Quanhetoanly1
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Quanhetoanly1 as PDF for free.
More details
- Words: 10,614
- Pages: 13
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ • Richard Feynman Nếu suy nghĩ về những ứng dụng của toán học vào vật lí thì rất rõ ràng là toán học sẽ có ích mỗi khi ta xét tới một số rất lớn đối tượng đang ở trong một tình trạng phức tạp. Trong sinh vật học chẳng hạn, tác dụng của một siêu vi trùng lên một vi khuẩn sẽ không cung cấp một món ăn nào cho toán học cả. Trong kính hiển vi, ta nhìn thấy một siêu vi trùng nhỏ và nhanh ở một chỗ nào đó trên con vi khuẩn kì dị (tất cả chúng có hình thù khác nhau) và đang cắm hoặc không cắm DNA của nó vào con ấy. Nhưng nếu ta làm thí nghiệm với hàng triệu siêu vi trùng và vi khuẩn thì ta có thể biết nhiều về hoạt động trung bình của các siêu vi trùng.Ta có thể dùng toán học để tính ra số trung bình, để biết xem siêu vi trùng trong vi khuẩn có phát triển không, loại nào phát triển và với số lượng bao nhiêu; bằng cách như vậy, ta có thể nghiên cứu sự di truyền, sự chuyển hóa… Ta hãy lấy một thí dụ khác, tầm thường hơn. Bạn hãy hình dung lấy một bàn cờ to và người ta đang chơi cờ tướng hoặc cờ đam. Mỗi một nước đi riêng lẻ không phải là một phép toán, hoặc chỉ là một phép rất đơn giản về mặt toán học. Nhưng cũng sẽ dễ dàng nhận ra rằng, trên bàn cờ với nhiều con cờ, ta chỉ có thể đánh giá đúng những nước đi nào thuận lợi nhất, những nước đi nào tốt hay xấu, sau một quá trình suy nghĩ rất sâu sắc mà thôi, bởi vì một nước đi kéo theo nó cả một loạt hậu quả. Ở đây những suy luận trừu tượng là cần thiết và do đó cần đến toán học. Lại một thí dụ nữa: việc đóng và mở mạch trong các máy tính. Nếu chỉ có vẻn vẹn một ngắt điện thôi, nó có thể ở vị trí hoặc mở hoặc đóng, và bấy giờ chả cần gì đến toán học, mặc dù các nhà toán học lại cứ thích bắt đầu bằng những cái như vậy. Nhưng nếu muốn dự đoán được hoạt động của một hệ thống với nhiều mạch ghép và dây dẫn, thì cần thiết phải có toán. Tôi muốn nói ngay từ đầu rằng toán học giúp ích rất nhiều cho vật lí, một khi các quy tắc cơ bản của trò chơi đã được thiết lập xong mà ta muốn xét tới các chi tiết của những hiện tượng phức tạp. Nếu như tôi chỉ phải nói về mối tương quan giữa toán học và vật lí, thì phần lớn thì giờ sẽ dành cho vấn đề đó. Song vì mục đích của các bài giảng là trình bày về đặc tính của các định luật vật lí, cho nên tôi không có điều kiện phân tích tỉ mỉ những gì sẽ xảy ra trong những tình huống phức tạp mà xin đi thẳng vào đề tài của mình: đặc tính của các định luật cơ bản. Nếu trở lại trò chơi cờ của chúng ta, thì các định luật cơ bản ở đây chính là các quy tắc đi các con cờ. Trong tình huống phức tạp, có thể dùng toán học để thấy được những nước đi nào thuận lợi nhất. Nhưng nếu muốn biểu diễn nội dung đơn giản của các định luật cơ bản, thì lại cần rất ít tới toán học. Trong trò chơi cờ, điều đó có thể diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Còn trong vật lí, đối với các định luật cơ bản, cũng phải cần tới toán học. Tôi sẽ dẫn hai thí dụ: một thí dụ không nhất thiết phải dùng tới toán học và một thí dụ nhất thiết phải có toán. Thí dụ thứ nhất – một định luật vật lí – gọi là định luật Faraday, mà nội dung là: trong điện phân, lượng chất kết tủa tỉ lệ với cường độ dòng điện và với thời gian tác dụng của nó. Nói cách khác, lượng chất kết tủa tỉ lệ với điện lượng đi qua hệ. Cách phát biểu ấy có vẻ rất toán học, nhưng thực ra chỉ thu gọn lại điều này: các electron, đi qua dây dẫn, mỗi hạt chỉ mang một điện tích. Nói riêng, có thể giả thiết rằng mỗi electron làm cho một nguyên tử kết tủa. Bấy giờ số nguyên tử kết tủa sẽ bằng số electron đi qua, nghĩa là tỉ lệ với điện lượng đã đi qua dây dẫn. Như vậy, định luật ấy có vẻ rất toán học, nhưng trong cội rễ của nó lại rất đơn giản và thực ra không đòi hỏi các kiến thức toán. Muốn kết tủa một nguyên tử cần có một electron – dĩ nhiên đó www.hsmath.net
1
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net cũng là toán, nhưng không phải cái toán mà chúng ta muốn nói tới ở đây. Thí dụ thứ hai, đó là định luật hấp dẫn của Newton, mà chúng ta đã xét trong bài giảng trước (Xem: Thí dụ về định luật vật lí: định luật hấp dẫn). Tôi đã dẫn ra phương trình: mm ' F =G
r2
để làm bạn phải ngạc nhiên vì thấy các kí hiệu toán học có thể truyền đi một lượng thông tin nhanh tới mức nào. Tôi đã nói, lực tỉ lệ với tích khối lượng của hai vật và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, và cũng nói rằng vật phản ứng lại lực, bằng cách biến đổi vận tốc của nó theo chiều của lực đi một lượng tỉ lệ với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chính nó. Bạn thấy đấy, đó là tất cả lời lẽ đã dùng và hoàn toàn không cần thiết phải viết ra phương trình nữa. Mặc dù vậy, ở đây vẫn có toán học, và chúng ta có thể tự hỏi vì sao định luật như thế lại có thể là một định luật cơ bản. Hành tinh hành động ra sao? Phải chăng nó nhìn lên Mặt Trời, thấy Mặt Trời cách xa bao nhiêu, và tính, trên bàn tính của nó, nghịch đảo của bình phương khoảng cách, để biết mình phải chuyển động ra sao ? Rõ ràng, đó không phải là điều giải thích cơ chế của hấp dẫn ! Có lẽ, bạn cũng muốn nhìn sâu hơn, và nhiều người cũng đã thử làm như vậy. Người ta cũng đã hỏi Newton về lí thuyết của ông: “Nhưng chính nó không nói lên gì, nó chẳng giải thích điều gì cả ?”. Newton trả lời: “Nó nói rằng các vật sẽ chuyển động như thế nào, chứ không nói vì sao”. Nhưng con người thường rất khó thỏa mãn nếu không giải thích cho họ hiểu cơ chế, và tôi sẽ kể một trong những thuyết đưa ra cách giải thích hiện tượng hấp dẫn. Theo thuyết đó, hấp dẫn chính là kết quả của rất nhiều tác dụng riêng rẽ, và điều đó cắt nghĩa vì sao định luật Newton lại ràng buộc với toán học. Giả sử vũ trụ đâu đâu cũng đầy hạt, chúng bay qua chúng ta với một vận tốc rất lớn. Chúng bay theo mọi hướng, thường chỉ lướt qua bên cạnh, nhưng cũng có một số rơi vào người ta. Thân thể chúng ta và Mặt Trời thực tế là trong suốt đối với chúng, thực tế chứ không phải hoàn toàn, và một số hạt đập vào người ta. Ta hãy xem, điều đó sẽ phải dẫn tới gì. Trên hình 1, S là Mặt Trời, E là Quả Đất. Nếu như không có Mặt Trời, thì hạt sẽ bắn vào Quả Đất từ mọi phía và mỗi hạt đập vào sẽ đẩy Quả Đất một tí. Nhưng Quả Đất sẽ không đi theo một hướng nào cả, bởi vì bên này đập vào bao nhiêu hạt thì bên kia cũng đập vào bấy nhiêu, trên bao nhiêu thì dưới cũng bấy nhiêu. Song nếu Mặt Trời đứng vào chỗ của nó, thì trong một chừng mực nào đó nó hấp thụ hạt bay từ phía đó lại: một số hạt không xuyên qua được Mặt Trời và bị giữ lại. Như thế số lượng hạt bay từ phía Mặt Trời lại Quả Đất sẽ ít hơn là những phía khác, bởi vì chúng vướng phải chướng ngại vật là Mặt Trời. Cũng rất dễ hiểu rằng, Mặt Trời càng xa, thì số hạt, lẽ ra rơi vào Quả Đất nhưng bị nó giữ lại, sẽ càng ít đi. Mặt Trời hình như sẽ bê đi và bê đúng theo tỉ lệ với bình phương khoảng cách. Vì vậy Quả Đất sẽ phải chịu tác dụng của một xung lượng, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, về hướng Mặt 2 www.hsmath.net
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
Trời. Xung lượng đó là kết quả của một số lượng rất lớn động tác đơn giản là các va chạm bắn vào Quả Đất từ mọi phía. Thành thử về phương diện toán học, không có gì lạ lùng cả, bời vì động tác cơ bản thì đơn giản hơn rất nhiều phép tính số nghịch đảo của bình phương khoảng cách. Chính các hạt đập vào Quả Đất sẽ tiến hành phép tính. Thiếu sót duy nhất của sơ đồ đó là ở chỗ nó hoàn toàn không phù hợp với những xét đoán khác. Mỗi một thuyết sáng tạo ra cần được phân tích kĩ, và phải xét tới mọi hậu quả có thể có của nó, làm sáng tỏ xem nó có dự đoán được hiện tượng nào khác. Mà thuyết của chúng ta cũng dự đoán hiện tượng mới. Nếu Quả Đất chuyển động thì số hạt đập vào mặt trước của nó sẽ nhiều hơn mặt sau (Khi ta chạy trong mưa, thì các giọt mưa rơi lên mặt nhiều hơn sau lưng, chính là vì ta chạy). Khi Quả Đất chuyển động, nó chạy gần lại những hạt trước mặt nó, mà lại chạy ra xa những hạt đuổi nó sau lưng. Phía trước sẽ có nhiều hạt đập vào hơn phía sau, và tạo nên lực cản lại chuyển động. Lực ấy sẽ hãm dần chuyển động của Quả Đất và Quả Đất sẽ không thể lâu dài đi trên quỹ đạo được. Song thực ra nó lại giữ được quỹ đạo của nó đã ba hay bốn tỉ năm nay. Và như vậy lí thuyết bước tới chỗ bế tắc của nó. Bạn bảo: “Thế nào, thuyết ấy cũng không phải tồi đấy chức, và mặc dù chỉ trong thời gian ngắn thôi, nhưng nó cũng đã cho phép tôi không phải nghĩ tới toán học. Có thể tôi cũng sẽ nghĩ ra được một thuyết hay hơn”. Có thể bạn sẽ thành công, chân lí cuối cùng tới nay chưa ai biết được. Nhưng từ thời Newton cho tới nay chưa có ai miêu tả đươc cơ chế giấu kín phía sau định luật hấp dẫn mà không lặp lại điều Newton đã nói, mà không đưa thêm toán học vào hoặc không dự đoán những hiện tượng không hề tồn tại trong thực tế. Vì vậy, cho tới bây giờ chúng ta không có một mẫu về thuyết hấp dẫn nào khác ngoài mẫu toán học. Nhưng nếu chỉ có mỗi một định luật có đặc tính như vậy thôi thì bây giờ sẽ rất lí thú, mặc dù đó là một ngoại lệ đáng tiếc. Song hình như chúng ta càng nghiên cứu nhiều thì càng phát minh ra lắm định luật, càng đi sâu vào tự nhiên thì cơn bệnh lại càng trở nên mãn tính. Một một định luật mới lại là một khẳng định thuần toán học, khá rắc rối và khó hiểu. Cách phát biểu định luật hấp dẫn của Newton bằng toán học tương đối đơn giản. Nhưng mỗi ngày nó càng trở nên khó hiểu hơn, phức tạp hơn khi ta cùng bước tới phía trước. Vì sao vậy ? Tôi không có một ý kiến nào cả. Mục đích của tôi chỉ là thông báo về sự kiện ấy mà thôi. Ý nghĩa của toàn bộ bài giảng chứa đựng tất cả trong đó: không thể nào giải thích một cách trung thực tất cả vẻ đẹp của các định luật tự nhiên cho mọi người đều hiểu được, chỉ bằng các giác quan thôi, mà không cần có những hiểu biết sâu sắc về toán học. Thật đáng tiếc, song hình như thực tế là như vậy. Có thể bạn sẽ phản đối: “Được rồi, nếu các định luật không thể giải thích thì ít ra anh cũng phải bảo nội dung của chúng thế nào. Tại sao anh lại không nói điều đó bằng những lời lẽ, thay cho các kí hiệu ? Toán học chẳng qua cũng là một ngôn ngữ, mà đã là ngôn ngữ thì có thể dịch từ cái này qua cái khác”. Vâng, có thể - nếu có đủ kiên nhẫn, và hình như tôi cũng đã làm một phần rồi đấy. Tôi có thể đi xa hơn một chút và giải thích ý nghĩa của phương trình một cách tỉ mỉ hơn, chẳng hạn như bảo rằng khi tăng khoảng cách lên hai lần thì lực giảm đi bốn lần…Tôi có thể dịch mọi kí hiệu ra lời lẽ. Nói cách khác, tôi có thể đi tới gặp những người yêu thích vật lí, họ đang ngồi yên tại chỗ và hi vọng, mong mỏi ở tôi một lời giải thích đơn giản. Còn làm thế nào giải thích những điều phức tạp và rắc rối bằng ngôn ngữ dễ hiểu cho một anh không chuyên môn lật hết sách này đến sách khác với hi vọng tránh được các khó khăn mà sớm hay muộn cũng xuất hiện trong những tác phẩm của những nhà viết sách phổ biến cừ khôi nhất. Nhưng càng đọc, càng thấy nhiều rắc rối, một khẳng định này lại tiếp theo một www.hsmath.net
3
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
khẳng định khác và hình như tất cả chúng chả thấy có liên hệ gì với nhau cả. Ý nghĩa cứ chạy trốn đi đâu mất, nhưng anh ta cũng cứ hi vọng tìm thấy lời giải thích đâu đấy trong một cuốn sách khác… Tác giả này giải thích gần đạt, nhưng biết đâu tác giả khác lại đạt hơn. Tôi nghi ngờ điều đó lắm, bởi vì toán học không đơn giản là một ngôn ngữ khác. Toán học, đó là ngôn ngữ cộng với sự suy luận, nó như là ngôn ngữ và lôgic hợp lại. Toán học, đó là vũ khí để tư duy. Nó đã tập trung được kết quả suy nghĩ chính xác của nhiều người. Nhờ toán học, có thể liên hệ khẳng định này với khẳng định khác. Chẳng hạn, tôi có thể nói lực hướng về Mặt Trời. Nhưng tôi cũng có thể nói cách khác: hành tinh chuyển động thế nào để nếu vẽ từ Mặt Trời tới nó một đường, xong vẽ một đường khác cách đường nọ một khoảng thời gian nhất định, ba tuần lễ chẳng hạn, thì diện tích mà đường đó đã vạch sau ba tuần lễ đó sẽ bằng diện tích mà nó sẽ vạch trong ba tuần lễ sau, và cứ thế trên toàn bộ quỹ đạo. Tôi có thể giải thích cả hai điều khẳng định ấy một cách tỉ mỉ, nhưng không thể giải thích vì sao chúng lại nói lên một điều khẳng định duy nhất mà thôi. Các định luật và quy tắc lạ lùng của thiên nhiên, mỗi cái có thể giải thích rất tỉ mỉ, thật ra liên hệ với nhau rất chặt chẽ. Nhưng nếu bạn không ưa dùng tới toán học, thì trong tập hợp rất nhiều sự kiện ấy, bạn sẽ không thấy rằng phép logic giúp ta chuyển từ cái này qua cái kia. Tôi có thể chứng minh một điều rất đáng ngạc nhiên là nếu lực hướng về Mặt Trời thì đường nối Mặt Trời và hành tinh sẽ quét những diện tích bằng nhau sau những khoảng thời gian bằng nhau. Tôi sẽ cố gắng chứng minh hai định luật đó tương đương nhau, và bấy giờ sẽ sáng tỏ không chỉ riêng các cách phát biểu của chúng. Bạn sẽ nhận ra hai định luật ấy liên hệ với nhau, và bằng suy luận ta có thể chuyển từ cái này sang cái kia, và toán học chính là sự suy xét có tổ chức. Bấy giờ bạn có thể đánh giá hết cái đẹp của mối tương quan giữa hai định luật đó. Vậy ta hãy chứng minh nếu lực về Mặt Trời thì sau những khoảng thời gian bằng nhau đường nối Mặt Trời và hành tinh quét những diện tích như nhau. Ta hãy lấy Mặt Trời và hành tinh (hình 2) và hình dung rằng ở một thời điểm xác định nào đó hành tinh ở vị trí 1. Nó chuyển động thế nào để sau thời gian 1 giây, chẳng hạn, thì đến vị trí 2. Nếu Mặt Trời không tác dụng lên hành tinh thì, theo nguyên lí quán tính của Galile, nó sẽ tiếp tục đi theo quãng đường thẳng; và hết giây thứ hai nó sẽ đi được một quãng đường như cũ và đạt đến điểm 3. Trước hết, ta hãy chứng minh rằng sau những khoảng thời gian như nhau, diện tích quét được như nhau, nếu như không có lực. Xin nhắc lại rằng diện tích một tam giác bằng nửa cạnh đáy nhân với chiều cao, và chiều cao là khoảng cách theo đường thẳng đứng từ đỉnh tới đáy. Đối với tam giác tù (hình 3) thì chiều cao là AD và đáy là BC. Giờ hãy so sánh các diện tích mà đường nối Mặt Trời và hành tinh quét được trong chuyển động của hành tinh, nếu Mặt Trời không tác dụng lên nó (hình 2).
www.hsmath.net
4
www.hsmath.net QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ Hãy nhớ rằng hai khoảng cách 1 – 2 và 2 – 3 bằng nhau. Vấn đề là hai diện tích đó có bằng nhau không. Hãy xét tam giác tạo thành bởi Mặt Trời và hai điểm 1 và 2. Diện tích của nó bằng bao nhiêu ? Diện tích của tam giác đó bằng đáy 1 – 2 nhân với nửa đường vuông góc hạ từ điểm S xuống cạnh đáy. Bây giờ xét tam giác kia, có các đỉnh là 2, 3 và S. Diện tích của nó bằng đáy 2 – 3 nhân với nửa đường vuông góc hạ từ đỉnh S. Hai tam giác ấy có cùng một chiều cao và các đáy bằng nhau; vì vậy diện tích của chúng bằng nhau. Tới đây thì mọi việc đều trôi chảy cả. Nếu không có lực nào tác dụng từ phía Mặt Trời lại thì sau những khoảng thời gian bằng nhau, các diện tích quét được sẽ bằng nhau. Nhưng Mặt Trời tác dụng lên hành tinh. Trên đoạn đường 1 – 2 – 3 Mặt Trời hút hành tinh, và phương của lực hút thay đổi dần. Để có được kết quả gần đúng tốt, ta hãy lấy vị trí trung bình 2 và xem như toàn bộ hiệu ứng hút trên đoạn đường 1 – 3 làm lệch hành tinh đi một đoạn theo phương 2 – 4 (hình 4).
Điều đó có nghĩa là vật sẽ chuyển động theo đường 1 – 2 và tiếp tục dịch chuyển trên đường đó nếu như không có lực tác dụng, nhưng lực hút của Mặt Trời kéo vật lại dọc theo đường 2 - 4. Vì vậy chuyển động của vật ở đoạn sau gồm có hai phần: một phần do hành trình cứ muốn tiếp tục chuyển động như cũ, một phần do tác dụng của Mặt Trời muốn làm biến đổi chuyển động đó. Cho nên hành tinh không chuyển động tới vị trí 3 mà tới vị trí 4. Giờ ta hãy so sánh diện tích các tam giác 23S và 24S và chứng minh chúng bằng nhau.. Chúng có đáy chung S – 2. Chiều cao của chúng có như nhau không ? Có bởi vì các tam giác nằm giữa hai đường song song. Khoảng cách từ điểm 4 đến đường S – 2 bằng khoảng cách từ điểm 3 đến đường S – 2 (kéo dài). Thế nghĩa là diện tích hai tam giác 23S và 24S như nhau. Trước tôi đã chứng minh rằng S12 và S23 bằng nhau về diện tích. Từ đó rõ ràng là diện tích S12 bằng diện tích S24. Như vậy, trong chuyển động của hành tinh trên quỹ đạo, diện tích đường nối Mặt Trời và hành tinh quét được sau giây thứ nhất và sau giây thứ hai bằng nhau. Thế là, bằng suy luận ta đã tìm thấy mối liên hệ giữa hai sự kiện: lực hướng về Mặt Trời và diện tích bằng nhau. Có đúng là tài tình không ? Tôi đã mượn cách chứng minh của chính Newton. Tất cả những điều trên đều có trong cuốn “Nguyên lí” của ông – cả hình vẽ lẫn cách chứng minh. Chỉ có các chữ số là khác thôi, vì Newton dùng chữ số La Mã, còn tôi thì dùng chữ số A Rập. Tất cả những chứng minh trong sách của Newton đều là hình học. Ngày nay chúng ta xây dựng những cách chứng minh theo một kiểu khác. Chúng ta chứng minh bằng giải tích, dùng các kí hiệu. Muốn dựng nên các tam giác cần thiết và rút ra sự bằng nhau của các diện tích, thì cần phải có sáng tạo. Ngày nay chúng ta có những phương pháp hoàn chỉnh của giải tích, nhanh và có hiệu lực hơn. Tôi muốn giới thiệu thêm rằng trong toán học hiện đại hơn, muốn chứng minh điều đó chỉ cần viết vài kí hiệu là đủ. www.hsmath.net 5
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net .
Ta sẽ nói tới tốc độ biến thiên diện tích và kí hiệu đại lượng ấy bằng A . Khi vectơ tia quay, diện tích thay đổi và tốc độ biến thiên của nó bằng thành phần vuông góc với vectơ tia của vận tốc nhân với vectơ tia. Nói cách khác, đó là độ dài của vectơ tia, nhân với vận tốc, nghĩa là nhân với tốc độ thiên của khoảng cách. . biến . A = r×r
Hãy tự hỏi: tốc độ biến thiên diện tích có thay đổi không ? Định luật Kepler bảo rằng tốc độ biến thiên diện tích không thay đổi. Vậy thì, ta hãy lấy đạo hàm của đẳng thức đã viết, và tất cả trò ảo thuật ở đây là làm sao đặt các dấu chấm cho đúng chỗ, ngoài ra không có gì khác. Trò ảo thuật ấy thì phải học mới biết: đó chẳng qua là một bộ quy tắc mà người ta đã sáng tác ra để làm cho phép chứng minh trở nên dễ dàng. Ta .. . . .. viết: A = r× r + r × r = r × F / m
Số hạng thứ nhất là thành phần của vận tốc vuông góc với chính nó. Nó bằng .. không vì vận tốc hướng dọc theo chính nó. Gia tốc r là đạo hàm bậc hai của r , nghĩa là đạo hàm của vận tốc. Nó bằng lực chia cho khối lượng. Điều đó có nghĩa rằng tốc độ biến thiên của tốc độ biến thiên diện tích là thành phần của lực, vuông góc với vectơ tia. Nhưng nếu lực hướng theo vectơ tia, r×F /m = 0
như Newton đã khẳng định, thì nó sẽ không tác dụng theo phương vuông góc với vectơ tia, thế nghĩa là tốc độ biến thiên diện tích.. không thay đổi: A=0
Chúng ta thấy giải tích đã giúp ta bao nhiêu nhờ những kí hiệu của nó. Newton ít nhiều đã biết làm như vậy, chỉ có các kí hiệu có khác đi chút ít. Nhưng ông lại thích các cách chứng minh hình học hơn, vì muốn cố gắng làm cho người ta có thể đọc được những bài báo của mình. Chính ông đã bày ra phép tính các lượng vô cùng bé mà tôi đã dùng trong cách chứng minh thứ hai. Đấy là một điều minh họa rất đạt về mối tương quan giữa toán học và vật lí. Khi trong vật lí có bài toán thấy khó, chúng ta có thể quay sang các nhà toán học, và bỗng thấy họ đã từng gặp những vấn đề tương tự và có sẵn các phương pháp chứng minh ! Nhưng cũng có thể là họ chưa hề làm một vấn đề như thế bao giờ.Lúc đó, chúng ta phải tự mình nghĩ ra cách chứng minh và sau đó chuyển cho các nhà toán học. Ai đã suy luận về một cái gì đó một cách chính xác, họ sẽ cho thấy con người tư duy như thế nào, và nếu biểu diễn lập luận của họ dưới dạng tổng quát và trao lại cho các nhà toán học, thì các nhà toán học sẽ đưa nó vào sách của mình thành một ngành của toán. Toán học là con đường dẫn dắt chúng ta từ một tập hợp khẳng định này sang một tập hợp khẳng định khác. Và rõ ràng nó giúp ích cho vật lí, bởi vì chúng ta có thể có những cách nói khác nhau về các vật thể, mà toán học thì lại giúp ta rút ra các hệ quả, phân tích các tình huống và biến đổi dạng các định luật, để liên hệ được các khẳng định khác nhau với nhau. Nói chung, nhà vật lí biết rất ít. Họ chỉ phải nhớ các quy tắc để chuyển từ một khẳng định này sang một khẳng định khác, bởi vì tất cả những điều khẳng địn khác nhau ấy về sự bằng nhau của các khoảng thời gian, về lực hướng theo bán kính… đều liên hệ chặt chẽ với nhau bằng logic. Nảy ra một câu hỏi lí thú, liệu có một xuất phát điểm nào đó chung cho tất cả các kết luận của chúng ta không ? Trong tự nhiên, liệu có một sự sắp xếp, một trật tự nào đó, nó cho phép chúng ta nói rằng chỉ có một tập hợp khẳng định là cơ bản nhất mà www.hsmath.net 6
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net thôi, và tập hợp nào khác chẳng qua chỉ là hệ quả của nó không ? Có hai quan điểm về toán học. Để cho tiện lợi, một cái tôi gọi là truyền thống Babilon và cái kia là truyền thống Hy Lạp. Trong các trường học toán Babilon, người học trò giải một số lượng rất lớn thí dụ khi chưa nắm được quy tắc tổng quát. Nó biết tỉ mỉ về hình học, biết được tất cả tính chất của đường tròn, định lí Pitago, công thức tìm diện tích của hình vuông và tam giác, ngoài ra đã có sẵn một số phương pháp để suy cái này ra cái kia.Cũng có sẵn những bảng số, có thể sử dụng để giải những phương trình phức tạp. Tất cả đều đã sẵn sàng để có thể làm các phép tính được. Nhưng Euclid đã phát hiện ra rằng, tất cả những định lí của hình học có thể suy ra từ vài tiên đề đơn giản. Quan điểm Babilon – tôi tạm gọi nó là toán học Babilon – là: anh biết những định lí rất khác nhau, nhiều mối liên hệ giữa chúng, nhưng không hiểu được đến cùng rằng, tất cả chúng có thể suy ra từ bộ tiên đề. Chính toán học hiện đại dựa vào tiên đề và phép chứng minh, xuất phát từ những thỏa ước rất rõ ràng là cái gì có thể và cái gì không thể xem là tiên đề được. Hình học hiện đại chọn các tiên đề, giống như các tiên đề Euclid nhưng hoàn chỉnh hơn, và từ đó rút ra tất cả những gì còn lại. Thí dụ, những định lí như định lí Pitago (tổng bình phương hai cạnh đứng của tam giác vuông bằng bình phương cạnh huyền) sẽ không phải là những tiên đề. Nhưng có thể có cách xây dựng khác, chẳng hạn như trong hình học Descartes thì định lí Pitago lại là tiên đề. Vậy thì trước hết chúng ta cần phải thỏa thuận với nhau rằng cả trong toán học, cũng có thể có nhiều điểm xuất phát khác nhau. Vì tất cả các định lí đều liên hệ với nhau bằng logic, nên không thể xem những khẳng định nào đó là các tiên đề cơ bản: nếu người ta đưa ra những tiên đề khác, để thay thế cho chúng, ta sẽ có thể từ đó xây dựng lại toàn bộ hình học. Nó giống như một cái cầu có nhiều nhịp như nhau. Nếu nó đổ đi, ta có thể dựng lại, bằng cách ghép các nhịp theo một trật tự khác. Truyền thống toán học hiện nay là: lấy những ý xác định được quy ước coi là những tiên đề và xuất phát từ chúng dựng nên cả một lâu đài. Nếu theo truyền thống Babilon ta sẽ bảo: “Tôi biết cái này, tôi biết cái kia và giả sử tôi biết cái này nữa; từ dó, tôi sẽ rút ra tất cả những cái còn lại. Có thể ngày mai tôi sẽ quên cái gì đấy, nhưng tôi vẫn nhớ cái gì đấy và dựa vào cái còn lại đó, tôi có thể dựng lại tất cả. Tôi không biết thật rõ, tôi phải bắt đầu bằng cái gì và kết thúc bằng cái gì. Nhưng trong đầu óc của tôi có đầy đủ các hiểu biết, để nếu quên đi một bộ phận thì chả quan trọng gì tôi có thể dựng lại nó”. Mỗi lần chứng minh một định lí mà lại cứ bắt đầu từ các tiên đề thì không thuận tiện chút nào. Bạn sẽ không tiến bộ nhiều về hình học nếu mỗi lần chứng minh điều gì lại đi từ các tiên đề. Dĩ nhiên, nếu bạn nắm được những kiến thức xác định về hình học, thì luôn luôn bạn có thể từ đó rút ra một cái gì nữa, nhưng xử lí một cách khác sẽ thuận lợi hơn nhiều. Con đường xuất phát từ việc lựa chọn những tiên đề tốt nhất, không phải bao giờ cũng là con đường ngắn hơn cả để đi tới đích. Trong vật lí, chúng ta cần tới phương pháp Babilon chứ không phải phương pháp Hy Lạp. Tôi sẽ cố gắng giải thích vì sao ? Theo quan điểm Euclid, vấn đề là: làm sao chọn được các tiên đề càng hay và càng quan trọng thì càng tốt. Như trong hiện tượng hấp dẫn chẳng hạn, ta có thể tự hỏi: tiên đề nào tốt hơn ? – tiên đề lực hướng vào tâm hay tiên đề: sau các khoảng thời gian bằng nhau, các diện tích quét được bằng nhau ? Nếu tôi xuất phát từ lực thì tôi có thể xét một hệ, gồm nhiều vật mà quỹ đạo không phải là elip nữa bởi vì cách www.hsmath.net
7
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net làm đó cho tôi biết sự hút lẫn nhau giữa các vật. Trong trường hợp này, định lí về sự bằng nhau của diện tích không đúng. Vì vậy, đối với tôi hình như tiên đề phải là định luật về lực. Mặt khác, nguyên lí diện tích bằng nhau có thể phát biểu dưới dạng một định lí tổng quát hơn cho nhiều vật. Định lí ấy khá phức tạp và không đẹp đẽ như sự khẳng định đầu tiên – về diện tích bằng nhau – đã đẻ ra nó. Ta hãy lấy một hệ nhiều vật tương tác lẫn nhau, như sao Mộc, sao Thổ, Mặt Trời và nhiều ngôi sao khác, nói chúng từ xa và chiếu tất cả lên mặt phẳng (hình 5). Các vật chuyển động theo những hướng khác nhau. Ta chọn một điểm tùy ý làm tâm và tính diện tích quét được bởi vectơ tia vẽ từ tâm tới mỗi vật. Chúng ta tính thêm khối lượng: nếu khối lượng vật này gấp đôi một vật khác thì diện tích nó quét được sẽ nhân đôi. Tính tất cả các diện tích do vectơ tia quét được, sau đó cộng lại theo đúng tỉ lệ với các khối lượng tương ứng. Tổng diện tích ấy sẽ không thay đổi theo thời gian. Gọi nó là mômen xung lượng của hệ, và định luật ấy là định luật bảo toàn mômen xung lượng. “Bảo toàn” nghĩa là đại lượng ấy không thay đổi. Đó là một trong những hệ quả của định luật nói trên. Hãy hình dung một tập hợp nhiều sao, chúng đi lại gần nhau để tạo thành tinh vân hay thiên hà. Đầu tiên, chúng ở rải rác và rất xa tâm. Các sao chuyển động chậm quanh tâm, và các vectơ tia quét những diện tích xác định. Càng tiến lại gần, khoảng cách tới tâm ngắn lại, các vectơ tia ngắn lại, và muốn quét được diện tích như cũ thì các sao buộc phải chuyển động nhanh hơn trước nhiều. Vì thế, càng gần lại nhau, các sao càng quay nhanh. Điều đó giải thích hình dạng của các tinh vân xoắn (gần đúng). Điều xảy ra đối với người nghệ sĩ trượt băng cũng giống như vậy. Họ dạng chân ra và bắt đầu quay chậm và khi kéo chân vào thì quay tít mù. Khi chân dạng ra, nó quét một diện tích xác định nào đó trong một giây. Khi co chân lại, người trượt băng phải quay nhanh hơn nhiều để có thể quét diện tích như cũ. Thực ra, tôi chứng minh điều đó không phải cho người trượt băng – họ dùng lực của bắp thịt chứ không phải lực hấp dẫn. Song định luật cũng đúng đối với họ. Đây chúng ta có một vấn đề lí thú. Thường thì từ một định luật đặc biệt của vật lí, như định luật hấp dẫn, ta có thể rút ra một nguyên lí tổng quát hơn hệ quả của nó nhiều. Trong toán học điều đó không hề xảy ra; các định luật không xuất hiện ở nơi mà người ta không chờ đợi nó. Ta hãy làm sáng tỏ bằng một thí dụ. Nếu ta lấy định luật diện tích bằng nhau của lực hấp dẫn làm định đề của vật lí, thì ta có thể rút ra định luật bảo toàn mômen xung lượng, nhưng chỉ đối với trường hợp lực hấp dẫn mà thôi. Nhưng về mặt thực nghiệm ta thấy rằng định luật bảo toàn mômen còn mở rộng ra cho nhiều hiện tượng khác nữa. Newton đã chọn những định đề khác và cũng đã rút ra được định luật bảo toàn mômen xung lượng, tổng quát hơn. Nhưng những định đề của Newton không đúng. Không có những lực nào cả - tất cả đều là vớ vẩn, các hạt không có quỹ đạo,… Nhưng mặc dù thế, nguyên lí diện tích bằng nhau, thay đổi dạng đi, và định luật bảo toàn mômen, cả hai đều vẫn đúng. Chúng mở rộng ứng dụng cho chuyển động của các nguyên tử trong cơ lượng tử và với mức độ hiểu biết của chúng ta ngày nay, chúng hoàn toàn chính xác. Chúng ta biết những nguyên lí tổng quát đó, chúng chứa đựng rất nhiều những định luật rất khác nhau. Nhưng nếu chúng ta theo các chứng minh toán học một cách thật nghiêm khắc và cho rằng, cái này đúng chỉ vì cái kia đúng, thì chúng ta sẽ không thể hiểu nổi mối liên hệ giữa các ngành khác nhau của vật lí. Đến ngày nay mà vật lí trở thành hoàn chỉnh và chúng ta biết được hết tất cả các hoạt động của nó, thì có lẽ chúng ta có thể đi từ các tiên đề, bấy giờ chắc chắn sẽ có người nghĩ ra cách chọn các tiên đề để từ đó rút ra mọi cái khác còn lại. Nhưng đến nay, chúng ta chưa biết hết các định luật, dựa vào một số định luật chúng ta có thể dự www.hsmath.net 8
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net đoán các định lí mà cách chứng minh chưa có. Muốn hiểu được vật lí, cần có một sự cân bằng chặt chẽ trong suy nghĩ. Chúng ta phải giữ thường trực trong đầu óc những khẳng định hình thái rất khác nhau, và nhớ lấy mối liên hệ của chúng, bởi vì các định luật thường có phạm vi rộng hơn các điều chứng minh cho chúng. Nhu cầu ấy chỉ mất đi khi đã biết tất cả các định luật. Trong những mối quan hệ giữa vật lí và toán, còn có một nét đáng chú ý nữa: toán học giúp cho ta chứng minh, rằng trong vật lí, đi từ những điểm khác nhau có thể dẫn tới những kết luận như nhau. Điều đó cũng dễ thấy: nếu ta có các tiên đề, thì ta có thể dùng một số định lí nào đó thay thế cho chúng, còn các định luật vật lí thí cấu trúc rất tinh vi: các cách phát biểu khác nhau, mặc dù là tương đương, của chúng lại là khác nhau về bản chất. Vì vậy mà chúng rất kì dị. Để dẫn làm thí dụ, tôi sẽ phát biểu định luật hấp dẫn bằng ba cách khác nhau, chúng hoàn toàn tương đương, nhưng lại rất khác nhau. Cách phát biểu thứ nhất là lực tương tác giữa các vật được biểu diễn bằng phương trình mà tôi đã dẫn trong bài trước: F =G
mm ' r2
Mỗi một vật, khi nhận biết có lực tác dụng lên nó, sẽ tăng tốc, nghĩa là vận tốc chuyển động của nó sẽ biến đổi đi một lượng xác định sau mỗi giây. Đó là cách phát biểu thông thường của định luật mà tôi gọi là cách phát biểu của Newton. Cách phát biểu đó nói lên rằng, lực phụ thuộc một cái gì đó ở một khoảng cách hữu hạn. Nó mang tính chất người ta thường gọi là không định xứ. Lực tác dụng lên một vật phụ thuộc vào vật khác ở xa nó bao nhiêu. Có lẽ bạn không thích ý nghĩ về tác dụng theo khoảng cách. Vậy là thế nào biết được gì xảy ra ở ngoài xa ? Nhưng có cách khác phát biểu định luật – nó rất lạ lùng. Nó dựa trên khái niệm trường. Giải thích nó rất khó, nhưng tôi sẽ cố gắng, dù chỉ đưa ra một hình ảnh gần đúng mà thôi. Nó hoàn toàn khác. Tại mỗi điểm trong không gian có một số (đúng là một số, chứ không phải là cơ chế: điều tai họa cho vật lí là nó cũng phải là toán), và khi đi từ vị trí này tới vị trí khác thì số đó thay đổi. Nếu đặt một vật vào một điểm nào đó của không gian, thì sẽ có một lực tác dụng lên nó theo hướng mà số đó biến thiên nhanh nhất (tôi cho nó cái tên thông thường: lực thế tác dụng theo hướng biến thiên nhanh nhất của thế). Hơn nữa, lực tỉ lệ với tốc độ biến thiên của thế khi chuyển dời từ điểm này tới điểm khác. Đó chỉ là một phần của cách phát biểu, nó chưa đủ, vì tôi chưa trình bày thế biến đổi như thế nào. Lẽ ra tôi phải nói từ trước rằng thế biến thiên tỉ lệ nghịch với khoảng cách tới mỗi vật, nhưng lúc đó ta lại trở lại khái niệm tác dụng theo khoảng cách mất rồi. Có thể phát biểu định luật một cách khác và chỉ rõ: chúng ta không cần biết gì đã xảy ra ở ngoài phạm vi của một quả cầu nhỏ. Nếu anh muốn biết thế tại tâm bằng bao nhiêu thì hãy chỉ cho tôi độ lớn của nó trên bề mặt của một quả cầu kích thước bé đến mức nào tùy ý. Anh không cần nhìn ra xung quanh quả cầu, hãy nói thế ở lân cận điểm anh đang xét là bao nhiêu và khối lượng quả cầu là bao nhiêu. Quy tắc là thế này. Thế tại tâm bằng thế trung bình trên mặt cầu, trừ đi hằng số G, đã thấy trong phương trình trên, chia cho hai lần bán kính quả cầu (mà ta gọi là a) và nhân với khối lượng của nó, nếu quả cầu đủ bé: Thế ở tâm = Thế trung bình trên mặt cầu – G/(2a) x khối lượng quả cầu. Như thấy rõ, định luật này khác với định luật trước, bởi vì nó chỉ cho thấy gì sẽ xảy ra tại một điểm nào đó, nếu biết gì đã xảy ra ở vùng lân cận. Còn cách phát biểu của Newton lại cho biết gì sẽ xảy ra tại một thời điểm, nếu ta biết gì đã xảy ra ở thời điểm trước. Trong thời gian, nó dẫn ta dần dần từ thời điểm này sang thời điểm khác, www.hsmath.net
9
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
nhưng trong không gian thì buộc ta nhày từ chỗ này đến chỗ kia. Cách phát biểu thứ hai định xứ cả trong thời gian và cả trong không gian vì nó nói tới những điểm lân cận. Nhưng về ý nghĩa toán học, hai cách phát biểu tương đương. Lại có cách phát biểu thứ ba, nó dựa trên những khái niệm khác hẳn về bản chất. Nếu bạn không thích tác dụng theo khoảng cách, thì tôi sẽ chỉ cho một cách làm mà không cần tới nó. Bây giờ tôi sẽ trình bày một cách phát biểu mà, về mặt triết học, nó mâu thuẫn với những cách trên. Ở đây, chúng ta không cần phải chuyền từ thời điểm này qua thời điểm kia, từ điểm này sang điểm khác, chúng ta sẽ miêu tả tất cả, toàn bộ một lúc. Giả sử ta có vài hạt và muốn biết một hạt nào đó chuyển động từ một vị trí này đến một vị trí khác ra sao. Ta hãy hình dung mọi con đường đi có thể từ điểm này tới điểm kia sau một khoảng thời gian cho sẵn (hình 6). Chẳng hạn, hạt muốn chuyển từ điểm X tới điểm Y sau một giờ, và ta muốn biết nó có thể đi theo con đường nào. Ta hãy hình dung mọi con đường có thể và, đối với mỗi đường, tính một đại lượng xác định. (Tôi không muốn nói đại lượng đó là gì, nhưng đối với những ai đã nghe, tôi xin nhắc lại rằng, đối với mỗi đường đi nó bằng trị trung bình của hiệu giữa động năng và thế năng). Nếu ta tính đại lượng đó cho một đường, rồi cho một đường khác, thì đối với những đường khác nhau ta sẽ thu được những số khác nhau. Nhưng một trong những đường đó sẽ cho số bé nhất có thể được – chính con đường ấy là con đường đi của hạt trong thực tế ! Bây giờ, chúng ta không miêu tả chuyển động thực, mà chỉ nói tới một cái gì đó về đường cong, rất tổng quát. Chúng ta cũng chả cần nghĩ tới nguyên nhân, chả cần phải nghĩ rằng hạt cảm thấy lực hút và chuyển động cho phù hợp với nó. Thay cho điều đó, chúng ta bảo rằng, hạt sẽ đánh hơi cùng một lúc mọi đường cong, mọi đường đi có thể và quyết định chọn con đường nào (Nó sẽ chọn con đường mà đại lượng của ta là cực tiểu). Đấy, có bao nhiêu cách đẹp đẽ để mô tả Tự nhiên. Nếu người ta bảo rằng, trong Tự nhiên phải ngự trị tính nhân quả thì ta có thể chọn cách phát biểu của Newton; nếu người ta nhấn mạnh rằng Tự nhiên phải có tính định xứ - thì đây xin mời bạn chọn cách phát biểu thứ hai; và nếu bạn tin rằng Tự nhiên phải được miêu tả bằng nguyên lí tối thiều thì xin bạn hãy chọn cách phát biểu thứ ba. Cái nào đúng ? Nếu về mặt toán học, chúng không cùng một giá trị như nhau, nếu chúng có những hệ quả khác nhau, thì chúng ta chỉ còn biết làm sáng tỏ bằng thực nghiệm, xem Tự nhiên đã hành động thực như thế nào. Nhiều người sẽ đến và xảy ra cuộc tranh cãi triết lí rằng cái này thỏa mãn họ hơn cái kia, nhưng thực nghiệm dạy chúng ta rằng trong những điều dự đoán về tự nhiên, các linh tinh triết lí là không có cơ sở. Chúng ta chỉ có mỗi một cách là hình dung ra hết mọi khả năng, và sau đó thử lại tất cả. Nhưng trong trường hợp mà bây giờ chúng ta đang nói đến, các lí thuyết đều hoàn toàn tương đương. Đứng về mặt toán học, cả ba cách phát biểu – của Newton, trường định xứ và nguyên lí cực tiểu – đều dẫn tới các hệ quả hoàn toàn như nhau. Bây giờ phải làm thế nào ? Đọc trong một cuốn sách nào cũng thấy rằng chúng ta không có lí lẽ khoa học để ưa cái này hơn cái kia. Và điều đó đúng. Về ý nghĩa khoa học, chúng tương đương nhau. Chưa có một thí nghiệm nào cho phép chúng ta lựa chọn được, bởi vì mọi hệ quả đều như nhau. Nhưng về phương diện tâm lí, chúng khác nhau. Trước hết, chúng có thể thỏa mãn hay không thỏa mãn, về mặt triết học; cái bệnh ấy chỉ có thể chữa bằng sự rèn luyện mà thôi. Sau nữa, sự khác biệt về mặt tâm lí giữa chúng sẽ trở nên đặc biệt quan trọng khi ta bước vào nghiên cứu, phát minh những định luật mới. www.hsmath.net
10
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net Khi vật lí chưa hoàn chỉnh và chúng ta cố gắng phát minh những định luật mới thì các cách phát biểu khác nhau có thể nêu lên được sẽ là những sợi chỉ đưa đường cho chúng ta tới chỗ hiểu cái gì sẽ xảy ra trong những hoàn cảnh khác. Trong trường hợp ấy, đứng về mặt tâm lí mà nhìn, chúng không quý giá như nhau, bởi vì chúng kích thích ta có những dự đoán khác nhau, khi muốn biết định luật sẽ có thể biểu hiện như thế nào trong tình huống tổng quát hơn. Chẳng hạn, Einstein nhận biết rằng các tín hiệu điện không thể truyền đi nhanh hơn ánh sáng. Ông dự đoán đó là một nguyên lí phổ biến (Chúng ta cũng chơi cái trò chơi dự đoán giống như vậy, khi chúng ta lấy định luật bảo toàn mômen xung lượng và mở rộng nó từ một trường hợp riêng, trong đó nó được chứng minh là đúng, ta cho tất cả các hiện tượng tự nhiên). Einstein dự đoán đó là một tính chất tổng quát của tự nhiên, trong đó có cả hiện tượng hấp dẫn. Nếu các tín hiệu không thể truyền đi nhanh hơn ánh sáng thì cách phát biểu tương tác truyền đi tức thời sẽ không đúng. Vì thế trong thuyết hấp dẫn mở rộng, do Einstein nghĩ ra, phương pháp của Newton sẽ bất lực một cách tuyệt vọng và phức tạp kinh khủng, trong lúc phương pháp trường và nguyên lí cực tiểu lại chính xác và đơn giản. Cái nào trong hai cái đó ưu thế hơn – cho tới nay chưa ai trả lời được. Sự thực, hình như trong cơ học lượng tử không một cái nào – dưới dạng mà ta đã phát biểu – là chính xác cả; ngay sự tồn tại của nguyên lí cực tiểu cũng là hệ quả của sự kiện này: trong thế giới vi mô, các hạt tuân theo cơ học lượng tử. Đối với chúng ta, hiện nay định luật tốt nhất là sự phối hợp của nguyên lí cực tiểu và các định luật định xứ. Ngày nay chúng ta cho rằng các định luật vật lí phải mang tính chất định xứ và đồng thời gắn chặt với nguyên lí cực tiểu, nhưng có lẽ điều đó chúng ta chưa biết chắc. Nếu trong một hệ thống nhiều kiến thức có ẩn một sai lầm nào đó, mà hệ thống ấy lại được xây dựng từ những tiên đề khá đạt, và nếu sau đó chúng ta phát hiện ra rằng có một tiên đề sai, còn những cái khác đúng, thì trong trường hợp đó chỉ cần có những sửa đổi nhỏ mà thôi. Nhưng nếu chúng ta xây dựng hệ thống trên những tiên đề khác, thì nó có thể sụp đổ hoàn toàn chỉ vì nó dựa toàn bộ lên một chi tiết duy nhất không vững vàng. Nếu không phải nhờ tới trực giác, thì chúng ta không thể nói trước được làm thế nào để xây dựng hệ thống cho tốt nhất nhằm đạt tới định luật mới. Chúng ta phải xét tới một cách thường xuyên tất cả các phương pháp miêu tả có thể; vì thế các nhà vật lí nghiên cứu toán theo kiểu Babilon mà ít quan tâm tới cấu trúc tiên đề cho ngành khoa học của họ. Một trong những đặc điểm kì lạ của tự nhiên – đó là tính muôn màu muôn vẻ của những sơ đồ có thể có để mô tả nó. Điều đó chính là do chính tính chất của các định luật của chúng ta, chúng rất tế nhị và rõ ràng. Chẳng hạn, sở dĩ có tính định xứ là bởi vì lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Nếu như ở đó là lập phương, thì sẽ không có phương pháp định xứ. Mặt khác, lực liên hệ với tốc độ biến thiên vận tốc, điều đó cho phép dùng nguyên lí cực tiểu để biểu diễn các định luật. Nếu chẳng hạn lực tỉ lệ với chính vận tốc chuyển dời, chứ không phải với gia tốc, thì không thể làm như vậy được. Phải biến đổi các định luật đi rất nhiều, ta mới thấy được là số lượng các cách phát biểu có thể đã rút bớt lại. Đối với tôi điều đó luôn luôn là một bí ẩn. Tôi không hiểu được vì sao những định luật đúng đắn của vật lí lại có thể thừa nhận một số lượng các cách phát biểu khác nhau lớn đến như vậy. Chúng giống như một quả bóng đá, cùng một lúc, lọt vào nhiều lưới gôn. Cuối cùng, tôi muốn nêu lên vài nhận xét tổng quát hơn về mối liên hệ giữa toán và vật lí. Các nhà toán học chỉ quan tâm tới cấu trúc của các suy luận, và, về thực chất, đối với họ, nói tới cái gì thì cũng như vậy thôi. Họ cũng không cần biết những điều khẳng định của mình có là chân lí hay không. Tôi sẽ giải thích vì sao. Bạn phát biểu www.hsmath.net 11
www.hsmath.net QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ các tiên đề: cái này và cái này là thế này, còn cái kia và cái kia là thế kia. Còn gì sau nữa ? Sau đó, có thể sử dụng lôgic mà không cần biết các chữ “cái này và cái kia” chỉ cái gì. Nếu các tiên đề đầy đủ và được định nghĩa chính xác, thì người làm phép chứng minh, không bắt buộc phải hiểu ý nghĩa của các từ, mới rút ra được kết luận mới trong ngôn ngữ mà họ đang dùng. Nếu trong một tiên đề có chữ “tam giác”, thì trong các kết luận của nhà toán học sẽ có những khẳng định nào đó liên quan tới các hình tam giác, nhưng trong quá trình rút ra các kết luận ấy, họ không bắt buộc phải biết tam giác là vật gì. Tôi có thể quay trở lại khởi điểm của các lập luận của họ và bảo: “Tam giác, đó là một hình có ba cạnh và nó chính là cái này và cái này đây”. Và bấy giờ, tôi sẽ hiểu được các kết luận mới của họ. Nói cách khác, nhà toán học chuẩn bị các phép chứng minh trừu tượng mà bạn có thể sử dụng được, nhưng phải gắn bộ tiên đề nào đó vào với thế giới hiện thực. Còn nhà vật lí không thể quên ý nghĩa những câu nói của mình được. Đó là một nhiệm vụ rất trọng đại mà thường những người chuyển từ toán sang vật lí, có xu hướng coi rất nhẹ. Vật lí không phải là toán và toán không phải là vật lí. Cái này giúp cho cái kia. Nhưng trong vật lí, chúng ta phải hiểu sự liên hệ giữa các chữ với thế giới hiện thực. Thu được những kết luận nào đó, anh phải chuyển nó ra tiếng mẹ đẻ, ra ngôn ngữ của tự nhiên – ra các hình lập phương bằng đồng và các quả cầu bằng thủy tinh mà anh sẽ đem thí nghiệm. Chỉ như vậy anh mới có thể kiểm tra chân lí của các kết luận của mình. Trong toán học, không tồn tại một vấn đề như vậy. Thật hoàn toàn dễ hiểu rằng, các phép chứng minh và phương pháp tư duy, mà các nhà toán học đã tìm ra, trở thành những vũ khí sắc bén và có ích trong tay các nhà vật lí. Song các suy luận của các nhà vật lí thường cũng đem lại lợi ích cho các nhà toán học. Các nhà toán học thích gắn cho những suy luận của mình một dạng càng tổng quát bao nhiêu càng tốt bấy nhiêu. Nếu tôi nói với họ: “Tôi muốn trao đổi về không gian ba chiều thông thường”, thì họ sẽ trả lời ngay: “Đây, cho anh tất cả các định lí về không gian n chiều” – “Nhưng tôi chỉ có ba chiều thôi” – “Tốt, hãy đặt n = 3 !”. Hình như rất nhiều định lí phức tạp có dạng đơn giản hơn nhiều khi ứng dụng nó vào trường hợp riêng. Mà nhà vật lí thì chỉ quan tâm tới những trường hợp riêng mà thôi; họ không bao giờ quan tâm tới trường hợp tổng quát. Họ nói về một cái cụ thể. Đối với họ, không phải nói cài gì cũng vậy thôi. Họ muốn xét định luật hấp dẫn trong không gian ba chiều, họ không cần tới các lực suy rộng tùy ý trong không gian n chiều. Họ muốn những điều thu gọn lại, vì các nhà toán học chuẩn bị những kết luận của mình cho một phạm vi vấn đề rộng hơn. Nhưng phải thận trọng, vì cuối cùng nhà vật lí đáng thương lại cứ phải quay trở lại và yêu cầu: “Xin lỗi, nhưng lần trước anh muốn chỉ cho tôi cái gì đấy về không gian 4 chiều nhỉ”. Khi bạn đã rõ vấn đề đang đề cập tới là gì, khi đã biết những kí hiệu này chỉ lực, những cái kia chỉ khối lượng, quán tính…, bạn có thể trông cậy vào sự giúp đỡ của sự suy nghĩ chắc chắn, của trực giác. Bạn đã thấy các vật khác nhau và ít nhiều đã biết các hiện tượng khác nhau sẽ xảy ra như thế nào. Nhà toán học khổ hạnh sẽ chuyển tất cả những cái đó thành ngôn ngữ của các phương trình và, vì các kí hiệu đối với họ không chỉ một cái gì hết, họ chỉ có một kim chỉ nam – tính chất chặt chẽ toán học và thận trọng trong chứng minh. Nhà vật lí, ít nhiều đã biết câu trả lời sẽ phải thế nào, có thể tự cho phép mình dự đoán và sẽ đạt tới mục đích nhanh hơn. Trong vật lí, sự chặt chẽ toán học thái quá không phải có ích nhiều lắm đâu. Nhưng không nên gán cái tội ấy cho các nhà toán học. Không nên đòi hỏi họ phải luôn luôn hành động với con mắt hướng về vật lí và làm những điều có ích cho nó. Họ có việc của họ. Nếu bạn muốn một cái gì khác, hãy tự mình làm lấy. www.hsmath.net
12
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net Một câu hỏi tiếp: khi chúng ta cố gắng đi tìm những định luật mới, có cần phải dựa vào trực giác và các nguyên lí triết học không – “tôi không thích các tính chất định xứ” hay “tôi thích các tính chất định xứ”, “tôi không thích tác dụng theo khoảng cách” hay “tôi thích tác dụng theo khoảng cách” ? Các mẫu có lợi trong chừng mức nào ? Điều lí thú là các mẫu thường hay giúp ta trong công tác và rất nhiều giáo sư vật lí cố gắng dạy cách làm thế nào sử dụng các mẫu, để hình thành được trực giác vật lí đúng đắn. Nhưng điều luôn luôn xảy ra là, các phát minh vĩ đại nhất lại không cần tới mẫu. Maxwell phát minh ra điện động lực, bằng cách cho không gian chứa đầy những bánh xe răng cưa nhỏ tưởng tượng. Những bánh xe thì chúng ta vứt đi, và lí thuyết thì còn lại. Dirac phát minh ra các định luật đúng đắn của cơ lượng tử tương đối, chỉ bằng cách đoán nhận phương trình. Đoán nhận phương trình, hình như cũng là một phương pháp rất tốt để tìm ra những định luật mới. Điều đó cho thấy rằng toán học cho cách miêu tả sâu sắc thiên nhiên dựa vào những nguyên lí triết học và vào sự tương tự trực giác máy móc, sẽ không đưa tới những kết quả quan trọng nào. Một điều làm tôi luôn luôn băn khoăn là, theo các định luật vật lí như chúng ta biết hiện nay, thì sẽ cần một số vô hạn các động tác lôgic trong máy tính, để xác định những quá trình gì sẽ xảy ra trong một vùng nhỏ bao nhiêu cũng được của không gian, trong một khoảng thời gian ngắn bao nhiêu tùy ý. Làm thế nào tất cả những cái đó có thể chưa đựng được trong một không gian tí hon ? Vì sao phải cần đến một sự nỗ lực vô tận của lôgic mới có thể hiểu được gì sẽ xảy ra trong một khoảng nhỏ bé của không – thời gian ? Vì vậy tôi thường đưa ra dự đoán rằng, cuối cùng rồi vật lí sẽ không cần tới cách phát biểu toán học nữa. Cơ chế của nó sẽ mở ra trước mắt chúng ta, và các định luật sẽ trở nên đơn giản, như một bàn cờ với tất cả sự phức tạp bề ngoài của nó. Nhưng giả thuyết ấy cũng cùng một loại với xu hướng của nhiều người – “tôi thích cái này”, “tôi không thích cái kia” – mà ở đấy thì không thể dựa vào những cảm tính chủ quan. Để tổng kết, tôi muốn dùng những lời lẽ mà Jinxơ đã nói: “Tạo hóa, nhà kiến trúc vĩ đại, có lẽ là nhà toán học”. Những ai không biết toán, họ sẽ khó mà hình dung vẻ đẹp thực và sâu xa của Tự nhiên. Snow đã nói tới hai thứ văn hóa. Tôi nghĩ rằng, sự khác nhau giữa hai thứ văn hóa đó chỉ là sự khác biệt giữa những người hiểu toán và những người không hiểu toán tới mức cần thiết để có thể đánh giá đầy đủ Tự nhiên. Dĩ nhiên, rất đáng tiếc ở đây cũng cần tới toán học, vì vậy nó gây khó khăn cho nhiều người. Người ta nói tôi không biết có thật không – rằng một ông vua mà Euclid cố gắng dạy cho hình học, đã than phiền là khó quá. Euclid trả lời: “Không có con đường đế vương dẫn tới hình học đâu”. Sự thật, con đường như vậy không có. Không thể dịch vật lí ra một ngôn ngữ nào khác. Và nếu bạn muốn hiểu tự nhiên, thấy hết cái đẹp của nó, thì phải hiểu ngôn ngữ mà nó nói. Nó chỉ cho thông tin trong một thể dạng duy nhất, và chúng ta không có quyền đòi hỏi nó phải thay đổi ngôn ngữ, để chúng ta chú ý tới nó. Bạn không thể, bằng những lí lẽ của trí óc, truyền cho người điếc những cảm xúc về âm nhạc. Cũng giống như vậy, không có những lí lẽ về trí óc nào có thể cho truyền sự hiểu biết về tự nhiên cho ai thuộc về “nền văn hóa khác”. Các nhà triết học cố gắng kể về Tự nhiên mà không cần tới Toán học. Tôi lại cố gắng miêu tả tự nhiên bằng Toán học. Nhưng nếu người ta không hiểu được tôi, thì điều đó không phải là do tôi nói không thể nào hiểu nổi. Có lẽ, tôi thất bại là vì lẽ tầm mắt của những người ấy quá hẹp, và họ coi con người là trung tâm của Vũ trụ. (Hoàng Quý và Phạm Quý Tư dịch, trích “Tính chất các định luật vật lí”, 2000) 10/10/2006 www.hsmath.net 13
www.hsmath.net
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ • Richard Feynman Nếu suy nghĩ về những ứng dụng của toán học vào vật lí thì rất rõ ràng là toán học sẽ có ích mỗi khi ta xét tới một số rất lớn đối tượng đang ở trong một tình trạng phức tạp. Trong sinh vật học chẳng hạn, tác dụng của một siêu vi trùng lên một vi khuẩn sẽ không cung cấp một món ăn nào cho toán học cả. Trong kính hiển vi, ta nhìn thấy một siêu vi trùng nhỏ và nhanh ở một chỗ nào đó trên con vi khuẩn kì dị (tất cả chúng có hình thù khác nhau) và đang cắm hoặc không cắm DNA của nó vào con ấy. Nhưng nếu ta làm thí nghiệm với hàng triệu siêu vi trùng và vi khuẩn thì ta có thể biết nhiều về hoạt động trung bình của các siêu vi trùng.Ta có thể dùng toán học để tính ra số trung bình, để biết xem siêu vi trùng trong vi khuẩn có phát triển không, loại nào phát triển và với số lượng bao nhiêu; bằng cách như vậy, ta có thể nghiên cứu sự di truyền, sự chuyển hóa… Ta hãy lấy một thí dụ khác, tầm thường hơn. Bạn hãy hình dung lấy một bàn cờ to và người ta đang chơi cờ tướng hoặc cờ đam. Mỗi một nước đi riêng lẻ không phải là một phép toán, hoặc chỉ là một phép rất đơn giản về mặt toán học. Nhưng cũng sẽ dễ dàng nhận ra rằng, trên bàn cờ với nhiều con cờ, ta chỉ có thể đánh giá đúng những nước đi nào thuận lợi nhất, những nước đi nào tốt hay xấu, sau một quá trình suy nghĩ rất sâu sắc mà thôi, bởi vì một nước đi kéo theo nó cả một loạt hậu quả. Ở đây những suy luận trừu tượng là cần thiết và do đó cần đến toán học. Lại một thí dụ nữa: việc đóng và mở mạch trong các máy tính. Nếu chỉ có vẻn vẹn một ngắt điện thôi, nó có thể ở vị trí hoặc mở hoặc đóng, và bấy giờ chả cần gì đến toán học, mặc dù các nhà toán học lại cứ thích bắt đầu bằng những cái như vậy. Nhưng nếu muốn dự đoán được hoạt động của một hệ thống với nhiều mạch ghép và dây dẫn, thì cần thiết phải có toán. Tôi muốn nói ngay từ đầu rằng toán học giúp ích rất nhiều cho vật lí, một khi các quy tắc cơ bản của trò chơi đã được thiết lập xong mà ta muốn xét tới các chi tiết của những hiện tượng phức tạp. Nếu như tôi chỉ phải nói về mối tương quan giữa toán học và vật lí, thì phần lớn thì giờ sẽ dành cho vấn đề đó. Song vì mục đích của các bài giảng là trình bày về đặc tính của các định luật vật lí, cho nên tôi không có điều kiện phân tích tỉ mỉ những gì sẽ xảy ra trong những tình huống phức tạp mà xin đi thẳng vào đề tài của mình: đặc tính của các định luật cơ bản. Nếu trở lại trò chơi cờ của chúng ta, thì các định luật cơ bản ở đây chính là các quy tắc đi các con cờ. Trong tình huống phức tạp, có thể dùng toán học để thấy được những nước đi nào thuận lợi nhất. Nhưng nếu muốn biểu diễn nội dung đơn giản của các định luật cơ bản, thì lại cần rất ít tới toán học. Trong trò chơi cờ, điều đó có thể diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Còn trong vật lí, đối với các định luật cơ bản, cũng phải cần tới toán học. Tôi sẽ dẫn hai thí dụ: một thí dụ không nhất thiết phải dùng tới toán học và một thí dụ nhất thiết phải có toán. Thí dụ thứ nhất – một định luật vật lí – gọi là định luật Faraday, mà nội dung là: trong điện phân, lượng chất kết tủa tỉ lệ với cường độ dòng điện và với thời gian tác dụng của nó. Nói cách khác, lượng chất kết tủa tỉ lệ với điện lượng đi qua hệ. Cách phát biểu ấy có vẻ rất toán học, nhưng thực ra chỉ thu gọn lại điều này: các electron, đi qua dây dẫn, mỗi hạt chỉ mang một điện tích. Nói riêng, có thể giả thiết rằng mỗi electron làm cho một nguyên tử kết tủa. Bấy giờ số nguyên tử kết tủa sẽ bằng số electron đi qua, nghĩa là tỉ lệ với điện lượng đã đi qua dây dẫn. Như vậy, định luật ấy có vẻ rất toán học, nhưng trong cội rễ của nó lại rất đơn giản và thực ra không đòi hỏi các kiến thức toán. Muốn kết tủa một nguyên tử cần có một electron – dĩ nhiên đó www.hsmath.net
1
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net cũng là toán, nhưng không phải cái toán mà chúng ta muốn nói tới ở đây. Thí dụ thứ hai, đó là định luật hấp dẫn của Newton, mà chúng ta đã xét trong bài giảng trước (Xem: Thí dụ về định luật vật lí: định luật hấp dẫn). Tôi đã dẫn ra phương trình: mm ' F =G
r2
để làm bạn phải ngạc nhiên vì thấy các kí hiệu toán học có thể truyền đi một lượng thông tin nhanh tới mức nào. Tôi đã nói, lực tỉ lệ với tích khối lượng của hai vật và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, và cũng nói rằng vật phản ứng lại lực, bằng cách biến đổi vận tốc của nó theo chiều của lực đi một lượng tỉ lệ với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chính nó. Bạn thấy đấy, đó là tất cả lời lẽ đã dùng và hoàn toàn không cần thiết phải viết ra phương trình nữa. Mặc dù vậy, ở đây vẫn có toán học, và chúng ta có thể tự hỏi vì sao định luật như thế lại có thể là một định luật cơ bản. Hành tinh hành động ra sao? Phải chăng nó nhìn lên Mặt Trời, thấy Mặt Trời cách xa bao nhiêu, và tính, trên bàn tính của nó, nghịch đảo của bình phương khoảng cách, để biết mình phải chuyển động ra sao ? Rõ ràng, đó không phải là điều giải thích cơ chế của hấp dẫn ! Có lẽ, bạn cũng muốn nhìn sâu hơn, và nhiều người cũng đã thử làm như vậy. Người ta cũng đã hỏi Newton về lí thuyết của ông: “Nhưng chính nó không nói lên gì, nó chẳng giải thích điều gì cả ?”. Newton trả lời: “Nó nói rằng các vật sẽ chuyển động như thế nào, chứ không nói vì sao”. Nhưng con người thường rất khó thỏa mãn nếu không giải thích cho họ hiểu cơ chế, và tôi sẽ kể một trong những thuyết đưa ra cách giải thích hiện tượng hấp dẫn. Theo thuyết đó, hấp dẫn chính là kết quả của rất nhiều tác dụng riêng rẽ, và điều đó cắt nghĩa vì sao định luật Newton lại ràng buộc với toán học. Giả sử vũ trụ đâu đâu cũng đầy hạt, chúng bay qua chúng ta với một vận tốc rất lớn. Chúng bay theo mọi hướng, thường chỉ lướt qua bên cạnh, nhưng cũng có một số rơi vào người ta. Thân thể chúng ta và Mặt Trời thực tế là trong suốt đối với chúng, thực tế chứ không phải hoàn toàn, và một số hạt đập vào người ta. Ta hãy xem, điều đó sẽ phải dẫn tới gì. Trên hình 1, S là Mặt Trời, E là Quả Đất. Nếu như không có Mặt Trời, thì hạt sẽ bắn vào Quả Đất từ mọi phía và mỗi hạt đập vào sẽ đẩy Quả Đất một tí. Nhưng Quả Đất sẽ không đi theo một hướng nào cả, bởi vì bên này đập vào bao nhiêu hạt thì bên kia cũng đập vào bấy nhiêu, trên bao nhiêu thì dưới cũng bấy nhiêu. Song nếu Mặt Trời đứng vào chỗ của nó, thì trong một chừng mực nào đó nó hấp thụ hạt bay từ phía đó lại: một số hạt không xuyên qua được Mặt Trời và bị giữ lại. Như thế số lượng hạt bay từ phía Mặt Trời lại Quả Đất sẽ ít hơn là những phía khác, bởi vì chúng vướng phải chướng ngại vật là Mặt Trời. Cũng rất dễ hiểu rằng, Mặt Trời càng xa, thì số hạt, lẽ ra rơi vào Quả Đất nhưng bị nó giữ lại, sẽ càng ít đi. Mặt Trời hình như sẽ bê đi và bê đúng theo tỉ lệ với bình phương khoảng cách. Vì vậy Quả Đất sẽ phải chịu tác dụng của một xung lượng, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, về hướng Mặt 2 www.hsmath.net
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
Trời. Xung lượng đó là kết quả của một số lượng rất lớn động tác đơn giản là các va chạm bắn vào Quả Đất từ mọi phía. Thành thử về phương diện toán học, không có gì lạ lùng cả, bời vì động tác cơ bản thì đơn giản hơn rất nhiều phép tính số nghịch đảo của bình phương khoảng cách. Chính các hạt đập vào Quả Đất sẽ tiến hành phép tính. Thiếu sót duy nhất của sơ đồ đó là ở chỗ nó hoàn toàn không phù hợp với những xét đoán khác. Mỗi một thuyết sáng tạo ra cần được phân tích kĩ, và phải xét tới mọi hậu quả có thể có của nó, làm sáng tỏ xem nó có dự đoán được hiện tượng nào khác. Mà thuyết của chúng ta cũng dự đoán hiện tượng mới. Nếu Quả Đất chuyển động thì số hạt đập vào mặt trước của nó sẽ nhiều hơn mặt sau (Khi ta chạy trong mưa, thì các giọt mưa rơi lên mặt nhiều hơn sau lưng, chính là vì ta chạy). Khi Quả Đất chuyển động, nó chạy gần lại những hạt trước mặt nó, mà lại chạy ra xa những hạt đuổi nó sau lưng. Phía trước sẽ có nhiều hạt đập vào hơn phía sau, và tạo nên lực cản lại chuyển động. Lực ấy sẽ hãm dần chuyển động của Quả Đất và Quả Đất sẽ không thể lâu dài đi trên quỹ đạo được. Song thực ra nó lại giữ được quỹ đạo của nó đã ba hay bốn tỉ năm nay. Và như vậy lí thuyết bước tới chỗ bế tắc của nó. Bạn bảo: “Thế nào, thuyết ấy cũng không phải tồi đấy chức, và mặc dù chỉ trong thời gian ngắn thôi, nhưng nó cũng đã cho phép tôi không phải nghĩ tới toán học. Có thể tôi cũng sẽ nghĩ ra được một thuyết hay hơn”. Có thể bạn sẽ thành công, chân lí cuối cùng tới nay chưa ai biết được. Nhưng từ thời Newton cho tới nay chưa có ai miêu tả đươc cơ chế giấu kín phía sau định luật hấp dẫn mà không lặp lại điều Newton đã nói, mà không đưa thêm toán học vào hoặc không dự đoán những hiện tượng không hề tồn tại trong thực tế. Vì vậy, cho tới bây giờ chúng ta không có một mẫu về thuyết hấp dẫn nào khác ngoài mẫu toán học. Nhưng nếu chỉ có mỗi một định luật có đặc tính như vậy thôi thì bây giờ sẽ rất lí thú, mặc dù đó là một ngoại lệ đáng tiếc. Song hình như chúng ta càng nghiên cứu nhiều thì càng phát minh ra lắm định luật, càng đi sâu vào tự nhiên thì cơn bệnh lại càng trở nên mãn tính. Một một định luật mới lại là một khẳng định thuần toán học, khá rắc rối và khó hiểu. Cách phát biểu định luật hấp dẫn của Newton bằng toán học tương đối đơn giản. Nhưng mỗi ngày nó càng trở nên khó hiểu hơn, phức tạp hơn khi ta cùng bước tới phía trước. Vì sao vậy ? Tôi không có một ý kiến nào cả. Mục đích của tôi chỉ là thông báo về sự kiện ấy mà thôi. Ý nghĩa của toàn bộ bài giảng chứa đựng tất cả trong đó: không thể nào giải thích một cách trung thực tất cả vẻ đẹp của các định luật tự nhiên cho mọi người đều hiểu được, chỉ bằng các giác quan thôi, mà không cần có những hiểu biết sâu sắc về toán học. Thật đáng tiếc, song hình như thực tế là như vậy. Có thể bạn sẽ phản đối: “Được rồi, nếu các định luật không thể giải thích thì ít ra anh cũng phải bảo nội dung của chúng thế nào. Tại sao anh lại không nói điều đó bằng những lời lẽ, thay cho các kí hiệu ? Toán học chẳng qua cũng là một ngôn ngữ, mà đã là ngôn ngữ thì có thể dịch từ cái này qua cái khác”. Vâng, có thể - nếu có đủ kiên nhẫn, và hình như tôi cũng đã làm một phần rồi đấy. Tôi có thể đi xa hơn một chút và giải thích ý nghĩa của phương trình một cách tỉ mỉ hơn, chẳng hạn như bảo rằng khi tăng khoảng cách lên hai lần thì lực giảm đi bốn lần…Tôi có thể dịch mọi kí hiệu ra lời lẽ. Nói cách khác, tôi có thể đi tới gặp những người yêu thích vật lí, họ đang ngồi yên tại chỗ và hi vọng, mong mỏi ở tôi một lời giải thích đơn giản. Còn làm thế nào giải thích những điều phức tạp và rắc rối bằng ngôn ngữ dễ hiểu cho một anh không chuyên môn lật hết sách này đến sách khác với hi vọng tránh được các khó khăn mà sớm hay muộn cũng xuất hiện trong những tác phẩm của những nhà viết sách phổ biến cừ khôi nhất. Nhưng càng đọc, càng thấy nhiều rắc rối, một khẳng định này lại tiếp theo một www.hsmath.net
3
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
khẳng định khác và hình như tất cả chúng chả thấy có liên hệ gì với nhau cả. Ý nghĩa cứ chạy trốn đi đâu mất, nhưng anh ta cũng cứ hi vọng tìm thấy lời giải thích đâu đấy trong một cuốn sách khác… Tác giả này giải thích gần đạt, nhưng biết đâu tác giả khác lại đạt hơn. Tôi nghi ngờ điều đó lắm, bởi vì toán học không đơn giản là một ngôn ngữ khác. Toán học, đó là ngôn ngữ cộng với sự suy luận, nó như là ngôn ngữ và lôgic hợp lại. Toán học, đó là vũ khí để tư duy. Nó đã tập trung được kết quả suy nghĩ chính xác của nhiều người. Nhờ toán học, có thể liên hệ khẳng định này với khẳng định khác. Chẳng hạn, tôi có thể nói lực hướng về Mặt Trời. Nhưng tôi cũng có thể nói cách khác: hành tinh chuyển động thế nào để nếu vẽ từ Mặt Trời tới nó một đường, xong vẽ một đường khác cách đường nọ một khoảng thời gian nhất định, ba tuần lễ chẳng hạn, thì diện tích mà đường đó đã vạch sau ba tuần lễ đó sẽ bằng diện tích mà nó sẽ vạch trong ba tuần lễ sau, và cứ thế trên toàn bộ quỹ đạo. Tôi có thể giải thích cả hai điều khẳng định ấy một cách tỉ mỉ, nhưng không thể giải thích vì sao chúng lại nói lên một điều khẳng định duy nhất mà thôi. Các định luật và quy tắc lạ lùng của thiên nhiên, mỗi cái có thể giải thích rất tỉ mỉ, thật ra liên hệ với nhau rất chặt chẽ. Nhưng nếu bạn không ưa dùng tới toán học, thì trong tập hợp rất nhiều sự kiện ấy, bạn sẽ không thấy rằng phép logic giúp ta chuyển từ cái này qua cái kia. Tôi có thể chứng minh một điều rất đáng ngạc nhiên là nếu lực hướng về Mặt Trời thì đường nối Mặt Trời và hành tinh sẽ quét những diện tích bằng nhau sau những khoảng thời gian bằng nhau. Tôi sẽ cố gắng chứng minh hai định luật đó tương đương nhau, và bấy giờ sẽ sáng tỏ không chỉ riêng các cách phát biểu của chúng. Bạn sẽ nhận ra hai định luật ấy liên hệ với nhau, và bằng suy luận ta có thể chuyển từ cái này sang cái kia, và toán học chính là sự suy xét có tổ chức. Bấy giờ bạn có thể đánh giá hết cái đẹp của mối tương quan giữa hai định luật đó. Vậy ta hãy chứng minh nếu lực về Mặt Trời thì sau những khoảng thời gian bằng nhau đường nối Mặt Trời và hành tinh quét những diện tích như nhau. Ta hãy lấy Mặt Trời và hành tinh (hình 2) và hình dung rằng ở một thời điểm xác định nào đó hành tinh ở vị trí 1. Nó chuyển động thế nào để sau thời gian 1 giây, chẳng hạn, thì đến vị trí 2. Nếu Mặt Trời không tác dụng lên hành tinh thì, theo nguyên lí quán tính của Galile, nó sẽ tiếp tục đi theo quãng đường thẳng; và hết giây thứ hai nó sẽ đi được một quãng đường như cũ và đạt đến điểm 3. Trước hết, ta hãy chứng minh rằng sau những khoảng thời gian như nhau, diện tích quét được như nhau, nếu như không có lực. Xin nhắc lại rằng diện tích một tam giác bằng nửa cạnh đáy nhân với chiều cao, và chiều cao là khoảng cách theo đường thẳng đứng từ đỉnh tới đáy. Đối với tam giác tù (hình 3) thì chiều cao là AD và đáy là BC. Giờ hãy so sánh các diện tích mà đường nối Mặt Trời và hành tinh quét được trong chuyển động của hành tinh, nếu Mặt Trời không tác dụng lên nó (hình 2).
www.hsmath.net
4
www.hsmath.net QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ Hãy nhớ rằng hai khoảng cách 1 – 2 và 2 – 3 bằng nhau. Vấn đề là hai diện tích đó có bằng nhau không. Hãy xét tam giác tạo thành bởi Mặt Trời và hai điểm 1 và 2. Diện tích của nó bằng bao nhiêu ? Diện tích của tam giác đó bằng đáy 1 – 2 nhân với nửa đường vuông góc hạ từ điểm S xuống cạnh đáy. Bây giờ xét tam giác kia, có các đỉnh là 2, 3 và S. Diện tích của nó bằng đáy 2 – 3 nhân với nửa đường vuông góc hạ từ đỉnh S. Hai tam giác ấy có cùng một chiều cao và các đáy bằng nhau; vì vậy diện tích của chúng bằng nhau. Tới đây thì mọi việc đều trôi chảy cả. Nếu không có lực nào tác dụng từ phía Mặt Trời lại thì sau những khoảng thời gian bằng nhau, các diện tích quét được sẽ bằng nhau. Nhưng Mặt Trời tác dụng lên hành tinh. Trên đoạn đường 1 – 2 – 3 Mặt Trời hút hành tinh, và phương của lực hút thay đổi dần. Để có được kết quả gần đúng tốt, ta hãy lấy vị trí trung bình 2 và xem như toàn bộ hiệu ứng hút trên đoạn đường 1 – 3 làm lệch hành tinh đi một đoạn theo phương 2 – 4 (hình 4).
Điều đó có nghĩa là vật sẽ chuyển động theo đường 1 – 2 và tiếp tục dịch chuyển trên đường đó nếu như không có lực tác dụng, nhưng lực hút của Mặt Trời kéo vật lại dọc theo đường 2 - 4. Vì vậy chuyển động của vật ở đoạn sau gồm có hai phần: một phần do hành trình cứ muốn tiếp tục chuyển động như cũ, một phần do tác dụng của Mặt Trời muốn làm biến đổi chuyển động đó. Cho nên hành tinh không chuyển động tới vị trí 3 mà tới vị trí 4. Giờ ta hãy so sánh diện tích các tam giác 23S và 24S và chứng minh chúng bằng nhau.. Chúng có đáy chung S – 2. Chiều cao của chúng có như nhau không ? Có bởi vì các tam giác nằm giữa hai đường song song. Khoảng cách từ điểm 4 đến đường S – 2 bằng khoảng cách từ điểm 3 đến đường S – 2 (kéo dài). Thế nghĩa là diện tích hai tam giác 23S và 24S như nhau. Trước tôi đã chứng minh rằng S12 và S23 bằng nhau về diện tích. Từ đó rõ ràng là diện tích S12 bằng diện tích S24. Như vậy, trong chuyển động của hành tinh trên quỹ đạo, diện tích đường nối Mặt Trời và hành tinh quét được sau giây thứ nhất và sau giây thứ hai bằng nhau. Thế là, bằng suy luận ta đã tìm thấy mối liên hệ giữa hai sự kiện: lực hướng về Mặt Trời và diện tích bằng nhau. Có đúng là tài tình không ? Tôi đã mượn cách chứng minh của chính Newton. Tất cả những điều trên đều có trong cuốn “Nguyên lí” của ông – cả hình vẽ lẫn cách chứng minh. Chỉ có các chữ số là khác thôi, vì Newton dùng chữ số La Mã, còn tôi thì dùng chữ số A Rập. Tất cả những chứng minh trong sách của Newton đều là hình học. Ngày nay chúng ta xây dựng những cách chứng minh theo một kiểu khác. Chúng ta chứng minh bằng giải tích, dùng các kí hiệu. Muốn dựng nên các tam giác cần thiết và rút ra sự bằng nhau của các diện tích, thì cần phải có sáng tạo. Ngày nay chúng ta có những phương pháp hoàn chỉnh của giải tích, nhanh và có hiệu lực hơn. Tôi muốn giới thiệu thêm rằng trong toán học hiện đại hơn, muốn chứng minh điều đó chỉ cần viết vài kí hiệu là đủ. www.hsmath.net 5
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net .
Ta sẽ nói tới tốc độ biến thiên diện tích và kí hiệu đại lượng ấy bằng A . Khi vectơ tia quay, diện tích thay đổi và tốc độ biến thiên của nó bằng thành phần vuông góc với vectơ tia của vận tốc nhân với vectơ tia. Nói cách khác, đó là độ dài của vectơ tia, nhân với vận tốc, nghĩa là nhân với tốc độ thiên của khoảng cách. . biến . A = r×r
Hãy tự hỏi: tốc độ biến thiên diện tích có thay đổi không ? Định luật Kepler bảo rằng tốc độ biến thiên diện tích không thay đổi. Vậy thì, ta hãy lấy đạo hàm của đẳng thức đã viết, và tất cả trò ảo thuật ở đây là làm sao đặt các dấu chấm cho đúng chỗ, ngoài ra không có gì khác. Trò ảo thuật ấy thì phải học mới biết: đó chẳng qua là một bộ quy tắc mà người ta đã sáng tác ra để làm cho phép chứng minh trở nên dễ dàng. Ta .. . . .. viết: A = r× r + r × r = r × F / m
Số hạng thứ nhất là thành phần của vận tốc vuông góc với chính nó. Nó bằng .. không vì vận tốc hướng dọc theo chính nó. Gia tốc r là đạo hàm bậc hai của r , nghĩa là đạo hàm của vận tốc. Nó bằng lực chia cho khối lượng. Điều đó có nghĩa rằng tốc độ biến thiên của tốc độ biến thiên diện tích là thành phần của lực, vuông góc với vectơ tia. Nhưng nếu lực hướng theo vectơ tia, r×F /m = 0
như Newton đã khẳng định, thì nó sẽ không tác dụng theo phương vuông góc với vectơ tia, thế nghĩa là tốc độ biến thiên diện tích.. không thay đổi: A=0
Chúng ta thấy giải tích đã giúp ta bao nhiêu nhờ những kí hiệu của nó. Newton ít nhiều đã biết làm như vậy, chỉ có các kí hiệu có khác đi chút ít. Nhưng ông lại thích các cách chứng minh hình học hơn, vì muốn cố gắng làm cho người ta có thể đọc được những bài báo của mình. Chính ông đã bày ra phép tính các lượng vô cùng bé mà tôi đã dùng trong cách chứng minh thứ hai. Đấy là một điều minh họa rất đạt về mối tương quan giữa toán học và vật lí. Khi trong vật lí có bài toán thấy khó, chúng ta có thể quay sang các nhà toán học, và bỗng thấy họ đã từng gặp những vấn đề tương tự và có sẵn các phương pháp chứng minh ! Nhưng cũng có thể là họ chưa hề làm một vấn đề như thế bao giờ.Lúc đó, chúng ta phải tự mình nghĩ ra cách chứng minh và sau đó chuyển cho các nhà toán học. Ai đã suy luận về một cái gì đó một cách chính xác, họ sẽ cho thấy con người tư duy như thế nào, và nếu biểu diễn lập luận của họ dưới dạng tổng quát và trao lại cho các nhà toán học, thì các nhà toán học sẽ đưa nó vào sách của mình thành một ngành của toán. Toán học là con đường dẫn dắt chúng ta từ một tập hợp khẳng định này sang một tập hợp khẳng định khác. Và rõ ràng nó giúp ích cho vật lí, bởi vì chúng ta có thể có những cách nói khác nhau về các vật thể, mà toán học thì lại giúp ta rút ra các hệ quả, phân tích các tình huống và biến đổi dạng các định luật, để liên hệ được các khẳng định khác nhau với nhau. Nói chung, nhà vật lí biết rất ít. Họ chỉ phải nhớ các quy tắc để chuyển từ một khẳng định này sang một khẳng định khác, bởi vì tất cả những điều khẳng địn khác nhau ấy về sự bằng nhau của các khoảng thời gian, về lực hướng theo bán kính… đều liên hệ chặt chẽ với nhau bằng logic. Nảy ra một câu hỏi lí thú, liệu có một xuất phát điểm nào đó chung cho tất cả các kết luận của chúng ta không ? Trong tự nhiên, liệu có một sự sắp xếp, một trật tự nào đó, nó cho phép chúng ta nói rằng chỉ có một tập hợp khẳng định là cơ bản nhất mà www.hsmath.net 6
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net thôi, và tập hợp nào khác chẳng qua chỉ là hệ quả của nó không ? Có hai quan điểm về toán học. Để cho tiện lợi, một cái tôi gọi là truyền thống Babilon và cái kia là truyền thống Hy Lạp. Trong các trường học toán Babilon, người học trò giải một số lượng rất lớn thí dụ khi chưa nắm được quy tắc tổng quát. Nó biết tỉ mỉ về hình học, biết được tất cả tính chất của đường tròn, định lí Pitago, công thức tìm diện tích của hình vuông và tam giác, ngoài ra đã có sẵn một số phương pháp để suy cái này ra cái kia.Cũng có sẵn những bảng số, có thể sử dụng để giải những phương trình phức tạp. Tất cả đều đã sẵn sàng để có thể làm các phép tính được. Nhưng Euclid đã phát hiện ra rằng, tất cả những định lí của hình học có thể suy ra từ vài tiên đề đơn giản. Quan điểm Babilon – tôi tạm gọi nó là toán học Babilon – là: anh biết những định lí rất khác nhau, nhiều mối liên hệ giữa chúng, nhưng không hiểu được đến cùng rằng, tất cả chúng có thể suy ra từ bộ tiên đề. Chính toán học hiện đại dựa vào tiên đề và phép chứng minh, xuất phát từ những thỏa ước rất rõ ràng là cái gì có thể và cái gì không thể xem là tiên đề được. Hình học hiện đại chọn các tiên đề, giống như các tiên đề Euclid nhưng hoàn chỉnh hơn, và từ đó rút ra tất cả những gì còn lại. Thí dụ, những định lí như định lí Pitago (tổng bình phương hai cạnh đứng của tam giác vuông bằng bình phương cạnh huyền) sẽ không phải là những tiên đề. Nhưng có thể có cách xây dựng khác, chẳng hạn như trong hình học Descartes thì định lí Pitago lại là tiên đề. Vậy thì trước hết chúng ta cần phải thỏa thuận với nhau rằng cả trong toán học, cũng có thể có nhiều điểm xuất phát khác nhau. Vì tất cả các định lí đều liên hệ với nhau bằng logic, nên không thể xem những khẳng định nào đó là các tiên đề cơ bản: nếu người ta đưa ra những tiên đề khác, để thay thế cho chúng, ta sẽ có thể từ đó xây dựng lại toàn bộ hình học. Nó giống như một cái cầu có nhiều nhịp như nhau. Nếu nó đổ đi, ta có thể dựng lại, bằng cách ghép các nhịp theo một trật tự khác. Truyền thống toán học hiện nay là: lấy những ý xác định được quy ước coi là những tiên đề và xuất phát từ chúng dựng nên cả một lâu đài. Nếu theo truyền thống Babilon ta sẽ bảo: “Tôi biết cái này, tôi biết cái kia và giả sử tôi biết cái này nữa; từ dó, tôi sẽ rút ra tất cả những cái còn lại. Có thể ngày mai tôi sẽ quên cái gì đấy, nhưng tôi vẫn nhớ cái gì đấy và dựa vào cái còn lại đó, tôi có thể dựng lại tất cả. Tôi không biết thật rõ, tôi phải bắt đầu bằng cái gì và kết thúc bằng cái gì. Nhưng trong đầu óc của tôi có đầy đủ các hiểu biết, để nếu quên đi một bộ phận thì chả quan trọng gì tôi có thể dựng lại nó”. Mỗi lần chứng minh một định lí mà lại cứ bắt đầu từ các tiên đề thì không thuận tiện chút nào. Bạn sẽ không tiến bộ nhiều về hình học nếu mỗi lần chứng minh điều gì lại đi từ các tiên đề. Dĩ nhiên, nếu bạn nắm được những kiến thức xác định về hình học, thì luôn luôn bạn có thể từ đó rút ra một cái gì nữa, nhưng xử lí một cách khác sẽ thuận lợi hơn nhiều. Con đường xuất phát từ việc lựa chọn những tiên đề tốt nhất, không phải bao giờ cũng là con đường ngắn hơn cả để đi tới đích. Trong vật lí, chúng ta cần tới phương pháp Babilon chứ không phải phương pháp Hy Lạp. Tôi sẽ cố gắng giải thích vì sao ? Theo quan điểm Euclid, vấn đề là: làm sao chọn được các tiên đề càng hay và càng quan trọng thì càng tốt. Như trong hiện tượng hấp dẫn chẳng hạn, ta có thể tự hỏi: tiên đề nào tốt hơn ? – tiên đề lực hướng vào tâm hay tiên đề: sau các khoảng thời gian bằng nhau, các diện tích quét được bằng nhau ? Nếu tôi xuất phát từ lực thì tôi có thể xét một hệ, gồm nhiều vật mà quỹ đạo không phải là elip nữa bởi vì cách www.hsmath.net
7
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net làm đó cho tôi biết sự hút lẫn nhau giữa các vật. Trong trường hợp này, định lí về sự bằng nhau của diện tích không đúng. Vì vậy, đối với tôi hình như tiên đề phải là định luật về lực. Mặt khác, nguyên lí diện tích bằng nhau có thể phát biểu dưới dạng một định lí tổng quát hơn cho nhiều vật. Định lí ấy khá phức tạp và không đẹp đẽ như sự khẳng định đầu tiên – về diện tích bằng nhau – đã đẻ ra nó. Ta hãy lấy một hệ nhiều vật tương tác lẫn nhau, như sao Mộc, sao Thổ, Mặt Trời và nhiều ngôi sao khác, nói chúng từ xa và chiếu tất cả lên mặt phẳng (hình 5). Các vật chuyển động theo những hướng khác nhau. Ta chọn một điểm tùy ý làm tâm và tính diện tích quét được bởi vectơ tia vẽ từ tâm tới mỗi vật. Chúng ta tính thêm khối lượng: nếu khối lượng vật này gấp đôi một vật khác thì diện tích nó quét được sẽ nhân đôi. Tính tất cả các diện tích do vectơ tia quét được, sau đó cộng lại theo đúng tỉ lệ với các khối lượng tương ứng. Tổng diện tích ấy sẽ không thay đổi theo thời gian. Gọi nó là mômen xung lượng của hệ, và định luật ấy là định luật bảo toàn mômen xung lượng. “Bảo toàn” nghĩa là đại lượng ấy không thay đổi. Đó là một trong những hệ quả của định luật nói trên. Hãy hình dung một tập hợp nhiều sao, chúng đi lại gần nhau để tạo thành tinh vân hay thiên hà. Đầu tiên, chúng ở rải rác và rất xa tâm. Các sao chuyển động chậm quanh tâm, và các vectơ tia quét những diện tích xác định. Càng tiến lại gần, khoảng cách tới tâm ngắn lại, các vectơ tia ngắn lại, và muốn quét được diện tích như cũ thì các sao buộc phải chuyển động nhanh hơn trước nhiều. Vì thế, càng gần lại nhau, các sao càng quay nhanh. Điều đó giải thích hình dạng của các tinh vân xoắn (gần đúng). Điều xảy ra đối với người nghệ sĩ trượt băng cũng giống như vậy. Họ dạng chân ra và bắt đầu quay chậm và khi kéo chân vào thì quay tít mù. Khi chân dạng ra, nó quét một diện tích xác định nào đó trong một giây. Khi co chân lại, người trượt băng phải quay nhanh hơn nhiều để có thể quét diện tích như cũ. Thực ra, tôi chứng minh điều đó không phải cho người trượt băng – họ dùng lực của bắp thịt chứ không phải lực hấp dẫn. Song định luật cũng đúng đối với họ. Đây chúng ta có một vấn đề lí thú. Thường thì từ một định luật đặc biệt của vật lí, như định luật hấp dẫn, ta có thể rút ra một nguyên lí tổng quát hơn hệ quả của nó nhiều. Trong toán học điều đó không hề xảy ra; các định luật không xuất hiện ở nơi mà người ta không chờ đợi nó. Ta hãy làm sáng tỏ bằng một thí dụ. Nếu ta lấy định luật diện tích bằng nhau của lực hấp dẫn làm định đề của vật lí, thì ta có thể rút ra định luật bảo toàn mômen xung lượng, nhưng chỉ đối với trường hợp lực hấp dẫn mà thôi. Nhưng về mặt thực nghiệm ta thấy rằng định luật bảo toàn mômen còn mở rộng ra cho nhiều hiện tượng khác nữa. Newton đã chọn những định đề khác và cũng đã rút ra được định luật bảo toàn mômen xung lượng, tổng quát hơn. Nhưng những định đề của Newton không đúng. Không có những lực nào cả - tất cả đều là vớ vẩn, các hạt không có quỹ đạo,… Nhưng mặc dù thế, nguyên lí diện tích bằng nhau, thay đổi dạng đi, và định luật bảo toàn mômen, cả hai đều vẫn đúng. Chúng mở rộng ứng dụng cho chuyển động của các nguyên tử trong cơ lượng tử và với mức độ hiểu biết của chúng ta ngày nay, chúng hoàn toàn chính xác. Chúng ta biết những nguyên lí tổng quát đó, chúng chứa đựng rất nhiều những định luật rất khác nhau. Nhưng nếu chúng ta theo các chứng minh toán học một cách thật nghiêm khắc và cho rằng, cái này đúng chỉ vì cái kia đúng, thì chúng ta sẽ không thể hiểu nổi mối liên hệ giữa các ngành khác nhau của vật lí. Đến ngày nay mà vật lí trở thành hoàn chỉnh và chúng ta biết được hết tất cả các hoạt động của nó, thì có lẽ chúng ta có thể đi từ các tiên đề, bấy giờ chắc chắn sẽ có người nghĩ ra cách chọn các tiên đề để từ đó rút ra mọi cái khác còn lại. Nhưng đến nay, chúng ta chưa biết hết các định luật, dựa vào một số định luật chúng ta có thể dự www.hsmath.net 8
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net đoán các định lí mà cách chứng minh chưa có. Muốn hiểu được vật lí, cần có một sự cân bằng chặt chẽ trong suy nghĩ. Chúng ta phải giữ thường trực trong đầu óc những khẳng định hình thái rất khác nhau, và nhớ lấy mối liên hệ của chúng, bởi vì các định luật thường có phạm vi rộng hơn các điều chứng minh cho chúng. Nhu cầu ấy chỉ mất đi khi đã biết tất cả các định luật. Trong những mối quan hệ giữa vật lí và toán, còn có một nét đáng chú ý nữa: toán học giúp cho ta chứng minh, rằng trong vật lí, đi từ những điểm khác nhau có thể dẫn tới những kết luận như nhau. Điều đó cũng dễ thấy: nếu ta có các tiên đề, thì ta có thể dùng một số định lí nào đó thay thế cho chúng, còn các định luật vật lí thí cấu trúc rất tinh vi: các cách phát biểu khác nhau, mặc dù là tương đương, của chúng lại là khác nhau về bản chất. Vì vậy mà chúng rất kì dị. Để dẫn làm thí dụ, tôi sẽ phát biểu định luật hấp dẫn bằng ba cách khác nhau, chúng hoàn toàn tương đương, nhưng lại rất khác nhau. Cách phát biểu thứ nhất là lực tương tác giữa các vật được biểu diễn bằng phương trình mà tôi đã dẫn trong bài trước: F =G
mm ' r2
Mỗi một vật, khi nhận biết có lực tác dụng lên nó, sẽ tăng tốc, nghĩa là vận tốc chuyển động của nó sẽ biến đổi đi một lượng xác định sau mỗi giây. Đó là cách phát biểu thông thường của định luật mà tôi gọi là cách phát biểu của Newton. Cách phát biểu đó nói lên rằng, lực phụ thuộc một cái gì đó ở một khoảng cách hữu hạn. Nó mang tính chất người ta thường gọi là không định xứ. Lực tác dụng lên một vật phụ thuộc vào vật khác ở xa nó bao nhiêu. Có lẽ bạn không thích ý nghĩ về tác dụng theo khoảng cách. Vậy là thế nào biết được gì xảy ra ở ngoài xa ? Nhưng có cách khác phát biểu định luật – nó rất lạ lùng. Nó dựa trên khái niệm trường. Giải thích nó rất khó, nhưng tôi sẽ cố gắng, dù chỉ đưa ra một hình ảnh gần đúng mà thôi. Nó hoàn toàn khác. Tại mỗi điểm trong không gian có một số (đúng là một số, chứ không phải là cơ chế: điều tai họa cho vật lí là nó cũng phải là toán), và khi đi từ vị trí này tới vị trí khác thì số đó thay đổi. Nếu đặt một vật vào một điểm nào đó của không gian, thì sẽ có một lực tác dụng lên nó theo hướng mà số đó biến thiên nhanh nhất (tôi cho nó cái tên thông thường: lực thế tác dụng theo hướng biến thiên nhanh nhất của thế). Hơn nữa, lực tỉ lệ với tốc độ biến thiên của thế khi chuyển dời từ điểm này tới điểm khác. Đó chỉ là một phần của cách phát biểu, nó chưa đủ, vì tôi chưa trình bày thế biến đổi như thế nào. Lẽ ra tôi phải nói từ trước rằng thế biến thiên tỉ lệ nghịch với khoảng cách tới mỗi vật, nhưng lúc đó ta lại trở lại khái niệm tác dụng theo khoảng cách mất rồi. Có thể phát biểu định luật một cách khác và chỉ rõ: chúng ta không cần biết gì đã xảy ra ở ngoài phạm vi của một quả cầu nhỏ. Nếu anh muốn biết thế tại tâm bằng bao nhiêu thì hãy chỉ cho tôi độ lớn của nó trên bề mặt của một quả cầu kích thước bé đến mức nào tùy ý. Anh không cần nhìn ra xung quanh quả cầu, hãy nói thế ở lân cận điểm anh đang xét là bao nhiêu và khối lượng quả cầu là bao nhiêu. Quy tắc là thế này. Thế tại tâm bằng thế trung bình trên mặt cầu, trừ đi hằng số G, đã thấy trong phương trình trên, chia cho hai lần bán kính quả cầu (mà ta gọi là a) và nhân với khối lượng của nó, nếu quả cầu đủ bé: Thế ở tâm = Thế trung bình trên mặt cầu – G/(2a) x khối lượng quả cầu. Như thấy rõ, định luật này khác với định luật trước, bởi vì nó chỉ cho thấy gì sẽ xảy ra tại một điểm nào đó, nếu biết gì đã xảy ra ở vùng lân cận. Còn cách phát biểu của Newton lại cho biết gì sẽ xảy ra tại một thời điểm, nếu ta biết gì đã xảy ra ở thời điểm trước. Trong thời gian, nó dẫn ta dần dần từ thời điểm này sang thời điểm khác, www.hsmath.net
9
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ
www.hsmath.net
nhưng trong không gian thì buộc ta nhày từ chỗ này đến chỗ kia. Cách phát biểu thứ hai định xứ cả trong thời gian và cả trong không gian vì nó nói tới những điểm lân cận. Nhưng về ý nghĩa toán học, hai cách phát biểu tương đương. Lại có cách phát biểu thứ ba, nó dựa trên những khái niệm khác hẳn về bản chất. Nếu bạn không thích tác dụng theo khoảng cách, thì tôi sẽ chỉ cho một cách làm mà không cần tới nó. Bây giờ tôi sẽ trình bày một cách phát biểu mà, về mặt triết học, nó mâu thuẫn với những cách trên. Ở đây, chúng ta không cần phải chuyền từ thời điểm này qua thời điểm kia, từ điểm này sang điểm khác, chúng ta sẽ miêu tả tất cả, toàn bộ một lúc. Giả sử ta có vài hạt và muốn biết một hạt nào đó chuyển động từ một vị trí này đến một vị trí khác ra sao. Ta hãy hình dung mọi con đường đi có thể từ điểm này tới điểm kia sau một khoảng thời gian cho sẵn (hình 6). Chẳng hạn, hạt muốn chuyển từ điểm X tới điểm Y sau một giờ, và ta muốn biết nó có thể đi theo con đường nào. Ta hãy hình dung mọi con đường có thể và, đối với mỗi đường, tính một đại lượng xác định. (Tôi không muốn nói đại lượng đó là gì, nhưng đối với những ai đã nghe, tôi xin nhắc lại rằng, đối với mỗi đường đi nó bằng trị trung bình của hiệu giữa động năng và thế năng). Nếu ta tính đại lượng đó cho một đường, rồi cho một đường khác, thì đối với những đường khác nhau ta sẽ thu được những số khác nhau. Nhưng một trong những đường đó sẽ cho số bé nhất có thể được – chính con đường ấy là con đường đi của hạt trong thực tế ! Bây giờ, chúng ta không miêu tả chuyển động thực, mà chỉ nói tới một cái gì đó về đường cong, rất tổng quát. Chúng ta cũng chả cần nghĩ tới nguyên nhân, chả cần phải nghĩ rằng hạt cảm thấy lực hút và chuyển động cho phù hợp với nó. Thay cho điều đó, chúng ta bảo rằng, hạt sẽ đánh hơi cùng một lúc mọi đường cong, mọi đường đi có thể và quyết định chọn con đường nào (Nó sẽ chọn con đường mà đại lượng của ta là cực tiểu). Đấy, có bao nhiêu cách đẹp đẽ để mô tả Tự nhiên. Nếu người ta bảo rằng, trong Tự nhiên phải ngự trị tính nhân quả thì ta có thể chọn cách phát biểu của Newton; nếu người ta nhấn mạnh rằng Tự nhiên phải có tính định xứ - thì đây xin mời bạn chọn cách phát biểu thứ hai; và nếu bạn tin rằng Tự nhiên phải được miêu tả bằng nguyên lí tối thiều thì xin bạn hãy chọn cách phát biểu thứ ba. Cái nào đúng ? Nếu về mặt toán học, chúng không cùng một giá trị như nhau, nếu chúng có những hệ quả khác nhau, thì chúng ta chỉ còn biết làm sáng tỏ bằng thực nghiệm, xem Tự nhiên đã hành động thực như thế nào. Nhiều người sẽ đến và xảy ra cuộc tranh cãi triết lí rằng cái này thỏa mãn họ hơn cái kia, nhưng thực nghiệm dạy chúng ta rằng trong những điều dự đoán về tự nhiên, các linh tinh triết lí là không có cơ sở. Chúng ta chỉ có mỗi một cách là hình dung ra hết mọi khả năng, và sau đó thử lại tất cả. Nhưng trong trường hợp mà bây giờ chúng ta đang nói đến, các lí thuyết đều hoàn toàn tương đương. Đứng về mặt toán học, cả ba cách phát biểu – của Newton, trường định xứ và nguyên lí cực tiểu – đều dẫn tới các hệ quả hoàn toàn như nhau. Bây giờ phải làm thế nào ? Đọc trong một cuốn sách nào cũng thấy rằng chúng ta không có lí lẽ khoa học để ưa cái này hơn cái kia. Và điều đó đúng. Về ý nghĩa khoa học, chúng tương đương nhau. Chưa có một thí nghiệm nào cho phép chúng ta lựa chọn được, bởi vì mọi hệ quả đều như nhau. Nhưng về phương diện tâm lí, chúng khác nhau. Trước hết, chúng có thể thỏa mãn hay không thỏa mãn, về mặt triết học; cái bệnh ấy chỉ có thể chữa bằng sự rèn luyện mà thôi. Sau nữa, sự khác biệt về mặt tâm lí giữa chúng sẽ trở nên đặc biệt quan trọng khi ta bước vào nghiên cứu, phát minh những định luật mới. www.hsmath.net
10
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net Khi vật lí chưa hoàn chỉnh và chúng ta cố gắng phát minh những định luật mới thì các cách phát biểu khác nhau có thể nêu lên được sẽ là những sợi chỉ đưa đường cho chúng ta tới chỗ hiểu cái gì sẽ xảy ra trong những hoàn cảnh khác. Trong trường hợp ấy, đứng về mặt tâm lí mà nhìn, chúng không quý giá như nhau, bởi vì chúng kích thích ta có những dự đoán khác nhau, khi muốn biết định luật sẽ có thể biểu hiện như thế nào trong tình huống tổng quát hơn. Chẳng hạn, Einstein nhận biết rằng các tín hiệu điện không thể truyền đi nhanh hơn ánh sáng. Ông dự đoán đó là một nguyên lí phổ biến (Chúng ta cũng chơi cái trò chơi dự đoán giống như vậy, khi chúng ta lấy định luật bảo toàn mômen xung lượng và mở rộng nó từ một trường hợp riêng, trong đó nó được chứng minh là đúng, ta cho tất cả các hiện tượng tự nhiên). Einstein dự đoán đó là một tính chất tổng quát của tự nhiên, trong đó có cả hiện tượng hấp dẫn. Nếu các tín hiệu không thể truyền đi nhanh hơn ánh sáng thì cách phát biểu tương tác truyền đi tức thời sẽ không đúng. Vì thế trong thuyết hấp dẫn mở rộng, do Einstein nghĩ ra, phương pháp của Newton sẽ bất lực một cách tuyệt vọng và phức tạp kinh khủng, trong lúc phương pháp trường và nguyên lí cực tiểu lại chính xác và đơn giản. Cái nào trong hai cái đó ưu thế hơn – cho tới nay chưa ai trả lời được. Sự thực, hình như trong cơ học lượng tử không một cái nào – dưới dạng mà ta đã phát biểu – là chính xác cả; ngay sự tồn tại của nguyên lí cực tiểu cũng là hệ quả của sự kiện này: trong thế giới vi mô, các hạt tuân theo cơ học lượng tử. Đối với chúng ta, hiện nay định luật tốt nhất là sự phối hợp của nguyên lí cực tiểu và các định luật định xứ. Ngày nay chúng ta cho rằng các định luật vật lí phải mang tính chất định xứ và đồng thời gắn chặt với nguyên lí cực tiểu, nhưng có lẽ điều đó chúng ta chưa biết chắc. Nếu trong một hệ thống nhiều kiến thức có ẩn một sai lầm nào đó, mà hệ thống ấy lại được xây dựng từ những tiên đề khá đạt, và nếu sau đó chúng ta phát hiện ra rằng có một tiên đề sai, còn những cái khác đúng, thì trong trường hợp đó chỉ cần có những sửa đổi nhỏ mà thôi. Nhưng nếu chúng ta xây dựng hệ thống trên những tiên đề khác, thì nó có thể sụp đổ hoàn toàn chỉ vì nó dựa toàn bộ lên một chi tiết duy nhất không vững vàng. Nếu không phải nhờ tới trực giác, thì chúng ta không thể nói trước được làm thế nào để xây dựng hệ thống cho tốt nhất nhằm đạt tới định luật mới. Chúng ta phải xét tới một cách thường xuyên tất cả các phương pháp miêu tả có thể; vì thế các nhà vật lí nghiên cứu toán theo kiểu Babilon mà ít quan tâm tới cấu trúc tiên đề cho ngành khoa học của họ. Một trong những đặc điểm kì lạ của tự nhiên – đó là tính muôn màu muôn vẻ của những sơ đồ có thể có để mô tả nó. Điều đó chính là do chính tính chất của các định luật của chúng ta, chúng rất tế nhị và rõ ràng. Chẳng hạn, sở dĩ có tính định xứ là bởi vì lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Nếu như ở đó là lập phương, thì sẽ không có phương pháp định xứ. Mặt khác, lực liên hệ với tốc độ biến thiên vận tốc, điều đó cho phép dùng nguyên lí cực tiểu để biểu diễn các định luật. Nếu chẳng hạn lực tỉ lệ với chính vận tốc chuyển dời, chứ không phải với gia tốc, thì không thể làm như vậy được. Phải biến đổi các định luật đi rất nhiều, ta mới thấy được là số lượng các cách phát biểu có thể đã rút bớt lại. Đối với tôi điều đó luôn luôn là một bí ẩn. Tôi không hiểu được vì sao những định luật đúng đắn của vật lí lại có thể thừa nhận một số lượng các cách phát biểu khác nhau lớn đến như vậy. Chúng giống như một quả bóng đá, cùng một lúc, lọt vào nhiều lưới gôn. Cuối cùng, tôi muốn nêu lên vài nhận xét tổng quát hơn về mối liên hệ giữa toán và vật lí. Các nhà toán học chỉ quan tâm tới cấu trúc của các suy luận, và, về thực chất, đối với họ, nói tới cái gì thì cũng như vậy thôi. Họ cũng không cần biết những điều khẳng định của mình có là chân lí hay không. Tôi sẽ giải thích vì sao. Bạn phát biểu www.hsmath.net 11
www.hsmath.net QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ các tiên đề: cái này và cái này là thế này, còn cái kia và cái kia là thế kia. Còn gì sau nữa ? Sau đó, có thể sử dụng lôgic mà không cần biết các chữ “cái này và cái kia” chỉ cái gì. Nếu các tiên đề đầy đủ và được định nghĩa chính xác, thì người làm phép chứng minh, không bắt buộc phải hiểu ý nghĩa của các từ, mới rút ra được kết luận mới trong ngôn ngữ mà họ đang dùng. Nếu trong một tiên đề có chữ “tam giác”, thì trong các kết luận của nhà toán học sẽ có những khẳng định nào đó liên quan tới các hình tam giác, nhưng trong quá trình rút ra các kết luận ấy, họ không bắt buộc phải biết tam giác là vật gì. Tôi có thể quay trở lại khởi điểm của các lập luận của họ và bảo: “Tam giác, đó là một hình có ba cạnh và nó chính là cái này và cái này đây”. Và bấy giờ, tôi sẽ hiểu được các kết luận mới của họ. Nói cách khác, nhà toán học chuẩn bị các phép chứng minh trừu tượng mà bạn có thể sử dụng được, nhưng phải gắn bộ tiên đề nào đó vào với thế giới hiện thực. Còn nhà vật lí không thể quên ý nghĩa những câu nói của mình được. Đó là một nhiệm vụ rất trọng đại mà thường những người chuyển từ toán sang vật lí, có xu hướng coi rất nhẹ. Vật lí không phải là toán và toán không phải là vật lí. Cái này giúp cho cái kia. Nhưng trong vật lí, chúng ta phải hiểu sự liên hệ giữa các chữ với thế giới hiện thực. Thu được những kết luận nào đó, anh phải chuyển nó ra tiếng mẹ đẻ, ra ngôn ngữ của tự nhiên – ra các hình lập phương bằng đồng và các quả cầu bằng thủy tinh mà anh sẽ đem thí nghiệm. Chỉ như vậy anh mới có thể kiểm tra chân lí của các kết luận của mình. Trong toán học, không tồn tại một vấn đề như vậy. Thật hoàn toàn dễ hiểu rằng, các phép chứng minh và phương pháp tư duy, mà các nhà toán học đã tìm ra, trở thành những vũ khí sắc bén và có ích trong tay các nhà vật lí. Song các suy luận của các nhà vật lí thường cũng đem lại lợi ích cho các nhà toán học. Các nhà toán học thích gắn cho những suy luận của mình một dạng càng tổng quát bao nhiêu càng tốt bấy nhiêu. Nếu tôi nói với họ: “Tôi muốn trao đổi về không gian ba chiều thông thường”, thì họ sẽ trả lời ngay: “Đây, cho anh tất cả các định lí về không gian n chiều” – “Nhưng tôi chỉ có ba chiều thôi” – “Tốt, hãy đặt n = 3 !”. Hình như rất nhiều định lí phức tạp có dạng đơn giản hơn nhiều khi ứng dụng nó vào trường hợp riêng. Mà nhà vật lí thì chỉ quan tâm tới những trường hợp riêng mà thôi; họ không bao giờ quan tâm tới trường hợp tổng quát. Họ nói về một cái cụ thể. Đối với họ, không phải nói cài gì cũng vậy thôi. Họ muốn xét định luật hấp dẫn trong không gian ba chiều, họ không cần tới các lực suy rộng tùy ý trong không gian n chiều. Họ muốn những điều thu gọn lại, vì các nhà toán học chuẩn bị những kết luận của mình cho một phạm vi vấn đề rộng hơn. Nhưng phải thận trọng, vì cuối cùng nhà vật lí đáng thương lại cứ phải quay trở lại và yêu cầu: “Xin lỗi, nhưng lần trước anh muốn chỉ cho tôi cái gì đấy về không gian 4 chiều nhỉ”. Khi bạn đã rõ vấn đề đang đề cập tới là gì, khi đã biết những kí hiệu này chỉ lực, những cái kia chỉ khối lượng, quán tính…, bạn có thể trông cậy vào sự giúp đỡ của sự suy nghĩ chắc chắn, của trực giác. Bạn đã thấy các vật khác nhau và ít nhiều đã biết các hiện tượng khác nhau sẽ xảy ra như thế nào. Nhà toán học khổ hạnh sẽ chuyển tất cả những cái đó thành ngôn ngữ của các phương trình và, vì các kí hiệu đối với họ không chỉ một cái gì hết, họ chỉ có một kim chỉ nam – tính chất chặt chẽ toán học và thận trọng trong chứng minh. Nhà vật lí, ít nhiều đã biết câu trả lời sẽ phải thế nào, có thể tự cho phép mình dự đoán và sẽ đạt tới mục đích nhanh hơn. Trong vật lí, sự chặt chẽ toán học thái quá không phải có ích nhiều lắm đâu. Nhưng không nên gán cái tội ấy cho các nhà toán học. Không nên đòi hỏi họ phải luôn luôn hành động với con mắt hướng về vật lí và làm những điều có ích cho nó. Họ có việc của họ. Nếu bạn muốn một cái gì khác, hãy tự mình làm lấy. www.hsmath.net
12
QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ www.hsmath.net Một câu hỏi tiếp: khi chúng ta cố gắng đi tìm những định luật mới, có cần phải dựa vào trực giác và các nguyên lí triết học không – “tôi không thích các tính chất định xứ” hay “tôi thích các tính chất định xứ”, “tôi không thích tác dụng theo khoảng cách” hay “tôi thích tác dụng theo khoảng cách” ? Các mẫu có lợi trong chừng mức nào ? Điều lí thú là các mẫu thường hay giúp ta trong công tác và rất nhiều giáo sư vật lí cố gắng dạy cách làm thế nào sử dụng các mẫu, để hình thành được trực giác vật lí đúng đắn. Nhưng điều luôn luôn xảy ra là, các phát minh vĩ đại nhất lại không cần tới mẫu. Maxwell phát minh ra điện động lực, bằng cách cho không gian chứa đầy những bánh xe răng cưa nhỏ tưởng tượng. Những bánh xe thì chúng ta vứt đi, và lí thuyết thì còn lại. Dirac phát minh ra các định luật đúng đắn của cơ lượng tử tương đối, chỉ bằng cách đoán nhận phương trình. Đoán nhận phương trình, hình như cũng là một phương pháp rất tốt để tìm ra những định luật mới. Điều đó cho thấy rằng toán học cho cách miêu tả sâu sắc thiên nhiên dựa vào những nguyên lí triết học và vào sự tương tự trực giác máy móc, sẽ không đưa tới những kết quả quan trọng nào. Một điều làm tôi luôn luôn băn khoăn là, theo các định luật vật lí như chúng ta biết hiện nay, thì sẽ cần một số vô hạn các động tác lôgic trong máy tính, để xác định những quá trình gì sẽ xảy ra trong một vùng nhỏ bao nhiêu cũng được của không gian, trong một khoảng thời gian ngắn bao nhiêu tùy ý. Làm thế nào tất cả những cái đó có thể chưa đựng được trong một không gian tí hon ? Vì sao phải cần đến một sự nỗ lực vô tận của lôgic mới có thể hiểu được gì sẽ xảy ra trong một khoảng nhỏ bé của không – thời gian ? Vì vậy tôi thường đưa ra dự đoán rằng, cuối cùng rồi vật lí sẽ không cần tới cách phát biểu toán học nữa. Cơ chế của nó sẽ mở ra trước mắt chúng ta, và các định luật sẽ trở nên đơn giản, như một bàn cờ với tất cả sự phức tạp bề ngoài của nó. Nhưng giả thuyết ấy cũng cùng một loại với xu hướng của nhiều người – “tôi thích cái này”, “tôi không thích cái kia” – mà ở đấy thì không thể dựa vào những cảm tính chủ quan. Để tổng kết, tôi muốn dùng những lời lẽ mà Jinxơ đã nói: “Tạo hóa, nhà kiến trúc vĩ đại, có lẽ là nhà toán học”. Những ai không biết toán, họ sẽ khó mà hình dung vẻ đẹp thực và sâu xa của Tự nhiên. Snow đã nói tới hai thứ văn hóa. Tôi nghĩ rằng, sự khác nhau giữa hai thứ văn hóa đó chỉ là sự khác biệt giữa những người hiểu toán và những người không hiểu toán tới mức cần thiết để có thể đánh giá đầy đủ Tự nhiên. Dĩ nhiên, rất đáng tiếc ở đây cũng cần tới toán học, vì vậy nó gây khó khăn cho nhiều người. Người ta nói tôi không biết có thật không – rằng một ông vua mà Euclid cố gắng dạy cho hình học, đã than phiền là khó quá. Euclid trả lời: “Không có con đường đế vương dẫn tới hình học đâu”. Sự thật, con đường như vậy không có. Không thể dịch vật lí ra một ngôn ngữ nào khác. Và nếu bạn muốn hiểu tự nhiên, thấy hết cái đẹp của nó, thì phải hiểu ngôn ngữ mà nó nói. Nó chỉ cho thông tin trong một thể dạng duy nhất, và chúng ta không có quyền đòi hỏi nó phải thay đổi ngôn ngữ, để chúng ta chú ý tới nó. Bạn không thể, bằng những lí lẽ của trí óc, truyền cho người điếc những cảm xúc về âm nhạc. Cũng giống như vậy, không có những lí lẽ về trí óc nào có thể cho truyền sự hiểu biết về tự nhiên cho ai thuộc về “nền văn hóa khác”. Các nhà triết học cố gắng kể về Tự nhiên mà không cần tới Toán học. Tôi lại cố gắng miêu tả tự nhiên bằng Toán học. Nhưng nếu người ta không hiểu được tôi, thì điều đó không phải là do tôi nói không thể nào hiểu nổi. Có lẽ, tôi thất bại là vì lẽ tầm mắt của những người ấy quá hẹp, và họ coi con người là trung tâm của Vũ trụ. (Hoàng Quý và Phạm Quý Tư dịch, trích “Tính chất các định luật vật lí”, 2000) 10/10/2006 www.hsmath.net 13
Related Documents
Quanhetoanly1
May 2020 0More Documents from "le"
Khaosatpost
April 2020 0
Dubi2008a2
May 2020 0
Dethitotnghiep
May 2020 0
Quanhetoanly1
May 2020 0
Vatlypost1
April 2020 2