Aplikasi Persamaan Legendre

TUGAS 1 Oleh : Andryati Utami

(060456)

Etika Khaerunnisa

(060463)

Siti Fadhilah

(060511)

BEBERAPA APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE 1.

Aplikasi Metode Trapesium - Kuadratus Gauss Legendre untuk menyelesaikan integral lipat dua dengan bahasa pemprograman pascal Metode Trapesium -

Kuadratus Gauss Legendre digunakan pada penyelesaian masalah

integral lipat dua momen Inersia. Algoritma kedua metode diselesaikan dengan bahasa pemprograman pascal versi 7.0 dan computer – computer PCI 486 DX2. Sedangkan penerapan integral lipat dua adalah dalam perhitungan volume benda pejal. Kudratur Gauss adalah nama suatu jenis tekni guna melaksanakan strategi. Formula kuadratur gauss dalam kasus ini disebut formula Gauss Legendre. Metode kuadratus Legendre digunakan untuk mendekati nilai integrasi atas nilai hampiran integral sisi dalam yang telah diperoleh dari metode trapezium. Sebagai penjelasan sebagai berikut : Menyelesaikan Integral Lipat Dua dengan Metode Trapesium – Gauss Legendre Perumusan metode Gauss Legendre ditulis sebagai berikut: 1  ( b − a) t + b + a  b − a I ≈ ∫ dt  2 2 −1  

(13)

a dan b adalah harga batas dari integral. Dan t = akar polinom Legendre. Penyelesaian dapat digunakan dengan menggunakan deret:

n  ( b − a ) ti + b + a  f x dx ≈ Ci f  ( )  ∑ ∫−1 2 i =1   1

(14)

Dimana Ci merupakan koefisien-koefisien polinom Legendre yang didapat dari rumus: Ci =

−2 Pn1 ( xi ) Pn +1 ( xi ) ( n + 1)

I = 1, 2, …., n Pn(x) = Polinom Legendre Metode kuadratur Gauss Legendre digunakan untuk mendekati nilai integral atas nilai hampiran integral sisi dalam tang telah diperoleh dari metode trapezium. Berikut diperlihatkan kasus mengenai kedua batas integral disertai dengan algoritmanya. 1. Kasus daerah integral pada daerah persegi panjang b d

∫ ∫ f ( x, y ) dydx a c

Untuk sisi lipat dalam penyelesaian menggunakan metode trapezium didapat dari persamaan d

∫

f ( x, y ) dy ≈

c

 d − c  f ( x, d ) + f ( x, c ) n −1 + ∑ f ( x, c + ih )   n  2 i =1 

d −c n f ( x, d ) + f ( x, c ) n −1 g ( x) = + ∑ f ( x, c + ih ) 2 i =1

h=

Untuk selanjutnya, penyelesaian integral memakai metode kuadratur Gauss Legendre sebagai berikut ⇔

b 1  ( b − a) t + b + a  b − a d −c d −c g x dx ≈ g dt ( )   n ∫a n −∫1  2 2 

(15)

 ( b − a) t + b + a   ( b − a) t + b + a  f ,d  + f  ,c 2 2  ( b − a) t + b + a      ⇔ g = 2 2    ( b − a) t + b + a  +∑ f  , c + ih  2 i =1   n −1

(16)

Dengan persamaan (13) dan (15) akan diselesaikan dengan deret ⇔

1  ( b − a) t + b + a  b − a  ( b − a ) ti + b + a  ( d − c) ( b − a) n d −c g dt = Ci g     ∑ ∫ n −1  2 2n 2 j =1  2  

( d − c) ( b − a) 2n  f     

 ( b − a ) ti + b + a  ( d − c ) ( b − a ) Ci g  = ∑ 2 2n j =1   n

∑C j =1

j

* (17)

 ( b − a) t j + b + a   ( b − a) tj + b + a  ; d  + f  ; c   n −1 2 2     ∑ 2 i =1

 f ( d − c ) ( b − a ) n− glq  ⇔ Cj  ∑ 2n j =1    +

n − glq

( d − c ) ( b − a ) n− glq 2n

n −1

∑ C *∑ j =1

j

i =1

   ( b − a) t j + b + a  f  ; c + ih   2      ( b − a) t j + b + a   ( b − a) tj + b + a   ;d  + f  ;c     2 2      2     ( b − a) t j + b + a  f  ; c + ih  2  

Dalam hal ini, koefisien-glq adalah suatu batas yang ditentukan untuk mengambil banyaknya koefisien dan akar polinom legendre yang digunakan. 2. Kasus daerah integral pada daerah non-persegi panjang Integral lipat dua dapat diselesaikan dengan metode Gauss Legendre Quadrature sebagai berikut:  f ( x, d ( x ) ) + f ( x, c ( x ) ) n −1  G ( x) = ( d ( x) − c ( x) )  + ∑ f ( x, c ( x ) + ih ( x ) )    2 i =1  

⇔

b ( b − a) 1 g x d x ≈ ( ) ( ) n ∫a 2n

 ( b − a) t + b + a  g dt ∫−1  2  1

(19)

  ( b − a ) t + b + a   ( b − a ) t + b + a     d    − c   * 2 2          ( b − a) t + b + a  ( b − a) t + b + a      ( b − a) t + b + a  ( b − a) t + b + a  f ;d  ;c   + f     2 2 2 2 ( b − a ) 1        ≈   ∫ 2n −1  2   n −1  ( b − a ) t + b + a  ( b − a ) t + b + a    ( b − a) t + b + a  ;c + ih + ∑ f       2 2 2  i =1           Kesimpulan : untuk menyelesaikan masalah integral lipat dua dengan menggunakan metode trapezium diperoleh :

Dengan menggunakan metode kuadratus Legendre diperoleh :

2. Persamaan Legendre sangat penting dalam banyak cabang matematik terapan. Sebagai

contoh, persamaan Legendre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam koordinat bola. Berikut penjelasan : Persamaan Diferensial : (1 – x2)y’’ – 2xy’ + p (p+1)y = 0 …………………………..(1) Dimana p merupakan suatu konstanta yang disebut persamaan Legendre. Persamaan (1) sangat penting dalam banyak cabang matematika terapan. Sebagai contoh, persamaan Legendre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam kordinat bola. Berikut persamaan potensial :

Dipetakan ke koordinat bola x = r sin Ѳ cos Ѳ,

y = r sin Ѳ sin Ѳ,

z = cos Ѳ

menjadi

Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari Ѳ berbentuk V = rp Ѳ, dimana Ѳ merupakan fungsi dari Ѳ saja, maka kita peroleh

Dengan menggunakan penggantian peubah x = cosѲ dan mengganti Ѳ dengan y, maka kita peroleh persamaan Legendre (1) 3. Pada pembentukan matrik kekakuan, yakni dapat dilakukan dengan koordinat Serendipity

disertai dengan metode integral Gauss. Tersedianya matrik kekakuan untuk elemen segi empat akan mempermudah penyusunan program computer pengolahan data (Solver) dalam analisis menggunakan metode elemen hingga.