Calcul Amb Radicals Batxiller Solucions

CÀLCUL AMB RADICALS - SOLUCIONS

.

.

1. Propietats dels radicals Potència d’exponent racional: x= a n / m és x= m a n i això vol dir que x m = a n Producte: Divisió:

n

a ·n b = n a·b

n

a

n

b

=n

Arrel d’una arrel:

a b n m

a = n·m a

2. Extreure factor comú d’un radical Procediment: 1) factoritzam el radicant, 2) podem extreure els factors que tenguin exponent major que l’índex de l’arrel. 3

864 = 3 25 ·33 = 3 23 ·2 2 ·33 = 2·3 3 2 2 = 6 3 4

3. Reduir radicals a índex comú Procediment: 1) cercam el m.c.m. de tots els índexs, 2) L’índex comú serà el m.c.m., 3) Elevam cada radicant a la potència que resulta de dividir el m.c.m. per l’índex original. Exemple: 3 25 · 4 32 , tenim que m.c.m.(3,4)=12, 25 · 4 32 = 12 ( 25 ) 4 · 12 (32 )3 = 12 2 20 · 12 36 = 12 2 20 ·36 Ara només queda extreure factors comuns per tal de simplificar el resultat. 3

4. Comparació de radicals Per comparar radicals cal reduir-los a índex comú, com es mostra a l’apartat 3. Exemple: Què és major 3 3 o 2 ? m.c.m.(3,2)=6,

3

3 = 6 32 = 6 9  Aquesta és major 2 = 6 23 = 6 8

5. Racionalitzar radicals Racionalitzar significa eliminar les arrels d’un denominador. Exemples: 3 3 2 3 2 = · = a) 2 2 2 2 b)

 1− 2   2 + 3  1− 2 ·  = 2 + 3 −2− 6 = 2− 2 − 3 + 6 =  2−3 2 − 3  2 − 3   2 + 3  Multiplicam i dividim per l’expressió “conjugada”.

Activitats: 1. Expressa com un sol radical: 3

5 =65

4

8=

8

8

x3 x =

2. Simplifica, extraient tots els factors que puguis del radical: a) 27 = 3 3 b) 60 = 2 15 d) 180 = 6 5 e) 540 = 6 15 g) 3 54 = 3 3 2 h) 4 144 = 2 4 9

x6 x = 8 x7

c) 72 = 6 2 f) 98 = 7 2 i) 5 28 = 2 5 8

3. Redueix el radical a l’índex indicat: a)

4

b)

2 3 = 12 2 9

c)

7 = 16 7 8

4

a6 = a3

d)

6

512 = 3 5 6

4. Expressa com un sol radical ( redueix, primer de tot, els radicals a índex comú i simplifica si pots): a) 5.3 5 = 6 55 b) 3 2 .4 7 = 12 2 4 ·7 3 c) 3 9 . 3 = 3 6 3 d)

4

g)

4

j)

a .8 a 3 .6 a 5 = 8.5 8 =

20

(2 )

24

h)

·31 / 3

=

e) 5

a 35 = a a11

89

(2 3 ) −2 ·(31 / 2 ) 3 / 2 10 1 / 2

24

4

9. 3 =

8

3 4

3

=

10

1 33 i)

38 = 3

f)

3

a .4 a 3 .5 a 2 =

60

2· 7 2 = 14 2 9

a 89 = a

60

a 29

35 12 243 = 2048 211

12

5. Calcula, extraient primer factors fora dels radicals: a) 20 − 45 + 5 =0 e) 3 8 − 2 + 128 = 13 2 b)

27 + 48 − 75 = 2 3

f) − 2 45 + 6 20 − 4 125 = − 14 5

c) 4 72 − 5 18 + 3 8 = 15 2

g) − 7 200 + 5 32 − 9 50 = − 95 2

d) − 5 12 + 4 48 − 2 72 = 6 3 − 12 2

h) − 2 98 + 6 144 + 10 40 = 72 − 14 2 + 20 10

6. Racionalitza: 6 a) =6 + 3 2 2− 2 4 b) =2 5 + 2 3 5− 3 c)

5 =10 − 5 3 3+2

d) e) f)

3

5 3 2 = 5 5

2+ 2 =3+ 2 2 2− 2 3− 2 =5 − 2 6 3+ 2

7. Racionalitza: 1 1 1 (x − x ) x − x a) = = · = 2 x· x +1 x+ x x+ x x− x x −x

(

b)

) (

) (

) (

)

1 = diguem 3 − 5 = a , 3− 5− 7 1 1 (a + 7 ) (a + 7 ) · = 2 = a − 7 (a − 7 ) (a + 7 ) a −7 a 2 = ( 3 − 5 ) 2 = 3 − 2 15 + 5 = 8 − 2 15 (a + 7 ) 3− 5+ 7 3− 5+ 7 = = , tornam a racionalitzar un altre pic 2 a −7 8 − 2 15 − 7 1 − 2 15 ( 3 − 5 + 7 ) (1 + 2 15 ) 9 3 − 5 5 − 7 − 2 105 · = (1 − 2 15 ) (1 + 2 15 ) 59

c)

d)

1 1 (2 2 + 5 ) 2 2 + 5 2 2 + 5 = · = = 2 2 − 5 (2 2 − 5 ) (2 2 + 5 ) 8−5 3

2 1 1 x2 + x · = = x2 + x = 2 x· x +1 x +x x + x x2 + x