Cpa*ma/U A = 4.44 m2 para determinar la longitud del intercambiador se le hace un balance de energía a ambos flujos. Qr = mw Cpw (51.1 - 20) = 29862.3 W Tw2 = 82 – Qr/(Cpw mw) = 51.1°C Según el método de la temperatura media logarítmica se tiene:

LMTD =

(51.1 − 20) − (82 − 51.1) ⎡ 51.1 − 20 ⎤ ln ⎢ ⎥ ⎣ 82 − 51.1 ⎦

LMTD = 31 UA = Qr / LMTD UA = 963.3w/°K

251

se tiene ahora de la definición del coeficiente global de transferencia de calor que:

UA = 1 + hiAi

1 ln(0.06

) 0.05 + 1 2πKL heAe

De donde La se puede despejar, pero aun así nos hacen falta los coeficientes de transferencia de calor tanto interno como externo. Propiedades de la leche son:

−4

µ := 6.9⋅ 10

mw := 0.23

Pr := 4.6

K := 0.628

D := 0.05

Para el Reynolds en el interior del tubo tenemos:

Re := 4⋅

mw

3

Re = 8.488 × 10

π⋅ 0.05⋅ µ

f := ( 0.79⋅ ln( Re) − 1.64)

−2

f = 0.033

252

las correlaciones encontradas para flujo interno son dos y son las siguientes

⎛ f ⎞ ⋅ ( Re − 1000) ⋅ Pr ⎜8 ⎝ ⎠

NUD :=

NUD = 58.196

1

⎛ 2 ⎞ ⎜ 3 f 1 + 12.7⎛⎜ ⎞ ⋅ ⎝ Pr − 1⎠ ⎝ 8⎠ 2

0.8

Nud2 := 0.023Re hiUD := NUD⋅

0.4

Nud2 = 58.869

Pr

K

hiUD = 730.941

D

hiud2 := Nud2⋅

K

hiud2 = 739.394

D

Para el flujo externo hay que tener en cuenta que es un flujo anular, para el cual se debe trabajar la longitud característica del Reynolds con el diámetro hidráulico. Este se determina con la relación Do-Di = 0.08 – 0.06 = 0.02 m y se procede a hallar Re.

−4

µ := 4.31⋅ 10 Re := 4⋅

(

mw⋅ D 2

mw := 0.23

)

2

Pr := 2.7

K := 0.661

D := 0.02 3

Re = 4.853× 10

π⋅ 0.08 − 0.06 ⋅ µ

f := 0.023 f fue determinado del diagrama de Moody.

253

NUD:=

⎛ f ⎞ ⋅(Re − 1000)⋅Pr ⎜ ⎝ 8⎠ 1

NUD= 18.245

⎛ 2 ⎞ ⎜ 3 f 1 + 12.7⎛⎜ ⎞ ⋅⎝ Pr − 1⎠ ⎝ 8⎠ 2

0.8 0.4

Nud2:= 0.023Re heUD:= NUD⋅

Pr

K D

heud2 := Nud2⋅

K D

Nud2 = 30.416

heUD = 602.991

hiUD:= 730.94

3

heud2 = 1.005× 10

hiud2:= 739

Determinados los coeficientes de transferencia de calor por convección, se determina la longitud del intercambiador con la siguiente relación:

UA := 963.3

⎛ 0.06 ⎞ ⎞ ⎛ ln ⎜ ⎜ 1 1 ⎝ 0.05 ⎠ + L := UA⋅ ⎜ + 2⋅ π⋅ 40 π⋅ 0.06⋅ heUD ⎠ ⎝ hiUD⋅ π⋅ 0.05 0.06 ⎞ ⎛ ⎞ ln⎛⎜ ⎜ 1 1 ⎝ 0.05 ⎠ + L2 := UA⋅ ⎜ + 2⋅ π⋅ 40 π⋅ 0.06⋅ heud2 ⎠ ⎝ hiud2⋅ π⋅ 0.05

L = 17.564

L2 = 14.077

254

6. CONCLUSIONES

El cálculo de los coeficientes de transferencia de calor de manera analítica es muy compleja, por lo que se ha tenido que estudiar de forma empírica las posibles correlaciones que estos puedan tener con diferentes parámetros adimensionales (los cuales tienen interpretaciones físicas) que hagan semejantes unos sistemas de otros. En este trabajo recopilamos algunas de estas correlaciones para flujo externo, banco de tubos e intercambiadores de calor y aplicamos varias de ellas en un mismo problema para comparar los resultados y tener una idea de que tan grande es la incertidumbre que podemos tener de los resultados que nos dan cada una de ellas. La correlación de Chuirchill y Bernstein es una relación muy completa

y debe ser

preferible para planteamientos con computadoras, debido a la amplia gama de fluidos y números de Reynolds que cubre. Las correlaciones de Grimson y Zhukauskas son más sencillas y son muy parecidas por lo que sus resultados son más concordantes. Algunas tienen en cuenta de manera un poco más precisas la variación de las propiedades con respecto a como varía la temperatura, lo que involucra mayor número de correcciones con factores a las correlaciones y tratan de dar una solución más exacta. En la solución de los problemas pudimos percibir que en el resultado final, hay diferencias pero en algunos no es tan grande y cabe dentro de la incertidumbre prevista que es muy grande, ya que estas correlaciones son obtenidas empíricamente y por más que se trate no serán igual de precisa que los modelos. Por tanto la elección de la correlación queda sujeta a criterio por las facilidades de cálculo que se tengan.

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