Dethitotnghiep

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số y =

2x + 1 . x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5. Câu 2 (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 25 x − 6.5 x + 5 = 0 . π

2) Tính tích phân I = ∫ x (1 + cos x ) dx. 0

3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x 2 − ln(1 − 2 x) trên đoạn [– 2 ; 0]. Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA n = 1200 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S): ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 2) 2 = 36 và (P): x + 2 y + 2 z + 18 = 0 . 1) Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P). 2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P). Câu 5a (1,0 điểm). Giải phương trình 8 z 2 − 4 z + 1 = 0 trên tập số phức. 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b (2,0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) và đường thẳng d có phương trình x +1 y − 2 z + 3 = = . 2 1 −1 1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. Câu 5b (1,0 điểm). Giải phương trình 2 z 2 − iz + 1 = 0 trên tập số phức. ......... Hết ......... Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ................................................. Chữ kí của giám thị 1: ................................

Số báo danh:...........................

Chữ kí của giám thị 2: ................................

1

www.hsmath.net

II. Đáp án và thang điểm Câu 1 (3,0 điểm)

ĐIỂM

ĐÁP ÁN

CÂU

1. (2,0 điểm) a) Tập xác định: D = \ \ {2}

0,25

b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y' = −

5 < 0 ∀x ∈ D. ( x − 2) 2 Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞ ; 2 ) và ( 2;+ ∞ ) . • Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.

0,50

Lưu ý: Ở ý b), cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số. • Giới hạn và tiệm cận: lim+ y = + ∞ , lim− y = − ∞ ; lim y = lim y = 2 . x→2

x →−∞

x→2

x →+∞

Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 . • Bảng biến thiên:

x

–∞

2

y' y c) Đồ thị (C):

– 2

1 2

−

1 2

0,25

– –∞

+∞ 2

y

1⎞ ⎛ (C) cắt trục tung tại điểm ⎜ 0; − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ và cắt trục hoành tại điểm ⎜ − ;0 ⎟ . ⎝ 2 ⎠

2 −

+∞

0,50

O

2

0,50

x

Lưu ý: - Cho phép thí sinh thể hiện toạ độ giao điểm của (C) và các trục toạ độ chỉ trên hình vẽ. - Nếu thí sinh chỉ vẽ đúng dạng của đồ thị (C) thì cho 0,25 điểm. 2. (1,0 điểm ) Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: Hệ số góc của d bằng – 5 ⇔ y'(x0) = – 5 5 x =1 = −5 ⇔ ⎡ 0 2 ⎢⎣ x0 = 3 ( x0 − 2) x0 = 1 ⇒ y0 = − 3; x0 = 3 ⇒ y0 = 7 .

⇔ −

0,50

1 tuyến theo yêu cầu của đề bài là: Từ đó, ta được các phương trình tiếp y = − 5 x + 2 và y = − 5 x + 22 . 2

0,25

0,25

www.hsmath.net

Câu 2

1. (1,0 điểm)

x (3,0 điểm) Đặt 5 = t, t > 0, từ phương trình đã cho ta có phương trình t2 – 6t + 5 = 0 (*)

0,50

Giải (*), ta được t = 1 và t = 5 . Với t = 1, ta được:

0,25

5x = 1 ⇔ x = 0

Với t = 5 , ta được: 5x = 5 ⇔ x = 1 Vậy, phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm là 2 giá trị x vừa nêu trên.

0,25

2. (1,0 điểm) Đặt u = x và dv = (1 + cos x)dx , ta có du = dx và v = x + sin x . π

0,50

π

Do đó: I = x( x + sin x) 0 − ∫ ( x + sin x)dx

0,25

0

π

⎛ x2 ⎞ π2− 4 − cos x ⎟ = . = π −⎜ 2 ⎝ 2 ⎠0 2

0,25

Lưu ý: • Thí sinh được phép trình bày lời giải vừa nêu trên như sau:

π

⎛ x2 ⎞ π 2 −4 I = ∫ xd(x + sin x) = x( x + sin x) 0 − ∫ ( x + sin x)dx = π − ⎜ − cos x ⎟ = 2 0 0 ⎝ 2 ⎠0 • Ngoài cách 1 nêu trên, còn có thể tính I theo cách sau: π

π

π

Cách 2:

2

π

π π x2 π2 π = + d(sin ) = + x sin x 0 − ∫ sin xdx (**) x x I = ∫ xdx + ∫ x cos xdx (*) ∫ 2 0 0 2 0 0 0 2 2 π π −4 π = + cos x 0 = . 2 2 Trong trường hợp thí sinh tính I theo cách 2, việc cho điểm được thực hiện như sau: - Biến đổi về (*): 0,25 điểm; - Biến đổi từ (*) về (**): 0,50 điểm; - Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả: 0,25 điểm. π

π

3. (1,0 điểm) 2 2(2 x + 1)( x − 1) = 1− 2 x 2 x −1

∀x ∈(– 2; 0). 1 Suy ra, trên khoảng (– 2; 0): f '( x) = 0 ⇔ x = − . 2 Ta có: f (0) = 0 , f (−2) = 4 − ln 5 , f ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ = 1 − ln 2 . ⎝ 2⎠ 4 Ta có: f '( x) = 2 x +

0,50

0,25

4 e4 e 1 > 0 (do e4 > 5) và − ln 2 = ln < 0 (do e < 24 ) 4 2 5 1 Nên min f ( x) = − ln 2 và max f ( x) = 4 − ln 5 . x∈[ −2;0] x∈[ −2;0] 4

Vì 4 − ln 5 = ln

0,25

Lưu ý: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 0] còn được kí hiệu tương ứng bởi min f ( x) và max f ( x) . [ −2;0]

[ −2;0]

3

www.hsmath.net

S

Câu 3 Vì SA ⊥ mp(ABC) nên (1,0 điểm) SA ⊥ AB và SA ⊥ AC.

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC, ta có

}

SA chung ⇒ Δ SAB = Δ SAC SB = SC

a 0,25 A

C

⇒ AB = AC B Áp dụng định lí côsin cho tam giác cân BAC, ta được n = 2 AB 2 (1 − cos1200 ) = 3 AB 2 a 2 = BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos BAC a 3 Suy ra AB = . 3 2 a 6 1 n = a 3. Do đó SA = SB 2 − AB 2 = và SABC = AB 2 .sin BAC 3 2 12 Vì vậy VS.ABC =

a3 2 1 SABC.SA = . 3 36

0,50

0,25

Lưu ý: Ở câu này, không cho điểm hình vẽ. Câu 4a 1. (0,75 điểm) 2,0 điểm) • Tâm T và bán kính R của (S): T = (1;2; 2) và R = 6 . • Khoảng cách h từ T đến (P):

h=

|1.1 + 2.2 + 2.2 + 18 | 12 + 22 + 22

0,25 =9

0,50

2. (1,25 điểm) • Phương trình tham số của d:

G Vì d ⊥ (P) nên vectơ pháp tuyến n của (P) là vectơ chỉ phương của d. G Từ phương trình của (P), ta có n = (1; 2;2 ) .

⎧⎪ x = 1 + t Do đó, phương trình tham số của d là: ⎨ y = 2 + 2t ⎪⎩ z = 2 + 2t • Toạ độ giao điểm H của d và (P): Do H∈ d nên toạ độ của H có dạng (1 + t ; 2 + 2t ; 2 + 2t).

0,25

0,25 0,25

Vì H ∈ (P) nên 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay t = − 3 .

0,25

Do đó H = (−2; − 4; − 4) .

0,25

2 0,50 Câu 5a Ta có: Δ = 16 − 32 = − 16 = (4i ) . 1,0 điểm) Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 0,50 z1 = 4 + 4i = 1 + 1 i và z2 = 4 − 4i = 1 − 1 i . 16 4 4 16 4 4 1± i 4 ± 4i Lưu ý: Cho phép thí sinh viết nghiệm ở dạng z1, 2 = hoặc z1, 2 = . 16 4

4

www.hsmath.net

Câu 4b 1. (0,75 điểm) (2,0 điểm) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. G của d là vectơ pháp tuyến của (P). u Vì d ⊥ (P) nên vectơ chỉ phương G Từ phương trình của d, ta có u = ( 2;1; − 1) .

Do đó, phương trình tổng quát của mp(P) là: 2.( x − 1) + 1.( y + 2) + ( −1)( z − 3) = 0 hay 2 x + y − z + 3 = 0 .

0,25 0,50

2. (1,25 điểm) • Khoảng cách h từ A đến d:

Từ phương trình của d suy ra điểm B(–1; 2; –3) thuộc d. JJJG G ⎡ BA , u ⎤ Do đó h = ⎣ G ⎦ . |u| JJJG Ta có BA = (2; − 4;6) . Do đó: JJJG G 1 − 1 ; −1 2 ; 2 1 = (2; − 14; − 10) ⎡ BA , u ⎤ = ⎣ ⎦ 6 2 2 −4 −4 6

(

Vì vậy h =

)

22 + (−14) 2 + (−10) 2 2 + 1 + (−1) 2

2

= 5 2.

2

0,50

0,25

0,25

• Phương trình mặt cầu (S) tâm A(1; –2; 3), tiếp xúc với d:

Vì (S) tiếp xúc với d nên có bán kính bằng h. Do đó, phương trình của (S) là:

0,25

( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 50 2

2

2

Lưu ý: Có thể sử dụng kết quả phần 1) để tính khoảng cách h từ A đến d. Dưới đây là lời giải tóm tắt theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó:

Gọi H là giao điểm của d và mặt phẳng (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Do đó h = AH .

0,25

Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình ⎧x + 1 y − 2 z + 3 ⎪ = = ⎨ 2 1 −1 ⎪⎩2 x + y − z + 3 = 0 Từ kết quả giải hệ trên ta được H = ( −3 ; 1 ; − 2 ) .

0,50

Vì vậy h = AH =

2 2 2 (1 + 3) + ( −2 − 1) + ( 3 + 2 ) = 5 2 .

Câu 5b Ta có: Δ = i 2 − 8 = − 9 = ( 3i ) . (1,0 điểm) Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là: i + 3i i − 3i 1 z1 = = i và z2 = = − i. 4 4 2 2

5

0,25 0,50 0,50

www.hsmath.net