Cercle

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PERSPECTIVE DU CERCLE

-7-

Sommaire général

SOMMAIRE - Image du cercle horizontal .............................................................2 à 3 - Construction du cercle horizontal ...................................................4 à 5 - Construction du cercle vertical : une arcade ........................................ 6 - Contour apparent d’un volume de révolution Points extrêmes de l’image d’un cercle ................................................7 - Construction des points extrêmes de l’image d’un cercle ....................8

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PERSPECTIVE DU CERCLE

Sa projection en perspective est généralement une ellipse, mais ce peut être une parabole ou une hyperbole.

IMAGE DU CERCLE HORIZONTAL > fiche 26 Elle est formée par l'intersection avec le tableau du cône visuel s'appuyant sur le cercle. [en géométrie : voir section plane d'un cône = > les coniques] Le cône visuel est déterminé par le cercle horizontal et l’œil Le plan sécant est le plan du tableau (image du cercle) Pour définir le type de section plane, on mène par l’œil, sommet du cône, un plan parallèle au tableau, le plan de vue. Les points objets situés dans le plan de vue ont leurs images situées à l’infini. La méthode consiste à examiner si des points du cercle objet se trouvent dans le plan de vue. Les points du plan du cercle qui se projettent à l’infini appartiennent donc aussi au plan de vue : ils sont situés sur la droite d’intersection plan du cercle / plan de vue, soit la droite ∆ 3 cas se présentent : (vue de profil)

1

(axonométrie)

La projection de l’œil sur le plan horizontal est à l’extérieur du cercle plan sécant

(T)

> fiche 26

T

.

plan de vue Œ

Œ

image

.

.

plan de vue

∆

image cercle horizontal

∆

cercle

intersection : 1 point (sommet du cône) pas de point objet dans le plan de vue 0 point image à l'infini

plan parallèle au tableau passant par l’œil = plan de vue les points situés dans le plan de vue ont leur image à l’infini.

tableau (plan sécant du cône visuel)

ELLIPSE rappel ELLIPSE : Lieu des points tels que MF + MF' = 2a x2 y2 Equation rapportée à ses axes de symétrie : a2 + b2 = 1

T

(T)

plan de vue

.

Œ génératrice

> fiche 26

. O

.

∆

cercle

plan de vue image

intersection selon 1 génératrice 1 point objet dans le plan de vue 1 point à l'infini

.

Œ

génératrice

2

La projection de l’œil sur le plan horizontal est sur la circonférence

cercle horizontal

x

PARABOLE 1 point à l'infini dans la direction de Ox rappel PARABOLE : Lieu des points tels que MF = MH (H sur la directrice) Equation rapportée à son axe de symétrie et sa tangente au sommet : y2 = 2px (p : paramètre) J.C. RÉMOND - COURS DE PERSPECTIVE - EAML

∆

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PERSPECTIVE DU CERCLE (suite) T

> fiche 26

.

(T)

as

Œ

asy

mp

tote

3

La projection de l’œil sur le plan horizontal est à l’extérieur du cercle

.

plan de vue

ym pt

ot

e

. .

Œ

∆

cercle image

génératric e

∆ cercle horizontal

plan de vue

intersection selon 2 génératrices 2 points objets dans le plan de vue : 2 points à l'infini plan tangent (au cône) selon génératrice

HYPERBOLE 2 points à l'infini dans la direction des asymptotes les asymptotes sont définies par l'intersection du plan sécant (tableau) avec les 2 plans tangents au cône selon les 2 génératrices rappel HYPERBOLE : lieu des points tels que MF - MF' = 2a x2 y2 Equation rapportée à ses axes de symétrie : 2 - 2 = 1

a

b

> fiche 27

isu

el

EXEMPLE

Asymptote : droite telle que la distance d’un point à cette droite tend vers zéro quand le point s’éloigne à l’infini

ch

am

pv

Un théâtre circulaire (ou cirque) comportant 5 gradins Le spectateur est sur le 3ème gradin Il regarde les gradins selon un angle de champ (66°) correspondant au tableau

I

E1 E2 P H1 H2

Les gradins sont vus par le spectateur selon : - 1 ellipse complète - 1 ellipse partielle - 1 parabole - 2 hyperboles

1 tableau

.

66°

plan de vue // au tableau

Œ

2 3 4 5

P

LH

H2 H1

..

I

P

C

E2 E1 Nota : Le centre I du cercle, à l'intersection des diagonales du carré circonscrit, ne coïncide jamais avec le centre C de l'ellipse.

T

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PERSPECTIVE DU CERCLE (suite) CONSTRUCTION DU CERCLE HORIZONTAL > fiche 28 D 2

D1

P

8 4

a

<

(R)

5

>

A

ca 2

b

c

7

7

B

C

3

n

3

N

5

8

4

< >

1

<

M

>

2

1

m

6 6

GEOMETRAL

2 A noter l'orientation du grand axe de l'ellipse (voir fiche "ellipses")

Le cercle est déterminé par 8 points (ou 4) et les tangentes en ces points (voir géométral ci-dessus). La construction s'effectue à l'aide de 2 (ou 1) carrés circonscrits : 1 carré [1-2-3-4] comprenant 2 cotés perpendiculaires au tableau (point de fuite en P) : les deux autres cotés sont des frontales horizontales (longueurs en vraie grandeur) les diagonales de ce carré fuient aux points de distance. 1 carré [5-6-7-8] dont les cotés font 45° avec le tableau : les cotés fuient aux points de distance.

EPURE

le diamètre image acb est donné (il est frontal) le point de distance D1 est donné

D'où les tracés suivants : - Tracer aP et bP - Construire le point 4, situé sur c4 diagonale du carré fuyant vers D1 (les 2 diagonales du carré font 45° avec le tableau) : le point 4 est l’intersection de aP et cD1 ca D > possibilité d'utiliser le point de distance réduit avec 2 2 - Tracer les points 3 - 2 - 1 - Construire 5 et 7 (distance 5-7 en vraie grandeur, comme acb) Trois solutions : - Mesurer sur le géométral et reporter les les longueurs à l’échelle

5

a

c

b

7

c

b

7

R 5

a

- Construire en reproduisant la figure en géométral sur l’épure : tracer le 1/2 cercle de diamètre ab mener les rayons à 45° et les tangentes qui coupent le diamètre ab en 5 et 7 - Calculer la longueur c-5, hypoténuse du triangle rectangle isocèle de coté (R) : (voir géométral ci-contre) c52 = 2R2 c5 = R√2 R = 1 ou encore : cos 45° = c5 c5 = R√2 √2

- Tracer 5-D qui coupe cP en 6 et 7-D qui coupe cP en 8 - Tracer les tangentes et l'ellipse. J.C. RÉMOND - COURS DE PERSPECTIVE - EAML

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PERSPECTIVE DU CERCLE (suite)

CONSTRUCTION DU CERCLE HORIZONTAL (suite) CONSTRUCTION DES DEUX CARRÉS CIRCONSCRITS AU CERCLE HORIZONTAL > fiche 29

V

D1

P

4

a

8 4

b

c

3

N

1

(R)

<

5

3

>

A

C

2

7

B

V’

< >

1

<

M

>

2

6

V

D1

P

8 3

a

5

b

c

1 Points 1 et 3 définis ci-dessus V’

6

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7

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PERSPECTIVE DU CERCLE (suite) CONSTRUCTION DU CERCLE VERTICAL : UNE ARCADE

> fiche 30 N

s

. . <

>

<

2

E

h1

>

>

.

.

<

>

f

C

F

.

<

(D)

1

(R) <

h2

h2

n

e

c

(D)

A

M

B

>

FQ1

FQ2

F

LH

h1

. b

.

m

a A

LT M

B

Sont données : - le géométral, échelle 1x - LH, LT, échelle du tableau 3x - la fuyante abF, ab étant la largeur de l'arcade AB en perspective - Construire le milieu m de ab (avec AM = MB = rayon de l'arcade). La verticale passant par m est l'axe vertical de l'arcade (axe décalé en perspective). - Construire une échelle (simple) des hauteurs, nécessaire si le point F est hors épure. - Construire la partie rectangulaire a-b-e-f de hauteur h1, (af vu en vraie grandeur)

s

- Construire le demi-cercle vertical. Construire le rectangle (double carré) enveloppe du demi-cercle à l'aide de l'échelle des hauteurs : h2 = rayon (R) de l'arcade.

n

Les points 1 et 2 sont sur les diagonales des carrés. > voir dessin en géométral ci-contre :

2

1

Construire la droite 1-2 à une distance (D) de c : la distance (D) = coté du triangle rectangle isocèle R d'hypoténuse égale au rayon (R) du demi-cercle D=

√2

Construire le point s, rencontre des tangentes à 45° et situé sur l’axe de l’arcade : cs = hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de coté (R) cs = R√2

(D)

(D)

c

s (R)

> voir dessin en géométral ci-contre : - Mener les tangentes en 1 et 2 - Tracer la demi-ellipse (tracer l’ellipse entière permet de mieux contrôler la forme)

(R)

A noter l'orientation des axes de l'ellipse (voir fiche "ellipses")

c J.C. RÉMOND - COURS DE PERSPECTIVE - EAML

(R)

(R)

R√2

PERSPECTIVE DU CERCLE (suite) CONTOUR APPARENT D’UN VOLUME DE RÉVOLUTION POINTS EXTRÊMES DE L'IMAGE D'UN CERCLE

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> fiche 31

2 points de l'image d'une circonférence sont remarquables : > le point le plus à gauche > le point le plus à droite

LH

F

F'

Soit l'image d'un cercle horizontal de centre C. Mener 2 tangentes perpendiculaires à LH, soit tF et t'F'

C' t'

t Ces 2 tangentes sont les images de 2 tangentes horizontales. (car les tangentes à une courbe plane sont dans le plan de cette courbe, ici un plan horizontal) Ces 2 tangentes images horizontales ont chacune 1 point de fuite : elles sont donc en réalité convergentes (et non parallèles) puisque coplanaires. T

nota : il s'agit ici d'une image non conforme à la vision réaliste attendue en perspective pour deux droites convergentes (voir démo informatique). F F'

Les points t et t' sont les images des points de contact avec le cercle de 2 tangentes issues de la projection Œ' de Œ sur le plan du cercle.

Œ

t

Explications

T

t'

Construire : 1 - le cercle C horizontal T' 2 - placer Œ et sa projection Œ' 3 - tracer les tangentes au cercle par Œ' : Œ'T et Œ'T' : T et T' sont les points extrêmes du cercle vu de Œ 4 - construire F et F' points de fuite des tangentes 5 - le plan visuel vertical passant par T (un des 2 plans visuels) contient : Œ'T, ŒT (rayon visuel), ŒF Il a pour trace sur le tableau la verticale NF 6 - t est l'image de T sur le tableau. t est contenu dans le plan visuel et est donc sur NF (idem pour t') 7 - l'image du cercle est contenue entre t et t' (points extrêmes)

Œ’

Conséquences : 1 les rayons visuels ŒT et ŒT' inscrits dans le plan visuel ont pour images les droites NtF et N't'F' 2 les tangentes Œ'T et Œ'T' concourantes ont également pour image NtF et N't'F'

T

3 les verticales passant par T et T' ont pour image NtF et N't'F'

F' P

Œ

F

.

t'

B (C)

A

H

t en

Conclusion :

e em ax att b ra

.

T'

.

plan visuel vertical Œ Œ'T N F

t

N'

.

LH

Œ’

N

T cercle rabattu

Déterminer les points extrêmes de l'image d'un cercle, c'est en même temps établir les images des génératrices de contour apparent du cylindre vertical qui aurait pour base cette circonférence. Plus largement les points extrêmes de l'image d'un cercle permettent d'établir le contour apparent, le profil d'un volume de révolution : cylindre, cône, hyperboloïde ou tout autre volume (exemple : une colonne classique). J.C. RÉMOND - COURS DE PERSPECTIVE - EAML

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PERSPECTIVE DU CERCLE (suite)

Sommaire général

CONSTRUCTION DES POINTS EXTREMES DE L'IMAGE D'UN CERCLE

> fiche 32

Soit ab l'image d'un diamètre de front d'un cercle horizontal de centre C. La construction s'appuie sur une méthode basée sur le rabattement du cercle horizontal objet AB pour le rendre frontal (voir figure précédente). L'image du cercle AB rabattu dans le plan frontal est un cercle homothétique de diamètre ab dans le tableau (plan frontal). Il est démontré que la distance principale mesurée à partir de ab nous donne une position Œ'' homothétique (dans le même rapport d’homothétie) de l’œil transformé dans le rabattement. (voir DURAND p.111) D'où le tracé suivant : - Décrire le cercle ab de centre c. - Porter la distance principale à partir de ab, soit Œ'' sur la verticale principale VV'. - Par Œ'' tracer les tangentes en t1et t'1. - Intersection de ces tangentes avec l'image de l'axe de rabattement : les points doubles n et n'. - L'image de ces tangentes sont : pour Œ"n => image nF pour Œ"n' => image n'F' nF et n'F' forment le contour apparent du cylindre ayant comme base le cercle horizontal acb. On peut s’arrêter là, si le contour apparent suffit (le tracé de la base elliptique n’étant visible dans le dessin). Construction de l’ellipse : - Les points extrêmes sont sur nF et n'F'. - On cherche les images t et t' de t1 et t'1. - Construction du point t’ (idem pour t) : L' image t' de t'1 est le point d'intersection de n'F' avec une deuxième droite : Par t'1 on mène une perpendiculaire au tableau, donc perpendiculaire à l'axe frontal de rabattement; dans le rabattement elle reste perpendiculaire à ab, d'où un point double.

F'

L'image de cette deuxième droite passe par P et le point double, d'où le point t'. image de l'axe de rabattement dans le plan frontal

V P

.. .

c

n' a

b t1

t'

t'1 distance principale

points doubles ils ne sont pas transformés dans le rabattement

F

t'1 homothétique de T'

ellipse tracée pour valider la démonstration figure (cercle + Œ" dans le plan frontal du tableau) homothétique du géométral (cercle objet) rabattu dans le plan frontal.

Œ’’ V' J.C. RÉMOND - COURS DE PERSPECTIVE - EAML