Applications - Calcul Integral

Productique Calcul différentiel et intégral 2 (TP7 - TP 8 - TP 9)

  On se propose dans ce problème, de déterminer, dans un repère orthonormal (O ; i , j ), les coordonnées du centre d'inertie d'une plaque P d'épaisseur négligeable. y A

E

Cette plaque P est obtenue en soudant deux plaques P1 et P2 de masse surfacique ρ. 1

→

j

x' -4

C

x

2

→

0

D

B

i

1° La plaque P1 est un carré dont les sommets sont les points : A(0, 2), C(0, -2), D(-4, -2), E(-4, 2). Quelles sont les coordonnées du centre de gravité G1 de la plaque P1 ?

y'

2° La plaque P2 a l'axe des abscisses pour axe de symétrie et la moitié supérieure P2′ de cette plaque est limitée par les segments [BO], [OA] et la courbe d'équation : y = ( 2 − x) e x

( x ∈ [ 0, 2] ).

a) Déterminer les valeurs exactes des intégrales : I0 =

2 x e 0

∫

dx

I1 =

2

∫0

xe x dx

I2 =

2 2 x x e dx . 0

∫

b) Exprimer l'aire de la plaque P2′ en fonction des intégrales I 0 et I1 . En déduire la valeur exacte de cette aire, puis la masse M de P2′ en fonction de ρ. c) On rappelle que pour une plaque homogène de masse M, ensemble des points N(x, y) tels que a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ ƒ(x) l'abscisse du centre d'inertie est : xg =

1 b x. f ( x).ρ.dx M a

∫

Exprimer l'abscisse du centre d'inertie de P2′ en fonction des intégrales I1 et I 2 . En déduire la valeur exacte de l'abscisse du centre d'inertie G2 de la plaque P2 . 3°

Quelle est l'ordonnées du centre d'inertie G de la plaque P ? Calculer la valeur exacte de son abscisse. En donner une valeur approchée à 10 −1 près.

Mécanique et automatismes industriels Calcul différentiel et intégral 3 (TP 5 - TP 6 - TP 8 - TP 9)

On se propose de déterminer, sur un exemple, la charge maximale applicable sur une plaque dans le cas où l'appui est circulaire et ne correspond pas au contour de la plaque. La charge est supposée s'appliquer en O ; le contour d'appui (C) est le cercle de centre O et de rayon R.

(A) (C)

ρ

R

θ

Le contour de la plaque (A) est défini par ρ = ρ(θ) . On admet x que la charge maximale est donnée par la formule : 2 π ρ(θ) Pmax = m dθ , 0 R

O

∫

où m est le moment fléchissant (exprimé en newton). Exemple : (A) est une plaque carrée de centre O et de côté 2a. 1° a) Justifier l’égalité : a

a

Pmax = 8m

π

∫0 4

ρ( θ) dθ R

b) Déterminer ρ( θ ) pour θ variant de 0

(C)

R

(A)

π 4 θ 2° On se propose de comparer et de calculer les intégrales : x 1 π dt 4 dθ 2 I= et J = 0 cos θ 0 1− t2 a) A l'aide du changement de variable : t = sin θ, montrer que I = J.

ρ

à

O

∫



b) Déterminer les réels A et B tels que, pour tout t ∈ 0,



1 1− t

2

=

∫

1   , on ait : 2

A B + 1+ t 1− t

En déduire une expression de I ainsi qu'une valeur approchée à 10 −2 près. 3°

Application numérique : calculer Pmax pour m = 160 N, a = 20 mm, R = 15 mm.

Conception des produits industriels Fonction d'une variable réelle 2 ; calcul différentiel et intégral 3 (TP6 - TP 7 - TP 8 - TP 9)

→

-π

j

2

→

0

Le but de ce problème est de déterminer, dans un repère   orthonormal (O ; i , j ), les coordonnées du centre d'inertie d'une plaque homogène d'épaisseur négligeable.

π 2

Cette plaque est obtenue en soudant deux plaques P1 et P2 de masse surfacique ρ.

i

P

1° La plaque P1 a pour contour la courbe d'équation y = cos x, avec x compris entre − -π 2

→

G1

j

→

0

π 2

i

P

π π et et la droite d'équation y = 0. 2 2

Calculer l'aire de P1. En déduire sa masse M1 en fonction de ρ.

1

2° La plaque P2 est un demi-disque de centre O et de rayon →

-π 2

0

j

π 2

→

i

G

π . 2

Calculer sa masse M2 en fonction de ρ.

2

P2

3° On rappelle que si une plaque homogène est limitée par l'axe des abscisses et la courbe d'équation y = ƒ(x), comme l'indique le schéma ci-contre, alors l'ordonnée de son centre d'inertie est : 1 b1 y dm M a 2

∫

g avec dm = ρ . ƒ(x) dx. a

O

b

C'est à dire :

1 b1 2 ρƒ ( x ) dx M a 2

∫

M étant la masse de la plaque. Calculer les coordonnées y1 et y2 des centres d'inertie G1 et G2 des plaques P1 et P2. 4° Calculer l'ordonnée y du centre d'inertie G de la plaque P. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10-1 près de cette ordonnée).

Plasticien Industriel Fonction d'une variable réelle 1 ; calcul différentiel et intégral 1 (TP 2 - TP 3)

Dans une cour rectangulaire de 24 m sur 30 m, fermée par un mur sur trois côtés, on donne des spectacles en plein air. Pour abriter la scène du soleil, on tend un vélum (une bâche). Ce vélum est tendu dans un plan horizontal (H) par 7 filins ; chaque filin rectiligne est lui même tendu entre deux crochets fixés aux murs dans le même plan que (H) conformément au croquis ci-contre (qui n'est pas la figure exacte).

y

A'

Le mur du fond mesure 24 m.

A

On rapporte le plan (H) au repère Oxy défini par :

S C

B x

O

•

l'axe Ox est porté par le mur du fond,

•

l'axe Oy est l'axe de symétrie de la cour,

•

L'origine O est donc le milieu du mur du fond.

Vélum : C'est une pièce de toile dont le contour est formé d'un segment [A, A'] de longueur 12 m et de l'arc de parabole d'équation : 2  y = x + 2 dans Oxy  16 − 6 ≤ x ≤ 6

Filins : Ils sont fixés au vélum tangentiellement au bord parabolique en chacun des sept points A, B, C, S, C', B', A'.  x2   + 2  dx ; en déduire en m2, à 10 −1 près par excès, la surface du 1° Calculer la quantité I =  − 3  16   vélum.

∫

3

2° Les points A, B, C, S ont respectivement pour abscisses 3, 2, 1, 0 dans le repère Oxy ; A', B', C' sont les symétriques de A, B, C par rapport à Oy. a) Déterminer les équations des tangentes à la parabole en chacun de ces points. b) En déduire les coordonnées dans le repère Oxy des extrémités de ces quatre filins passant par A, B, C ou S. 3° En prenant pour échelle 1/200, représenter sur papier millimétré les 3 murs de la cour, la forme du vélum et les 7 filins dans le plan Oxy. En utilisant cette représentation, déterminer une estimation en mètres de la longueur de filin nécessaire.