Circunferencia

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Circunferencia Escrito por: Guillermo Miranda Manrique Juan Carlos Cuadros

CIRCUNFERENCIA

Posición de una recta Medida de la TEOREMAS y dos circunferencias rcunferencia exterior PITOT tangente secante PONCELET Circunferencias exteriores Circunferencias secantes Circunferencias tangentes interiores Circunferencias tangentes exteriores Circunferencias interiores Circunferencias concéntricas EJERCICIOS

Medida de la Circunferencia

Medida Angular: Medida Lineal: 360º 2 Π .r

Medida de arcos X+Y+Z=360º en una circunferencia

Medida de una Circunferencia •Medida Angular: la medida angular de una circunferencia es igual a 360º. No interesa la longitud de su radio.

• Medida Lineal: La longitud lineal de una circunferencia es igual a 2p Si interesa cuanto mide su radio, pues a mayor radio, mayor longitud.

Medida de una arco • Tanto la circunferencia como un arco, se mide en unidades angulares, específicamente en grados sexagesimales. • Entonces, la medida de un arco será una fracción de 360º

Suma de arcos en una Circunferencia • Si una circunferencia se divide en varios arcos, la suma de todos estos arcos es igual 360º

POSICIÓN DE UNA RECTA Y CIRCUNFERENCIA; POSICIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

Exterior •

Es exterior cuando la recta no toca la circunferencia

Tangente • Esta se llama tangente porque solo toca un punto de la circunferencia

Secante • Se llama secante porque la recta cruza la circunferencia

Posición de dos circunferencias

•En posición de dos circunferencias solo existen seis casos que son los siguientes

Circunferencias exteriores • Cuando la suma de sus radios es menor que la distancia entre los centros • No tiene punto común

r

R

R + r es menor que la distancia entre sus

Circunferencias secantes • Cuando se cortan y tienen dos puntos comunes

R

r

R – r es menor la distancia de los centros y estos son menores que R +

Circunferencias tangentes exteriores • Cuando tienen un punto común y una se encuentra fuera de la otra • Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios

R

r

La suma de sus centros es igu aR+r

Circunferencia tangentes interiores • Cuando tiene un punto común y una se encuentra fuera de la otra • Aquí se cumple que la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios

r R

La distancia de sus centro Igual a R - r

Circunferencias interiores • Cuando no tiene punto común y esta dentro de la otra • Aquí la distancia entre sus centros es menor que la diferencia entre sus radios

R

r

Sus centros son menores que R - r

Circunferencia concéntricas • Cuando tienen el mismo centro • Ahí se cumple que la distancia entre sus centros es nula

La distancia de sus centros es 0

TEOREMAS

Teorema de Pitot • En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de lados opuestos tiene un mismo valor

B

A

C

D

BA + CD = AD + BC

Teorema de Poncelet • En todo triangulo rectángulo , la suma de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita

B

c a r C

b

a + b = c + 2r

A

PROPIEDADES ASOCIADAS A LOS ELEMENTOS

Ejercicios Propuestos •1.- Hallar “x”

Por un punto exterior a una circunferencia solo se pueden trazar dos tangentes, los segmentos determinados por sendas tangentes son congruentes B

AB = AC

A

C

El radio es perpendicular a la tangente

A O

L

Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes

A C

B D

CD //AB AC ≡ DB

A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes C

B

AB ≡ CD AB ≡ CD

A

D

EJERCICIOS

•2.- Hallar la medida de la circunferencia si su diámetro es 5 cm.

•3.- Hallar la longitud de la parte rayada:

•4.- Hallar “x” si: •A= 35º •C=120º •D=20º

CALCULAR “r”

41 rrr L

40

Utilizamos el teorema de Poncelet la suma de los catetos Q es igual a la suma de 9 la hipotenusa 9+40=41+2r F mas 2r

49=41+2r 8=2r r= 4

CALCULAR “X”,si AB=SL

S

A

AB-SR=RL

11 CM Q R

QS=SR

X

20C M

B L

20-11=X X=9

AC = 7, AB = 8 BC = 9 CALCULA AP •x+z=7, z+y=9, x+y=8

M

x A

x

y

B

•x+z=7 y N

P

z

z

•z+y=9 z=9-y C •x+y=8 2x+2y+2z=24 X+y+z=12

PROBLEMAS • Hallar la medida de

la circunferencia cuyo radio es 5

• C:

• C: • C:

5 RPTA : 10π

2π r 2π (5) 10π

• Se tiene los puntos ABCD, Halla el arco menor AB= X ; si BC=7x, CD= 7X, AD =3X

A 3X

• 7X + 7X + 3X + X =360 • 18X = 360 • X =20 X

B D 7X

RPTA : el arco AB mide

7X

C