Formula Rio De Transfer En Cia De Calor 1 Conducao

CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd Capítulo 1: Introdução CONDUÇÃO: Lei de Fourier: q ∆T dT ou q ′x′ = k q ′x′ = x = −k ∆x dx A

Capítulo 2: Introdução à Condução: k Difusividade térmica: α = ρc p

CONVECÇÃO: Lei do Resfriamento de Newton: " qconv = h(Ts − T∞ ) Ts > T∞

Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor:

Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cartesianas:

• •

Valores típicos de h (W/m²K) Convecção livre gases Convecção livre líquidos Convecção forçada gases Convecção forçada líquidos Convecção mudança de fase

2-25 50-1000 25-250 100-20000 2500-100000

RADIAÇÃO: Poder emissivo de um corpo negro: " 4 ECN = σTsup σ = 5,67 × 10 −8 W/m 2K 4 Poder emissivo de um corpo real: 4 E " = εσTsup emissividade: 0 ≤ ε ≤ 1 Irradiação: Gabs = αG absortividade: 0 ≤ α ≤ 1 Troca líquida por radiação: " q rad = εECN Tsup − αG (Tviz ) ε =α

(

(

)

)

(

" 4 4 q rad = εσ Tsup − Tviz = hr Tsup − Tviz

)

Coef de transf. de calor por radiação: 2 2 hr = εσ Tsup − Tviz Tsup − Tviz

(

)(

)

EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: E& e + E& g − E& s = E& ac

E& e (condução, conveçcão ou radiação ) E& g (conversão de energia ) Ex: Pe = I 2 Re = VI E& s (condução, conveçcão ou radiação ) Taxa de energia acumulada: dU d ( ρVc pT ) E& ac = = V: volume dt dt Volume cilindro: V = πr 2L 4 Volume esfera: V = πr 3 3

Expansão em Série de Taylor: q x +dx = q x +

∂q x dx ∂x

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ & ∂T ⎟+ ⎜k ⎜k ⎟ + q = ρc p ⎜k ⎟+ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

T (x ) = C1x + C2 (Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes, geração de calor nula) q& 2 T (x ) = − x + C1x + C 2 (Placa plana, condução 1D, RP, propriedades constantes) 2k

Eq. da Difusão de Calor – Coordenadas Cilíndricas:

∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ & ⎜k ⎟+ ⎟+ ⎜ kr ⎟ + q = ρc p ⎜k r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂φ ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

Algumas soluções para a eq. da Difusão de Calor:

• •

T (r ) = C1 ln(r ) + C2 (Sist. radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes, geração de calor nula) q& 2 T (r ) = − r + C1 ln(r ) + C2 (Sistemas radiais, condução 1D, R. P., propriedades constantes) 4k

Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regime Permanente (RP)ou Regime Estacionário Resistência térmica por condução em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos 1 ⎛1 1⎞ L ln(r2 / r1 ) ⎜ − ⎟ Rt ,cond = Rt ,cond = Rt ,cond = kA 2πLk 4πk ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ Resistência térmica por convecção em objetos: Planos Cilíndricos Esféricos 1 1 1 Rt ,conv = Rt ,conv = R t ,conv = 2πrLh hA 4πr 2h Resistência térmica por radiação Rt ,rad = Circuito térmico: q =

∆T

∑ Rt

1 hr A

ou q = UA∆T

Coef. Global de transferência de calor: U = Raio crítico de isolamento: rcritico =

1 ∑ Rt A

k h

Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.

CEFET-MG - Formulário de Transferência de Calor Nº1: CONDUÇÃO – Bibliografia: Incropera, F P, “Fundamentos da Transf. de Calor e de Massa”, Cap 1, 2, 3, 4 e 5; 5ªEd Capítulo 4: (Continuação) Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y a) Nodo interior: Tm,n +1 + Tm,n −1 + Tm +1,n + Tm −1,n − 4Tm,n = 0

Capítulo 3: Condução Unidimensional (1D) em Regime Permanente (RP) d 2T hP (T − T∞ ) = 0 ALETAS de seção reta constante: − dx 2 kASR

θ (x ) = T (x ) − T∞

θ b = θ (0 ) = T (0 ) − T∞

θ (x ) = C1e

mx

+ C2e

− mx

hP M = hPkASR ⋅ θ b P: perímetro m2 = kASR Equações para a distribuição de temperatura e taxa de calor em aletas a) convecção na extremidade: senh (mL ) + (h / mk ) cosh(mL ) θ (x ) cosh[m(L − x )] + (h / mk )senh[m(L − x )] qa = M = cosh(mL ) + (h / mk )senh (mL ) θb cosh(mL ) + (h / mk )senh(mL ) b) extremidade adiabática θ (x ) cosh[m (L − x )] = qa = M tanh(mL ) θb cosh(mL ) c) temperatura especificada: [cosh(mL ) − (θL / θb )] θ (x ) (θL / θ b )senh (mx ) + senh[m(L − x )] qa = M = senh (mL ) θb senh(mL ) d) comprimento infinito θ (x ) = e − mx qa = M

θb

Efetividade: ε a =

qa

hASR,bθ b

ou ε a =

Rt , a

Eficiência de uma aleta: ηa =

θb qa

Resistência térmica da base: Rt ,b =

qa qa = qmax hAaθ b

Eficiência global da superfície: ηg =

qt qt = qmax hAtθ b

1 hASR,b

Aa = P. L At = NAa + AB

ηg = 1 −

NAa (1 − ηa ) At

N: número de aletas; AB: área da base Taxa total de transf. de calor

qt = Nηa hAaθ b + hABθB

Resistência térmica total de um conjunto de aletas: Rt ,g

⎡ NAf ⎤ (1 − ηa )⎥θb qt = hAt ⎢1 − A t ⎣ ⎦ θb 1 = = qt ηg hAa

∑ q( i )→( m,n ) + q& (∆x ⋅ ∆y ⋅ 1) = 0 4

Método do Balanço de Energia: E& e + E& g = 0

i 1

Capítulo 5: Condução Transiente Método da Capacitância Global: Biot: Bi = a) Convecção: − E& s = E& ac

Rt , b

Resistência térmica da aleta: Rt ,a =

b) Nodo em um vértice interno com convecção h∆x h ∆x ⎞ ⎛ T∞ − 2⎜ 3 + 2(Tm −1,n + Tm,n +1 ) + (Tm +1,n + Tm,n −1 ) + 2 ⎟Tm,n = 0 k k ⎠ ⎝ c) Nodo em uma superfície plana com convecção (2Tm−1,n + Tm,n+1 + Tm,n −1 ) + 2 h∆x T∞ − 2⎛⎜ h∆x + 2 ⎞⎟Tm,n = 0 k ⎝ k ⎠ d) Nodo em um vértice externo com convecção (Tm,n−1 + Tm−1,n ) + 2 h∆x T∞ − 2⎛⎜ h∆x + 1⎞⎟Tm,n = 0 k ⎝ k ⎠ e) Nodo em uma superfície plana com fluxo calor '' (2Tm−1,n + Tm,n +1 + Tm,n −1 ) + 2q ∆x − 4Tm,n = 0 k

hLC ≤ 0,1 k

− hAS [T (t ) − T∞ ] = ρc p

∂T ∂t

Fourier: Fo = T (t ) > T∞

⎛ ∂ 2T ∂ 2T ⎜ + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎝

⎞ T + Tm −1,n − 2Tm,n Tm,n +1 + Tm,n −1 − 2Tm,n ⎟ + ≈ m +1,n ⎟ (∆x )2 (∆y )2 ⎠ m,n

L2c

θ (t ) = T (t ) − T∞

⎡ ⎛ hAsup θ ( t ) T ( t ) − T∞ = = exp⎢− ⎜ Ti − T∞ θi ⎢ ⎜⎝ ρVc p

⎞⎤ ⎟t ⎥ ou θ (t ) = T (t ) − T∞ = exp(− Bi ⋅ Fo ) ⎟⎥ Ti − T∞ θi ⎠⎦ ⎣ b) Convecção e geração de calor: ∂T E& G − E& s = E& ac θ (t ) = T (t ) − T∞ − hAS [T (t ) − T∞ ] + q& = ρc p T (t ) > T∞ ∂t θ (t ) − (b a ) T (t ) − T∞ − (b a ) dθ = = exp(− at ) + aθ − b = 0 θ i − (b a ) dt Ti − T∞ − (b a ) Aproximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças Finitas – Método Implícito P +1 P ⎛ Tmp++11,n + Tmp−+11,n − 2Tmp,+n1 Tmp,+n1+1 + Tmp,+n1−1 − 2TmP,n ⎛ ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T ⎞⎟ 1 Tm,n − Tm,n ⎞⎟ ⎜ ⎜ ≈ + = + = 2 2 2 2 ⎜ ∂x ⎜ ⎟ ∆t α ∂t ⎟⎠ α ∂y (∆x ) (∆y ) ⎝ ⎝ ⎠ m,n Equações em diferenças finitas com ∆x= ∆y (nodo interior)

Capítulo 4: Condução Bidimensional de Calor em Regime estacionário Aproximação da Equação da Difusão de Calor Bidimensional por Diferenças Finitas

α t

(1 + 4Fo )Tmp,+n1 − Fo (Tmp++11,n + Tmp−+11,n + Tmp,+n1+1 + Tmp,+n1−1 ) = Tmp+1,n ,

Método do Balanço de Energia: E& e + E& g = E& AC

k ( ∆y ⋅ ∆z )(

Tap +1

− Tbp+1

∆x

) + k ( ∆y ⋅ ∆z )(

Tcp +1

− Tbp+1

∆x

Ex:

Fo =

α ∆t

(∆x )2

•Ta

•Tb

•Tc

) + q& (∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆x ) = ρC p (∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆x )

TbP +1 − Tbp ∆t

Elaborado pelo Prof. Frederico Romagnoli Silveira Lima em janeiro de 2007.