Circunferencia Teoremas

CLASE Nº 12 Circunferencia y Círculo II

Aprendizajes esperados: • Aplicar los teoremas fundamentales relativos a Círculo y Circunferencia en la resolución de ejercicios.

Contenidos 1. Teoremas fundamentales - Ángulos 1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito 1.2 Igualdad de ángulos inscritos 1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia 1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia 1.5 Teorema del ángulo exterior 1.6 Teorema del ángulo interior

2. Teoremas fundamentales - Trazos 2.1 Teorema de las secantes 2.2 Teorema de la tangente y la secante 2.3 Teorema de las tangentes 2.4 Teorema de las cuerdas 2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

1. Teoremas fundamentales (ángulos) 1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo: Si el arco AB = 40º, entonces α = 40º

40°

O: centro de la circunferencia

Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo: Si el arco AB = 50º, entonces α = 25º

50°

Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.

2α Además, se cumple que:

α = γ + δ

Ejemplo: En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.

70°

O: centro de la circunferencia

1.2 Igualdad de ángulos inscritos Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.

α = β = γ

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.

180° O: centro de la circunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

Ejemplo:

α + β = 180° γ

+ δ

= 180°

1.5 Teorema del ángulo exterior Si α es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

1.6 Teorema del ángulo interior Si α es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

2. Teoremas fundamentales (trazos) 2.1 Teorema de las secantes Sean PA y PB dos secantes, entonces:

PA ∙ PD = PB ∙ PC

Ejemplo: En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6. PA y PB secantes.

12

x

6

20

PA ∙ PD = PB ∙ PC 12 ∙ PD = 20 ∙ 6 12 ∙ PD = 120 PD= 10

2.2 Teorema de la tangente y secante Sean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC ∙ PD

2.3 Teorema de las tangentes Sean PA y PC dos tangentes, entonces:

PA = PC

2.4 Teorema de las cuerdas Sean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

2.5 Cuadrilátero circunscrito Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

Ejemplo:

5+c=7+8 c = 10

a+c=b+d

Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 260 a la 267.