Ringkasan Kalkulus.docx

BAB II ISI Bab I. Integration (Intergrasi) 1.1 Antidifferentiation(Antidifferensiasi) TEORI 1 Antiderivatif adalah serangkaian fungsi sedemikian rupa

Konstanta disebut konstanta C integrasi. TEORI 2 Aturan Antidiferensiasi

TEORI 3 Sifat-sifat Antidiferensiasi P1. Faktor konstan dapat dipindahkan ke bagian depan integral yang tidak terbatas:

P2. Penentu jumlah atau perbedaan adalah jumlah atau perbedaan antiderivatif:

1.2 Antiderivatives as Areas(Antiderivatif sebagai Area) Kalkulus integral terutama berkaitan dengan area di bawah grafik fungsi (khusus area antara grafik fungsi dan sumbu x). Ada banyak situasi di mana area tersebut dapat diartikan dengan cara yang bermakna. Di bagian ini, kita berasumsi bahwa semua fungsi adalah tidak negatif; yaitu f (x) ≥ 0, Pertimbangkan yang berikut ini contoh

Page | 1

Perhatikan bahwa satuan jam dibatalkan 1.3 Area and Definite Integrals(Area dan Integral Pasti) alam Bagian 4.1 dan 4.2, kami mempertimbangkan hubungan antara area di bawah grafik fungsi f dan antiderivatif dari f. Kami belum menetapkan jenderal aturan bahwa antiderivative dari suatu fungsi f sebenarnya mengarah ke area yang tepat di bawah grafik f. Seperti yang akan kita lihat, kita dapat menggunakan antiderivatif fungsi untuk menentukan area yang tepat di bawah grafik fungsi. Proses ini disebut integrasi. Ketika grafik f adalah kurva, kita dapat memperkirakan area di bawah grafik menggunakan jumlah Riemann, yang menyarankan metode umum untuk menghitung area di bawah grafik fungsi kontinu nonnegatif f. Tabel berikut merangkum beberapa fungsi area yang kami tentukan geometri.

1.4 Properties of Definite Integrals (Properti Integral Pasti) apat dianggap sebagai area di bawah grafik lebih dari interval Jadi, jika b sedemikian rupa sehingga integral di atas dapat dinyatakan sebagai jumlah. Ini properti aditif integral tertentu dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 5 sangat berguna ketika suatu fungsi didefinisikan secara terpisah, dalam perbedaan cara lebih dari sub-konservasi yang berbeda.

Page | 2

1.5 Teknik Integrasi: Substitusi Rumus berikut memberikan dasar untuk teknik integrasi yang disebut substitusi.

1.6 Integration Techniques: Integration by Parts(Teknik Integrasi: Integrasi oleh Bagian) Ingat Aturan Produk untuk diferensiasi:

Mengintegrasikan kedua belah pihak sehubungan dengan x, kita dapatkan

Memecahkan untuk kita mendapatkan teorema berikut.

Persamaan ini dapat digunakan sebagai formula untuk berintegrasi dalam situasi tertentu yaitu, situasi di mana integand adalah produk dari dua fungsi, dan satu dari fungsi dapat diintegrasikan menggunakan teknik yang telah kami kembangkan. Untuk contoh Page | 3

1.7 Integration Techniques: Tables(Integration Techniques: Tables) Tabel Rumus Integrasi Anda mungkin memperhatikan bahwa, secara umum, integrasi lebih menantang dari diferensiasi. Karena itu, formula integral yang masuk akal dan / atau yang penting telah dikumpulkan ke dalam tabel. Tabel 1, ditunjukkan di bawah dan di belakang sampul buku ini, adalah contoh singkat dari tabel semacam itu. Seluruh buku formula integrasi tersedia di perpustakaan, dan tabel panjang juga tersedia online. Meja seperti itu biasanya diklasifikasikan berdasarkan bentuk integand. Idenya adalah untuk mencocokkan integral dengan benar dengan rumus dalam tabel. Terkadang beberapa aljabar atau teknik seperti substitusi atau integrasi oleh bagian mungkin diperlukan serta sebuah tabel.

Page | 4

Bab II. Applications of Integration(Aplikasi Intergrasi) 2.1 An Economics Application:Consumer Surplus and Producer Surplu(Aplikasi Ekonomi: Surplus Konsumen dan Surplus Produsen) Sudah mudah untuk memikirkan permintaan dan penawaran sebagai jumlah yang berfungsi harga. Untuk keperluan bagian ini, kita akan merasa nyaman untuk menganggapnya sebagai harga yang merupakan fungsi kuantitas: dan Memang, interpretasi seperti itu biasa terjadi dalam ekonomi. Kita dapat menggunakan integrasi untuk menghitung jumlah bunga untuk ekonom, seperti surplus konsumen dan surplus produsen. Kurva permintaan konsumen adalah grafik, yang menunjukkan harga per unit yang bersedia dibayar oleh konsumen untuk unit suatu produk. Ini biasanya merupakan fungsi penurunan karena konsumen mengharapkan untuk membayar lebih sedikit per unit untuk jumlah besar produk. Kurva penawaran produsen adalah grafik yang menunjukkan harga per unit yang bersedia diterima oleh produsen untuk unit penjualan. Ini biasanya merupakan fungsi yang meningkat karena harga per unit yang lebih tinggi merupakan insentif bagi produsen untuk membuatnya lebih banyak unit tersedia untuk dijual. Titik ekuilibrium adalah persimpangan ini dua kurva

Utilitas adalah fungsi yang sering dipertimbangkan dalam ekonomi. Ketika seorang konsumen menerima unit suatu produk, sejumlah kesenangan, atau utilitas, berasal dari mereka (lihat Latihan 27 di Perangkat Latihan 1.3). Misalnya, jumlah film yang Anda lihat dalam sebulan memberi Anda utilitas tertentu. Jika Anda melihat empat film (kecuali mereka tidak menghibur), Anda mendapatkan lebih banyak utilitas daripada jika Anda tidak melihat film. Gagasan yang sama berlaku untuk makan di restoran atau membayar tagihan pemanas untuk menghangatkan rumah Anda. Untuk membantu menjelaskan konsep surplus konsumen dan surplus produsen, kami akan melakukannya pertimbangkan kegunaan menonton film selama jangka waktu tertentu, katakanlah, 1 bulan. Kita juga akan membuat asumsi bahwa film yang dilihat memiliki kualitas yang sama. Samantha adalah seorang mahasiswa yang suka film. Dengan harga $ 10 per tiket, dia akan melakukannya Page | 5

tidak melihat film. Dengan harga $ 8,75 per tiket, dia akan menonton satu film per bulan, dan dengan harga $ harga $ 7,50 per tiket, dia akan melihat dua film per bulan. Seperti harga per tiket berkurang, Samantha cenderung melihat lebih banyak film. Asalkan jumlah filmnya kecil, fungsi permintaan Samantha untuk film dapat dimodelkan oleh. Kami ingin memeriksa utilitas yang ia terima dari pergi ke bioskop. Dengan harga tiket $ 8,75, Samantha melihat satu film. Total pengeluarannya adalah (1), seperti yang ditunjukkan oleh wilayah biru pada Gambar. 1. Namun, area di bawah Kurva permintaan Samantha selama interval adalah $ 9,38 (bulat). Ini adalah apa pergi ke satu film per bulan layak untuk Samantha — yaitu, apa yang dia mau membayar. Karena dia menghabiskan $ 8,75, perbedaan area, diwakili oleh segitiga oranye, dapat diartikan sebagai kesenangan Samantha, tetapi tidak tidak perlu membayar, dari satu film. Ekonom mendefinisikan jumlah ini sebagaisurplus konsumen. Ini adalah utilitas tambahan yang dinikmati konsumen ketika harga turunlebih banyak unit dibeli. 2.2 Applications of Integrating Growth and Decay Models(Aplikasi Pertumbuhan Integrasi dan Model Peluruhan)

2.3 Improper Integrals(Integral yang Tidak Benar) Integral Tidak Benar 1. Pengertian Integral Tak Tentu dan Notasi Integral Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang diberikan. Integral tak tentu dari fungsi y = f(x) dituliskan ʃ f(x)dx = F(x)+ C Dengan: F(x) = fungsi integral umum dan F’(x) = f(x), f(x) = fungsi integral, C = konstanta pengintegralan (konstanta real sembarang), C E R 2.

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Teorema: misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan C adalah konstanta real, maka

2.4 Probability(Kemungkinan) Angka antara 0 dan 1 yang mewakili kemungkinan terjadinya suatu peristiwa adalah disebut sebagai probabilitas acara. Probabilitas 0 berarti bahwa kejadian tersebut tidak mungkin (tidak akan terjadi), dan probabilitas 1 berarti Page | 6

bahwa kejadian tersebut pasti akan terjadi. Di bagian ini, kita akan melihat bahwa integrasi adalah alat yang berguna untuk menghitung probabilitas. 2.5 Probability: Expected Value; The Normal Distribution 2.6 Volume Pertimbangkan grafik y =f(x) pada Gambar. 1. Jika setengah bidang atas diputar tentang sumbu x, maka setiap titik pada grafik memiliki jalur melingkar, dan keseluruhan grafik menyapu keluar permukaan tertentu, yang disebut permukaan revolusi.

Wilayah bidang dibatasi oleh grafik, sumbu x, x=a dan x=b menyapu a solid revolusi. Untuk menghitung volume padatan ini, kami pertama-tama memperkirakannya sebagai terbatas jumlah silinder bundar kanan tipis, atau disk (Gbr. 2). Kami membagi interval menjadi [a,b] subinterval yang sama, masing-masing panjang ∆x. Dengan demikian, ketinggian h setiap disk adalah ∆x (Gbr. 3). Jari-jari setiap disk adalah f(x1), di mana x1 titik akhir kanan subinterval itu menentukan disk itu. Jika f(x1) negatif, kita bisa menggunakan |f (x1)| Karena volume silinder sirkuler kanan diberikan oleh

V =𝜋r2h

atau Volume = area ketinggian dasar, masing-masing disk aproksimasi memiliki

volume 𝜋|f(x1)|2 ∆x = 𝜋[f(x1)]2∆x Volume solid revolusi didekati dengan jumlah volume semua disk: 𝑛

V = ∑𝑖=1 π[ f(x1)] 2 ∆x Volume aktual adalah batas ketika ketebalan disk mendekati nol, atau jumlah disk mendekati tak terhingga:

Page | 7

V = lim

𝑛→∞

𝑛

𝑏

∑𝑖=1 π[ f(x1)] 2 ∆x= ∫𝑎 𝜋 [ f(x1)] 2 dx

(Lihat Bagian 4.2.) Artinya, volume adalah nilai integral integral dari fungsi y = π [f(x1)] 2 dari a ke b. 2.7 Differential Equations(Persamaan Diferensial) Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan derivatif, atau diferensial. 𝑑𝑃 𝑑𝑡

= kP, atau P’(t)= k *P(t),

di mana P atau P(t) adalah populasi pada waktu t. Persamaan ini adalah model tanpa hambatan pertumbuhan populasi. Solusinya adalah fungsinya. P(t)= Poe kt di mana konstanta P0 adalah ukuran populasi t= 0. pada contoh ini menggambarkan, persamaan diferensial kaya akan aplikasi dan memiliki solusi yang berfungsi. Memecahkan Persamaan Diferensial Tertentu Pada bagian ini, kita akan sering menggunakan notasi y’ untuk turunan — terutama karena itu sederhana. y=f(x) Jadi, kalau begitu 𝑑𝑦

y =𝑑𝑥 =f(x). Kami benar-benar menemukan solusi dari persamaan diferensial tertentu ketika kami menemukan antiderivatifnya atau integral tak terbatas. Persamaan diferensial 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= g(x), atau y’=g(x),

punya solusinya y =∫ g (x) dx. Pemisahan Variabel Pertimbangkan persamaan diferensial Page | 8

𝑑𝑦

= 2xy.

𝑑𝑥

Kami memperlakukan dy/dx sebagai hasil bagi, seperti yang kami lakukan di Bagian 2.6 dan 4.5. Mengalikan persamaan (1) saat itu juga 1/y, kita dapatkan. 𝑑𝑦 𝑦

= 2x dx,

y≠0.

Kami sekarang telah memisahkan variabel, artinya semua ekspresi yang terlibat adalah di satu sisi dan semua yang terlibat ada di sisi lain. Kami kemudian mengintegrasikan kedua sisi persamaan (2):

∫

𝑑𝑦 𝑦

= ∫ 2x dx

ln |y|= x2+C.

Kami hanya menggunakan satu konstanta karena dua antiderivatif berbeda oleh, paling banyak, konstanta. Ingatlah bahwa definisi logaritma mengatakan bahwa log 𝑎 𝑏=t jika demikian, b=at. kita miliki ln |y|= log 𝑒 |𝑦|=x2+C,so |y| = ex2+C, atau y= ±ex2. ec Dengan demikian, solusi untuk persamaan diferensial (1) adalah y =C1ex2 , dimana C1= ±ec Bahkan, C1 masih merupakan konstanta arbitrer

Aplikasi untuk Psikologi: Reaksi terhadap Stimulus Dalam psikologi, salah satu model stimulus-respons menegaskan bahwa laju perubahan Page | 9

dR/dS dari reaksi sehubungan R dengan stimulus berbanding terbalik intensitas rangsangan. Itu adalah, 𝑑𝑅 𝑑𝑆

𝑘

= 𝑆′

di mana k adalah konstanta positif Untuk menyelesaikan persamaan ini, pertama-tama kita pisahkan variabel:

dR =k

𝑑𝑆 𝑆

Kami kemudian mengintegrasikan kedua sisi: 𝑑𝑆

∫ 𝑑𝑅= ∫ 𝑘* 𝑆

R=k ln S + C. S> 0 Sekarang anggaplah So bahwa kita membiarkan level terendah dari stimulus yang dapat dideteksi.Ini adalah nilai ambang, atau ambang deteksi. Misalnya, level terendah suara yang dapat dideteksi secara konsisten adalah detak jam tangan dari jarak 20 kaki, di bawah kondisi sangat sunyi. Jika S0 tingkat stimulus terendah yang dapat dideteksi, tampaknya masuk akal itu R(S0)=0. Mengganti kondisi ini menjadi persamaan (3), kita dapatkan 0=k ln S - kln So Atau -k ln So=C. Mengganti C persamaan (3) dengan memberi kita -k ln S0 R = k ln S – k ln So =k (ln S – ln So).

Page | 10

Menggunakan properti logaritma, kami miliki R=k*ln S S0

Lihatlah grafik dan di bawah. Perhatikan bahwa ketika stimulus semakin besar,tingkat perubahan menurun; yaitu, perubahan dalam reaksi menjadi lebih kecil seperti stimulasi yang diterima menjadi lebih kuat. Misalnya, misalkan lampu memiliki daya 50 watt bohlam di dalamnya. Jika bola lampu tiba-tiba diubah menjadi 100 watt, Anda mungkin akan sangat menyadari perbedaannya.

Artinya, reaksi Anda akan kuat. Jika bohlam

itu kemudian diubah menjadi 150 watt, reaksi Anda tidak akan sebesar seperti perubahan dari 50 hingga 100 watt. Perubahan dari bohlam 150 ke 200 watt akan menyebabkan reaksi lebih sedikit, dan seterusnya.

Page | 11

Page | 12