Teoremas Referentes A Una Circunferencia

C U R S O : MATEMÁTICA MATERIAL N° 022-I GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17 UNIDAD: GEOMETRÍA TEOREMAS REFERENTES A UNA CIRCUNFERENCIA TEOREMA 1

Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la dimidia y viceversa. O

OD ⊥ AB ⇔ AC ≅ CB

C

A

TEOREMA 2

Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que subtiende la cuerda y viceversa.

B

D

q ≅ DB q OD ⊥ AB ⇔ AD EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, OD ⊥ AB . Si AC = 4 cm, OC = DC =

A) B) C) D) E)

2.

1 BC , entonces OD mide 2

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 10 cm

O

A

Fig. 1

C D

B

En la circunferencia de centro O de la figura 2, AD = DC . Si entonces α mide A) B) C) D) E)

3 BC y 4

18º 36º 54º 72º No se puede determinar

( CBD = 4α y ( DCB = α,

O A

D B

C

Fig. 2

TEOREMA 3

Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y viceversa. q ≅ CND q ⇔ CD ≅ AB AMB

N

D

TEOREMA 4

E

Cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa.

C

O

OF ≅ OE ⇔ CD ≅ AB

A

TEOREMA 5

F

G

Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.

M

B H

q ≅ BH p AB // GH ⇒ AG EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, AD y CB son diámetros. Si OC = 4 cm y CD = 5 cm, entonces OA + OB + AB es

A) B) C) D) E)

9 cm 12 cm 13 cm 14 cm 15 cm

A B

O

C

Fig. 1 D

2.

3.

Para que la cuerda AB sea paralela a la cuerda CD en la circunferencia de centro O de la figura 2, debe cumplirse que A)

AB = CD

B)

AC = BD

C)

AR = CQ

D) E)

OR = OQ AB = CD

A C

En la circunferencia de centro O de la figura 3, Si ( OEF = 27º, entonces el ( EFB mide A) B) C) D) E)

27º 36º 43º 53º 63º

R

B O Fig. 2

D

Q

AB = CD , OE ⊥ CD y OF ⊥ AB .

D E O

C

A

Fig. 3 F

2

B

TEOREMA 6

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP

O

Q

r P

TEOREMA 7

Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia, son congruentes. B PA = PB

P

A EJEMPLOS

1.

En la figura 1, PT es tangente a la circunferencia de centro O y OT es radio. Si OP = 10 y OT = 5, entonces PT = T

2.

A)

15

B)

5 3

C) D) E)

5 5 15 20

Fig. 1

En la figura 2, PQ y PR son tangentes a la circunferencia de centro O, en Q y R respectivamente. Si ( PQR = 6 t – 2 y ( PRQ = 4t + 22, entonces la medida del ángulo Q QPR es A) B) C) D) E)

3.

P

O

12º 40º 70º Otro valor No se puede determinar

O

P

Fig. 2 R

HJJG En la figura 3, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor del ( x? A) B) C) D) E)

36° 26° 18° 12° Falta información

A

O

E

x

126°

D 3

Fig. 3

TEOREMA 8

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de los lados opuestos es la misma. D C

AB + DC = BC + AD

B A EJEMPLOS

1.

¿Cuál es la suma de los lados del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia de la figura 1? C 5 A) B) C) D) E)

34 32 28 22 14

D 4 3 Fig. 1

B 2 En la figura 2, la circunferencia de centro O, está inscrita en el cuadrilátero ABCD, siendo A

2.

F y E puntos de tangencia. Si DF = 5 cm, DA = 12 cm, EB = 6 cm y CF = 8 cm, entonces la suma de los lados del cuadrilátero es F D C A) 31 cm B) 44 cm C) 50 cm D) 52 cm O E) 54 cm Fig. 2 B E En la figura 3, la circunferencia de centro O es tangente interior al cuadrilátero ABCD en los AB = x + 4, BC = x + 5, DC = x + 2 y DA = 2x – 1, puntos E, F, G y H. Si A

3.

entonces AD = A) B) C) D) E)

D

2 3 4 6 7

H

G

O

C

F Fig. 3

A 4

E

B

EJERCICIOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, mide A) B) C) D) E)

p ≅ BC p . Si ( AOC = 100º, entonces x AB

25º 40º 45º 50º 70º

O 2x A

C

D

Fig. 1

B 2.

En la circunferencia de centro O (fig. 2),

OD ⊥ AB . Si

AC = 3x + 5 y BC = x + 15,

entonces AB mide A) B) C) D) E)

5 10 15 20 40

O

B

C

A

Fig. 2 D

3.

En la figura 3, la circunferencia de centro O está inscrita en el ∆ABC, siendo D, F y E los puntos de tangencia. Si AD = 4 cm, DB = 6 cm y CE = 2 cm, entonces el perímetro del C triángulo es A) B) C) D) E)

12 15 18 21 24

cm cm cm cm cm

E

F O

Fig. 3 A

4.

B

D

En la circunferencia de centro O (fig. 4), ( ABO = ( BOC = 2 ( BOA. Entonces, ( CBO = A) B) C) D) E)

36º 45º 54º 60º 72º

O C 5

A B

5.

Fig. 4 En la circunferencia de la figura 5, las cuerdas AB y CD son congruentes. p = 10x + 5 y CD p = 12x - 21, entonces la medida del arco AB es AB B D A) 135º B) 75º C) 125º D) 151º E) Ninguna de las anteriores A

Si

Fig. 5 C 6.

En la circunferencia de centro O de la figura 6, se tiene: ∆OBC es A) B) C) D) E)

AC = BC = OC . Entonces, el

B

Equilátero Acutángulo Isósceles acutángulo Isósceles rectángulo Rectángulo escaleno

D

C

O

Fig. 6 A 7.

Si la figura 7,

SP ,

SR

y

RQ

son tangentes a la circunferencia de centro O, en los

puntos P, T y Q respectivamente. Si A) B) C) D) E)

8.

3 4 5 6 7

SP SR

=

2 y SP + RT = 15 cm, entonces ST = 5

T

S

cm cm cm cm cm

R

O

P

Q Fig. 7

AB = 12 cm,

En la circunferencia de centro O de la figura 8, se tiene:

CP = 6 cm,

OQ = 3 cm, OP ⊥ CD y OQ ⊥ AB . Entonces, la medida de OP es

A) B) C) D) E)

B

2 cm 3 cm 6 cm 10 cm Faltan datos para determinarlo

P

C Q

D

O Fig. 8

A 6

9.

En la circunferencia de centro O (fig. 9), tangente en B. Entonces, ( x =

AB

y CD son diámetros,

( AOD = 120º y L

D A) B) C) D) E)

30º 45º 50º 60º 70º

L A

O B x

Fig. 9

C

10.

En la circunferencia de la figura 10, EO = OD , BD = DC y ( EOD = 70º. Si O es centro de la circunferencia, entonces ( x = B A) 20º x D C B) 35º C) 55º E D) 60º O E) 72,5º A Fig. 10

11.

son tangentes a la circunferencia de centro O en los puntos p = QM q = MN p . Entonces el valor del ( MPQ es M y Q respectivamente. Además NQ En la figura 11,

A) B) C) D) E)

PM y PQ

Q

120º 100º 90º 60º Ninguna de las anteriores

N

P

O

Fig. 11 M

12.

En la figura 12, la circunferencia con centro O está inscrita en el cuadrado ABCD. BC = 6 y OC intersecta a la circunferencia en el punto E, entonces EC = A)

3 2 -3

B)

3-

C) D)

3 2 +3 3 3 2 -3 2

E)

D

C

2

E O

A

7

Fig. 12 B

Si

13.

HJJG HJJG HJJG En la figura 13, se tiene: AC , AB y BE tangentes a la circunferencia de centro O en C, HJJG HJJG D y E respectivamente. Si AC // BE , entonces la medida del ángulo AOB es A) B) C) D) E)

C

A

30º 60º 90º Faltan datos para determinarlo Ninguna de las anteriores

O

D

Fig. 13 B

14.

15.

E

AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 14). La medida del ( ABC se puede determinar si:

(1)

AB = 2 AC

(2)

( COB = 2 ( AOC

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

B O Fig. 14

C

A

En la figura 15, los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O. Se puede determinar la medida del ángulo AOC si: A

(1)

( OAB = 40º

(2)

( OCB = 55º

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

O B Fig. 15 C

RESPUESTAS CLAVES PÁG. 5 Ejemplos

Págs.

1 2 3 4

1

2

3

D C B C

A B B D

E C B

1. 2. 3. 4. 5.

A E E C A

6. 7. 8. 9. 10.

D D B D B

11. 12. 13. 14. 15.

D A C D C DCIMA022-I

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