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Resoluci´on de ecuaciones de grado menor que 5 LATEXejat (parcialment) per Eduard Fugarolas 3 Setembre 2006

Resumen En esta secci´ on, no se va a comentar la parte hist´orica acerca de la resoluci´on de ecuaciones; s´ olo comentar que el matem´atico Niels Henrik Abel, demostr´o en 1824 que no existe un m´etodo general para resolver ecuaciones de grado mayor o igual que cinco. Por ello, se van a explicar los procesos para resolver el resto de ecuaciones:

1.

Ecuaciones de primer grado Tienen la forma ax + b = 0, a 6= 0. Se resuelven de la siguiente forma: Pasamos b al otro lado de la ecuaci´on, cambiando de signo: ax = −b Como a 6= 0, podemos pasar al otro lado dividiendo: x =

−b a

Por lo tanto, x=−

2.

b a

Ecuaciones de segundo grado

Tienen la forma ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Vamos a obtener una f´ ormula general para resolver r´apidamente las ecuaciones de segundo grado, haciendo las siguientes operaciones: Sacamos factor com´ un:   b c 2 2 ax + bx + c = a x + x + a a Vamos a quitar la x de grado 1 completando cuadrados. Sabemos que   b2 b 2 b = x2 + x + 2 . x+ 2a a 4a Si nos damos cuenta, x2 + ab x lo ten´ıamos en la ecuaci´on que hemos sacado factor com´ un, b2 s´olo nos falta el 4a2 . Para obtenerlo, simplemente lo sumamos y lo restamos:     c b c b2 b2 b 2 2 a x + x+ =a x + x+ + 2 − 2 a a a a 4a 4a 1

Ahora completamos el cuadrado: b2 c b2 b a x2 + x + 2 + − 2 a 4a a 4a 



"

b x+ 2a

2

c b2 + − 2 a 4a

"

b x+ 2a

2

b2 − 4ac − 4a2

=a =a

#

#

Despejamos la x:  b 2 b2 − 4ac a x+ =a 2a 4a2 2  b b2 − 4ac = x+ 2a 4a2 r b b2 − 4ac x+ =± 2 2a √4a 2 −b ± b − 4ac x= 2a Por lo tanto, tenemos dos soluciones: 

√

b2 − 4ac √2a −b − b2 − 4ac x2 = 2a

x1 =

−b +

Nota: Podemos obtener dos soluciones reales o dos soluciones complejas no reales (En este caso las soluciones ser´ an conjugadas entre s´ı).

3.

Ecuaciones de tercer grado

Tienen la forma a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0, a0 6= 0. La f´ormula general resulta bastante grande y poco pr´actica, as´ı que vamos a explicar como obtener las tres soluciones posibles: Dividimos todo el polinomio por a0 : a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = x3 +

a1 2 a2 a3 x + x+ =0 a0 a0 a0

Por comodidad, llamaremos: b=

a1 , a0

c=

a2 , a0

d=

a3 a0

Ahora tenemos la ecuaci´ on: x3 + bx2 + cx + d = 0. Nota: Si en la ecuaci´ on inicial a0 = 1, nos podemos saltar este paso. 2

Hacemos el cambio de variable: x = y − 3b . De esta forma eliminaremos el t´ermino cuadr´ atico.      b 2 b b 3 +b y− +c y− +d=0 y− 3 3 3     b2 b3 b b2 b b y 3 − 3y 2 + 3y − + b y 2 − 2y + +c y− +d=0 3 9 27 3 9 3 b2 b3 b2 b3 b y 3 − by 2 + y − + by 2 − 2y + + cy − c + d = 0 3 27 3  9 3  2 3 b 2b b y3 + c − y+ −c +d=0 3 27 3 

Por comodidad hacemos los cambios de variable: β =c−

b2 3

y γ=

2b3 b −c +d 27 3

De esta manera, nuestra ecuaci´on se nos queda de la siguiente forma: y 3 + βy + γ = 0 Hacemos el cambio de variable: y = z −

β 3z

   β 3 β z− +β z− +γ 3z 3z b β2 β3 β2 z 3 − 3z 2 + 3z 2 − + βz − +γ 3z 9z 27z 3 3z β3 β2 β2 − + βz − +γ z 3 − zβ + 3z 27z 3 3z β3 z3 − +γ 27z 3 

=0 =0 =0 =0

Hacemos el cambio de variable: u = z 3 u−

β3 +γ =0 27u

Multiplicando por u: u2 + γu −

β3 =0 27

Y aqu´ı tenemos una ecuaci´ on de segundo grado, la cual ya sabemos resolver. Obtendremos 6 soluciones pertenecientes al conjunto de los complejos, de las cuales 3 estar´an repetidas, as´ı que en realidad obtendremos 3 soluciones distintas. Podemos obtener una soluci´ on, tres soluciones reales o una soluci´on real y dos complejas no reales (De las complejas no reales , una ser´ a la conjugada de la otra). Recordar que hay que deshacer todos los cambios que hemos hecho para resolver las soluciones de la ecuaci´on inicial. 3

4.

Ecuaciones de cuarto grado Tienen la forma a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0,

a0 6= 0.

´ Si a1 = 0 y a3 = 0, tenemos la ecuaci´on de la forma a0 x4 + a2 x2 + a4 = 0. Esta, se denomina bicuadrada y podemos transformala en una ecuaci´on de segundo grado mediante el cambio x2 = t, quedando a0 t2 + a2 t + a4 = 0, la cual ya sabemos resolver. La f´ormula general resulta bastante grande y poco pr´actica, as´ı que vamos a explicar como obtener las cuatro soluciones posibles: Dividimos la ecuaci´ on inicial por a0 , obteniendo: x4 +

a1 3 a2 2 a3 a4 x + x + x+ =0 a0 a0 a0 a0

Por comodidad, llamaremos: b=

a1 , a0

c=

a2 , a0

d=

a3 , a0

e=

a4 a0

Ahora tenemos la ecuaci´ on: x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. Nota: Si en la ecuaci´ on inicial a0 = 1, nos podemos saltar este paso. Hacemos el cambio de variable: x = y − 4b . De esta forma suprimiremos el t´ermino c´ ubico.  y−

b 4

4

      b 3 b 2 b +b y− +c y− +d y− +e=0 4 4 4

  b4 b3 3 2b 2 2 y − 4y + 6y 2 − 4yb 4 + 4 + b y − 3y + 3yb 4 − 3 + 4 4 4 4 4     2 b b b c y 2 − 2y + 2 + d y − +e=0 4 4 4 4

3b

2b

2

3 3

3 b3 b4 3 b3 b4 y 4 − y 3 b + y 2 b2 − y + + y 3 b − b2 y 2 + 3y − + 8 16 256 4 16 64 b b2 b cy 2 − cy + c + dy − d + e = 0 2 16 4    3  3 b b 3 4 b2 b y 4 + c − b2 y 2 + − c+d y− b + c−d +e=0 8 8 2 256 16 4 Ahora por comodidad, llamaremos: 3 α = c − b2 , 8

β=

b4 b − c + d, 8 2 4

γ=−

3 4 b2 b b + c−d +e 256 16 4

Con lo cual, nuestra ecuaci´ on se nos queda de la siguiente manera: y 4 + αy 2 + βy + γ = 0 Notas: • Si a0 = 1 y a1 = 0, nos podemos saltar estos dos pasos. • Si ahora β = 0, tenemos la ecuaci´on de la forma y 4 + αy 2 + γ = 0, que ser´ıa una bicuadrada, la cual la hemos comentado anteriormente. Existen diferentes m´etodos para seguir, aunque vamos a seguir el de Ferrari. Sabemos que: (y 2 + α)2 = y 4 + α2 + 2αy 2 Esto lo aprovechamos para transformar la ecuaci´on: y 4 + αy 2 + βy + γ = 0 y 4 + 2αy 2 + βy + γ + α2 − αy 2 − α2 = 0 (y 2 + α)2 + βy + γ = αy 2 + α2 (y 2 + α)2 = αy 2 − βy − γ + α2 Ahora vamos a a˜ nadir una nueva variable z. (y 2 + α + z)2 = αy 2 − βy − γ + α2 + 2z(y 2 + α) + z 2 = (α + 2z)y 2 − βy + (α2 − γ + 2αz + z 2 ) Ahora el lado derecho es una ecuaci´on se segundo grado en y, podemos elegir z de modo que sea un cuadrado perfecto. Esto se realiza haciendo cero el discriminante: (−β)2 − 4(α + 2z)(α2 − γ + 2αz + z 2 ) = 0 (β 2 − 4α3 + 4αγ) + (−16α2 + 8γ)z − 20αz 2 − 8z 3 = 0 Ahora ya tenemos una ecuaci´ on de tercer grado con respecto a z, lo cual lo sabemos resolver. Con estos valores de z, el lado derecho es un cuadrado perfecto. As´ı pues, tomando las ra´ıces cuadradas a ambos lados, obtenemos una ecuaci´on de segundo grado en y. Solucionando esta ecuaci´ on de segundo grado, ya tenemos las soluciones de la ecuaci´on de cuarto grado, s´ olo que al tomar ra´ıces, deberemos tener en cuanto los signos, ya que habr´ an cuatro soluciones en vez de dos. No olvidarse de deshacer los cambios realizados anteriormente. Nota: Podemos obtener cuatro solucione reales; dos soluciones reales y dos soluciones complejas no reales (Conjugadas entre s´ı) o cuatro soluciones complejas no reales (Complejas dos a dos).

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