Teoremas

Teorema.- En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

Teorema.- En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. uuuu r d  PP 1 2  x1  x2 uuuu r d  P2 P1  x2  x1

Teorema 2. La distancia d , entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), está dada por la formula: d 

 x2  x1 

2

  y2  y1 

2

Teorema 2. La distancia d entre dos puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) está dada por la formula: d

 x2  x1 

2

  y2  y1 

2

Notas: 2. El resultado del teorema es completamente general e independiente de la posición de los puntos. 3. La distancia es positiva, por esa razón no se toma en cuenta el signo negativo del radical.

Teorema 3: Si P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son los extremos de un segmento PP 1 2 , las coordenadas ( x, y ) del punto P que divide a este segmento en una razón dada r  PP son: 1 : PP2 x1  rx2 y1  ry2 x y y 1 r 1 r

con r  1

Demostración: Por los puntos P1 , P, P2 , tracemos perpendiculares a los ejes coordenados, como se indica en la figura

Por Geometría elemental , las tres rectas paralelas uuuu r uuu r uuuur P1 A1 , PA y P2 A2 , intersectan segmentos uuuu r uuuur proporcionales sobre las dos transversales PP 1 2 y A1 A2 .

Por lo tanto, podemos escribir uuu r uuur P1P A1 A uuur  uuuu r PP2 AA2

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a1 eje X son A1 ( x1 ,0), A( x,0), A2 ( x2 ,0).

Por tanto, es claro, por lo que ya vimos, que uuur A1 A  x  x1 uuuu r AA2  x2  x

uuur uuur PP A1 A 1 r r  uuur  uuuu PP2 AA2

uuur A1 A  x  x1

x  x1 r x2  x de donde x1  rx2 x 1 r siempre que r  1

uuuu r AA2  x2  x

Para las ordenadas tenemos uuur uuur P1 P B1B y  y1 uuur  uuuu r= y por tanto, PP2 BB2 y2  y

y  y1 r y2  y de donde y1  ry2 x 1 r siempre que r  1

En el caso particular en que P es el punto medio del uuuu r segmento dirigido PP 1 2 , es r  1, de manera que los resultados anteriores se reducen a x1  x2 x 2 e y1  y2 y 2

Corolario. Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido con puntos extremos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) son x1  x2 x 2

e

y1  y2 y 2

Notas: 1.- En geometría analítica, las relaciones deben de ser consideradas con su signo, ya que se tratan de segmentos rectilíneos dirigidos. 2.- Es preferible no sustituir directamente en las formulas del teorema, sino escribir directamente los valores de las razones. 3.- Si el punto de división P es externo al segmento dirigido P1P2, la razón r es negativa.

Teorema 4 : Si P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta y x1  x2 , la pendiente de la recta es : y1  y2 m  tan   x1  x2 (recordar que x1  x2 )

uuuu r Demostración: Consideremos la recta P1P2 de la figura, determinada por los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), y sea  su ángulo de inclinación.

Queremos demostrar que: y1  y2 m  tan   x1  x2

uuuu r uuuur Por P1 y P2 tracemos las perpendiculares P1 A1 y P2 A2 al eje X , y por P2 tracemos una paralela a1 eje X uuuu r que corte a P1 A1 en B.

Queremos demostrar que: y1  y2 m  tan   x1  x2

El ángulo PP 1 2 B   , y por Trigonometría, tendremos BP1 m  tan   P2 B

Queremos demostrar que: y1  y2 m  tan   x1  x2

Las coordenadas de los puntos A1 , A2 y B son A1  x1 ,0  , A2  x2 ,0  y B  x1 , y2  .

Por tanto, por el teorema 1, artículo 3, tenemos BP1  y1  y2 y P2 B  A1 A2  x1  x2 Queremos demostrar que: y1  y2 m  tan   x1  x2

BP1  y1  y2

y

P2 B  A1 A2  x1  x2

BP1 De la figura es evidente que m  tan   así que P2 B y1  y2 m  tan   x1  x2

Queremos demostrar que: y1  y2 m  tan   x1  x2

Teorema 5 El ángulo  formado por dos rectas está dado por la fórmula m2  m1 tan   , 1  m2 m1

cuando m2 m1  1

en donde m1 es la pendiente inicial y m2 es la pendiente final correspondiente al ángulo  .

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado es 0 grados ó 180 grados. En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero. Para que se cumpla la igualdad, el numerador debe ser igual a cero: m2  m1 0 1  m2 m1

es decir m1  m2

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado es 0 ó 180 grados. En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero. Para que se cumpla la igualdad, el numerador debe ser igual a cero: m2  m1 0 es decir m1  m2 1  m2 m1

Corolario1. La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales.

Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo formado entre ellas es de 90, pero tan 90 no esta definido, entonces usamos cotangente 1  m2 m1 cot   es decir m1m2  1 m2  m1

Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo formado entre ellas es de 90, pero tan 90 no esta definido, entonces usamos la cotangente 1  m2 m1 cot( )  es decir m1m2  1 m2  m1

Corolario 2. La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea igual a  1.

Teorema 5 El ángulo  formado por dos rectas está dado por la fórmula m2  m1 tan   , 1  m2 m1

cuando m2 m1  1

en donde m1 es la pendiente inicial y m2 es la pendiente final correspondiente al ángulo  .

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado es 0 grados ó 180 grados. En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero. Para que se cumpla la igualdad, el numerador debe ser igual a cero: m2  m1 0 1  m2 m1

es decir m1  m2

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado es 0 ó 180 grados. En ese caso, la tangente del ángulo es igual a cero. Para que se cumpla la igualdad, el numerador debe ser igual a cero: m2  m1 0 es decir m1  m2 1  m2 m1

Corolario1. La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales.

Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo formado entre ellas es de 90, pero tan 90 no esta definido, entonces usamos cotangente 1  m2 m1 cot   es decir m1m2  1 m2  m1

Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo formado entre ellas es de 90, pero tan 90 no esta definido, entonces usamos la cotangente 1  m2 m1 cot( )  es decir m1m2  1 m2  m1

Corolario 2. La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea igual a  1.

Con los resultados obtenidos en este capítulo es posible demostrar muy fácilmente muchos teoremas de la Geometría elemental por los métodos de la Geometria analitica. Se comprenderá el alcance de la Geometría analítica comparando la demostración analitica de un teorema con la demostración del mismo teorema dada en Geometria elemental.

En relación con la demostración analítica de un teorema, son necesarias ciertas precauciones. Como en la demostración se emplea un sistema coordenado , es muy útil construir la figura de manera que se facilite la demostración.

Una figura debe colocarse siempre en la posición más simple; es decir, en una posición tal que las coordenadas de los puntos de la figura simplifiquen lo más posible los cálculos algebraicos.

Por ejemplo, en un teorema relativo a un triángulo cualquiera, la figura puede suponerse tal como se indica en la figura 17(a), teniendo los vertices las coordenadas que se indican.

Pero es más sencillo suponer el triángulo en la posición indicada en la figura 17(b); en efecto, para esta posición solamente tenemos tres cantidades, a , b y c que considerar, mientras que si consideramos el triángulo dado en la figura 17(a) serán seis las cantidades que entrarán en nuestros cálculos.

Una posición análoga a la dada en la figura 17(b) es aquella en que ningún vértice está en el origen, pero un vértice está sobre uno de los ejes coordenados y los otros dos están sobre el otro eje coordenado.

Por afán de simplificación no se debe caer, sin embargo, en el extremo opuesto y situar la figura de tal manera que el teorema quede restringido.

Por ejemplo , las coordenadas para los vertices del triángulo de la figura 17(c) contienen solamente dos cantidades a y b, pero está figura es el caso especial de un triángulo rectángulo y no servirá para la demostración de un teorema relativo a un triángulo cualquiera.

Para todas las variables se deben usar letras, simbolos, no se deben usar números concretos.

Como primer paso en la demostración analítica de un teorema , se debe dibujar un sistema de ejes coordenados y, despues, colocar la figura en una de las posiciones más simples, sin particularizar el teorema, tal como se explicó en el párrafo anterior.

A continuación todos los puntos comprendidos por el teorema deberán designarse por coordenadas apropiadas marcadas sobre la figura. El procedimiento a seguir después de esto depende de la propiedad o propiedades particulares que van a dernostrarse y se comprenderá mejor por medio de ejemplos.

uuuu r Longitud P1P2 de un segmento de recta dirigido, uuuu r P1P2 , con punto inicial P1 y punto final P2 . uuuu r P1 P2 coincidiendo con el eje X ; P1 ( x1 , 0) y P2 ( x2 , 0). uuuu r P1 P2 paralelo al eje X ; P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), y  0. uuuu r P1P2  x2  x1 uuuu r P1 P2 coincidiendo con el eje Y ; P1 (0, y1 ) y P2 (0, y2 ). uuuu r P1 P2 paralelo al eje Y ; P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), x  0. uuuu r P1P2  y2  y1

Distancia d entre dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) : d

 x1  x2 

2

  y1  y2 

2

Coordenadas ( x, y ) del punto P que divide a1 uuuu r segmento rectilineo dirigido PP 1 2 , con puntos extremos dados P1 y P2 , en la razón dada uuur uuur uuur PP 1 u u ur , r  PP : PP  1 2 PP2 x1  rx2 x 1 r y1  ry2 y 1 r con r  1

Coordenadas ( x, y ) del punto P medio del uuuu r segmento rectilineo dirigido PP 1 2 , con puntos extremos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), x1  x2 x 2 y1  y2 y 2

Pendiente m de la recta que pasa por los dos puntos dados diferentes P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), y1  y2 m x1  x2 con x1  x2

Angulo  formado por dos rectas con pendiente inicial m1 y pendiente final m2 , m2  m1 tan   1  m1m2 con m1m2  1

Condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas dadas de pendientes m1 y m2 , m1  m2 Condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de dos rectas dadas de pendientes m1 y m2 , m1m2  1