Aplicaciones De La Derivada

S.R.T. de la U.N.Sa.

Carreras: Tecnicatura e Ingeniería en Perforaciones

MATEMÁTICA II

Aplicaciones de la Derivada

Guía de Estudio para trabajar el Texto Bibliografía Obligatoria: Capitulo 3 Libro: Cálculo I, 7ma Edición de Larson-HostetlerEdwards pag

Aplicaciones de la Derivada Guía de Actividades para trabajar el Texto Obsevación: Incluiremos algunas definiciones que no se encuentran en la bibliografía obligatoria. Punto estacionario: f tiene un punto estacionario en x si x esta en su dominio y f ’ (x) =0, para ubicar puntos estacionarios se hace f? (x) = 0 y se despeja x. Punto singular: f tiene un punto singular en x si x esta en su dominio y f ’ (x) no esta definida. Para ubicar puntos singulares se determinan valores de x donde f ’ (x) no este definida, pero f (x) si. Puntos extremos de definición: son las abscisas de los extremos del conjunto de definición de las funciones cundo estas están definidas en intervalos cerrados. Si las funciones están definidas en intervalos abiertos no tienen puntos extremos de definición. Actividad 1 1) ¿A qué se llama valores extremos de una función? 2) defina máximo y mínimos absoluto y máximo y mínimo relativo. 3) ¿Una función siempre tiene valores extremos? 4) ¿Cuántos máximos y mínimos absolutos puede tener una función? ¿ y relativos? Para analizar tenga en cuenta el dominmio de definición de la función. Ejemplifique 5) Puede un máximo relativo ser menor que un mínimo relativo? Justifique. 6) Cuales son las condiciones necesarias para la existencia de extremos relativos si f es continua y derivable en (a,b)? y si es solo continua en (a,b)? 7) Cuales son las condiciones necesarias para la existencia de extremos si f es continua y derivable en (a,b)? y si es solo continua en (a,b)? 8) Cuales son las condiciones necesarias para la existencia de extremos si f es continua y derivable en [ a, b] ? y si es solo continua en [ a, b] ? 9) Un valor extremo relativo es también un valor extremo absoluto? Y al revés? Actividad 2 1) Trace la gráfica de una función f cuyo dominio sea el conjunto de los números reales, tal que f no sea lineal y no tenga extremos relativos.

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2) Trace la gráfica de una función g cuyo dominio sea el conjunto de los números reales, de tal modo que g tenga un máximo y un mínimo relativo pero que no tenga extremos absolutos. 3) Trace la gráfica de una función que tenga puntos estacionarios y singulares pero que no tenga extremos relativos 4) Trace la gráfica de una función que tenga extremos relativos , no absolutos pero que no tenga puntos estacionarios ni singulares. 5) Si un punto estacionario no es máximo relativo, ¿debe ser entonces un mínimo relativo? Explique por qué 6) Si una función tiene dos extremos y si uno de ellos es un máximo relativo ¿el otro debe ser también relativo? Explique por qué. 7) Es cierto que los extremos relativos solo ocurren en los valores críticos. Demuestrelo. 8) Un número crítico es siempre un extremo. Fundamente 9) Un extremo es siempre un número crítico. Fundamente 10) Escriba un procedimiento para encontrar extremos relativos en una función definida en un intervalo abierto. Y si esta definida en un intervalo cerrado? 11) Escriba un procedimiento para encontrar extremos absolutos en una función definida en un intervalo abierto. Y si esta definida en un intervalo cerrado? 12) Resuelva las actividades de la pag. Nº 166, de la bibliografía obligatoria, que llevan como título “Para aclarar conceptos” 13) Coloque V o F en los ejercicios 61 al 64 de la pag. 167 de la bibliografía obligatoria. Observación: Este libro define Funciones Crecientes y Decrecientes ( pag. 174) sólo en intervalos y la definición que da de este concepto en otras bibliografías ( Rey Pastor entre otros) se denominan funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. La cátedra adoptara la definición de este libro pero introduciremos también el concepto de función creciente en un punto Decimos que una función es creciente en un punto x0 si existe un intervalo abierto de dicho y la función es creciente en él. Actividad 3 Defina función decreciente en un punto

Actividad 3 Defina función creciente en un intervalo y función decreciente en un intervalo Actividad 4 Demuestre que si f ’ (x0) >0 entonces f es creciente en x0. Enuncie y demuestre el recíproco. Actividad 5

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1) Qué criterio de suficiencia se puede aplicar para asegurar que un valor crítico singular es un extremo. Explíquelo 2) Qué criterios de suficiencia se puede aplicar para asegurar que un valor crítico estacionario es un extremo. Explíquelo. Analice los ejemplos 2,3 y 4 de las páginas 177,178 y 179.l y el ejemplo 4 de la pag. 188. Anote las dudas para discutirlas en clase. 3) Resuelva los ejercicios 43 al 48 pag. 181 “ Para pensar” 4) Es cierto que todo polinomio de grado n tiene n-1 puntos críticos. 5) Es cierto que todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n-1 puntos críticos. 6) Los máximos relativos de la función f son f(1) = 4 y f (3) = 10 entonces podemos asegurar que en el intervalo (1,3) hay al menos un mínimo relativo. Actividad 6 a) Defina concavidad b) Haga una interpretación gráfica de la misma. C) Enuncie los criterios de concavidad Actividad 7 Describa una estrategia para determinar los intervalos de concavidad. Actividad 8 ¿Qué podemos decir de la concavidad de la gráfica de f si f ’(x) = 0 Actividad 9 Analice el ejemplo 1 y 2 de la pag. 185 y 186. Anote las dudas que tenga sobre el desarrollo de los mismo para discutirlas en clase. Actividad 10 Defina punto de inflexión. Enuncie la condición necesaria para la existencia de punto de inflexión. Describa un procedimiento para ubicar los puntos de inflexión. Actividad 11 Haga un bosquejo de una gráfica donde en los puntos de inflexión: a) la derivada primera sea positiva b) la derivada primera sea negativa c) la derivada primera sea igual a cero. d) La derivada primera no exista Actividad 12 Analice el ejemplo 3 de la pag. 187 y anote las dudas para discutirlas en clase. Actividad 13 ( Muy importante) Resuelva el ejercicio 47 y 48 de la pag. 189 “ Para aclarar conceptos” Actividad 14 Describa una situación real en la que la relación entre las variables sea tal que la derivada primera sea positiva y la segunda negativa. Actividad 15 Enuncia el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio. Realiza un gráfico en cada caso. Compara sus hipótesis ¿Cuál es la diferencia? Explícala con tus palabras Compara su tesis ¿Cuál es la diferencia Explícala con tus palabras Actividad 16 Demuestra los teoremas anteriores

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Actividad 17 Sea la función y = −2 x 2 + 2 x + 4 a) Determine un intervalo donde pueda aplicarse el Teorema de Rolle ( se cumplan las condiciones del mismo) y encuentre c para el cual f ’ ( c ) = 0 b) Encuentre para el intervalo [ − 2,6] el valor c para que se cumpla la tesis. i) Podría adelantar una hipótesis sobre la ubicación de c para cualquier intervalo cerrado que se estudiara. ii) Demuestre su hipótesis usando la formula general de la función cuadrática

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