Aplikasi Metode Numerik Dengan Metode Simpson

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, dimana dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). 1

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harfiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa. Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang

mendekati atau menghampiri solusi sejati

sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

1.2

Tujuan Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk mempermudah pemahaman prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan menggunakan Aturan Simpson sehingga dalam pengaplikasiannya di lapangan menjadi lebih mudah dan akurat.

2

BAB II LANDASAN TEORI

2.1

Integrasi Numerik

Gambar 1 Integral Suatu Fungsi

Integral

suatu

fungsi

adalah

operator

matematik

yang

dipresentasikan dalam bentuk: b

I = ∫ f ( x ) dx a

dan merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 1 dan persamaan di atas yang dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan menjadi: 3

b

∫ f ( x) dx = [ F ( x)] a = F (b) − F (a ) b

a

dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x). Sebagai contoh: 3

1 1 3  1 3 3 ∫ x dx =  x  =  (3) − (0)  = 9. 3 0 3  0 3  3

2

Integral numerik dilakukan apabila: 1)

Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2)

Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel). Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang

didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung: b

I = ∫ f ( x ) dx a

yang merupakan luasan antara kurva f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f1(x). Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f1(x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f1(x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

4

I = ( b −a)

f (a ) + f (b) 2

Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurva yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurva lengkung. Seperti pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk polinomial order tiga. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi.

5

Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.

Gambar 2 Metode Integral Numerik Metode numerik merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan/aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numeric adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya/solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat/error. Metode numeric dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode numerik juga merupakan piranti utama yang dipakai ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi fungsi:

saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ô(x) , integrasi numerik harus digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai Ô(5) adalah area dibawah kurva y=f(t)=t3/(et-1) untuk 0 t 5.

6

Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip –prinsip dasar integrasi numerik. Sasaran dasarnya adalah pendekatan integral tentu f(x) pada selang a_ x_b dengan sejumlah titik-titik sampel (sample nodes), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),…., (xM,fM) dengan f k=f(xk). Rumus pendekatan berbentuk:

Nilai-nilai ù0, ù 1,…, ùM berupa konstanta atau bobot. Tergantung pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul xk=a+hk dipilih berjarak sama. Untuk integrasi Gauss-Legendre simpulsimpul dipilih berupa titik-titik nol dari polinom-polinom Legendre tertentu. Bilamana formula integrasi dipakai menurunkan suatu algoritma eksplisit untuk memecahkan persamaan diferensial, simpul-simpul semuanya dipilih lebih kecil dari b. Beberapa formula umum yang berdasarkan pada interpolasi polinom disebut formula integrasi Newton Cotes. Ketika titik sample x0=0 dan xM=b digunakan dalam formula, formula tersebut dinamakan formula Newton Cotes tertutup. 7

Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang popular digunakan: a.

Trapezoidal Rule (Aturan Trapesium) Simplicity, Optimal for improrer integrals, Needs a large number of sub intervals for good accuracy.

b.

Simpson’s 1/3 Rule Simplicity. Higher accuracy than trapezoidal rule, Even number of interval only.

2.2

c.

Multiple -application Simpson’s 1/3 Rule.

d.

Simpson’s 3/8 Rule.

e.

Newton Cotes.

f.

Romberg Integration.

g.

Gauss Quadrature.

Metode Integrasi Simpson Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titiktitik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 3a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 3b). Rumus yang dihasilkan oleh 8

integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Gambar 3 Aturan Simpson

2.2.1

Aturan-Aturan Simpson 2.2.1.1 Aturan Simpson 1/3

Gambar 4 Penurunan metode Simpson

9

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f (xi mendekati

), f (xi) dan f (xi

– 1

fungsi.

Rumus

) untuk

+ 1

Simpson

dapat

diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini. x

I ( x) = ∫ f ( x) dx a

(persamaan 1) Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi: I ' ( x) =

dI ( x ) = f ( x) dx

(persamaan 2) Dengan memperhatikan Gambar 4 dan persamaan (2) maka persamaan deret Taylor adalah:

I ( xi +1 ) = I ( xi +Δ x ) =I ( xi ) +Δ x f ( xi ) +

+

Δx2 Δ x3 f ' ( xi ) + f ' ' ( xi 2! 3!

Δ x4 f ' ' ' ( xi ) + O ( Δ x 5 ) 4!

(persamaan 3) I ( xi −1 ) = I ( xi −Δ x ) =I ( xi ) −Δ x f ( xi ) +

+

Δx2 Δ x3 f ' ( xi ) − f ' ' ( xi ) 2! 3!

Δx 4 f ' ' ' ( xi ) − O ( Δ x 5 ) 4!

(persamaan 4) 10

Pada Gambar 4, nilai I (xi

+ 1

) adalah luasan

dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi

.

+ 1

Sedangkan nilai I (xi − 1) adalah luasan antara batas a dan I (xi − 1). Dengan demikian luasan di bawah fungsi antara batas xi − 1 dan xi + 1 yaitu (Ai), adalah luasan I (xi + 1) dikurangi I (xi − 1) atau persamaan (3) dikurangi persamaan (4). Ai = I (xi + 1) – I (xi −1) Atau Ai = 2 Δ x f ( xi ) +

Δx3 f ' ' ( xi ) + O (Δ x 5 ) 3

(persamaan 5) Nilai

f ''(xi) ditulis dalam bentuk diferensial

terpusat:

f ' ' ( xi ) =

f ( xi −1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi +1 ) Δx

2

+ O ( Δx 2 )

Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan 5. Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya notasi f (xi) ditulis dalam bentuk fi, sehingga persamaan 5 menjadi: Ai = 2 Δ x f i +

Δx Δ x3 ( f i −1 − 2 f i + f i +1 ) + O ( Δ x 2 ) +O ( Δ x 5 ) 3 3

atau

11

Ai =

Δx ( f i −1 + 4 f i + f i +1 ) +O (Δx 5 ) 3

(persamaan 6) Persamaan 6 dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3 karena ∆ x dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias, ∆x =

b −a , 2

sehingga persamaan 6 dapat ditulis dalam bentuk: Ai =

b −a [ f ( a ) + 4 f (c ) + f ( b) ] 6

(persamaan 7) dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b. Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah: εt = −

Oleh karena ∆x =

1 Δ x 5 f ' ' ' ' (ξ ) 90

b −a , maka: 2

εt = −

(b − a ) 5 f ' ' ' ' (ξ ) 2880

Contoh soal: 4

x Hitung I = ∫ e dx , dengan aturan Simpson 1/3. 0

Penyelesaian: 12

Dengan menggunakan persamaan 7

maka luas

bidang adalah: Ai =

b −a [ f (a) + 4 f (c) + f (b)] = 4 − 0 (e 0 + 4e 2 + e 4 ) = 56 ,769 6 6

Kesalahan terhadap nilai eksak:

εt=

53,598150 − 56 ,7696 × 100 % = − 5,917 %. 53,598150

2.2.1.2 Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar 5): ∆x =

b −a n

dengan n adalah jumlah pias.

Gambar 5 Metode Simpson dengan banyak pias

13

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 5. b

∫ f ( x) dx = A1 + A3 + ... + An − 1

a

(persamaan 8) Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan 6 disubstitusikan ke dalam persamaan 8 akan diperoleh: b

∫ f ( x) dx =

a

Δx Δx Δx ( f 0 + 4 f1 + f 2 ) + ( f1 + 4 f 2 + f 3 ) + ... + ( fn − 2 + 4 fn −1 + 3 3 3

atau b

∫ f ( x) dx =

a

n −1 n −2 Δx   f ( a ) + f ( b ) + 4 f ( x ) + 2 ∑ ∑ f ( xi ) i  i =1 i=2 3  

(persamaan 9) Seperti pada Gambar 5, dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah: ε a =−

dengan

f ''''

(b − a ) 5 f '''' 180 n 4

adalah rerata dari turunan keempat

untuk setiap interval. Contoh soal:

14

4

I = ∫ e x dx , dengan metode Simpson

Hitung

0

dengan ∆ x = 1. Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan 9 maka luas bidang adalah:

1 I = [ e 0 + e 4 + 4(e1 + e 3 ) + 2 e 2 ] = 53 ,863846 . 3

Kesalahan terhadap nilai eksak:

εt =

53 ,598150 − 53 ,863846 ×100 % = 0,5 % . 53 ,598150

2.2.1.3 Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik. b

b

a

a

I = ∫ f ( x) dx ≈ ∫ f 3 ( x) dx Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:

I=

3Δ x 8

[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 )]

(persamaan 10) 15

dengan: ∆x =

Persamaan 10

b −a 3

disebut dengan metode

Simpson 3/8 karena ∆ x dikalikan dengan 3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:

I = (b − a)

[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) ] 8

(persamaan 11) Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar: εt =−

3 Δ x 3 f ' ' ' ' (ξ ) 80

(persamaan 12a) Mengingat ∆x =

b −a , maka: 3

ε t =−

(b − a ) 5 f ' ' ' ' (ξ ) 6480

(persamaan 12b) Metode Simpson

1/3

biasanya lebih

disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hanya

memerlukan

tiga

titik,

dibandingkan

metode Simpson 3/8 yang membutuhkan empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya 16

kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8. Contoh soal: 4

x Dengan aturan Simpson 3/8 hitung I = ∫ e dx . 0

Hitung

pula

integral

tersebut

dengan

menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan ∆ x = 0,8. Penyelesaian: a)

Metode Simpson 3/8 dengan satu pias Integral

dihitung

dengan

menggunakan

persamaan (11):

I = (b − a )

I = ( 4 − 0)

[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) ] 8

(e 0 + 3e1,3333 + 3e 2 ,6667 + e 4 ) = 55 ,07798 . 8

Besar kesalahan adalah:

εt =

53 ,598150 − 55 ,07798 ×100 % = − 2,761 % . 53 ,59815

17

b)

Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah: f (0) = e0 = 1

f (2,4) = e2,4 =

11,02318. f (0,8) = e0,8 = 2,22554

f (3,2) = e3,2 =

24,53253. f (1,6) = e1,6 = 4,9530

f (4) = e4 =

54,59815. Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan 7): Ai = I =

b −a [ f ( a ) + 4 f (c ) + f ( b) ] 6

1,6 ( 1 + ( 4 × 2,22554 ) + 4,95303 ) = 3,96138 . 6

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:

I = (b − a)

I = 2,4

[ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 ) ] 8

( 4,95303 + (3 ×11,02318 ) + (3 × 24 ,53253 ) + 54 ,59815 ) = 49 ,86549 . 8

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas: I = 3,96138 + 49 ,86549 = 53 ,826873 .

Kesalahan terhadap nilai eksak:

18

εt =

2.2.2

53 ,598150 − 53 ,826873 ×100 % = −0,427 %. 53 ,59815

Algoritma Metode Integrasi Simpson (1) Definisikan y=f(x) (2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) (3) Tentukan jumlah pembagi n (4) Hitung h=(b-a)/n

2.3

Pengaplikasian Integrasi Numerik 2.3.1

Aturan Simpson Di Lapangan Masalah getaran sering dijumpai dalam kehidupan seharihari. Respons suatu struktur yang tergetar dapat diwakili oleh percepatan, kecepatan, atau perpindahan. Masalah yang dibahas dalam penelitian ini ialah mengenai bagaimana mengolah sinyal percepatan struktur menjadi respons lainnya dan menganalisis pola percobaan dari struktur tersebut. Penelitian ini dilakukan dalam 2 tahapan. Pada tahap pertama telah dibuat program perubahan sinyal percepatan menjadi sinyal kecepatan dan perpindahan setelah dilakukan pengembangan

19

program akuisisi data. Tahap kedua meliputi pembuatan program analisis pola percobaan untuk struktur sederhana dan percobaan modus getar skala laboratorium bagi struktur sederhana tersebut. Pada kedua tahapan, struktur uji yang berupa pelat tipis dianggap tetap berada dalam keadaan elastis. Sebagian subrutin-subrutin program pada tahap awal maupun program akuisisi dan pembacaannya digunakan untuk penelitian tahap kedua. Kajian tahap pertama memperlihatkan bahwa perpindahan dan kecepatan dapat diperhitungkan dari percepatannya yang diperoleh dengan bantuan satu peralatan penangkap sinyal dan percepatan. Hasil penelitian ini yang berupa program perubahan sinyal percepatan menjadi kecepatan dan perpindahan, juga digunakan untuk mendapatkan kecepatan dan perpindahan tanah dari satu rekaman percepatan tanah oleh satu strong motion accelerograph. Rekaman percepatan tanah tersebut didapat akibat adanya pergerakan tanah sewaktu gempa bumi terjadi. Teknik perolehan respons perpindahan dari sinyal percepatan tersebut dilakukan dalam 2 ranah, yaitu ranah waktu dan ranah frekuensi. Pendekatan dalam ranah waktu dilakukan dengan 2 teknik integrasi, yaitu formulasi Newton-Cotes dan Simpson. Kedua cara tersebut dikombinasikan dengan koreksi garis basis. Teknik koreksi garis basis yang digunakan ialah teknik waktu akhir nol. Ranah frekuensi didekati dengan bantuan algoritma transformasi Fourier cepat. Penerapan pada beberapa kasus studi memperlihatkan bahwa hasil perolehan perpindahan dalam ranah frekuensi memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan perolehan dalam ranah waktu. Hasil perolehan dalam ranah frekuensi juga masih memperlihatkan beberapa kelemahan namun secara umum masih lebih baik daripada hasil dalam ranah waktu. Selain itu proses komputasi perolehan perpindahan dalam ranah 20

frekuensi masih lebih cepat bila dibandingkan dengan proses dalam ranah waktu. Respons mekanik dapat mewakili perilaku mekanik dari sebuah struktur yang terkena suatu eksitasi gaya. Respons mekanik tersebut sangat dipengaruhi oleh parameter sistem dinamik struktur tersebut. Kajian tahun kedua meliputi penentuan parameter tersebut, yaitu pola getar, nilai-nilai frekuensi, dan nisbah redaman yang ada pada suatu struktur sederhana. Parameter dinamik ini dapat ditentukan melalui analisis pola percobaan pada struktur tersebut. Parameter tersebut ditentukan dalam 4 tahapan, yaitu pengujian data dan akuisisi data, penentuan fungsi respons frekuensi, penentuan parameter dinamik, dan penggambaran pola struktur. Untuk dapat melakukan tahap kedua dan ketiga, dikembangkan 2 program terpisah untuk setiap tahapnya. Hasil yang didapat melalui beberapa tahapan tersebut walau cukup baik masih memperlihatkan kelemahan sehingga masih harus dilakukan beberapa perbaikan program sebelum dapat digunakan untuk jenis struktur yang lebih kompleks. Program akuisisi dan osiloskop yang digunakan pada studi di tahap pertama dapat digunakan untuk mengukur respons lain denga bantuan jenis transducer lainnya dan amplifier yang bersesuaian. Jenis transducer dapat berupa transducer perpindahan, strain gauge, pressure transducer, atau yang lainnya. Program yang digunakan pada tahap kedua selain dapat diterapkan pada struktur pelat juga dapat diterapkan pada jenis struktur lainnya. Program yang digunakan pada tahap ketiga selain dapat diterapkan pada pelat tipis yang terbuat dari baja atau beton serat (fiber), dapat juga diterapkan pada pelat tipis dengan jenis bahan lain seperti tripleks. Selain itu program dapat juga digunakan untuk mengenali pengaruh ketidaksempurnaan perletakan tepat pada parameter yang didapat. Selain itu perluasan yang lebih jauh

21

meliputi program analisis pola percobaan pada dek atau lantai jembatan konvensional. Kerusakan atau kelainan daya dukung fondasi dalam pembangunan suatu gedung atau struktur lainnya biasanya terjadi akibat kelalaian operator ataupun oleh kondisi tanah. Program pendeteksian kerusakan struktural seperti program analisis integritas tiang pancang beton atau tiang bor yang mencakup salah satu jenis analisis dinamika tiang pancang beton, dapat merupakan topik perluasan penelitian ini.

BAB III 22

PENUTUP

3.1

Kesimpulan Dalam dunia statistik khususnya matematika numerik terdapat berbagai macam teknik integrasi metode-metode numerik dalam pengaplikasiannya di dunia nyata salah satunya aturan simpson. Di dalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu aturan simpson 1/3 dan 3/8. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi yang berderajat lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola, untuk itu dibutuhkan 3 buah titik data,misalkan (0,f(0)), (h,f(h)),(2h,f(2h)). Sedangkan untuk aturan simpson 3/8 dibutuhkan 4 buah titik dimana tingkat nilai dari integrasi cenderung lebih baik dari pada aturan simpson 1/3.

3.2

Saran Dalam aturan simpson terdapat dua bagian yaitu 1/3 dan 3/8. kedua bagian aturan simpson ini dapat digunakan untuk diaplikasikan dalam permasalahan-permasalahn yang ada dan membutuhkan perhitungan secara numerik.

Sebaiknya dalam menggunakan aturan

simpson

gunakanlah bagian yang kedua karena aturan simpson 3/8 membutuhkan 4 buah titik yang tingkat nilai dari integritasnya cenderung lebih baik dari pada aturan simpson 1/3.

DAFTAR PUSTAKA

23

-

mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm. Internet

-

Jack.2006. Buku ajar jurusan matematika, FMIPA,UNILA.

-

http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/pdf/bab6tm.pdf. Internet

-

http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iv-diferensiasi-integrasikomputasi-nume.pdf. Internet

24