Khaosatpost

www.hsmath.net

www.hsmath.net

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ Giúp học sinh hệ thống lại các bước khảo sát, vẽ và các phép biến đổi đồ thị của hàm số. II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các kiến thức cần nhớ. 1.1. Tính đồng biến nghịch biến của hàm số. - Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D. a.Hàm số F(x) được gọi là đồng biến trên miền D nếu với ∀x1, x 2 ∈ D và x1< x2 thì F(x1) < F(x2). b.Hàm số F(x) được gọi là nghịch biến trên miền D nếu với ∀x1, x ∈ D và x1< x2 thì F(x1) > F(x2). Ví dụ 1: Cho hàm số F(x) = 2x +3 với ∀x ∈ R Rõ ràng đây là hàm số đồng biến trên R. Ví dụ 2: Cho hàm số y = Khi x1>x2 ≥ 0

1 x2 + 3

=> x12 + 3 > x22 + 3 > 0 =>

1 x12 + 3

<

1 x 22 + 3

=> F(x1) > F (x2) Vậy hàm số F(x) nghịch biến trên [0, +∞). Khi 0 ≥ x1>x2 => 0 ≤ x12 + 3 < x22 + 3 =>

1 x12

+ 3

>

1 2

x2 + 3

t

Vậy hàm số F(x) đồng biến trên (-∞, 0]. ** Vài hàm số đồng biến, nghịch biến quen biết huy động: 1/ y = ax là hàm số đồng biến trên toàn trục số khi a >1. Và là hàm số nghịch biến trên toàn trục số khi a < 1. 2/ y = logax là hàm số đồng biến trên (0, +∞) khi a>1.

at h.

ne

Và là hàm số nghịch biến trên (-∞, 0) khi a<1. - Tiêu chuẩn đồng biến, nghịch biến. Giả sử F(x) là hàm số xác định và có đạo hàm trên (a,b).

sm

- Hàm số F(x) là đồng biến trên (a,b) nếu F’(x) ≥ 0 với ∀x ∈ (a, b) (Và F’(x) chỉ có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm).

Trang 1

w

w

w

(Và F’(x) chỉ có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm).

.h

- Hàm số F(x) là nghịch biến trên (a,b) nếu F’(x)≤ 0 với ∀x ∈ (a, b)

www.hsmath.net

www.hsmath.net 3

Ví dụ 3: Hàm số F(x) = x xét trên R Ta có F’(x) = 3x2 ≥ 0 với ∀x ∈ R (F’(x) = 0 chỉ khi x = 0 ). Vậy F(x) là hàm số đồng biến trên R. 1 5

Ví dụ 4: Hàm số F(x) = − x5 +

1 4 1 3 x − x xét trên R. 2 3

Ta có F’(x)= -x4 + 2x3 – x2 = -x2(x-1)2 ≤ 0 ∀x ∈ R (F’(x)= 0 khi x = 0, x = 1) . Vậy F(x) là hàm số nghịch biến trên toàn trục số.

1.2. Cực trị của hàm số. Ở đây chỉ xin trình bày kỹ các kết quả hay sử dụng sau: - Với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) . Giả sử (x1, y1) và (x2, y2) là 2 cực trị của hàm số. Ta có công thức sau: ⎧ y1 = Ax1 + B1 ⎨ ⎩ y 2 = Ax2 + B2

ở đây Ax + B là phần dư trong phép chia của y = ax3 + bx2 + cx + d cho y = 3ax2 + 2bx + c. Khi đó y = Ax + B cũng chính là đường thẳng nối 2 điểm cực trị (x1, y1) và (x2, y2). - Với hàm phân thức: y =

P( x ) Q(x)

ta có kết quả sau:

Giả sử (x0, y0) là cực trị của hàm số thì:

yo

P '( x 0 ) = ' Q ( x0 )

ax 2 + bx + c (a, a’≠ 0), Nói riêng với hàm phân thức: y = a ' x + b'

và nếu hàm số đạt cực đại, cực tiểu thì: y=

2a b x+ a' a'

Là đường thẳng nối cực đại, cực tiểu.

1.3. Điểm uốn của hàm số: - ĐN: Cho hàm số y = F(x). Hàm số gọi là lồi trên (a,b) nếu như F’’(x) < 0 ∀x ∈ ( a, b) , và gọi là lõm trên trên (a,b) nếu như F’’(x) > 0 ∀x ∈ ( a, b) .

sm at

h.

ne t

- Hàm số y=F(x) gọi là có điểm uốn tại điểm M nằm trên đường cong có hoành độ x0, nếu như nó thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 1) F’’(x) = 0 2) Đạo hàm bậc hai F’’(x) đổi dấu qua điểm M (x0,y0) Chú ý: Điều kiện F’’(x0) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn tại điểm uốn có hoành độ x0. Ví dụ: cho y = x4 . Khi ấy y’ = 4x3 => y’’ = 12 x2.

Trang 2

w

w

.h

Mặc dù y’’(0) = 0, nhưng do y’’ ≥ 0 ∀x ∈ R ,suy ra đường cong y = x4 không có điểm uốn.