Aplikasi Persamaan Legendre

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

APLIKASI PERSAMAAN

LEGENDRE

Disusun Oleh :

1.

Fitria Dewi H

2.

Gita Puspitasari B

(060443)

3.

Siti Jufroh

(060509)

(060496)

Kelas : VII / A Mata Kuliah : Nilai Awal dan Syarat Batas 1. Persamaan Legendre Persamaan difeensial dengan bentuk umum sebagai berikut :

dengan n real : disebut Persamaan Legendre. jika masing masing ruas dibagi dengan ( 1-x2 ) ; PD menjadi :

Terlihat bahwa x = 0 merupakan titik ordiner dari PD; sehinga PD diatas bisa diselesaikan dengan penderetan disekitar titik ordiner, dengan mengambil :

substitusikan y, y’ dan y” ke PD :

Pendidikan Matematika

1

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

kumpulkan x dengan pangkat yang sama, diperoleh persamaan:

rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,......

Dari rumus rekursif bisa diturunkan : Pendidikan Matematika

2

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

PU.PD:

2. 3. Polinomial Legendre Dalam beberapa aplikasi, parameter n dalam persamaan Legendre adalah bilangan bulat positif (n ≥ 0) . Jika n adalah bilangan bulat positif, untuk s = n sisi kanan persamaan (1-15) sama dengan nol, dan

Pendidikan Matematika

3

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

untuk n genap maupun ganjil polinomial derajat n yang terjadi disebut polinomial Legendre, ditulis dengan Pn(x). Bentuk umum dari Pn(x) bisa diturunkan dengan cara sebagai berikut: rumus rekursif (1-8) diperoleh :

sehingga untuk s = 0; 1; 2; 3; ...........; n – 1, nilai a s dapat dinyatakan dalam an (n adalah pangkat tertinggi dari x dalam polinomial). Koefisien an merupakan konstanta sembarang, dipilih sebagai berikut:

pemilihan nilai an ini dilakukan agar untuk sebarang polinomial Pn(x); harga Pn(1) = 1 ,

sehingga :

sehingga Pn(x) yang merupakan penyelesaian dari persamaan Legendre bisa dinyatakan secara umum :

dengan : M =

untuk n genap dan M =

untuk n ganjil.

Beberapa polinomial Legendre orde n :

Pendidikan Matematika

4

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

Secara grafis Pn(x) bisa digambarkan sebagai berikut:

Rumus - rumus rekursif untuk polinomial Legendre:

Rumus polinomial Legendre Pn(x) bisa dituliskan dalam bentuk formula Rodrigues sebagai berikut:

Dua buah polinomial Legendre yang berbeda akan saling tegak lurus pada interval 1 < x < 1 ; sehingga:

4. Aplikasi Persamaan Legendre dalam Matematika Fisika Persamaan Legendre sangat penting dalam banyak cabang matematik terapan. Sebagai contoh, persamaan Legebdre muncul dalam kajian persamaan potensial dalam koordinat bola. Jelaslah, persamaan potensial

Pendidikan Matematika

5

Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

dipetakan ke koordinat bola Menjadi

Jika kita tertarik pada penyelesaian yang bebas dari θ berbentuk V = rpθ, dimana merupakan fungsi dari θ saja, kita dapatkan

Dengan menggunakan penggantian peubah x = cosθ dan mengganti θ dengan y, kita peroleh persamaan Legendre. Jika p bilangan bulat taknegatif, salah satu penyelesaian dari Persamaan Legendre di sekitar titik biasa x0 = 0 berbentuk polinom.

Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833)

DAFTAR PUSTAKA Tim Matematika-Jurusan Teknik Mesin. DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK II. Fakultas Teknik Jurusan Mesin. Universitas Brawijaya. Aplikasi Persamaan Diferensial. materi_pdb1_math3_1.pdf

Pendidikan Matematika

6