Cbr Kalkulus.docx

5.6

VOLUME Pertimbangkan grafik y =f(x) pada Gambar. 1. Jika setengah bidang atas diputar tentang sumbu x, maka setiap titik pada grafik memiliki jalur melingkar, dan keseluruhan grafik menyapu keluar permukaan tertentu, yang disebut permukaan revolusi.

Wilayah bidang dibatasi oleh grafik, sumbu x, x=a dan x=b menyapu a solid revolusi. Untuk menghitung volume padatan ini, kami pertama-tama memperkirakannya sebagai terbatas jumlah silinder bundar kanan tipis, atau disk (Gbr. 2). Kami membagi interval menjadi [a,b] subinterval yang sama, masing-masing panjang ∆x. Dengan demikian, ketinggian h setiap disk adalah ∆x (Gbr. 3). Jari-jari setiap disk adalah f(x1), di mana x1 titik akhir kanan subinterval itu menentukan disk itu. Jika f(x1) negatif, kita bisa menggunakan |f (x1)|

Karena volume silinder sirkuler kanan diberikan oleh V =𝜋r2h

atau Volume = area ketinggian dasar, masing-masing disk aproksimasi memiliki

volume 𝜋|f(x1)|2 ∆x = 𝜋[f(x1)]2∆x Volume solid revolusi didekati dengan jumlah volume semua disk: 𝑛

V = ∑𝑖=1 π[ f(x1)] 2 ∆x Volume aktual adalah batas ketika ketebalan disk mendekati nol, atau jumlah disk mendekati tak terhingga: V = lim

𝑛→∞

𝑛

𝑏

∑𝑖=1 π[ f(x1)] 2 ∆x= ∫𝑎 𝜋 [ f(x1)] 2 dx

(Lihat Bagian 4.2.) Artinya, volume adalah nilai integral integral dari fungsi y = π [f(x1)] 2 dari a ke b.

5.7 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan derivatif, atau diferensial. 𝑑𝑃 𝑑𝑡

= kP, atau P’(t)= k *P(t),

di mana P atau P(t) adalah populasi pada waktu t. Persamaan ini adalah model tanpa hambatan pertumbuhan populasi. Solusinya adalah fungsinya. P(t)= Poe kt

di mana konstanta P0 adalah ukuran populasi t= 0. pada contoh ini menggambarkan, persamaan diferensial kaya akan aplikasi dan memiliki solusi yang berfungsi.

Memecahkan Persamaan Diferensial Tertentu Pada bagian ini, kita akan sering menggunakan notasi y’ untuk turunan — terutama karena itu sederhana. y=f(x) Jadi, kalau begitu. 𝑑𝑦

y =𝑑𝑥 =f(x). Kami benar-benar menemukan solusi dari persamaan diferensial tertentu ketika kami menemukan antiderivatifnya atau integral tak terbatas. Persamaan diferensial 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= g(x), atau y’=g(x),

punya solusinya

y =∫ g (x) dx.

Pemisahan Variabel Pertimbangkan persamaan diferensial 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2xy.

Kami memperlakukan dy/dx sebagai hasil bagi, seperti yang kami lakukan di Bagian 2.6 dan 4.5. Mengalikan persamaan (1) saat itu juga 1/y, kita dapatkan.

𝑑𝑦 𝑦

= 2x dx,

y≠0.

Kami sekarang telah memisahkan variabel, artinya semua ekspresi yang terlibat adalah di satu sisi dan semua yang terlibat ada di sisi lain. Kami kemudian mengintegrasikan kedua sisi persamaan (2):

∫

𝑑𝑦 𝑦

= ∫ 2x dx

ln |y|= x2+C.

Kami hanya menggunakan satu konstanta karena dua antiderivatif berbeda oleh, paling banyak, konstanta. Ingatlah bahwa definisi logaritma mengatakan bahwa log 𝑎 𝑏=t jika demikian, b=at. kita miliki ln |y|= log 𝑒 |𝑦|=x2+C,so |y| = ex2+C, atau y= ±ex2. ec Dengan demikian, solusi untuk persamaan diferensial (1) adalah y =C1ex2 , dimana C1= ±ec Bahkan, C1 masih merupakan konstanta arbitrer

Aplikasi untuk Psikologi: Reaksi terhadap Stimulus Dalam psikologi, salah satu model stimulus-respons menegaskan bahwa laju perubahan dR/dS dari reaksi sehubungan R dengan stimulus berbanding terbalik intensitas rangsangan. Itu adalah, 𝑑𝑅 𝑑𝑆

𝑘

= 𝑆′

di mana k adalah konstanta positif Untuk menyelesaikan persamaan ini, pertama-tama kita pisahkan variabel:

dR =k

𝑑𝑆 𝑆

Kami kemudian mengintegrasikan kedua sisi: 𝑑𝑆

∫ 𝑑𝑅= ∫ 𝑘* 𝑆

R=k ln S + C. S> 0

Sekarang anggaplah So bahwa kita membiarkan level terendah dari stimulus yang dapat dideteksi.Ini adalah nilai ambang, atau ambang deteksi. Misalnya, level terendah suara yang dapat dideteksi secara konsisten adalah detak jam tangan dari jarak 20 kaki, di bawah kondisi sangat sunyi. Jika S0 tingkat stimulus terendah yang dapat dideteksi, tampaknya masuk akal itu R(S0)=0. Mengganti kondisi ini menjadi persamaan (3), kita dapatkan 0=k ln S - kln So Atau -k ln So=C. Mengganti C persamaan (3) dengan memberi kita -k ln S0 R = k ln S – k ln So =k (ln S – ln So).

Menggunakan properti logaritma, kami miliki R=k*ln S S0 Lihatlah grafik dan di bawah. Perhatikan bahwa ketika stimulus semakin besar,tingkat perubahan menurun; yaitu, perubahan dalam reaksi menjadi lebih kecil seperti stimulasi yang diterima menjadi lebih kuat. Misalnya, misalkan lampu memiliki daya 50 watt bohlam di dalamnya. Jika bola lampu tiba-tiba diubah menjadi 100 watt, Anda mungkin akan sangat menyadari perbedaannya. Artinya, reaksi Anda akan kuat. Jika bohlam itu kemudian diubah menjadi 150 watt, reaksi Anda tidak akan sebesar seperti perubahan dari 50 hingga 100 watt. Perubahan dari bohlam 150 ke 200 watt akan menyebabkan reaksi lebih sedikit, dan seterusnya.