Control Digital De Sistemas Dinamicos

T01

INTRODUCCIÓN AL CONTROL DOGITAL DE SISTEMAS DINÁMICOS

PROFESOR. HECTOR GUILLERMO MUÑOZ ROMERO

1.-

CONTROL POR COMPUTADOR

1.1

Introducción

T02

CONTROLADOR ANALÓGICO

r(t)

+-

e(t)

FILTRO DE CONTROL CONTINUO

u(t)

PLANTA CONTINUA

x(t)

CONTROLADOR ANALÓGICO

r(iT)

+-

e(iT) x(iT)

FILTRO DE CONTROL DIGITAL

u(iT)

CONVERSOR DE DIGITAL A ANALÓGICO

u(t)

PLANTA CONTINUA

x(t)

CONVERSOR DE ANÁLOGO A DIGITAL

El Control digital permite: *Incorporar compensadores. *Realizar control PID u otras formas lineales de control clásico. *Implementar control por lógica difusa, redes neuronales, sistemas expertos y otras formas de inteligencia artificial. *Tablas, funciones no lineales. Etc.

1.2

La discretización: Convertir una señal analógica o continua en digital o discreta.

T03

x(t)

f(t) f(s)

G(s)

x(s)

Sistema continuo

t

t

f(t) ADC fi

Sistema discreto

x(iT)

fi xi fi

i

G(z)

xi

xi

i

DAC

x(iT)

t

1.2

T04

La discretización (continuación) *Frecuencia de muestreo. *Resolución del DAC del ADC: ( voltage de referencia, nº de bits) *Frecuencia de muestreo v/s frecuencia de la señal.

1.3

Modelación de sistemas discretos: ui, vi, xi: Son una secuencia de muestras, pulsos o números Entrada: Ui = {u0, u1, …,ui}

Sistema Discreto:

Salida: Xi = {x0, x1…,xi}

S S es lineal si: Xi = S*(A*Ui+B*Vi) =A*S*Ui+B*S*Vi

Un sistema discreto S es invariante en el tiempo si la respuesta “X” es independiente del instante de aplicación de la entrada “U”. Si; i y k son instantes adimensionales, para k >= 0; xi-k = S*ui-k , Con ui-k=0 para i-k < 0

1.3.1

Ecuaciones de diferencias finitas Permiten formular, sintetizar y analizar sistemas discretos.

T05

0

Diferencia de orden cero:

∆ xi = xi

Diferencia de primer orden:

∆ xi =xi+1 – xi

Diferencia de segundo orden:

∆ xi = ∆ (∆xi) = ∆ {xi+1 – xi} = {xi+2 – xi+1}- {xi+1 – xi}

o

∆xi =xi – xi-1

2

= xi+2 – 2*xi+1 + xi 3

Diferencia de tercer orden:

2

∆ xi = ∆ (∆ xi) = xi+3 –3*xi+2 +3*xi+1 – xi

Ecuación de diferencias con coeficientes constantes: n

n-1

A0*∆ xi + A1*∆

n-2

xi + A2*∆

xi + …. +An-1*∆ xi + An* xi = fi

B0*xi+n + B1*xi+n-1 + A2*xi+n-2 + …. +Bn-1*xi+1 + Bn*xi = fi

Ejemplo: Un cultivo de células,(elementos discretos), es iniciada con x0 células y contadas en instantes discretos i. Suponiendo que la tasa de natalidad y de mortalidad es proporcional al número actual de células, donde A es la tasa de reproducción y B es la de mortalidad. En el instante i. En el instante (i+1), el número de células será: xi+1 = xi + (A – B)*xi O xi+1 + B0*xi = 0 ; con B0 = 1 +A – B Resultando una ecuación de diferencias homogénea de primer orden con coeficientes constantes.

T06 1.3.1

Solución de ecuaciones de diferencias finitas Puede ser obtenida usando el mismo método de las ecuaciones diferenciales usando como base la ecuación característica del sistema.

Solución de la homogénea: Para la ecuación: B0*xi+n + B1*xi+n-1 + A2*xi+n-2 + …. +Bn-1*xi+1 + Bn*xi = 0 i

Y xi = Γ es una la solución de la homogénea. Entonces para todo i se cumple que: xi+n-k = Γ i+n-k y, para todo k (0<= k<= n), se tiene que: i

n

Γ *( B0*Γ + B1* Γ

n

n-1

n-1

+ … + Bn) = 0  Ecuación característica B0*Γ + B1* Γ + … + Bn = 0

Ejemplo 1: La ecuación homogénea:

xi+2 + 3*xi+1 + 2*xi = 0, tiene la ecuación característica i

Cuyas raices son 2 y 1. Así La solución está dada por xi = C1*2 + C2

2

Γ - 3*Γ +2 = 0.

T07 Ejemplo 2: Un controlador PID analógico es aplicado al control de un proceso industrial y debe ser sustituido por un programa implementado en un computador. Para esto, las funciones de control proporcional, integral y derivativo deben ser establecidas y programadas. El control PID corresponde a la adición de tres 3 sumandos que pueden ser convertidas en ecuaciones de diferencias, esto es:

uDi = KP*ei ui = KD*(eii – ei-1) I

i

i-1

ui = KI*Σen = KI*(Σe n + ei) = KI*(ui-1 + ei) n=0 n=0

Se puede observar que el sumando: .- Proporcional depende solo del error en el instante actual i .- Derivativo depende del error en el instante actual i y en el instante anterior i-1 .- Integral depende del error en el instante actual i además del valor de la propia salida en el instante anterior i-1 Las tres ecuaciones pueden ser programadas separadamente o englobadas en una. Controladores del tipo P, PI, PD y PID pueden ser deducidas directamente se estas ecuaciones