Aplicacion De La Derivada

PROBLEMAS 2. Hallar la longitud de la barra mas larga que se puede hacer pasar horizontalmente por una esquina de un corredor de 2m de ancho a otro de 1m de ancho. 3. Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4. Desde la ciudad riberena A hay que llevar mercancias a la ciudad B, situada a Km. más abajo y a d km. de la orilla del río, que consideramos rectilíneo. Se trata de construir un embarcadero para que el transporte de mercancías de A a B sea lo más económico posible. Hallar el lugar del embarcadero C sabiendo que el coste por carretera es el doble por río. El coste se mide en kg/Km 5. Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h 6. Hallar el rectángulo de superficie máxima circunscrito a otro rectángulo de lados a y b. 7. Dos mástiles de altura a y b están a una distancia d. Hallar el punto sobre la recta que une sus bases de manera que al tender un cable entre ambos vértices pasando por este punto la longitud sea mínima. 8. Encontrar el punto de la parábola y=x^2^ que dista menos del (0,1) 9. Dada una esfera de radio R y todos los cilindros inscritos en ella . Hallar la altura del cilindro de área toral máxima. 10. Hallar las dimensiones del cilindro de volumen máximo inscrito en un cono de radio R y altura H. 11. Un perro está atado a una columna con una cuerda de longitud L. El perro trata de alejarse de la columna lo más posible tirando de la cuerda tirando de la cuerda, con lo que el nudo se aproxima a la columna. Calcular: a) En el caso de que la base de la columna sea cuadrada de lado a, a qué distancia de la cara de la columna se detiene el nudo y el ángulo que forma la cuerda con dicha cara. b) En el caso de que la base de la columna sea circular de radio R, a qué distancia de la columna se detiene el nudo y el ángulo que forma la cuerda con el radio perpendicular a ella.

SOLUCIONES 1) 49 y 49 2) L= 4.161938 m 3) a) b) x=5 y=8 4) Si a>x no tendría sentido construir el embarcadero 5) b=2a 6) c=d=(a+b)2/2 7) d/2 8)(1,22)

9) h={10+{5}} 2 ) r=2/3R h=H/3 11) a) ang=30 b) fi=30

Ejercicios: 1. Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triángulo equilátero con respecto a su perímetro. Sol.:

2.

dA 3 = P dP 18

Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja del poste con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Con que rapidez se alarga su sombra? Sol.:

3.

dS = 0,41 m / s dt

Una escalera que tiene una longitud L (m) está apoyada en una pared, si su punto de apoyo con el suelo resbala alejándose de ella con una rapidez de 0,6 m/s, ¿Con que rapidez descenderá el punto de apoyo en la pared cuando el extremo en el piso esté a 1,5 m de la pared? Sol.:

dy = 0,346 m / s dt

De una hoja cuadrada de 10 cm de lado recortamos 4 cuadraditos iguales, uno en cada esquina y doblando en ángulo recto las pestañas que aparecen formamos una caja, (la altura de la caja será igual al lado del cuadradito recortado). Si necesitamos que la caja tenga volumen máximo: ¿Cuánto deben medir los lados de los cuadraditos que recortamos? ¿Qué volumen máximo conseguiremos?

Un ganadero desea trasladar al matadero su producción de cerdos. El transportista cobra 1,20 € por cabeza si traslada en cada camión 20 cerdos exactamente, mientras que si traslada más de 20 le descuentan 5 céntimos por cada uno que pase de 20. Hallar el número de cerdos que el transportista propondrá trasladar al ganadero para obtener el máximo beneficio 1. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?. 2. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm. de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se soldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las 5 cajas?. 3. Un alambre de 100 cm. de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?. 4. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 Km. del punto B mas cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 Km. de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?. 5. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material. 6. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

7. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a. 8. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación:

9. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 Km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 Km. de distancia por el bosque y también a 2 Km. de la carretera. (Ver figura). Puede caminar a 8 Km/h por la carretera y a 3 Km/h por el bosque. Así, decide caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por bosque hacia la cabaña. Gr ca en Construcci FONT> a. ¿Qué ángulo minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña?. b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque? 10. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 11. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2. También desea utilizar algo de cerca para construir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 12. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área. También desea usar una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto. 13. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3. La parte cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente?. 14. Una escalera de 2 m. de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera esta resbalando a razón de 0.3 m/seg. ¿A qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m.? 15. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/seg., mientras que su altura decrece a razón de 3 cm/seg.

a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿y la altura 12 cm.? b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante? 16. Un abrevadero que esta lleno de agua tiene 2 m. de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado (ejercicio 4, sección 7.6). Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/seg., ¿con qué velocidad esta bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm.? 17. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 (seg.) se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/seg. a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?. b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?. 18. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1000 m/min. se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m. del cruce, pasa por este un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce? 19. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/seg. desde un punto P. 5 minutos mas tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/seg. desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?. 20. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm., aumenta a razón de 0.1 Rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide π /6 rad. ? (Ayuda:

).

21. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de 12 pies de altura, de tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/seg. a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600 con el piso. b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.