La Derivada

Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA

Incremento significa aumento y se representa por la letra Griega mayúscula delta.

Consideremos la función:

Hallemos el incremento de f cuando x toma los valores de 1.5, 2 y 2.5

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La derivada de una función está dada por:

• La pendiente de la grafica en x

• La razón instantánea de cambio en y con respecto a x

NOTACIÓN:

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LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO

REGLA DE LAS POTENCIAS

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REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si f es una función derivable y c un número real, entonces:

REGLA DE LA SUMA y LA DIFERENCIA

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El número de Euler es el número tal que:

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

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Regla del producto

Regla del cociente

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DERIVADA DEL FUNCIÓN LOGARITMO

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

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Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la función compuesta es derivable en x, la derivada es:

Existe la denominada notación de LEIBNIZ si:

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

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Supongamos que las variables x e y, están relacionadas por la alguna ecuación de la forma:

Si una función f, definida en un intervalo I es tal que la ecuación se transforma en una identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente por medio de la ecuación de arriba

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Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. Veamos el siguiente ejemplo:

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La recta tangente a la curva y=f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P y cuya pendiente es:

Determinemos la ecuación de la tangente a la parábola en el punto dado:

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Determinemos la ecuación de la tangente a la parábola en el punto dado:

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Generalmente cuando un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria de acuerdo a la ecuación de movimiento s=f(t), donde s es el desplazamiento del objeto respecto al origen, en el instante t. la función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. La velocidad promedio es:

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Una partícula de mueve o cambia de posición de acuerdo a la siguiente ecuación: •¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t (2 y 3.5 Segundos)? •¿Cuándo está en reposo la partícula? •¿Cuándo se mueve hacia delante la partícula? •¿Cuál es la distancia recorrida por la partícula en los primeros cinco segundos de recorrido?

•¿Cuál es la aceleración en el instante t y después de 3.5 segundos? •¿En que momento aumenta la velocidad dicha partícula?

•¿En que momento disminuye la velocidad dicha partícula? Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA