Resume Chap Cercle 3eme 09-10

Vous trouvez dans ce qui suit un résumé des notions des chapitres « Cercle et tangentes » et « Quadrilatère inscriptible ».

Tangente à un cercle a) Définition : La tangente à un cercle est la droite perpendiculaire à un rayon du cercle en son extrémité sur le cercle. b) Démontrer qu’une droite est tangente à un cercle: 1er méthode : Démontrer que la distance du centre du cercle à la droite est égale à la mesure du rayon. Attention dans cette méthode, on parle de la distance étant la mesure du segment perpendiculaire menée du centre à la droite. 2eme méthode : Démontrer que la droite est perpendiculaire au rayon en son extrémité sur le cercle. Attention dans cette méthode, il faut vérifier deux parties : • La droite est perpendiculaire au rayon. • L’extrémité du rayon différente du centre est un point du cercle : par donnée, ou déjà démontré dans une partie précédente ou c’est à démontrer (voir remarque suivante) Remarque : Pour démontrer qu’un point est un point d’un cercle donné, il faut démontrer que la distance du centre à ce point est égale à la mesure du rayon du cercle.

Quadrilatère inscriptible ou points cocycliques a) Définition :Un quadrilatère est dit inscriptible lorsqu’il existe un cercle passant par ces quatre sommets. On peut dire aussi que les sommets sont des points appartenant à un même cercle ou des points cocycliques. b) Démontrer qu’un quadrilatère est inscriptible ou démontrer que des points appartiennent à un même cercle. 1er méthode : Démontrer que ces points sont situés à égale distance d’un point fixe donné. Si on démontre que MA=MB=MC=MD alors les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle du centre le point M. 2eme méthode : Démontrer qu’il existe deux ou plusieurs triangles sont rectangles et qu’ils ont la même hypoténuse. Par suite, les sommets de ces triangles appartiennent au cercle de diamètre leur hypoténuse commune et de centre le milieu de l’hypoténuse. Attention, il faut bien lire l’énoncé du problème. Des fois, on nous demande de déterminer le rayon alors il suffit de dire que le rayon est la moitié de l’hypoténuse (diamètre) mais sans aucun calcul ou aucune mesure. D’autre fois, on nous demande de calculer la mesure du rayon alors il faut donner cette mesure étant la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Axe de symétrie a) Théorème : La droite joignant le point d’intersection de deux tangentes d’un même cercle au centre du cercle est un axe de symétrie de la figure formée par le cercle et les deux tangentes. b) Conclusions de l’axe de symétrie : On donne un cercle ζ (O, R). (AE) et (AF) sont deux tangentes au cercle ζ en E et F respectivement. 1) Le point d’intersection de deux tangentes d’un même cercle au centre du cercle est équidistant aux deux points de tangences d’où AE=AF. •

La droite joignant le point d’intersection de deux tangentes d’un même cercle au centre du cercle est : 2) bissectrice de l’angle au centre d’où [OA) est bissectrice de l’angle EOF. 3) bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes d’où [AO) est bissectrice de l’angle EAF. 4) médiatrice du segment formé par les deux points de tangences d’où (AO) est médiatrice de [EF].

Triangle semi- équilatéral a) Définition : Un triangle semi- équilatéral est un triangle ayant les angles de mesures respectifs 90 0 ; 60 0 et 30 0 . b) Démontrer qu’un triangle est semi-équilatéral. Il suffit de démontrer l’un des cas suivants : 1er méthode : Le triangle a deux angles de mesures respectifs (90 0 ; 60 0 ) ou (90 0 ; 30 0 ) ou (30 0 ; 60 0 ). 2eme méthode : Le triangle est rectangle ayant l’un des côtés qui vaut la moitié de l’hypoténuse. c) Propriétés des côtés dans un triangle semi-équilatéral. Dans un triangle semi-équilatéral : côté opposé à 30 0 =

hypoténuse 2

côté opposé à 60 0 =

hypoténuse 2

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