Clase 4

Supuestos de ANDEVA y contrastes Diseño Experimental Clase 4

Modelo yij = µ + α ij + ε ij µ = promedio global αi = promedio grupo εij = error o residuos

Supuestos • Los residuos εij se distribuyen normalmente • Los residuos εij tienen promedio 0 y varianza constante • Los residuos εij son independientes y no presenten autocorrelación de ningún tipo

Supuestos • ¿Qué tan robustos son métodos y supuestos? – Normalidad y varianza: Robustos – Independencia: Muy sensible

• ¿Cómo detectar problemas?

No conocemos εij

yij = µ + α i + ε ij

ε ij = yij − ( µ + α i ) rij = yij − ( µˆ + αˆ i ) rij = yij − yi⋅

Revisión Supuestos • Análisis gráfico – Independencia – Igualdad de varianza – Normalidad

• Estadístico – Normalidad

Normalidad de εij • Figuras cuantil-cuantil • Grafica – Cuantiles observados eje-x – Cuantiles esperados según ~N(0,1) – Línea que pasa por Q3 y Q1

Colas Livianas

Colas Pesadas

Colas Pesadas

0 -2 -4

Sample Quantiles

2

4

Normal Q-Q Plot

-3

-2

-1

0

1

Theoretical Quantiles

2

3

Distribución Asimétrica

Variable sin Considerar

Varianza constante • Se grafica los residuos vs. valores estimados – Residuos: rij – Estimados: ŷij

yˆ ij = µˆ + αˆ i

0 -5

Residuals

5

10

Residuals vs Fitted

6

8

10

12

14

Fitted values lm(sr ~ pop15 + pop75 + dpi + ddpi)

16

Residuos

0

yˆ ij = µˆ + αˆ i

Residuos estandarizados • Residuos usualmente estandarizados – Divide entre s – Reduce dispersión

• Raíz cuadrada – Reduce sesgo

Varianza Proporcional Residuos

0

yˆ ij = µˆ + αˆ i

Residuos

0

yˆ ij = µˆ + αˆ i

Independencia • Difícil de probar • Depende de Diseño Experimental • Figuras especiales 4. Residuos vs. nivel de factores 5. Residuos vs. orden de corrida

R E S I D U O S Orden

Sin Patrón

R E S I D U O S Orden

autocorrelación positiva

R E S I D U O S Orden

autocorrelación negativa alternan + y -

¿Cómo resolver problemas? • Problemas con modelo – Cambiar modelo – Incluir • Interacciones • Polinomios • Bloques

– Transformaciones

¿Cómo resolver problemas? • Varianzas desiguales – Transformaciones – Modelos independientes o nolineales – Rangos

¿Cómo resolver problemas? • Falta de Normalidad – Transformaciones – Análisis de Rangos – GLM

Transformaciones • ¿Cuáles son? – Matemáticas – Trigonométric a – Box-Cox

• ¿Cuál usar? – Prueba y Error – Box Cox es mejor

x′ = x x′ = 1 x x′ = 1 x x′ = log( x) x′ = arcsin( x )

Box-Cox • Transformaci ón de poder • Máxima Verosimilitud • Se relaciona a otras transformaci ones

Contrastes

Contrastes • Comparaciones ‘a priori’ • Basadas en Objetivos e Hipótesis del proyecto • Tienen más poder que ‘a posteriori’ – Basadas en SSt – No violan supuestos – No pierde control alfa

Contrastes • Se compara el efecto de cada nivel o tratamiento αi o sus promedios µi • Para contrastes se calculan promedios ponderados • La matriz de contrastes es el peso (ci) que se da a cada efecto αi o sus promedios µi

Nomenclatura yij yi . µˆ = y.. αˆ i = yi. − y..

µι = yi.

Contrastes g

ψ i = ∑ ci µi donde i

g

∑c

i

=0

i

ψ i = ∑ ciα i = c1µ1 + c2 µ 2 +  + ca µα i

ψˆ i = ∑ wi µˆ i = ∑ wi yi⋅ i

i

Papas (Cochran) Control

Promedio

µ

Desviacion

αi

F3

S3

F6

S6

F12

S12

12

24

9

30

16

18

10

17

30

32

9

7

10

24

4

7

10

29

16

21

18

12

4

16

18

26

4

9

18

19

5

17

22.6

9.5

16.8

15.5

18.3

5.8

14.3

7.0

-6.2

1.1

-0.2

2.6

-9.9

-1.4

y1.-y..

TOTAL

15.7

Contrastes e Hipótesis • Supongamos que se quiere comparar el grupo control con los demás tratamientos

• Comparar “primavera” con “otoño”

H1 : µ1 =

µ 2 + µ3 + µ 4 + µ5 + µ 6 + µ 7 6

µ 2 + µ 4 + µ 6 µ3 + µ5 + µ 7 H2 : = 3 3

Hipótesis • Contrastes comparan promedios en un modelo lineal:

 µ 2 + µ3 + µ 4 + µ5 + µ6 + µ7  H1 : µ1 −  =0 6    µ 2 + µ 4 + µ6   µ3 + µ5 + µ 7  H2 :  − =0 3 3    

Comparación Lineal • Un contraste es una combinación lineal de los promedios grupales para evaluar una comparación específica 1 1 1 1 1 1 ψ 1 = 1µ1 − µ 2 − µ3 − µ 4 − µ5 − µ 6 − µ 7 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 ψ 2 = 0 µ1 + µ 2 − µ 3 + µ 4 − µ5 + µ 6 − µ 7 3 3 3 3 3 3

Coeficientes • Usualmente los contrastes se expresan como un vector de coeficientes:

1 1 1 1 1 1  c1 = 1, − , − , − , − , − , −  6 6 6 6 6 6  = ( 6, − 1, − 1, − 1, − 1, − 1, − 1)  1 1 1 1 1 1 c2 =  0, , − , , − , , −   3 3 3 3 3 3 = ( 0, 3, − 3, 3, − 3, 3, − 3)

Número contrastes • Hay número infinito de contrastes – Deben cumplir Σciµi = 0

• Algunos no son interpretables – c=(14, -8, -2, -3, -1)

• Otros son redundantes…

Contrastes Redundantes

ψ 1 = 0 µ1 + µ 2 + µ 3 − µ 4 − µ5 ψ 2 = 4 µ1 − µ 2 − µ3 − µ 4 − µ5 ψ 3 = 2 µ1 − 0µ 2 − 0 µ3 − µ 4 − µ5 ψ 3 = ψ 1 +ψ 2

Ortogonalidad • En cada modelo se pueden establecer g-1 contrastes no redundantes • Dos contrastes independientes se denominan ortogonales • Geométricamente son perpendiculares

ψ ⊥ψ ′

• Hay un número infinito de g-1 grupos de contrastes ortogonales

Ortogonalidad • Los contrastes son ortogonales si: – producto puntual de dos filas es 0

ci ci′ ψ ⊥ψ ′ ⇔ ∑ =0 ni ι

Suma de Cuadrados • Un grupo de contrastes ortogonales parte SSE • Cada SSψ tiene un (1) grado de libertad • Se puede SS E =calcular SSψ + SSψF +  + SSψ 1

2

ψ2 SSψ = 2 g ci ∑i n i

g −1

Ejemplo

Contrastes polinómicos • Contrastes para ajustar polinomios • Requiere que niveles sean numéricos • Es casi lo mismo que una regresión • Polinomio depende de número de niveles – g=2 : lineal – g=3: lineal y cuadrático – g=4: lineal, cuadrático, cúbico

Contrastes polinomiales • Requieren mismo espacio entre niveles • Requieren igual n • Pueden usarse para otros casos, pero mejor usar regresion

k

Polinomio

1

2

3

3

Lineal

-1

0

1

1

-2

1

-3

-1

1

3

1

-1

-1

1

Cúbico

-1

3

-3

1

Lineal

-2

-1

0

1

2

2

-1

-2

-1

2

-1

2

0

-2

1

1

-4

6

-4

1

Cuadrático 4

Lineal Cuadrático

5

Cuadrático Cúbico Cuártico

4

5