Clase 4

Función de Excitación Sinusoidal

• Introducción • Características de función sinusoidal • Respuesta a excitación sinusoidal • Ejemplo

1

Función de Excitación Sinusoidal Introducción

¿ Por qué elegir función de excitación sinusoidal como segunda forma funcional para estudiarse ?

• La naturaleza parece tener decididamente un carácter sinusoidal : movimiento de un péndulo, la vibración de una cuerda de guitarra, las ondas en la superficie de un vaso, etc. • Teorema de Fourier: Función periódica (f0) se representa a través de un número infinito de funciones sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos de f0. 2

1

Función de Excitación Sinusoidal Introducción

v (t)

• Introducción 1,00

1

0,80

t (s)

0,60 0,40 0,20

1

2

3

0,00 -0,20 0

0,25 0,5 0,75

1

1,25 1,5 1,75

2

2,25 2,5

-1

-0,40 -0,60 -0,80 -1,00

v(t) =

1 1 8 ⋅ (sen(π ⋅ t) − 2 ⋅ sen(3π ⋅ t) + 2 ⋅ sen(5π ⋅ t) − ........... 2 3 π 3 5

Función de Excitación Sinusoidal Introducción

• Método analítico muy poderoso, ya que permite superponer las respuestas parciales y así obtener la respuesta total causada por la función de excitación periódica. • Propiedad importante de la función sinusoidal : sus derivadas e integrales son todas sinusoidales.

4

2

Función de Excitación Sinusoidal Características de función sinusoidal

• Repaso Trigonométrico

v (t) = Vm ⋅ sen (ω ⋅ t) Amplitud o valor

ω t : Frecuencia en radianes

máximo

ω : Frecuencia angular

• Sinusoidal de período T ==> frecuencia = 1/T [Hz] = 1 [ciclo /s] • ω T = 2 π ==> ω = 2 π f • Una forma más general de la sinusoidal :

v (t) = Vm ⋅ sen (ω ⋅ t + θ)

Angulo de fase 5

Función de Excitación Sinusoidal Características de función sinusoidal 60,0

v (t) = Vm ⋅ sen (ω ⋅ t)

60º

40,0 20,0

60º

0,0 0

45

90

60º

135 180 225 270 315 360 405

-20,0 -40,0 -60,0

v (t) = Vm ⋅ sen (ω ⋅ t + θ)

• Sinusoidales desfasadas en 60º. • Para comparar ondas, ambas deben estar expresadas como seno o coseno y la frecuencia de las 2 debe ser la misma.

6

3

Función de Excitación Sinusoidal Respuesta a excitación sinusoidal

• El término “respuesta en estado permanente” o “respuesta en estado estacionario” se usa como sinónimo de la respuesta forzada de un circuito. • Estado estacionario no significa que la respuesta no varíe en el tiempo. • Consideremos un circuito RL del siguiente tipo :

v = Vm ⋅ cos (ω ⋅ t) di L ⋅ + R ⋅ i = Vm ⋅ cos(ω ⋅ t) dt

+

R

v

L

-

7

Función de Excitación Sinusoidal Respuesta a excitación sinusoidal

• La respuesta en estado sinusoidal estacionario debe tener la sgte. forma general : i(t) =I1 ⋅ cos(ω ⋅ t) + I 2 ⋅ sen(ω ⋅ t) • I1 e I2 constantes reales que dependen de Vm, R, L, y ω. • Sustituyendo la respuesta propuesta en la ecuación diferencial :

L ⋅ (-I1 ⋅ ω ⋅ sen(ω ⋅ t) + I 2 ⋅ cos(ω ⋅ t)) + R ⋅ (I1 ⋅ cos(ω ⋅ t) + I 2 ⋅ sen(ω ⋅ t)) = Vm ⋅ cos(ω ⋅ t)

(-L ⋅ I1 ⋅ ω + R ⋅ I 2 ) ⋅ sen(ω ⋅ t) + (L ⋅ I 2 ⋅ ω + R ⋅ I1 − Vm ) ⋅ cos(ω ⋅ t) = 0

I1 =

R ⋅ Vm R + ω 2 ⋅ L2 2

I2 =

ω ⋅ L ⋅ Vm R 2 + ω 2 ⋅ L2

8

4

Función de Excitación Sinusoidal Respuesta a excitación sinusoidal

• Entonces se obtiene la respuesta :

i(t) =

ω ⋅ L ⋅ Vm R ⋅ Vm ⋅ cos(ω ⋅ t) + 2 ⋅ sen(ω ⋅ t) 2 2 R + ω 2 ⋅ L2 R + ω ⋅L 2

• La cual puede ser llevada a la forma: i(t) = A ⋅ cos

(ω ⋅ t - θ)

mediante la siguiente expresión : A ⋅ cosθ ⋅ cos(ω ⋅ t) + A ⋅ senθ ⋅ sen(ω ⋅ t) =

• Luego,

A ⋅ cos θ =

R ⋅ Vm ω ⋅ L ⋅ Vm ⋅ cos(ω ⋅ t) + 2 ⋅ sen(ω ⋅ t) 2 2 R + ω ⋅L R + ω 2 ⋅ L2 2

R ⋅ Vm R + ω 2 ⋅ L2 2

A ⋅ sen θ =

ω ⋅ L ⋅ Vm R 2 + ω 2 ⋅ L2

9

Función de Excitación Sinusoidal Respuesta a excitación sinusoidal

• Finalmente :

⎛ ω⋅L ⎞ θ = tg −1 ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠

i(t) =

A=

Vm R 2 + ω 2 ⋅ L2

⎛ ω⋅L ⎞ ⋅ cos(ω ⋅ t + tg −1 ⎜ ⎟ 2 2 2 R ⎝ ⎠ R + ω ⋅L Vm

10

5

Función de Excitación Sinusoidal

R1

• Ejemplo v = 10⋅COS (1000 ⋅ t) [V] R1 = 25 [Ω] R2 = 100 [Ω] L = 30 [mH]

+ v -

L

R2

iL (t)

11

6