Metode Numerik Dengan Metode Bisection Dll

Tugas Metode Numerik

Disusun Oleh : Antonio Grafiko FIA 007 002 Dosen Pembimbing Yulian Fauzi,S.Si,M.Si

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Bengkulu 2008

Metode Bagi Dua (Bisection)

Tentukan akar dari f(x) = e-x – x dengan batas [0,1] dengan tolerasi error dibawah 1%. f(0) = 1 f(1) = -0,6321 1. f(0) . f(1)  (1) . (-0,6321) < 0

(0 + 1) / 2 = 0,5 2. f(0,5) = 0,1065 f(0) . f(0,5)

(1) . (0,1065) > 0

f(0,5) . f(1)  (0,1065) . (-0,6321) < 0 (0,5 + 1) / 2 = 0,75 3. f(0,75) = -0,2776 f(0,5) . f(0,75)

(0,1065) . (-0,2776) < 0

f(0,75) . f(1)  (-0,2776) . (-0,6321) > 0 (0,5 + 0,75) / 2 = 0,625 4. f(0,625) = -0,0897 f(0,5) . f(0,625)

(0,1065) . (-0,0897) < 0

f(0,625) . f(0,75)

(-0,0897) . (-0,2776) > 0

(0,5 + 0,625) / 2 = 0,5625 5. f(0,5625) = 0,0073 f(0,5) . f(0,5625)  (0,1065) . (0,0073) > 0 f(0,5625) . f(0,625)

(0,0073) . (-0,0897) < 0

(0,5625 + 0,625) / 2 = 0,5938 6. f(0,5938) = -0,0416 f(0,5625) . f(0,5938)  (0,0073) . (-0,0416) < 0 f(0,5938) . f(0,625)  (-0,0416) . (-0,0897) > 0 (0,5625 + 0,5938) / 2 = 0,5782 7. f(0,5782) = -0,0173 f(0,5625) . f(0,5782)

(0,0073) . (-0,0173) < 0

f(0,5782) . f(0,5938)  (-0,0173) . (-0,0416) > 0 (0,5625 + 0,5782) / 2 = 0,5704 8. f(0,5704) = -0,0051 f(0,5625) . f(0,5704)  (0,0073) . f(-0,0051) < 0 f(0,5704) . f(0,5782)

(-0,0051) . (-0,0173) > 0

(0,5625 + 0,5704) / 2 = 0,5669 9. f(0,5665) = 0,0010 f(0,5625) . f(0,5665)  (0,0073) . (0,0010) > 0 f(0,5665) . f(0,5704)

(0,0010) . (-0,0051) < 0

(0,5665 + 0,5704) / 2 = 0,5684 10. f(0,5684) = -0,0011 f(0,5665) . f(0,5684)

(0,0010) . (-0,0011) < 0

f(0,5684) . f(0,5704)  (-0,0011) . (-0,0051) > 0 (0,5665 + 0,5684) / 2 = 0,5675 Persentase 54 0,5938-0,56250,5938 x 100% = 5,2711%

6

5 0,5782-0,59380,5782 x 100% = 2,6980%

76 0,5704-0,57820,5704 x 100% = 1,3675%

8

7 0,5669-0,57040,5669 x 100% = 0,6174%

98 0,5684-0,56690,5684 x 100% = 0,2639%

10

9 0,5675-0,56840,5675 x 100% = 0,1586%

Pada X = 0,5684 dan f(x) = -0,0011

METODE POSISI SALAH fx=x3+x2-3x-3=0

Penyelesaian 1. Interval -2 sampai -1 f-2=(-2)3+(-2)2-3.(-2)-3=-1 f-1=23+22-3.2-3=3 • x1=-1-3.(-1-(-2))3-(-1)=-1,75 f-1,75=(-1,75)3+(-1,75)2-3.-1,75-3=-0,0469

•

f-1.f-1,75<0 jadi x2=-1-3.(-1-(-1,75))3-(-0,0469)=-1,7384 f-1,7384=(-1,7384)3+(-1,7384)2-3.-1,7384-3=-0,0163

•

f-1.f-1,7384<0 jadi x3=-1-3.(-1-(-1,7384))3-(-0,0163)=-1,7344 f-1,7344=(-1,7344)3+(-1,7344)2-3.-1,7344-3=-0,0059 error=-1,7344-(-1,7384)-1,7344.100%=-0,23%

2. Interval -1,5 sampai -0,5 f-1,5=(-1,5)3+(-1,5)2-3.(-1,5)-3=0,375 f-0,5=0,53+(0,5)2-3.0,5-3=-1,375 • x1=-0,5--1,375.(-0,5-(-1,5))-1.375-(0,375)=-1,2857 f-1,2857=(-1,2857)3+(-1,2857)2-3.-1,2857-3=0,3848

•

f-1,2857.f-0,5<0 jadi x2=-0,5--1,375.(-0,5-(-1,2857))-1.375-(0,3848)=-1,1139 f-1,1139=(-1,1139)3+(-1,1139)2-3.-1,1139-3=0,2004

•

f-1,1139.f-0,5<0 jadi x2=-0,5--1,375.(-0,5-(-1,1139))-1.375-(0,2004)=-1,0358 f-1,0358=(-1,0358)3+(-1,0358)2-3.-1,0358-3=0,0689 error=-1,0358-(-1,1139)-1,0358.100%=-7,54%

3. Batas interval 1-2

•

f1=13+12-3.1-3=-4 f2=23+22-3.2-3=3 x1=2-3.(2-1)3-(-4)=1,5714 f1,5714=(1,5714)3+(1,5714)2-3.1,5714-3=-1,3647

•

f2.f1,5714<0 jadi x2=2-3.(2-1,5714)3-(-1,3647)=1,7054 f1,7054=(1,7054)3+(1,7054)2-3.1,7054-3=-0,2478

•

f2.f1,7054<0 jadi x3=2-3.(2-1,7054)3-(-0,2478)=1,7279 f1,7279=(1,7279)3+(1,7279)2-3.1,7279-3=-0,0392 f2.f1,7279<0 jadi

•

x4=2-3.(2-1,7279)3-(-0,0392)=1,7314 f1,7314=(1,7314)3+(1,7314)2-3.1,7314-3=-0,0062 error=1,7314-1,72791,7314.100%=0,0202%

Metode Rapshon f(x) = e-x – x Penyelesaian : xi+1 = xi – f(x) / f’(x) dimana diketahui bila xi+1 = 0 dan xi = 1 maka x1 = x0 – f(x0) / f’(x0) = 0 + (1/2) = 0,5 x2 = x1 – f(x1) / f’(x1) = 0,5 + (0,1065 / -1,6065) = 0,5663 x3 = x2 – f(x2) / f’(x2) = 0,5663 – (0,0013 / -1,1339) = 0,5674 Pada x3 ada akar yaitu 0,5674 karena iterasinya < 1%

Metode Secant f(x) : e-x – x penyelesaian : karena selang [0,1] dan bila dibuat grafiknya maka akar terdapat di [0,5;0,6] xn+1 = xn – yn (xn-xn+1)(yn-yn+1) x0 dan x1 mempunyai nilai masing-masing x0 = 0,5 dan x1 = 0,6 maka dapat disimpulkan bahwa ada akar terdapat di selang [0,5;0,6]

y0 = f(x0) = 0,1065 y1 = f(x1) = -0,0512 x2 = x1– y1 (x1-x0)(y1-y0) x2 = (0,6)– (-0,0512) (0,1)(-0,1577) = 0,5675 y2 = f(x2) = -0,0005 x3 = x2– y2 (x2-x1)(y2-y1) x3 = (0,5675)– (-0,0005) (-0,0325)(0,0507) = 0,5672 pada x3 terdapat akar yaitu 0,5672 karena nilai error toleransinya <1%