Bai 7 Dam

DẦM (BEAM)

1

ĐỊNH NGHĨA 

Dầm là tất cả những kết cấu một chiều, có thể chịu kéo, nén, uốn và cả xoắn trong quá trình làm việc.

M=1000 1000 y 1

L 1

L 2 2

3

x

2

LÝ THUYẾT VỀ DẦM PHẲNG 

LÝ THUYẾT BERNOULLI-EULER (THIN BEAM)  Giả

thuyết Bernoulli-Euler về dầm mỏng: Mặt cắt duy trì phẳng trong quá trình biến dạng uốn  Không có biến dạng trượt của mặt phẳng, nghĩa là đường trung hòa trực giao với mặt cắt trước và sau khi biến dạng 

3

LÝ THUYẾT BERNOULLI-EULER (THIN BEAM)

4

LÝ THUYẾT BERNOULLI-EULER (THIN BEAM) 

Từ hai giả thuyết trên, ta có: góc nâng của đường trung hòa bằng góc quay của mặt cắt, nghĩa là: nếu gọi

v, θ là chuyển vị theo trục y và chuyển vị góc thì

dv θ= dx 5

HÀM DẠNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 

Theo Bernoulli, mỗi nút có 2 bậc tự do là chuyển vị đứng và góc xoay

v, θ

Vậy có 4 chuyển vị nút sau v1 , θ1 , v2 , θ 2

6

HÀM DẠNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) Vì nên 

dv θ= dx

vi phải có bậc ít nhất là 2.

Vậy cần 4 hằng số để mô tả biểu thức hàm nội suy:

v = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x 3 dv 2 θ= = a2 + 2a3 x + 3a4 x dx 7

HÀM DẠNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM)

v1 = a0

θ1 = a1 2 3 v2 = a0 + a1 L + a2 L + a3 L

θ 2 = a1 + 2a2 L + 3a3 L

2

3 1 a0 = v1 ; a1 = θ1 ; a2 = − 2 (v1 − v2 ) − (2θ1 + θ 2 ) L L 2 1 a3 = 3 (v1 − v2 ) + 2 (θ1 − θ 2 ) L L

8

HÀM DẠNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) v1  θ    v = N 1  v2  θ 2 

N = [ N1 N 2 N 3 N 4 ]

1  3 1  3 2 3 2 2 3  N1 =  2 x − 3Lx + L ; N 2 =  Lx − 2 L x + L x ;   L3  L3  1  1  3 3 2 2x2   N3 = − 2 x + 3 Lx ; N = Lx − L     4 3 3   L  L 

9

HÀM DẠNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) dN  6 x 2 − 6 Lx 3Lx 2 − 4 L2 x + L3 − 6 x 2 + 6 Lx 3Lx 2 − 2 L2 x   = 3 3 3 3 dx   L L L L  d 2 N 12 x − 6 L 6 Lx − 4 L2 − 12 x + 6 L 6 Lx − 2 L2   [B] = =  dx 2  L3 L3 L3 L3 d 3 N  12 6 − 12 6  =  3 3 2 3 2 dx L L L  L

10

LÝ THUYẾT TIMOSHENKO (THICK BEAM) 

Giả thuyết Timoshenko:  Mặt

cắt duy trì phẳng  Có sự trượt của mặt phẳng do đó không duy trì sự trực giao giữa đường trung hòa và mặt cắt ngang

11

PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO (GOVERNING EQUATION) 

Xét phần tử dầm chịu tải như hình dưới:

dV dM q= ,V = dx dx

12

PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO (GOVERNING EQUATION)

2 3    d v dM d d v dV d d v M = EI 2 ,V = =  EI 2 , q = =  EI 3  dx dx dx  dx  dx dx  dx  2

d 2v d 3v d 4v M = EI 2 ;V = EI 3 ; q = EI 4 dx dx dx 13

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 

PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP

dv u = − yθ = − y dx

du dθ d 2v εx = = −y = −y 2 dx dx dx d 2v d 3v d 4v M = EI 2 ;V = EI 3 ; q = EI 4 dx dx dx 14

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM)

15

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) v1  v1    θ  d 3v d 3 N θ1  EI  1 { } F1 y = V = EI 3 x=0 = EI = 12 6 L − 12 6 L     dx dx 3 x=0 v2  L3 v2  θ 2  θ 2  v1  v1    θ  d 2v d 2 N θ1  EI 2 2  1 M 1 y = − M = − EI 2 x=0 = − EI 6L 4L − 6L 2L    = dx dx 2 x=0 v2  L3 v2  θ 2  θ 2  v1  v1    θ  d 3v d 3 N θ1  EI  1 { } F2 y = −V = − EI 3 x=L = − EI = − 12 − 6 L 12 − 6 L     dx dx 3 x=L v2  L3 v2  θ 2  θ 2  v1  v1    θ  d 2v d 2 N θ1  EI 2 2  1 M 2 y = M = EI 2 x=L = − EI = 6 L 2 L − 6 L 4 L     dx dx 2 x=L v2  L3 v2  θ 2  θ 2  16

{

{

}

}

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM)  F1 y  6 L − 12 6 L  v1   12     2 2  M 1  EI  6 L 4 L − 6 L 2 L  θ1   = 3      F2 y  L − 12 − 6 L 12 − 6 L v2   2 2  M   6 L 2 L − 6 L 4 L θ   2   2 6 L − 12 6 L   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI  ˆ  K= L3 − 12 − 6 L 12 − 6 L    2 2 − 6L 4L   6L 2L

17

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 

PHƯƠNG PHÁP THẾ NĂNG TOÀN PHẦN CỰC TIỂU Thế năng toàn phần: ΠP = U+Ω

18

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 

thế năng đàn hồi

1 1 T U = ∫ σ x ε x dV = ∫ ∫ {σ x } {ε x } dAdxˆ 2 2 ˆ V xA 

công ngoại lực

A = − ∫ q y vˆdS − Fˆ1 y vˆ1 − Fˆ2 y vˆ2 − M 1θ1 − M 2θ 2 S

T ˆ ˆ A = − ∫ q y {v} bdxˆ − Fˆ1 y vˆ1 − Fˆ2 y vˆ2 − M 1θ1 − M 2θ 2 xˆ

19

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 

Suy ra ΠP = ∫ ∫

xˆ A

1 {σ x }T {ε x } dAdxˆ − ∫ qˆ y {vˆ}T bdxˆ − 2 xˆ

− Fˆ1 y vˆ1 − Fˆ2 y vˆ2 − M 1θ1 − M 2θ 2 d 2v d2 ε x = − yˆ 2 = − yˆ 2 [ N1 dxˆ dx

12 x − 6 L ˆ ε x = − y 3 L 

N2

6 Lx − 4 L2 L3

N3

v1  θ    N 4 ] 1  v2  θ 2 

− 12 x + 6 L L3

v1  v1    θ  6 Lx − 2 L2  θ1   1 ˆ = − y [B]      v L3  2  v2  θ 2  θ20  2

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM) 12 x − 6 L [B] =   L3

6 Lx − 4 L2 L3

− 12 x + 6 L L3

6 Lx − 2 L2    L3

v1  θ   1 ˆ   {σ x } = [E]{ε x } = −[E] y[B] v2  θ 2  21

MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ DẦM PHẲNG 2 NÚT (2-NODE THIN BEAM)

6 L − 12 6 L   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI ˆ = EI ∫ [B]T [B]dxˆ =   K L3 − 12 − 6 L 12 − 6 L  xˆ   2 2 − 6L 4L   6L 2L

22

VÍ DỤ 1    

EI = const E = 29.106 I = 833 L = 50

M=1000 1000

y 1

L 1

L 2 2

3

x 23

Bảng phần tử M=1000 1000 L 1

y 1

L 2 2

3

Phần tử

Nút I

Nút j

(1)

1

2

(2)

2

3

x

24

Ma trận cứng phần tử 6 L − 12 6 L   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI ˆ =   K 1 L3 − 12 − 6 L 12 − 6 L    2 2 − 6L 4L   6L 2L

M=1000 1000 y 1

L 1

L 2 2

3

x

6 L − 12 6 L   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI ˆ =   K 2 L3 − 12 − 6 L 12 − 6 L   2 − 6 L 4 L2  6 L 2 L   25

Ma trận cứng kết cấu

v1

θ1

v2

θ2

v1

12

6L

− 12

6L

θ1 v2 θ2 v3 θ3

6L

2

− 6L

2L2

12

− 6L

− 12 6L

4L − 6L 2

2L

v3

θ3

2 4 L − 6L

26

Ma trận cứng kết cấu v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

v1

12

6L

− 12

6L

0

0

θ1 v2 θ2 v3 θ3

6L

− 6L

2L2

− 12 6L 0 0

0 4L − 6L 12 + 12 − 6+L6L − 12 2 4 L 2 − 6L 2L + 6L + 4L2 − 6L − 6L 0 − 12 12 2

0

6L

2

2L

6L

0 6L

2L2 6L 4L2 27

Ghép thành ma trận cứng kết cấu

θ1 v2 θ2 v3 θ3 6 L − 12 6 L 0 0  v1  12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  θ1 0 0  EI  K = 3 − 12 − 6 L 24 0 − 12 6 L  v2 L  2 2 2 θ 6 L 2 L 0 8 L − 6 L 2 L   2  0 0 − 12 − 6 L 12 − 6 L  v3  2 2 θ 0 6L 2 L − 6 L 4 L  3  0 v1

28

Mở rộng ma trận cứng phần tử

6 L − 12 6 L  12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI − 12 − 6 L 12 − 6 L K1 =  2 − 6 L 4 L2 3 L  6L 2L  0 0 0 0  0 0 0  0

0 0 0 0 0 0

0 0 0  0 0  0

0 0  EI 0 K2 =  3 L 0 0  0

0 0 0 0 0 0

0  0 0 0 0  12 6 L − 12 6 L   6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  − 12 − 6 L 12 − 6 L   6 L 2 L2 − 6 L 4 L2  0

0

0

29

Giải hệ phương trình 



Điều kiện biên Ngoại lực

v1 = 0, θ1 = 0, v3 = 0

F2 = −1000, M 2 = 1000, M 3 = 0 M=1000 1000 30

Giải hệ phương trình

F1 6 L − 12 6 L 0 0  v1 = 0     12   6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  θ = 0  M 0 0 1      1 0 − 12 6 L   v2   F2 = −1000 EI − 12 − 6 L 24 =  2 2 2  3  0 8L − 6 L 2 L   θ 2   M 2 = 1000  L  6L 2L  0  F3 0 − 12 − 6 L 12 − 6 L  v3 = 0      2 2  0 6L 2 L − 6 L 4 L   θ 3   M 3 = 0   0 31

Giải hệ phương trình 

Đơn giản  24 0 EI  2 0 8 L L3  6 L 2 L2

6 L  v2  − 1000    2  2 L  θ 2  =  1000  4 L2  θ 3   0 

875L3 − 375L2 v2 = − = −3,38.10 − 4 12 EI 2 125 L2 − 625 L 125 L − 125 L −7 θ2 = − = 6.10 θ3 = − = 9,8.10 −6 4 EI EI 32

Tìm phản lực

EI EI F1 = −12 3 v2 + 6 L 3 θ 2 = 820 L L EI 2 EI M 1 = −6 L 3 v2 + 2 L 3 θ 2 = 212 L L EI EI EI F3 = −12 3 v2 − 6 L 3 θ 2 − 6 L 3 θ 3 = 181 L L L 33

P C

B

A

L

L

Biết

EI = const L P Tìm chuyển vị tại A, B. Tìm phản lực ở B, C. 34

CÁC VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM VỀ BÀI TÓAN DẦM PHẲNG 

CHUYỂN VỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG PHẢI LÀ NÚT



ỨNG SUẤT TRONG TIẾT DIỆN NGANG CỦA DẦM



TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG



HAI DẦM NỐI VỚI NHAU BẰNG KHỚP BẢN LỀ



BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG

35

CHUYỂN VỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG PHẢI LÀ NÚT



Hàm dạng

1  3 2 + L3 ; N = 1  Lx 3 − 2 L2 x 2 + L3 x ; N1 = 2 x − 3 Lx     2 3 3   L  L  1  1  3 3 2 2 2  N3 =  − 2 x + 3Lx ; N 4 =  Lx − L x    L3  L3  36

CHUYỂN VỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG PHẢI LÀ NÚT 

Chuyển vị tại A  Chuyển

vị thẳng

v A = N1 (a )v1 + N 2 (a )θ z1 + N 3 (a )v2 + N 4 (a )θ z 2  Chuyển

θ zA1 =

dN1 dx

v + x=a 1

vị góc dN 2 dx

θ z1 + x =a

dN 3 dx

v2 + x=a

dN 4 dx

x=a

θz2

37

ỨNG SUẤT TRONG TIẾT DIỆN NGANG CỦA DẦM

38

ỨNG SUẤT TRONG TIẾT DIỆN NGANG CỦA DẦM 

Biến dạng

v1  θ  du dθ z d 2v d2   εx = = − yˆ = − yˆ 2 = − yˆ 2 [ N1 N 2 N 3 N 4 ]  1  dx dx dxˆ dx v2  θ 2  v1    12 x − 6 L 6 Lx − 4 L2 − 12 x + 6 L 6 Lx − 2 L2  θ1  ⇒ ε x = − yˆ   v  3 3 3 3 L L L L   2  θ 2  39

ỨNG SUẤT TRONG TIẾT DIỆN NGANG CỦA DẦM 

ứng suất pháp dọc trục là

d 2v d2 σ x = Eε x = − Eyˆ 2 = − Eyˆ 2 [ N1 dxˆ dx

12 x − 6 L ⇒ σ x = − Eyˆ  3 L 

6 Lx − 4 L2 L3

N2

N3

− 12 x + 6 L L3

v1  θ   1 N 4 ]  v2  θ 2  v1   2  θ 6 Lx − 2 L   1   v  3 L  2  θ 2  40

TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG 

Lưu ý các hàm dạng và các vi phân của nó

1  3 1  3 2 3 2 2 3  N1 =  2 x − 3Lx + L ; N 2 =  Lx − 2 L x + L x ;   L3  L3  1  3 + 3Lx 2 ; N = 1  Lx 3 − L2 x 2  N3 = − 2 x     4 3 3   L  L 

dN1 6 x 2 − 6 Lx = ; dx L3

dN 2 3Lx 2 − 4 L2 x + L3 = ; dx L3 dN 3 − 6 x 2 + 6 Lx dN 4 3Lx 2 − 2 L2 x = ; = dx dx L3 L3

41

TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG

42

TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG 

Tải trọng phân bố

x2 x2 F1 = ∫ q ( x) N1 ( x)dx; M 1 = ∫ q ( x) N 2 ( x)dx x1 x1 x2 x2 F2 = ∫ q ( x) N 3 ( x)dx; M 2 = ∫ q ( x) N 4 ( x)dx; x1 x1

43

TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG 

Lực tập trung

F1 = P. N1 ( xP ); M 1 = P. N 2 ( xP ) F2 = P .N 3 ( xP ); M 2 = P. N 4 ( xP ) 44

TẢI TRỌNG NÚT TƯƠNG ĐƯƠNG 

Momen tập trung

dN1 dN 2 F1 = M ; M1 = M dx x = x P dx x = x P dN 3 dN 4 F2 = M ; M2 = M dx x = x P dx x = x P

45

HAI DẦM NỐI VỚI NHAU BẰNG KHỚP BẢN LỀ

θ ki ≠ θ kj 46

VÍ DỤ  

I = 4.106 mm4 E = 200GPa

q = 12KN/m A L/2

L/2 L 1

1

L 2

2

3

47

Ma trận độ cứng phần tử

6 L − 12 6 L   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  EI  ˆ ˆ  K1 = K 2 = L3 − 12 − 6 L 12 − 6 L    2 2 − 6L 4L   6L 2L

48

Ma trận độ cứng của cả kết cấu và hệ phương trình

6 L − 12 6 L 0 0   v1 = 0   F1 + R1   12  6 L 4 L2 − 6 L 2 L2  θ = 0   M + R  0 0 2   1   1 0 − 12 6 L  v2 = 0  F2 + R3  EI − 12 − 6 L 24 =  2 2 2  3  0 8 L − 6 L 2 L   θ 2  M 2 + R4  L  6L 2L  0 0 − 12 − 6 L 12 − 6 L  v3 = 0   F3 + R5      2 2  0 6L 2 L − 6 L 4 L   θ 3   M 3 + R6   0

49

Kết quả

− qL3  −4 θ  2   − 2,679.10 rad  56 EI ⇒ = 3 =  −4 θ 3   qL   4,464.10 rad  28 EI  

50

BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG   

Đối xứng hình dạng, kích thước và tải trọng

51

Xin cám ơn sự chú ý theo dõi của các bạn

52