Cuadratura-de-gauss Monografia 2.0.docx

INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………… OBJETIVOS…………………………………………………………………… OBJETIVOS GENERALES……………………………………………......... OBJETIVOS ESPECIFICOS………………………………………………… MARCO TEORICO…………………………………………………............... GAUSS - LEGENDRE………………………………………………………... DEMOSTRACION GAUSS – LEGENDRE………………………………… CONCLUSIONES…………………………………………………………….. RECOMENDACIONES……………………………………………………….

INTRODUCCION. –

CARL FRIEDRICH GAUSS Nació en Brunswick en 1777 y murió en Gotinga en 1855. Desde niño demostró una gran habilidad con los números. A los tres años fue capaz de corregir un fallo que su padre había hecho en el cálculo de los sueldos de unos albañiles que trabajaban para él. A los diez años, su maestro de escuela, que quería paz en la clase, ordenó a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100. El pequeño Gauss, casi inmediatamente, escribió la solución en su pizarra: 5050. A los dieciséis años de edad ideó un método para deducir, de medidas hechas a partir de un punto terrestre, los elementos de la órbita de un planeta, calculando los del planeta Urano. Gauss no estaba seguro de su vocación: las matemáticas o la filología; pero tanto le gustaron sus resultados que se dedicó a las matemáticas. Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss. El presente trabajo se realiza con la intención de dar a conocer a los alumnos de Ingeniería Civil del curso de Métodos Numéricos el Tema de Cuadratura de gauss como una herramienta eficaz en el cálculo de la ingeniería en sus diversos campos de aplicación se expondrán ejemplo aplicativo de cálculo de integrales con una aproximación precisa, se explicará a su vez la deducción de la fórmula de Cuadratura de Gauss-Legendre creación y formulación del genio ya mencionado.

OBJETIVOS. –

OBJETIVO GENERAL



Estudiar y analizar las fórmulas de Cuadratura de Gauss y Cuadratura GaussLegendre y conocer sus aplicaciones para las integrales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



Deducir la Formula De Cuadratura de Gauss-Legendre



Estudiar las aplicaciones de las formulas inducidas resolviendo algunos ejercicios

MARCO TEÓRICO

INTEGRACIÓN NUMÉRICA En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥),

𝑦(𝑎) = 0

Encontrar y (b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. CUADRATURA DE GAUSS Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de cuadratura de Gauss. Una regla de cuadratura de Gauss es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces). fue que la estimación de la integral se basó en valores igualmente espaciados de la función. En consecuencia, la localización de los puntos que se usaron en estas ecuaciones era predeterminados o fijos.

Por ejemplo, como se describe en la figura 1, la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo línea recta que une los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. La fórmula que se utiliza para calcular esta área es. 𝐼 = (𝑏 − 𝑎)

∫(𝑎) + ∫(𝑏) 2

FIGURA (01) Donde a y b son los límites de integración y b – a = el ancho del intervalo de

integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos, donde la formula puede dar un gran error Ahora, suponga que se elimina la restricción de los puntos fijos y se tuviera la libertad de evaluar el área bajo una línea recta que uniera dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos en forma inteligente, definiríamos una línea recta que equilibrara los errores negativo y positivo. Así que, como en la figura 2, llegaríamos a una mejor estimación de la integral. Considerar la nueva situación que muestra la figura:

FIGURA 2

La cuadratura de Gauss escoge los puntos donde el error es mínimo. Los puntos de apoyo 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎, 𝑏] y los coeficientes 𝐶1 , 𝐶2, 𝐶3 , … , 𝐶𝑛 son escogidos para minimizar el error, y hace posible que la fórmula sea exacta para polinomio de grado 2𝑛 − 1 si se escogen los puntos de manera apropiada, y no igualmente separados.

Donde

es una función de ponderación dada sobre el intervalo

Para entender cómo funciona la cuadratura de Gauss, primero se discutirá brevemente el concepto de conjunto ortogonal de funciones. Funciones ortogonales El conjunto de N funciones en [𝑎, 𝑏] con respecto a la función de peso

, es un conjunto ortogonal si y solo si:

Polinomios de Legendre Los polinomios de Legendre pueden generarse en forma recursiva:

𝑃𝑛+1 (𝑥) =

(2𝑛+1)𝑥𝑃𝑛(𝑥) −𝑛𝑃𝑛−1(𝑥) 𝑛+1

Puede verificarse fácilmente que estos polinomios son ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de peso

.

Las raíces de los polinomios de Legendre son los puntos de apoyo en los cuales se evalúa la función , para el procedimiento de la cuadratura de Gauss. Por otro, las constantes se obtienen mediante:

Cuadratura de gauss. Es el nombre de una clase de técnicas para realizas tal estrategia. Las formulas particulares de cuadratura de gauss descritas en esta sección se denomina fórmulas de gauss – Legendre. Antes de escribir el procedimiento, mostraremos que las fórmulas de integración numérica, como la regla del trapecio, pueden obtenerse usando el método de coeficientes indeterminados. Este método se empleara después para desarrollar las fórmulas de GAUSS – LEGENDRE.

METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. En el capítulo 21 obtuvimos la regla del trapecio integrando un polinomio de interpolación lineal y mediante un razonamiento geométrico. El método de coeficientes indeterminados ofrece un tercer procedimiento que también tiene utilidad para encontrar otras técnicas de integración, como la cuadratura de Gauss. Para ilustrar el procedimiento, se expresa como. 𝐼 = 𝑐0 ∫ 𝑎 + 𝑐 ∫ 𝑏

…(a)

Donde las c =constantes. Ahora observe que la regla del trapecio deberá dar resultados exactos cuando la función que se va integrar es una constante o una línea recta. Dos ecuaciones simples que representan esos casos son 𝑦 = 1 𝑦 𝑦 = 𝑥 , las siguientes igualdades se deberán satisfacer: (𝑏−𝑎)/2 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑐0 + 𝑐1 =∫ 1𝑑𝑥 2 2 −(𝑏−𝑎)/2

Y −𝑐0

(𝑏−𝑎)/2 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 + 𝑐1 =∫ 𝑥𝑑𝑥 2 2 −(𝑏−𝑎)/2

O, evaluando las integrales. 𝑐0 + 𝑐1 = 𝑏 − 𝑎 Y −𝑐0

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 + 𝑐1 =0 2 2

Estas son dos ecuaciones con dos incognitas que se resuelven para encontrar

𝑐0 = 𝑐1 =

𝑏−𝑎 =0 2

Que al sustituir en la ec. (a), da

𝐼 = 𝑓𝑎

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 + 𝑓𝑏 =0 2 2

Que es equivalente a la regla del trapecio

Ejemplo (1) Aproxime la integral f(x)=𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 de 1 a 5 cuando n=2 mediante el método de cuadratura de gauss y después compárelo con el resultado exacto.

𝟓

∫ 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟏

𝟓

∫𝟏 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙= 238.6667

Solución:

Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n=1, ……5 Número de puntos (n)

Puntos, xi

Pesos, wi

1

0

2

2

±√

𝟏 𝟑

𝟖 𝟗

n=2 2n-1=2(2)-1=3 Con n=2 podemos resolver la integral con exactitud para todos lo polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x).

𝐛

∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = 𝐚

𝐛−𝐚 𝟏 𝐛−𝐚 𝐚+𝐛 ∫ 𝐟( 𝐱+ ) 𝐝𝐱 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐

𝟓−𝟏 𝟏 𝟓−𝟏 𝟓+𝟏 = ∫ ( 𝐱+ ) 𝐝𝐱 𝟐 −𝟏 𝟐 𝟐 𝟏

= 𝟐 ∫ 𝐟(𝟐𝐱 + 𝟑)𝐝𝐱 −𝟏 𝟐

≈ 𝟐 ∑ 𝐰𝐢𝐟(𝟐𝐗 + 𝟑) 𝐢=𝟏

≈ 𝟐(𝐰𝟏𝐟(𝟐𝐱 + 𝟑) + 𝐰𝟐𝐟(𝟐𝐱 + 𝟑))

≈ 𝟐𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟕

METODO DE GAUSS LEGENDRE Una característica de las fórmulas de Newton - Cotes es que la estimación de la integral se basa en valores igualmente espaciados de la función. Por ejemplo, como se puede observar en la Figura 1, la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el de la Figura 1, donde la fórmula puede dar un error importante. Por esa razón, se supondrá que se elimina la restricción de que los puntos estén igualmente espaciados y que es posible evaluar el área bajo una línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos en forma conveniente, es posible definir una línea recta que equilibre los errores negativos y positivos. De esta manera, como se muestra en la Figura 2, se obtiene una mejor estimación de la integral.

Las cuadraturas de Gauss - Legendre es el nombre de una clase de técnicas que aplica tal estrategia para obtener una aproximación más precisa de la integral. Cuadratura de Gauss - Legendre de dos puntos El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2de manera que la fórmula:

sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a 3x3 + a2x2 + a1x +a0. Como hay que determinar cuatro números w1, w2, x1 y x2 en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anterior sea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:

De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolver es:

La solución del sistema anterior está dada por:

Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss - Legendre. En consecuencia, si f es continua en [-1;1], resulta:

La cuadratura de Gauss - Legendre con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces,

siendo

para algún punto ξ Є [-1;1]. Cuadratura de Gauss - Legendre con más puntos Además de la fórmula de dos puntos descripta en la sección anterior, es posible desarrollar versiones con más puntos en la forma general:

donde n es la cantidad de nodos que se toma. Los nodos xn,k y los pesos wn,k que hay que usar, en cada caso, se encuentran tabulados. En la siguiente tabla, se muestran los valores correspondientes para las cuadraturas de Gauss - Legendre con hasta cinco nodos, así como la forma de los términos de error En(f) correspondientes a las aproximaciones:

Los nodos que se usan para construir una cuadratura de n puntos son las raíces del polinomio de Legendre de grado n y los pesos, como ya se explicó anteriormente, se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales. Como se puede observar en la tabla, el término de error de una cuadratura de tres puntos es proporcional a la derivada de orden seis de la función f(x). Esto implica que ese tipo de cuadratura será exacta si el integrando es un polinomio de grado cinco o menor. De mismo modo, una cuadratura de cuatro puntos será exacta si la función a integrar es un polinomio de grado siete o menor. Esto se debe a que su término de error involucra una derivada de orden ocho de la función f(x). En general, una cuadratura de Gauss - Legendre de n puntos será exacta para funciones polinomiales de grado menor o igual que 2n - 1.

Traslación de la Cuadratura de Gauss - Legendre Para aplicar la cuadratura de Gauss - Legendre en un intervalo [a;b], se debe efectuar el cambio de variable: con De esta manera,

Por lo tanto, la fórmula de cuadratura está dada por:

Ejemplos: 1. Utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre (n=2), estime la siguiente integral: 1.5



I 

1

e t dt 2

Solución: a=1 y b=1.5

t 1.5



1

(1.5  1) x  (1.5  1) 0.5 x  2.5 x  5   2 2 4

1

1

 x 5     4 

1

F ( x)  e



1

e t dt   e 2

 x 5     4 

2

2

14 dx

1   4

F ( x)dx  c1 F ( x1 )  c2 F ( x2 )

dt 

dx 4

I  1F  0.5773502692  1F 0.5773502692 I  0.1094002612

2. Evalue la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de gausslegendre, con dos, tres y cuatro puntos: 3

∫ 0

Solucion:

𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑥2

CONCLUSIONES    

Mediante el conocimiento de este método se ha podido obtener una buena aproximación de cada una de las integrales. En la práctica de la ingeniería, la cuadratura de Gauss proporciona un medio eficiente para la evaluación de las integrales La información brindada sirvió para tener un mejor juicio del método de Curvatura de Gauss Los métodos numéricos implementados para integración de funciones son: Cuadraturas de Newton-Cotes: Regla del Trapecio, Regla de Simpson a 1/3, Regla de Simpson a 3/8, Regla de Boole. Cuadraturas de Gauss-Legendre Cuadraturas de Gauss-Laguerre

Bibliografía. http://kassandra.udea.edu.co/lms/moodle19/mod/resource/view.php?id=24530 https://prezi.com/q104dx55v29a/integracion-numerica/. Métodos numéricos para ingenieros, autor Steven c. CHapra, Raymond P. Canale