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Caso 3 Numerosas compañías ahora están examinando candidatos a empleados para saber si consumen drogas. No obstante, los opositores afirman que este procedimiento es injusto porque los exámenes en sí no son 100% confiables. Suponga que una compañía utiliza un examen que es 98% confiable, es decir, identifica correctamente a un consumidor de drogas o a quien no las consume con probabilidad 0,98, y para reducir la probabilidad de error, se requiere que cada solicitante de empleo se someta a dos exámenes. Si los resultados en la misma persona son eventos independientes, ¿cuáles son las probabilidades de estos eventos?

a. Un consumidor es detectado (es decir, no pasa al menos un examen). 𝑃(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟) = 0,02 ∗ 0,98 + 0,98 ∗ 0,02 = 0,0392 b. Un consumidor falla en ambos exámenes. 𝑃( 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟) = 𝑃(𝑁𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒) ∗ 𝑃(𝑁𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒) 𝑃(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟) = 0,02 ∗ 0,02 = 0,0004 c. Un consumidor pasa ambos exámenes. 𝑃( 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟) = 𝑃(𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒) ∗ 𝑃(𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒) 𝑃(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟) = 0,98 ∗ 0,98 = 0,9604 Resumen teórico Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Axioma 1 La probabilidad S no puede ser negativa 0 ≤ p(S) Axioma 2. La probabilidad del evento seguro, U, es igual a 1, denotado simbólicamente, P(U)=1 Axioma 3. Si E1, E2 son eventos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos), entonces: 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … = ∑ 𝑃(𝐸𝑖) El axioma es el conjunto de datos adquiridos Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Independencia de probabilidades En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados. Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

Caso 8

Una maquina operada por un trabajador produce un artículo defectuoso con probabilidad 0,01 si el trabajador sigue exactamente las instrucciones de operación de la máquina y con probabilidad de 0,03 si no las sigue. Si él sigue las instrucciones 90% de las veces, ¿qué proporción de todos los artículos producidos por la máquina será defectuosa?

𝑷(𝑫) = 𝑷(𝑺). 𝑷(𝑫|𝑺) + 𝑷(𝑵𝒔). 𝑷(𝑫|𝑵𝒔) 𝑷(𝑫) = 𝟎, 𝟗𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟑 𝑷(𝑫) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝑷(𝑫) = 𝟏, 𝟐% Datos teóricos

Teorema de Bayes El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Podemos calcular la probabilidad de un suceso A, sabiendo además que ese A cumple cierta característica que condiciona su probabilidad. El teorema de Bayes entiende la probabilidad de forma inversa al teorema de la probabilidad total. El teorema de la probabilidad total hace inferencia sobre un suceso B, a partir de los resultados de los sucesos A. Por su parte, Bayes calcula la probabilidad de A condicionado a B.

El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido. Fórmula del teorema de Bayes Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como: 𝑃(𝐴𝑛 /𝐵) =

𝑃[𝐵/𝐴𝑛 ] + 𝑃[𝐴𝑛 ] ∑ 𝑃[𝐵/𝐴𝑖 ]. 𝑃[𝐴𝑖 ]

Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.