Aplicaciones De La Derivada

Ejercicios de Derivadas con Soluciones Ejercicio nº 1-

a) Calcula la tasa de variación media de la función f ( x ) =

3 en el intervalo [ −3,−1] x

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la función en dicho intervalo? Solución: a) T.V.M. [ − 3, − 1] =

f ( − 1) − f ( − 3 ) − 3 − ( − 1) − 3 + 1 − 2 = = = = −1 − 1− ( − 3) − 1+ 3 2 2

b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado. Ejercicio nº 2.Aplicando la definición de derivada, calcula f' ( 1) , siendo f ( x ) =

Solución: 2 −2 f ( 1 + h ) − f (1) 1 + h f ' ( 1) = lim = lim = h →0 h →0 h h 2 − 2(1 + h ) 2 − 2 − 2h − 2h ( 1 + h) ( ) ( ) 1 + h 1 = lim = lim = lim + h = h →0 h →0 h →0 h h h = lim

h →0

− 2h

( 1 + h) h

= lim

h →0

−2

( 1 + h)

=

−2 = −2 1

Ejercicio nº 3.Halla, utilizando la definición, la derivada de la función: f (x) =

2x 3

2 . x

Solución: f ( x + h) − f ( x ) f ' ( x ) = lim = lim h →0 h →0 h

2( x + h ) 2 x − 3 3 = h

2 x + 2h − 2 x 2h 2h 2 3 = lim = lim 3 = lim = h →0 h →0 h h →0 3h h 3

Ejercicio nº 4.Calcula la función derivada de: a) f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 1

b) f ( x ) = lnx

Solución: a) f ' ( x ) = 6 x 2 − 2 x 1 b) f ' ( x ) = x

Ejercicio nº 5.Calcula f´(x) en cada caso: a) f ( x ) =

3x 2 2x + 3

b) f ( x ) =

3

x ⋅ sen x

Solución: a ) f ' (x ) =

6x ( 2x + 3)− 3x 2 ⋅ 2

(2x + 3)2

b) f ' ( x ) = x 1 3 ⋅ sen x f ' ( x) =

=

12x 2 + 18x − 6x 2

( 2x + 3)2

=

6x 2 + 18x

(2x + 3)2

1 −2 3 1 x sen x + x 1 3 ⋅ cos x = sen x + 3 x ⋅ cos x 3 2 3 3 x

Ejercicio nº 6.Calcula la derivada de la función:

f ( x ) = 4x 3 + 1

Solución: f ' ( x) =

1 2 4x 3 + 1

12 x 2

⋅ 12 x 2 =

=

2 4x 3 + 1

6x 2 4x 3 + 1

Ejercicio nº 7.2

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 2x −1 en el punto de abscisa x = 1. Solución: • y ' = 2x + 2

• La pendiente de la recta es y ' ( 1) = 4 .

• Cuando x = 1, y = 2 • La recta será: y = 2 + 4( x − 1) = 2 + 4 x − 4 = 4 x − 2

Ejercicio nº 8.Determina los puntos de tangente horizontal de la función: f (x) =

x3 x +2

Solución: • f ' ( x) =

3 x 2 ( x + 2) − x 3

• f '( x) = 0

( x + 2)

⇒

2

=

3x 3 + 6x 2 − x 3

2x 3 + 6 x 2 = 0

( x + 2) ⇒

2

=

2x 3 + 6 x 2

( x + 2) 2

x = 0 →  x 2 ( 2x + 6 ) = 0   x = − 3 →

Ejercicio nº 9.Estudia dónde crece y dónde decrece la función: f ( x ) = 3 + 12 x − 3 x 2

Solución:

Punto ( 0 , 0 ) Punto ( − 3 , 27 )

f ' ( x ) = 12 − 6 x • Estudiamos el signo de la derivada:

•

12 − 6 x = 0 12 − 6 x > 0 12 − 6 x < 0

⇒ x=2 ⇒ 12 > 6 x ⇒ 12 < 6 x

⇒ ⇒

6 x < 12 6 x > 12

⇒ ⇒

x<2 x>2

• La función es creciente en (−∞, 2) y decreciente en (2 +∞) (y tiene un máximo en x = 2). Ejercicio nº 10.Dibuja la gráfica de la función f ( x ) , sabiendo que:

• Su derivada se anula en ( 0, 0 ). • Solo corta a los ejes en ( 0, 0 ). • Sus asíntotas son: x = −2, x = 2 e y = 0

• La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

• lim− f ( x ) = −∞; x → −2

lim f ( x ) = +∞;

x → −2 +

lim f ( x ) = +∞;

x →2 −

lim f ( x ) = −∞

x →2 +

Solución:

Ejercicio nº 11.Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución: • Asíntota vertical: x = 0 Posición de la curva: lim f ( x ) = −∞;

lim f ( x ) = +∞

x →0 −

x →0 +

Asíntota horizontal: y = 0 Posición de la curva: Si  Si

x → −∞,

y <0

x → +∞,

y >0

• La función es decrecient e en ( −∞, 0 ) y en ( 0, + ∞ ) .

Ejercicio nº 12.Estudia y representa la función: f ( x ) = x 4 − 2x 2

Solución: •

•

(

)

lim x 4 − 2 x 2 = +∞;

x →+∞

)

Puntos de corte con los ejes: Con el eje X →

x 4 − 2x 2 = 0

Con el eje Y → x = 0 •

(

lim x 4 − 2 x 2 = +∞

x →−∞

Puntos singulares:

→

⇒

y=0

x = − 2 → Punto ( − 2 , 0)   x 2 x 2 − 2 = 0  x = 0 → Punto (0, 0)  x = − 2 → Punto ( − 2, 0)  

(

→

)

Punto (0,0)

x = − 1 → Punto ( −1, − 1)   f ' ( x ) = 4 x 3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 = 0  x = 0 → Punto (0, 0)    x = 1 → Punto (1, − 1)

(

•

)

Gráfica:

Ejercicio nº 13.Estudia y representa la siguiente función: x2 x −2

f (x) =

Solución: •

Dominio = R − {2}

•

Puntos de corte con los ejes:

•

Con el eje X →

y =0

→

x2 =0 x −2

Con el eje Y →

x=0

→

y =0

→

→

x =0

→

Punto ( 0, 0 )

Punto ( 0, 0 )

Asíntota vertical: x = 2 lim f ( x ) = −∞;

x →2 −

lim f ( x ) = +∞

x →2 +

Asíntota oblicua: x2 4 = x +2+ x−2 x −2 Si x → +∞,

4 >0 x −2

⇒

y = x + 2 es asíntota oblicua.

⇒ La curva está por encima de la asíntota.

Si x → −∞,

•

⇒

La curva está por debajo de la asíntota.

Puntos singulares: f ' (x) =

2 x ( x − 2) − x 2

f ' ( x) = 0

•

4 <0 x −2

( x − 2)

⇒

2

=

2x 2 − 4 x − x 2

( x − 2)

x ( x − 4) = 0

2

=

x 2 − 4x

( x − 2)

2

=

x ( x − 4)

( x − 2) 2

 x = 0 → Punto ( 0, 0 )  ⇒   x = 4 → Punto ( 4 , 8 )

Gráfica:

Ejercicio nº 14.Estudia y representa la siguiente función: f (x) =

x4 −1 x

Solución: •

Dominio = R − {0}

•

Puntos de corte con los ejes: Con el eje X

→

y =0

x4 −1 = 0 → x4 −1= 0 x → Puntos ( 1, 0 ) y ( −1, 0 )

→

→

x = ± 4 1 = ±1

Con el eje Y → No corta al eje Y, pues x = 0 no está en el dominio. •

Asíntota vertical: x = 0 lim f ( x ) = +∞;

x →0 −

lim f ( x ) = −∞

x ←0 +

Rama parabólica (pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador). lim f ( x ) = +∞;

lim f ( x ) = −∞

x → +∞

•

x → −∞

Puntos singulares: f ' ( x) =

(

) = 4x

4x 3 x − x 4 − 1 x2

4

− x4 +1 x2

=

3x 4 + 1 x2

≠0

No tiene puntos singulares. •

Gráfica:

Ejercicio nº 15.Estudia y representa la función: f (x) =

x2 x2 −1

Solución: •

Dominio = R − {−1, 1}

•

Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y → Con el eje X →

•

x=0 y =0

→ →

y =0 x

2

2

x −1

Asíntotas verticales: x = −1, x = 1

→ =0

Punto ( 0, 0 ) →

x =0

→

Punto ( 0, 0 )

lim f ( x ) = +∞;

lim f ( x ) = −∞

x → −1−

x → −1+

lim f ( x ) = −∞;

lim f ( x ) = +∞

x →1−

x →1+

Asíntota horizontal: y = 1 lim f ( x ) = 1, con y > 1

x → +∞

lim f (

x → −∞

•

) = 1,

Puntos singulares: f ' (x) =

(

)

2x x 2 − 1 − x 2 ⋅ 2 x

f ' (x) = 0

•

con y > 1

(x

⇒

2

)

−1

2

− 2x = 0

=

→

2 x 3 − 2x − 2x 3

(x

2

x =0

)

−1

→

Gráfica:

Ejercicio nº 16.Estudia y representa la siguiente función: f (x) =

x3 x2 +1

Solución: •

Dominio = R

•

Puntos de corte con los ejes:

2

=

(x

− 2x 2

)

−1

2

Punto ( 0, 0 )

•

Con el eje X →

y =0

→

Con el eje Y →

x =0

→

x3 =0 → x=0 → x2 +1 y = 0 → Punto ( 0, 0 )

Punto ( 0, 0 )

Asíntotas verticales: No tiene Asíntota oblicua: x3 2

x +1

•

⇒

x2 +1

y = x es asíntota oblicua

−x Si x → +∞, <0 2 x +1 −x Si x → −∞, >0 x2 +1

⇒

.

La curva está por debajo de la asíntota.

⇒ La curva está por encima de la asíntota.

Puntos singulares: f ' ( x) =

(

)

3 x 2 ⋅ x 2 + 1 − x 3 ⋅ 2x

f ' ( x) = 0

•

−x

=x+

⇒

(x

2

)

+1

(

2

)

x2 x2 + 3 = 0

=

3x 4 + 3 x 2 − 2x 4

(x

⇒

2

)

+1

x =0

2

→

=

x 4 + 3x 2

(x

2

)

+1

2

=

(

x2 x2 + 3

(x

2

Punto ( 0, 0 )

Gráfica:

Ejercicio nº 17.Dada la función f (x) =

x 4 − 2x 2 + 1 x2

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente. Solución:

)

+1

2

)

•

Dominio = R − {0}

•

Puntos de corte con los ejes: Con el eje X →

y =0

Si x 2 = z

→

x 4 − 2x 2 + 1 = 0

→ z 2 − 2z + 1 = 0

x2 = 1 ⇒

x = ±1

→

z=

2±

4−4

2 Puntos ( − 1, 0 ) y ( 1, 0 )

→

=

2 =1 2

Con el eje Y → No corta el eje Y porque x = 0, no está en el dominio. •

Asíntota vertical: x = 0 lim f ( x ) = +∞;

lim f ( x ) = +∞

x →0 −

x →0 +

Rama parabólica (pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador). lim f ( x ) = +∞;

lim f ( x ) = +∞

x → +∞

•

Puntos singulares: f ' (x) =

=

(

)

3 x 2 x 2 + 2 x + 1 − x 3 ( 2 x + 2)

(x

2

(x

2

)

+ 2x + 1

⇒

(

)

+ 2x + 1

x 4 + 4x 3 + 3x 2

f ' ( x) = 0

•

x → −∞

2

)

=

2 x4 −1 = 0

2

(

3 x 4 + 6 x 3 + 3x 2 − 2x 4 − 2x 3

=

(x

x 2 x 2 + 4x + 3

(x

2

⇒

)

+ 2x + 1

2

2

)

+ 2x + 1

2

=

)

x4 = 1 ⇒

x = ± 4 1 = ±1

→ Puntos ( − 1, 0 ) y ( 1, 0 )

Gráfica:

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